Решение уравнений Прандтля при нулевом градиенте давления на неизотермической поверхности Текст научной статьи по специальности «Математика»

_________ УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦЛГИ

Том XXXI ' 2 00 0

Же 3—4

УДК 532.526.2.011.6

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ПРАНДТЛЯ ПРИ НУЛЕВОМ ГРАДИЕНТЕ ДАВЛЕНИЯ НА НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОЙ

ПОВЕРХНОСТИ

В. А. Башкин, Е. А. Диканский

При упрощающих предположениях система уравнений Прандтля, описывающая ламинарное течение совершенного газа в пограничном слое при нулевом градиенте давления на неизотермической поверхности, расщепляется, и решение уравнения энергии представляется в виде степенного ряда по продольной координате. Полученные решения можно рассматривать как собственные функции уравнения энергии и использовать их для аналитического решения задач простого и сопряженного теплообмена. В качестве примера рассмотрена задача о расчете равновесной температуры абсолютно нетеплопроводной поверхности. Поскольку степенные ряды в общем случае являются расходящимися, то для их суммирования использована аппроксимация Паде.

Ламинарный пограничный слой при нулевом градиенте давления реализуется на поверхности острых тел простой конфигурации (плоская пластина, клин и круговой конус), обтекаемых сверхзвуковым потоком газа. Эту задачу часто удается свести к решению обыкновенных дифференциальных уравнений, что, естественно, упрощает ее численный анализ.

Одной из интересных задач этого класса является развитие ламинарного пограничного слоя на неизотермической поверхности. Первые работы этого направления [1]—[4] относятся к 50-м годам; в них рассматривался пограничный слой на плоской пластине при нулевом угле атаки. В предположении, что газ совершенный и что произведение плотности на динамическую вязкость постоянно поперек пограничного слоя, система уравнений Прандтля расщепляется, и уравнения импульсов и энергии решаются по отдельности. Решение уравнения импульсов сводится к задаче Блазиуса; после ее решения рассматривается уравнение энергии, интегрирование которого при определенных условиях также сводится к численному анализу обыкновенных дифференциальных уравнений.

В [5] при аналогичных предположениях исследовано поведение пограничного слоя в переменных Крокко [6] на неизотермической плоской пластине, когда распределение относительной температуры (энтальпии)

вдоль поверхности задается в виде степенного ряда =/ф + .

пфО

Решение уравнения энергии получено численно в широком диапазоне изменения показателя степени и. Кроме того, получено асимптотическое решение задачи при п —> оо, которое позволяет установить необходимые данные для произвольного значения показателя степени п. В качестве примера рассмотрена задача о влиянии начального изотермического участка на распределение температуры по расположенной вниз по потоку абсолютно нетеплопроводной теплоизолированной поверхности.

В настоящей статье задача о ламинарном пограничном слое при нулевом градиенте давления на неизотермической поверхности рассмотрена в более общей постановке по сравнению с [5]. При этом отметим, что если в [5] рассматривались как положительные, так и отрицательные значения п, то в настоящей работе рассмотрение ограничено только положительными значениями п. В качестве примера рассмотрена задача о расчете радиаци-онно равновесной температуры абсолютно нетеплопроводной поверхности. Поскольку степенные ряды в общем случае являются расходящимися, то для их суммирования использована аппроксимация Паде [7].

1. Задача о течении совершенного газа в ламинарном пограничном слое при нулевом градиенте давления рассматривается в переменных Крокко [6] при следующих предположениях: 1) совершенный газ имеет постоянные удельные теплоемкости (показатель адиабаты у=1,4), постоянное число Прандтля Рг =сопз1 и динамическую вязкость ц, изменяющуюся

в зависимости от температуры по степенному закону (ц ~Тт, 0,5 < © < 1); 2) произведение рц постоянно поперек пограничного слоя, где р — плотность газа (рц—А.реце, ^ — постоянная Чепмена — Рубезина, индекс «е» обозначает параметры потока на внешней границе пограничного слоя). При этих условиях система уравнений Прандтля в безразмерных переменных преобразуется к следующему виду:

РоРо + °’5м = 0;

Р0Р4 +(1-Рг)РоРоР'4 -2ао(1-Рг)Ро(иРоУ = ' °Л)

с граничными условиями

р'0(0) = ро(1) = 0, р4(0 ) = Н^\ р4(1) = 1. (1-2)

Здесь введены обозначения: и* = иие — продольный компонент вектора скорости, х = — продольная координата, отсчитываемая от острой

передней кромки или вершины, Ь — характерный линейный размер,

г~Реиел1^ + ^ Ро(ц) — напряжение трения, Н* = р4Яе — полная эн-

V Ке*

'у

тальпия, ао = ие /(2Не), Кех=реиех/це —число Рейнольдса. Значение параметра j = О соответствует плоскому, а у' = 1 — осесимметричному течению; индекс «и^» характеризует значения газодинамических переменных на поверхности тела, штрих — дифференцирование по переменной и.

Пусть распределение относительной энтальпии (температуры) задано в виде степенного ряда

+ (1-3)

п> О

Тогда решение уравнения энергии можно искать в виде разложения

Н(и,%) = Въ(и)+^КВп(»ЪП-

п> 0 (1-4)

Для определения неизвестных функций получается система обыкновенных дифференциальных уравнений

р055 + (1 - Рг)р'0 Я' = 2(1 - Рг)а0(Мр0)',| (1 5)

Во(0) = Но, В0( 1) = 1, | '

$ВГп + (1 - Рг)р0р'0 В’п - Вп = 0, и > О Вп( 0) = 1, Вп( 1) = 0.

(1.6)

Первое уравнение системы (1.1) есть уравнение Блазиуса, записанное в переменных Крокко. Поскольку при и -»1 искомая функция Ро(м) имеет сингулярное поведение, то численный анализ уравнения (1.1) проводился в интервале О < и < и< 1 и при и = и в качестве граничного условия использовалось асимптотическое соотношение

(1-м)Ро +Ро

1 + и [ 1п(1-и),|_

(1.7)

Краевая задача (1.5) есть хорошо известная задача для изотермической поверхности, решение которой в силу линейности дифференциального

уравнения записывается в квадратурах [6]. Однако на практике в целях единообразия подхода удобнее проводить численный анализ дифференциального уравнения. В силу сказанного решения краевых задач (1.5) и (1.6) находились численно в интервале 0 < и < и< 1 с использованием асимптотических связей при и=и

Рг(р4 -1) + 0 - и)[р'4 - 2(1 - Рг)а0] = о,

(1 - и)В'п + Вп

Рг+-

(1 + 2У){- 1п(1-ы)}

■ 0.

(1-8)

Для получения граничных условий (1.7), (1.8) было исследовано асимптотическое поведение искомых функций в окрестности и - 1; полученные асимптотические разложения с учетом двух-трех членов содержат одну неопределенную постоянную, исключение которой приводит к соответствующим асимптотическим соотношениям. Асимптотические соотношения для искомых функций в переменных Крокко приведены в ряде работ, например, [9], [10].

Расчеты были проведены для различных значений определяющих параметров задачи. Значения В’п (0) для ряда значений определяющих параметров приведены в табл. 1.

Таблица 1

Значения величины В'п (0) для плоского и осесимметричного случая

Пластина

Рг=0,7

Пластина

Рг=1,0

0,5 —-1,22230 — 1,38220 — 1,01690 — 1,15189

1,0 — 1,44655 — 1,63359 — 1,12781 — 1,27622

1,5 — 1,61889 — 1,82699 — 1,22236 — 1.38220

2,0 — 1,76139 — 1,98699 — 1,30523 — 1.47510

2,5 — 1,88421 — 2,12496 — 1,37931 — 1,55817

3,0 — 1,99294 — 2,24715 — 1,44655 — 1,63359

3,5 — 2,09103 — 2,35740 — 1,50828 — 1,70285

4,0 — 2,18073 — 2,45825 — 1,56548 — 1,76704

4,5 — 2,26363 — 2,55147 — 1,61889 — 1,82699

5,0 — 2,34089 — 2,63835 — 1,66907 — 1,88332

5,5 — 2,41336 — 2,71987 — 1,71645 — 1,93652

6,0 — 2,48174 — 2.79678 — 1,76139 — 1,98699

6,5 — 2,54655 — 2,86969 — 1,80417 — 2,03505

7,5 — 2,66712 — 3,00534 — 1,88421 — 2,12496

8,0 — 2,72352 — 3,06880 — 1,92182 — 2,16722

Конус

Рг=0,7

Конус Рг=1,0

п Пластина Рг=0,7 Пластина Рг=1,0 Конус Рг=0,7 Конус Рг=1,0

8,5 — 2,77768 — 3,12975 — 1,95802 — 2,20790

9,0 — 2,82981 — 3,18841 — 1,99294 — 2,24715

9,5 — 2,88009 — 3,24498 — 2,02669 — 2,28508

10,0 — 2,92867 — 3,29966 — 2,05936 — 2,32180

По результатам численного анализа вычисляются местные коэффициенты сопротивления трения и теплопередачи [8]

с/=-

0,5реие V *

__2» _ с/

2.1Ц' + 2Д|Зо(0),

Яет

Чу> гг ей" Нф)’

р еиеНе 25(1)

е1Г ~НЯ +

п> О

!, даж, (0)

Рг

(1.9)

Нк = 1 -а0(1 - г), Щ0) = •^-^-Рг;

і(і)

здесь г — коэффициент восстановления температуры (энтальпии), 5(1) — коэффициент аналогии Рейнольдса, в силу сделанных предположений обе эти величины зависят только от числа Прандтля.

2. Функция В„(и) является монотонно убывающей по и, а с увеличением п область возмущения энтальпии уменьшается. При этом производная В'п (0) монотонно возрастает по модулю и В'п (0) —» — оо при п —> со. Такое поведение В„(и) позволяет рассмотреть асимптотическое решение краевой задачи (1.6).

Если ввести малый параметр 8 =1/и, то уравнение (1.6) примет вид

$ІК + (1 - Рг)Р0ЭЬ ^ ]- (2-1)

1 + 2 /

V

и его решение может быть найдено методом сращиваемых внешних и внутренних асимптотических разложений.

Во внешней области течения зависимые и независимые переменные имеют порядок единицы и решение задачи представляется разложением

В„(и, п) = Вф\и) + еВ(1\и) + .... После подстановки (2.2) в (2.1) приходим к уравнениям

(2.2)

\

В(/)(и)=0, 1 = 0, 1,2,...,

и, следовательно, во внешней области течения поле энтальпии остается невозмущенным в силу нулевых внешних граничных условий.

Во внутренней области искомая функция имеет порядок единицы, а независимая переменная — порядок малости к = к(г) (к -* 0 при £ —> 0). Если ввести новую независимую переменную и = кг\ и для функции Ро(м) воспользоваться рядом Крокко

где штрих обозначает дифференцирование по переменной г|.

Поскольку во внутренней области течения главные инерционные и вязкие члены должны иметь одинаковый порядок, то

Решение уравнения (2.5) представляется асимптотическим разложением

Для определения первых двух членов разложения получаются уравнения и граничные условия

Решение уравнений (2.7) зависит от определяющих параметров задачи, однако с помощью замены переменных их можно свести к решению «универсальных» уравнений. Для этого выполняются преобразования

ро(м) = а0 + а^и3 + ..., а0 = Ро(0), аъ = - 1/(12 а0), то уравнение (2.1) преобразуется к виду

4[«0 К +(\-?г)За0а3к3ц2В'п + ...]-^^. = 0, (2.3)

к 1 + 2у

(2.4)

[а1в”п +(1-Рг)3 адвлЧ +...]-^ = 0.

I + 2*]

(2.5)

В„(и, 8) =5(0)(Л) + ^1)(Т1) + ....

(2.6)

(1 + 2

в№Г------^^£зз1[~з(1-рг)д(0У + 2Рг112 д№)1, (2 7)

0 + 2у')ао а0 _ 0 + 2у)ао ]

Вт(0) = 1, Я(1)(0) = 5(0)(оо) = В(1)(оо) = 0.

Я(1)(Л) = ^ [о - Рг^тц ) + 5,(,)(л 1 )]■ (2.8)

г г

Тогда для определения искомых функций получаются уравнения (штрих обозначает дифференцирование по переменной г|])

Уравнения (2.9) интегрировались численно, при этом граничные условия на бесконечности выполнялись при конечном, достаточно большом расстоянии. Профили искомых функций приведены на рис. 1.

В результате для расчета производной В'п (0) получается асимптотическая формула

Сопоставление численного и асимптотического решений проведено на рис. 2 для зависимости величины а = кВ'п(0) от параметра е при двух значениях числа Прандтля; как для плоского, так и осесимметричного случаев при е < 1 наблюдается практически полное совпадение численного и асимптотического решений между собой.

3. В качестве примера рассмотрим обтекание острого абсолютно нетеплопроводного тела сверхзвуковым потоком совершенного газа. Газ является оптически прозрачным, и с обтекаемой поверхности происходит излучение тепловой энергии согласно закону Стефана — Больцмана. В каждой точке поверхности тела должно выполняться условие локального баланса тепла

5(0)" _Ж5(0) =0>

а0 а0

(2.9)

5(0)(0) = 1, ^,)(0) = 5(0)(оо) = = вЦ\ оо) = Я,(1)(0) = В11}(оо) = 0.

х -1,520253 + 8 {0,126688(1 -Рг)- 0,112598} • (2.10)

Рг

*7гасЬ

(3.1)

где qw — конвективный тепловой поток, - радиационный тепловой поток, вычисляемый по соотношению

^=60^-7^) (3.2)

(а — постоянная Стефана — Больцмана, б — степень черноты поверхности).

При решении уравнений Прандт-ля в качестве характерных масштабов принимаются параметры потока на Рис. 1. Профили функций асимптотическо- внешней границе пограничного слоя.

го решения: 1-В(0)(гц); 2—

(1 )

( 11 1 )

Тогда конвективный поток тепла запишем таким образом:

~ Реие^е [‘Уи'л/Ке.Х ]/О'З)

и уравнение (3.2) преобразуется к виду

еаТг

О

Hg'^Pg\XgUgTL xfoTio-TZo),

где Г0 и Too — температура торможения и статическая температура набегающего потока, 7^ = TJTq , 7да0 = = тоо/т0:

При упрощающих предположениях конвективный тепловой поток на неизотермической поверхности определяется соотношениями (1.9). Это позволяет записать уравнение локального баланса тепла

Рис. 2. Сравнение асимптотического и численного решений:

-----плоское течение;------осесимметричное

течение; • — точное решение

я

Re ff

-Я,.,

S( 1)

D =

scr7n

(3.4)

HeP0(0)Jl(l + 2j)pe[ieue/L '

Структура уравнения (3.4) показывает, что температура поверхности на острой передней кромке (вершине) (^=0) равна температуре восстановления и уменьшается по мере продвижения вниз по потоку. Поэтому рас-

пределение температуры по поверхности тела аппроксимируется выражением

00

(3.5)

Поскольку аналитическое решение строится в виде ряда по перемен-

Собирая члены при одинаковых степенях г, получим явные выражения для последовательного определения неизвестных коэффициентов. Вся эта процедура была реализована на ЭВМ. В качестве примера приведем выражения для первых трех коэффициентов разложения:

Коэффициенты Для заданных условий задачи вычисляются на ЭВМ с высокой степенью точности. Расчеты показали, что эти степенные ряды являются расходящимися. В качестве примера на рис. 3 для одного частного случая показано поведение аналитического решения в зависимости от числа учитываемых членов ряда. Можно видеть, что даже для сравнительно малого значения параметра /) = 0,1 сходимость решения наблюдается только в некоторой окрестности передней кромки. По мере увеличения параметра О радиус сходимости ряда быстро уменьшается.

Отметим, что на очень малый радиус сходимости решения в виде степенного ряда было указано уже в [1], где рассматривалась аналогичная задача. По этой причине там получено приближенное решение задачи при некоторых предположениях относительно поведения профиля полной энтальпии. В данном случае в силу представления решения в виде ряда по собственным функциям уравнения энергии учитывается влияние неизо-термичности поверхности на тепловой поток, что привело к увеличению радиуса сходимости решения; вместе с тем этого увеличения радиуса сходимости недостаточно для анализа прикладных задач, в которых параметр £> имеет порядок единицы.

ной -у/%, то удобно ввести новую переменную 2 = л/£. Тогда с учетом (3.5) уравнение (3.4) преобразуется к виду

Х^/24/2(0)^-'=Рг/) Нн + ^ик/22к -т£о • (3.6)

к=1 V к=1 У

Яз/2<°>

Рис. 3. Сходимость аналитического решения:

М* = 5, Рг= 1, 0 = 0,1

Для извлечения из полученного решения требуемой информации воспользуемся аппроксимацией Паде [7]

Ь0 +Ъ\2 + ...+Ъм2

коэффициенты которой определяются из условия 00 £

+ = а1*и к=] Ьо+Ь]г + ...+Ьмг

Процедура получения расчетных соотношений, подробно описанная в [7], была реализована на ЭВМ.

Было подробно исследовано влияние параметров Ь и М аппроксимации Паде на сходимость результатов. В качестве примера в табл. 2 и 3 приведены численные данные, полученные для частного случая: Мю = 3, Рг = 1, £> =0,1 и 1,0 и характеризующие значение относительной температуры в конце пластины (г = £> = 1). Аналитическое решение (3.5) (в табл. 2 и 3 строки, соответствующие М=0) расходится с ростом числа учитываемых членов разложения для обоих значений параметра Б. Аппроксимация Паде наибольшую сходимость проявляет в случае, когда М= Ь, т.е. когда в числителе и знаменателе имеем полиномы одного порядка. Для этого случая на рис. 4 показано поведение погрешности аппроксимации Паде в зависимости от числа учитываемых членов разложений. С возрастанием порядка полиномов погрешность аппроксимации быстро уменьшается, даже при Б = 0(1). Таким образом, применение аппроксимации Паде существенно расширяет рамки применимости данного подхода к анализу температурного режима обтекаемой поверхности тела.

Рис. 4. Погрешность аппроксимации Паде в зависимости от числа членов разложения:

М<* = 3, Рг = 1; . — £> = 1,0;

О —0 = 0,1 :

Таблица 2

Таблица Паде для случая: М„ =3, Рг = 1, й = 0,1

М/1. 0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 1 0,7861 0,9439 0,7946 0,9524 0.7749 0,9826 0.7328 1,0392

1 0,8238 0,8769 0.8672 0,8713 0.8689 0,8706 0.8692 0,8704 0,8693

2 0,9075 0,8679 0,8702 0,8697 0,8699 0,8698 0,8699 0,8698 0,8698

3 0,8379 0,8708 0,8697 0,8699 0,8698 0,8698 0,8698 0,8698 0,8698

4 0,9051 0,8693 0,8699 0,8698 0,8698 0,8698 0,8698 0,8698 0,8698

5 0,8344 0,8702 0,8698 0,8698 0,8698 0,8698 0,8698 0,8698 0,8698

6 0,9140 0,8695 0,8698 0,8698 0,8698 0.8698 0,8698 0,8698 0,8698

7 0,8232 0,8701 0,8698 0,8698 0,8698 0,8698 0,8698 0,8698 0,8698

8 0.9332 0,8696 0.8698 0,8698 0,8698 0.8698 0.8698 0,8698 0,8698

Таблица 3

Таблица Паде для случая: М. =3, Рг = 1, /) = 1,0

МП 0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 1 -1,138 14,637 -134,6 1443,7 -16310

1 0,3186 0,7447 0,3691 1,7352 -5,789 45,857 -360,0 3137,6 -29076

2 -0,124 0,5214 0,6699 0,5691 0,8081 -0,088 4,3391 -21,79 153,19

3 0,0119 1,9385 0,5949 0,6446 0,6138 0,6693 0.5182 1.1075 -1,663

4 0,0012 0,1453 0,7277 0,6192 0,6359 0,6260 0,6408 0.6072 0,7107

5 0,0001 -0,031 0,4340 0,6527 0,6273 0,6329 0,6296 0,6339 0,6257

6 0,0000 0,0040 -0,584 0,5813 0,6371 0,6299 0,6318 0,6308 0,6321

7 -0,000 0,0503 0,9088 0,6192 0,6330 0,6308 0,6315 0,6311

8 -0,008 0,2696 0,6692 0,6282 0,6318 0,6312 0,6314

Отметим, что рассмотренный выше подход к расчету радиационно равновесной температуры поверхности применим для условий полета с малыми и умеренными сверхзвуковыми скоростями, когда параметр D = 0(1) и неизотермичность поверхности оказывает заметное влияние на местный тепловой поток. При гиперзвуковых скоростях, когда D » 1, для определения радиационно равновесной температуры поверхности необходим другой подход, и в первом приближении она может определяться на основе уравнения локального теплового баланса с использованием соотношений для изотермической поверхности.

Заключение. При упрощающих предположениях система уравнений Прандтля при нулевом градиенте давления расщепляется, уравнения импульсов и энергии интегрируются последовательно друг за другом.

Если распределение температуры вдоль обтекаемой поверхности задано в виде степенного ряда по продольной координате, то решение уравнения энергии сводится к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Численное решение уравнений получено в некотором диапазоне изменения параметра п для чисел Прандтля Рг = 0,7 и 1,0 для плоского и осесимметричного течения. Установлено также асимптотическое решение задачи и проведено сопоставление его с численным решение полной задачи, которое показало область применимости асимптотического решения.

Полученные «универсальные» решения можно рассматривать как собственные функции уравнения энергии. Это позволяет в принципе решать разнообразные задачи простого и сопряженного теплообмена аналитическими методами. В качестве примера рассмотрена задача о расчете радиационно равновесной температуры абсолютно нетеплопроводной пластины. Расчеты показали, что получающиеся степенные ряды являются расходящимися. Для получения искомой информации была использована аппроксимация Паде. Установлено, что наилучшая сходимость результатов получается в случае, когда в числителе и знаменателе аппроксимации Паде полиномы имеют одинаковый порядок.

ЛИТЕРАТУРА

1.Соколова И. Н. Температура пластинки в сверхзвуковом потоке с учетом излучения // Труды ЦАГИ. — 1949 (Сборник теоретических работ по аэродинамике.— М.: Оборонгиз.—1957).

2. Chapman D„ Rubesin Н. Temperature and velosity profiles in the compressible laminar boundary layer with arbitrary distribution of surface temperature//.!. Aeronaut. Sci.—1949. V. 16, N 9.

3. Schlichting H. Die Waermeuebergang an einer laengsangestroemten

eben Platte mit veraenderlicher Wandtemperatur//Forschung auf dem Gebiete des Ingeneurwesens.—1951, N 1. Band 17. '

4. Б а ш к и н В. А., С о л о д к и н Е. Е. Расчет ламинарного пограничного слоя при отсутствии продольного градиента давления и в окрестности критической точки при переменной температуре поверхности//Труды ЦАГИ. —1961. Вып. 825.

5. Б а ш к и н В. А., Д у б о в с к а я Л. А. Ламинарный пограничный слой на неизотермической пластине//В сб. «Теоретические методы исследования нелинейных динамических систем». - М.: - 1993.

6. С г о с с о L. Lo strata limite laminare nei gas.-Associazione Culturale Aeronautika. Roma.—1946.

7. Бейкер Д ж., Грейвс-Моррис П. Аппроксимации Паде.— М.: Мир. —1986.

8. Б а ш к и н В. А., С о л о д к и н Е. Е. Об определении коэффициента теплопередачи//ПМТФ. — 1961, № 3.

9. Б а ш к и н В. А. Численный анализ уравнений ламинарного пограничного слоя на линиях растекания конических тел//Труды ЦАГИ. — 1973. Вып. 1448.

10. Б а ш к и н В. А., Д ж а м г а р о в Г. М. Решение уравнений пограничного слоя с помощью рядов//Изв. ВУЗ, Авиационная техника. — 1979, №2.

Рукопись поступила 2/VI111999 г.