Локально-автомодельное решение для течения в пограничном слое внутри зоны подвода энергии Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Т о м IX

197 8

№ 3

УДК 532.526.2

ЛОКАЛЬНО-АВТОМОДЕЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ ДЛЯ ТЕЧЕНИЯ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ ВНУТРИ ЗОНЫ ПОДВОДА

ЭНЕРГИИ

Получено аналитическое решение, описывающее пограничный слой внутри зоны подвода энергии на плоской пластине, расположенной в однородном равномерном сверхзвуковом потоке совершенного газа. Зона слабого теплоподвода удалена на большие по сравнению с ее характерным размером расстояния от носка пластины, интенсивность теплоподвода есть степенная функция от продольной (по потоку) координаты. При некоторых соотношениях между малыми параметрами задачи справедлива трехслойная схема течения, причем решение в вязком подслое вблизи поверхности пластины является автомодельным. Представлены результаты для случая однородного тепловыделения.

Предположим, что имеем однородный равномерный сверхзвуковой поток совершенного газа возле плоской пластины. На расстоянии Ь от носка пластины расположена зона подвода энергии

/х_£ \ «

с распределенными по степенному закону £(*) = /:—-т— источ-

никами тепла (фиг. 1). Функция х) характеризует энергию, подводимую в единицу объема за единицу времени. До зоны подвода энергии поток газа можно разделить на две части: внешний невязкий однородный равномерный поток и пограничный слой вблизи поверхности пластины, для которого решение известно [1]. Предположим, что внутри зоны подвода энергии для области 1 справедливо одномерное сверхзвуковое решение с непрерывным изменением параметров потока (так называемый режим „быстрого го-рения“ [2]):

А. Н. Кучеров

Р(х)=\/и(х)-р(х) = 1 + хМ2[1 ■— и (л)]; h(x) = и (х) [1 + хМ2(1 —и(х)]\

(1)

(и + 1)

Здесь все величины безразмерны. В качес тве характерных величин выбраны параметры невозмущенного набегающего потока: плотность роо, скорость Иоо, давление роо, энтальпия hЗа характерную длину принят размер зоны подвода энергии d, безразмерная

— X — L '1 / Роо u L

продольная координата х =—-т—; М= 1/------------------------число М; х —

f **Роо

Ed

показатель адиабаты; Q —-----------т----параметр подобия, характери-

Pjo иоо оо

зующий интенсивность подвода энергии. Предположим, что подвод энергии является слабым, Q<1-

Пусть зона подвода энергии удалена на большие расстояния по сравнению с ее размером от носка пластины и справедливо соотношение

Я » 4- = £- (2)

В этом случае в области 2 (см. фиг. 1) течение в пограничном слое будет иметь локально большие градиенты параметров потока. Для таких течений в работах [3—5] на основе метода сращиваемых асимптотических разложений [6] развит аппарат построения решения, который позволяет путем разбиения поля течения на ряд подобластей и выделения главных членов возмущения упростить математическую постановку задачи. При некоторых соотношениях между малыми параметрами, как будет показано ниже, приближенное решение для рассматриваемой задачи можно получить в аналитическом виде.

Потребуем, чтобы параметр е был больше по порядку величины, чем длина распространения возмущений при свободном взаимодействии пограничного слоя с внешним сверхзвуковым потоком

г » Ие-3'8, (3)

Роо иоо^-

где 1?е = ——--------число Рейнольдса, [*оо — коэффициент динами-

зм

ческой вязкости для газа в набегающем потоке.

В этом случае возмущения, которые передаются вверх по потоку и могут дать вклад в начальные условия для возмущенного решения, будут по порядку меньше, чем возмущения, вызванные, собственно, подводом тепла. Действительно, возмущение давления Д/7, вызванное теплопроводом, порядка С2, а градиент давле-

ния йр/йх (в масштабе длины Ь) порядка (З/е. Для возмущения давления Д/7*, вызванного свободным взаимодействием, находим

Д/>*~4 Не-3/8«(2~Д/7.

Безразмерные уравнения пограничного слоя в зоне теплопод-вода запишем в форме Мизеса:

дУ

дУ

д

РидГ

ри

дУ

е^е дх ’

У=уУ^-, >Р = Ф}/'Не;

ди ,

Ри + *3

дх

М2

р и

дЧГ

(ірй

— )1 ’ дЧГ/\ ’

к -I- (*

д

РРи <эчг

к =

Р(х)

+ (*-р{х)

1 +<Э

їМ1

гл+1

М2 - 1 (л + 1)

(4)

Здесь ф — функция тока, о — число Прандтля, функция давленияр(х) остается неизменной поперек пограничного слоя и определяется решением (1). Учитывая малость параметра <3, решение в области 2 будем искать в виде рядов по этому параметру

и (х, Чг) == «о (^) + (Зи4 {X, ’Г) + . . . ;

?(Х, У) = ?0(ЧГ)+(1Р1 (х_, ¥) +

А (х, ¥) = А0 (¥) + <3к, (х, ¥)+... ,

где Ио^), РоС®') и Мф") =

Ро^)

известные функции для профиля

скорости, плотности и энтальпии на передней границе зоны подвода энергии (при л: = 0). Подставляя эти разложения в уравнения (4) и приравнивая члены одного порядка малости, для главных членов возмущения получим следующую систему уравнений:

диг ~п

Ро 11 <

0 дх

+

М2 - 1

= 0;

Ро

% М2 ХП+1 1г1— М2 - 1 (/1+1)

Рі

Ро

Интегрируя полученные уравнения с учетом отсутствия возмущений на передней границе зоны теплоподвода при х = 0, находим

—п+1

В силу того, что на верхней границе пограничного слоя (при Т-^оо) функции и0 и р0 обращаются в единицу, функции ии и р, из (5) переходят в соответствующие выражения линеаризованного по параметру <3 решения (1). Таким образом, решение для области 2 сопрягается с внешним невязким решением для области 1. Однако при приближении к поверхности пластины (при 'Р- -> 0) функции (5) имеют особенность:

к=о

; рш = ро(°);

!

(М*- 1)(л + 1 )У 2р9 и'„ЧГ

~лН~1

(га + 1) У 2 р„, и Ч1-

(6)

Эта особенность является следствием отбрасывания членов со старшими производными в исходных уравнениях пограничного слоя (4) при построении решения (5). Для устранения особенности необходимо рассмотреть вязкий подслой 3 возле пластины (см. фиг. 1), в котором опущенные члены играют существенную роль. Оценим поперечный масштаб подслоя вязкого течения исходя из условия равенства внутри этого подслоя вязких и инерционных членов. Введем новую поперечную координату Ч': Чг = £“¥, где показатель степени а подлежит определению. Приравнивая по порядку вязкие и инерционные члены в тонком подслое вблизи пластины, в котором Ф — 1, находим

Ди ___ ^2 „2 Ди

Рш «0 Р® ^0 (Д11г)2 ’

Д¥<

(7)

где Ди— приращение скорости; — коэффициент динамической вязкости на пластине, отнесенный к соответствующей величине ^с» в невозмущенном потоке. Считаем, что величины рвд и ^ порядка единицы, а скорость и0, согласно (6), и0~га/2. Тогда из (7) получим, что а = 2/3. Расход газа в подслое вязкого течения в &213 раз меньше расхода в основной части пограничного слоя (Ч7 — е2/3Чг, ЧГ — 1). Следует отметить, что полученная оценка масштаба вязкого подслоя справедлива вплоть до минимального значения е<~1?е_3/8, которое соответствует режиму свободного взаимодействия.

При оценке поперечного масштаба подслоя вязкого течения предполагалось, что приращение скорости Ди не превосходит по порядку значения скорости и0(¥) в масштабе этого подслоя. Пусть добавок скорости в подслое вязкого течения будет по порядку меньше скорости невозмущенного пограничного слоя: и0>Дм или

е1/3>-^з, следовательно г2/3 ><3. Это условие позволяет линеаризировать уравнения для течения в подслое и гарантирует безотрывное обтекание. Таким образом, окончательно приняты следующие соотношения между малыми параметрами задачи [см. (2), (3)]:

£2/3» (2 » £ » Не-3'"8. (8)

Учитывая предельные соотношения (6) для решения (5) и поведение функций м0(^’) и вблизи стенки, решение для под-

слоя будем искать в следующем виде:

и {х, чо = еі/з У 2 «; + (хи

Н(х, ¥)=А. + е>/зсУ?+-%Аі(х, ¥)+ . . . .

(9)

Здесь Лда = А0(0); С—постоянная, пропорциональная тепловому потоку через поверхность пластины при х = 0. Выражения (9) подставим в исходные уравнения пограничного слоя и приравняем члены одного порядка малости. Для главного члена возмущения продольной компоненты скорости И, (х, ЧГ) получим следующую краевую задачу:

= 21**, иъ

«! (0, ЧГ) = 0; и,х (л;, 0) = 0;

(М2- 1 )(„+ 1)/2р*и;чг

При 'Г

со.

(10)

Аналогично, для главного члена возмущения энтальпии (л:, Ч?1), приходим к следующей краевой задаче:

і/2р,„йто¥^і =хп + м -

дх

+ С-\[-&Г

V

2_и®

а

“г- 2 йФ

1 дих

2

44?

Л^О, «Р) = 0; А,(*. 0) = 0 либо 1'Ч-^--*0 при ¥ - 0;

~п+і

(п+ \)Уъ9т

==- при ¥

оо.

(11)

Задача (10) является автономной. Чтобы решить задачу (11) в случае нетеплоизолированной пластины (Сі= 0), необходимо знать функцию и, (х, ¥).

С помощью преобразования подобия задачу (10) приведем к универсальному виду:

А2 = {і® (2 рш и^- Аі — Л2/1(М2 1) ([Ащ» рт и,хи)\,

ууЖ + х» = гд-^ + -^ у ^ ох ^ л л дг* + дг

и{0, г) = 0; и(Х, 0) = 0; и(х, г)

и .

\г :

хп+1

(л +1)1 г

при Z -* со.

Предположим, что функцию 1/(Х, Z) можно представить в виде и = ^‘/(7}), где автомодельная переменная, /(^) — неко-

торая функция, подлежащая определению, і и / — постоянные

4—Ученые записки № 3

49

величины. После подстановки в уравнение и использования граничных условий находим, что такое представление возможно при і — п + 2/3, у = — 2/3. В автомодельных переменных получаем краевую задачу для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка:

■чг (-і) + г (ч) [1 + 4- ^3/2] - /м [-^ + (л + 4-) ^ ]=1;

/(0) = 0; /(,,) у- при ч - оо.

(12)

Частное решение неоднородного уравнения (12) есть /(?]) =

=------------- —т=г-. Для построения общего решения необходимо найти

(и-И) У1)

фундаментальную систему решений однородного уравнения. С помощью замены /{г\) = У'П е~*Ф(Ь), однородное уравнение

из (12) приводится к виду:

£Ф"(£) + Ф'(Л[й— (\ — аФ(£) = 0, а = п + 2, 6 = 5/3.

Это есть уравнение Куммера, которое принадлежит к классу вырожденных гипергеометрических уравнений (см., например, [7]). Общее решение уравнения Куммера можно записать в следующей форме:

Ф (() = СгР(а; Ь; Ь) + С2 Р-*Г(1 + а — Ь; 2 — Ь; *), (13)

где F{a■Ь■t)=\ + -^-t+ + *1а + 1Н£±1' +.. =у Ук * _

ь ^ Ь(Ь+ 1)2! ^Ь(Ь+ 1) (6 + 2) 3! ^

функция Похгаммера (см. [7]). Функция Похгаммера обладает следующими свойствами:

^(а; Ь\ V ~а>* г* + о (;-т)

г(«) 1^-0 *1

при і оо\

И (а; Ь; ^) -+■ 1 + — * + О (*2) при і -* О, ь

(14)

где Г (а) — гамма-функция.

Используя фундаментальное решение уравнения Куммера, общее решение неоднородного уравнения (12) можно записать

е"{с-р{п+21 т; ')+

4 1

+ Са<-*/з/7(л + ^-; (15)

Асимптотические соотношения из (14) позволяют определить величины постоянных Сх и С2, при которых выполнены краевые условия для функции /(?)):

4 \2/3. С!=-С2 г (1/3) г (Л+ 2)

(л+1) V 9 / Г (л + 4/3) Г (5/3)

С помощью полученного решения находим напряжение трения на поверхности пластины внутри зоны подвода энергии:

. О А1 т п /^п+-т , г»/ О2

Так как постоянная С1 меньше нуля, а остальные множители в добавке напряжения трения положительны, добавочное напряжение трения отрицательно и растет по модулю как Xп+~и3. Полученное решение обнаруживает тенденцию пограничного слоя к отрыву.

Построим решение задачи (11) для главного члена возмущения энтальпии (х, ЧГ) внутри подслоя вязкого течения возле пластичны. Соотношение (9) показывает, что наиболее интересным является случай теплоизолированной пластины (С = 0), для которого функция кх (х, ЧГ) дает главный вклад в приращение энтальпии {температуры) на пластине. В то же время, этот случай оказывается более простым в математическом плане, так как для теплоизолированной пластины задача (11) является автономной. С помощью преобразования подобия ее можно привести к универсальному виду:

Л, —Вх Н; ¥^В27,; Х = х;

В, =• (Г (2 р„ и')'/®; В, = В2 а/(цда 2 р. и'Л

2/3

Уг — = Хп + —; Я (О, Z) = 0;

дХ дг* 2 д2 ’ '

дН г, -7 СЛ и ХП+1 у.

У Z------>- 0 при Z 0; Н -* -------------з при Z -» оо.

(п+1)У"г

Переходя к автомодельным переменным, получим И= Хп+2:3 <р(тп); т] = Z/Ar2/3;

1+1 ^ -(« + {) Уч ? (ч) = - 1;

■У'Ч'Р'СЧ) —0 при Т) 0; ?(У|) / при -ц -> оо.

(и + 1) Уц

(16)

Однородное уравнение из (16) с помощью подстановки <р(т|)‘ ------ 4

— у 1\е~*Ф((), —7)3/2 можно привести к уравнению Куммера:

0.

Частное решение неоднородного уравнения (16) при произвольном показателе степени „як в законе тепловыделения имеет довольно громоздкое представление. В случае равномерного теплоподвода (п = 0) частным решением неоднородного уравнения (16) является <р(тг])=— 2 т}. Общее решение задачи с учетом краевых условий для этого случая можно записать в относительно компактном виде:

СР(Т0=—2 т| + Ут) е~1 С3 £-1/3 Р (4/3; 2/3; (),

Сз__2[9^3 Г(4/3) ^ (17)

4 } Г (2/3)

Согласно полученному решению, энтальпия (температура) на поверхности пластины внутри зоны теплоподвода

О в п

4 .

На фиг. 2 решения (15) и (17) для случая равномерного теплоподвода (п — 0) изображены графически. Следует отметить, что большие градиенты для полученного решения наблюдаются при

Н{х, 0) = Ли, + -^51С8(4-)' (ХУ* +

малых ас ростом автомодельной переменной -ц решение

довольно быстро (при ^>5) выходит на асимптотический предел

? = 1/УЧ /=— 1/УЧ

Относительно течения за зоной теплоподвода (при л:>1) можно сказать следующее. В основной части пограничного слоя справедливо решение (5), в котором необходимо принять х=\. Построение решения в вязком подслое, по-видимому, возможно только с помощью численных методов.

Фиг. 2

Следует отметить, что при построении трехслойной схемы течения в рассматриваемой задаче принципиальное значение имеет использование переменных Мизеса. При использовании декартовых: независимых переменных в главных членах возмущения параметров газового потока вблизи стенки появляются логарифмы от поперечной координаты. Это обстоятельство затрудняет определение поперечного масштаба вязкого подслоя и построение трехслойной схемы течения.

Автор благодарит В. В. Михайлова за оказанную помощь при. обсуждении схемы течения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Лойцянский Л. Г. Ламинарный пограничный слой. М., Физматгиз, 1962.

2. Кучеров А. Н. Одномерное стационарное течение газа при подводе энергии в конечной области. „Ученые записки ЦАГИ“, т. 8,

№ 1, 1977.

3. Н е й л а н д В. Я., Сычев В. В. Асимптотические решения уравнений Навье — Стокса в областях с большими локальными возмущениями. „Изв. АН СССР, МЖГ“, 1966, № 4.

4. Н е й л а н д В. Я. К теории отрыва ламинарного пограничного слоя в сверхзвуковом потоке. „Изв. АН СССР, МЖГ“, 1969, № 4.

5. Stewartson К., Williams P. G. Self-induced separation.

„Ргос. Roy. Soc. Lond.“, sec. A., vol. 312, N 1509, 1969.

6. В а н-Д а й к М. Методы возмущений в механике жидкости.

М., „Мир", 1967.

7. С л е й т е р Л. Д. Вырожденные гипергеометрические функции. М., ВЦ АН СССР, 1966.

Рукопись поступила 11 jV 1977 г.