CC BY
19
УДК 66.048.37
С. В. Анаников
ТЕПЛООТДАЧА ОТ ЖИДКОСТИ, ДВИЖУЩЕЙСЯ В КАНАЛЕ ТРЕУГОЛЬНОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ
Ключевые слова: теплоотдача, удельный тепловой поток, треугольный канал, собственные значения, собственные функции.
Решается смешанная граничная задача для стационарного потока нагретой жидкости, движущейся в полубесконечном канале, с сечением в форме равнобедренного прямоугольного треугольника. В результате, получены соотношения для расчета температурного поля и локального теплового потока на наклонную стенку канала.
Keywords: heatloss, specific stream of heat, triangular canal, characteristic numbers, characteristic function.
Mixed boundary task is solved for stationary of hot liquid stream moving in canal which take shape of isosceles rectangular triangle. In result was obtained correlations for calculation of temperature field and local heat stream on slanting wall of canal.
Методы расчета теплоотдачи в каналах сложной формы, за исключением каналов простейшего поперечного сечения (круг, прямоугольник и т.д.), носят эмпирический усредненный характер и не имеют достаточного теоретического обоснования. Это не дает возможности оптимизировать процесс теплообмена и уменьшить тепловые потери. Поэтому теоретические решения, позволяющие вычислить тепловые потоки, являются предпочтительнее интегральных методов. Эти решения дают возможность, при необходимости, регулировать подвод тепла и, тем самым, реализовать энергоресурсосберегающие технологии.
В настоящей работе решается задача о теплоотдаче движущейся жидкости в призматическом канале, имеющем форму равнобедренного прямоугольного треугольника при смешанных граничных условиях.
Эта работа является продолжением серии задач рассмотренных в [1,2], где приведены решения для эллиптического и треугольного каналов, а также даются области применения получаемых решений. Причем, для треугольного канала, имеющего такую же форму, что и в рассматриваемой статье, решалась задача Дирихле. Расчетная схема задачи представлена фронтальной проекцией треугольного канала (рис.1). Ось г направлена перпендикулярно к плоскости хоу (на рисунке не показана). Грани треугольного канала изображены катетами и гипотенузой (след соответствующих граней на плоскости чертежа).
Математическая постановка задачи
Дан полый призматический канал полуог-раниченной длины. В начальное сечение канала, в форме равнобедренного прямоугольного треугольника, втекает жидкость с постоянной температурой Тг и средней скоростью и.
Температура наклонной стенки (гипотенуза треугольника), равна Тст причем, Тст < Тр. Вертикальная и горизонтальная стенки теплоизолированы. Длина катета катета треугольника равна Ь.
Жидкость (теплоноситель) перемещается в направлении оси г. Компоненты скорости жидкости вдоль осей х, у равны нолю.
Требуется найти температурное поле в жидкости, Т(х, у, г), и локальный д|у_х, удельный тепловой поток на наклонную стенку канала.
b aT(b,y,z)
/С& ax u
aT(x,0,z)
0у
=0
Рис. 1 - Расчетная схема. Граничные условия и направление теплового потока
Уравнение теплообмена [3,4 ]и граничные
условия
' я2Т(_\ я2Т
и----V ■■■ ■ , _ а
dT(x,y,z) _ a | d2T(x,y,z) | d2T(x,y,z) +
dz
dx
.2
dy
2
| д2t(x,y,z) д z2 ’
0 < x < b, 0 < y < b, z > 0
T(x,y,0) _ Tp, 0 < x < b,0 < y < b dT (x, y, да)
д z
dT (b, y, z) д x dT (x,0, z) дк
_ 0,0 < x < b, 0 < y < b, _ 0, 0 < y < b, z > 0,
_ 0,0 < x < b, z > 0,
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Т(х, х, г) _ Тст, 0 < х < Ь, г > 0. Вводится безразмерная температура
в(х, У, г) _
Т (х, у, г) - Та ТГ - Тст
(7)
Тогда
дв и— _ а дг
( ^2
д в(х, у, г) д в(х, у, г)
д в(х, у, г)
ду2
дг
2
0 < х < Ь,0 < у < Ь, г > 0,
в(х,у,0) _ 1,0 < х < Ь, 0 < у < Ь дв( х, у, да)
дг
дв(Ь, у, г)
дх
дв( х,0, г) дх
_ 0,0 < х < Ь, 0 < у < Ь, _ 0, 0 < у < Ь, г > 0,
_ 0, 0 < х < Ь, г > 0,
в(х, х, г) _ 0,0 < х < Ь, г > 0. Преобразование
-£ г
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
в( х, у, г) _вх( х, у) е приводит к однородному уравнению Гельмгольца с однородными граничными условиями [5,6]
д2в,(х,у) + д2в1(х^у) +^в1(х, у) _ 0,
дх
.2
2
ду'
0 < х < Ь, 0 < у < Ь дв(Ь, у)
_ 0,0 < у < Ь, _ 0,0 < х < Ь,
дх
дв( х,0)
су
в(х, х) _ 0, 0 < х < Ь,
(15)
(16)
(17)
(18)
где х _ (а £ + £ и) / а.
Решение (15) - (18) производится тем же способом, что и в задаче [2]. То есть все собственные значения и полнота собственных функций задачи находятся путем построения картины узловых линий известных под названием хладниевых фигур.
Собственными значениями задачи (15) -(18) будут
Хк,у _^(к2 + у2)(к _ 0,1,2,...; Ь 2
у _ к +1,к + 2,...),
собственными функциями
(19)
в(х, у)к,у _ Ск,у
к ж х ужу
сов------008--------
у ж у кж у - сов----------сов-
Ь
Ь
С учетом (14) данное выражение перейдет в следующее
в(х,у, г)к У _ Ск,
у ж х к ж у
- сов----------сов-
кж х у ж у
сов-------сов----------
Ь
Ь
-£г
(20)
Или учет бесконечного числа собственных значений приводит к выражению
да да г-
кжх ужу
в(х, у, г)к,у _ Ск.
к _0 у _к+1
сов-
Ь
■ сов-
Ь
у ж х кж у
- сов---------сов-
Ь
Ь
-£г
(21)
Очевидно, что решение (21) удовлетворяет условиям (10) - (13), а, следовательно, и условиям
(3) - (6).
Удовлетворение условию (9) или то же самое, что и условию (2) дает
1 _
11 Ск,
к=0 у =к+1
к ж х ужу сов-----сов-----
у ж х к ж у
- сов---------сов-
(22)
Ь Ь
Вычисление коэффициентов Фурье при разложении единицы в треугольнике по функциям системы (22) дает [5]
Ь х
„ 4 Г Г I кжх ужу
Ск,у _ — ^ 11 сов—— сов-
0 0
Ь
Ь
у ж х к ж у
- сов---------сов-
йхйу.
(23)
Ь Ь
Интегрирование (23) приводит к соотноше-
нию
Ск, у _
2
ж
у - к
ук (у + к )
сов ж
0 + к )-
у + к
■сов ж
0- к)
(24)
ук 0 - к)
Из (21) с учетом (7) и соотношения для £ получается
Т (х ^ г )- Тст _
ТГ - Тст
да да
11 с -
к_0 у_к+1
к ж х ужу сов----сов-——
у ж х к ж у - сов---------------сов-—
ехр
д/Ь2и2 + 4а 2ж2 (к 2 + у 2 )- Ьи
2аЬ
(25)
Ь
Ь
е
Ь
Ь
х
В выражении для экспоненты в (25) вместо буквы £ подставлено ее значение, полученное на основе соотношений для Xk j в (19) и Хв (15).
Записанное в развернутом виде (25) дает
да да
Т(x,y,z)_ Tcm +(TP -Tcm)x ^ ^ \Ck,j x
k _0 j _k+1
knx jny j nx kny
cos------cos--------cos--------cos-----
x exp
■\jb2u2 + 4a2n2 (k2 + j2)- bu 2ab
(26)
Локальный удельный тепловой поток на наклонную стенку канала вычисляется с использованием производной по направлению.
Математическое выражение производной по направлению п , нормальному к прямой у _ х, в декартовой системе координат для рассматриваемого случая, приведено в нашей работе [2]
qix y, z I y _ x _-4
dT (x, y, z)
_ —
dn
дT(x, y, z) .
— --------sin
д x
y_x
дT{x, y, z) .
+--------------- sin a x
д y x
(27)
n
где ax _ —, Или
q(x, y, z }y _ x
Лж V2"
y_ x
S 2 .
дT {x, y, z) дx
дT {x, y, z )
dy
(28)
y _ x
Использование выражения (28) совместно с (26) позволяет получить
/ \i n у 2
qlx, y, z ) _-----ж-----x
JV /|y _ x u
j nx knx
X I j sin---- cos-------
' b
jnx
, . k nx
— k sin---------cos
b
exp
-\jb2u2 + 4a 2n2 |k 2 + j 2) — bu 2ab
(29)
Следует напомнить, что коэффициенты Ск у, в вышеприведенных формулах, определяются при помощи (24).
Обозначения
х, у, г - декартовы координаты, м;
Т (х, у, г) -текущая температура жидкости, К;
Тг , Тст - температура греющей жидкости на входе в канал и температура наклонной стенки, соответственно, К; и - средняя постоянная скорость жидкости в канале, м/с;
Ь - длина катета треугольного сечения канала, м;
а - коэффициент температуропроводности жидкости,
м2/с;
д(х, х, г) - удельный тепловой поток на наклонную стенку канала Вм/ м2 ;
в(х, у, г) - текущая температура жидкости, безразмерная;
ах - угол наклона прямой у _ х к оси х , рад;
Xж - теплопроводность жидкости, Вт/(м • К); ж - число пи.
Литература
1. С.В. Анаников, Вест-к Казанского технолог. ун-та, 15, 6, 42-46 (2012);
2. С.В. Анаников, Вест-к Казанского технолог. ун-та, 15, 6, 147-150 (2012);
3. А.В. Лыков, Тепломассообмен: справочник. Энергия, Москва, 1978. 480 с.
4. В.М. Кейс, Конвективный тепло- и массообмен: пер. с англ. Энергия, Москва, 1972. 447 с.
5. В.И. Левин Дифференциальные уравнения. ГИФМЛ, Москва-Ленинград, 1951. 576 с.
6. Г. Корн, Т. Корн, Справочник по математике для научных работников и инженеров. Наука, Москва, 1973. 832 с.
:(Tr - Tcm ^ Ck, j
k=0 j=k +1
© С. В. Анаников - д-р техн. наук, проф. каф. химической кибернетики КНИТУ; [email protected].
х
sinax _
2
x
