Температурное поле при течении жидкости в полубесконечном призматическом канале треугольного поперечного сечения (граничные условия первого рода) Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПРОЦЕССЫ И АППАРАТЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ

УДК 66.048.37 С. В. Анаников

ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ ПРИ ТЕЧЕНИИ ЖИДКОСТИ В ПОЛУБЕСКОНЕЧНОМ ПРИЗМАТИЧЕСКОМ КАНАЛЕ ТРЕУГОЛЬНОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ (ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ПЕРВОГО РОДА)

Ключевые слова: температурное поле, удельный тепловой поток, треугольный канал, собственные значения, собственные

функции.

Решается задача Дирихле для стационарного ламинарного потока нагретой жидкости, движущейся в полубесконечном канале, поперечное сечение которого имеет форму равнобедренного прямоугольного треугольника. В результате, получены соотношения для расчета температурного поля и локальных тепловых потоков на стенки канала.

Keywords: temperature field, specific stream of heat, triangular canal, characteristic numbers, characteristic function.

Dirichlet's task is solved for stationary of hot liquid stream moving in canal which take shape of isoslets rectangular triangle. In result was obtained correlation for calculation of temperature field and local heat streams on the walls of canal.

Известно, что аппараты с подводом тепла через стенку различной формы широко используются в промышленности и в ряде других отраслей народного хозяйства [1-7]. На практике, обычно, подвод тепла в таких аппаратах осуществляется с помощью «рубашки» или каналов различного конструктивного исполнения и формы.

Методы расчета теплоотдачи при течении различных энергоносителей в таких каналах носят приближенный (усредненный) характер. Это не дает возможности оптимизировать процесс теплообмена и уменьшить теплопотери. Поэтому теоретические решения, позволяющие вычислить локальные тепловые потоки, являются предпочтительнее интегральных методов расчета. Важно, что эти решения дают возможность, при необходимости, регулировать подвод тепла, и тем самым, реализовать энергосберегающие технологии.

В работе принято, что температура стенки аппарата омываемой движущейся жидкостью, принимается постоянной, то есть решается задача Дирихле (граничное условие 1-го рода). Такое условие на практике, с достаточным приближением реализуется в теплообменных устройствах, в которых технологические процессы протекают при постоянной, заранее известной температуре рабочей среды (рис. 1).

Запишем уравнения теплообмена и граничные условия.

Математическая постановка задачи

Дана призма полуограниченной длины. В начальное сечение в форме равнобедренного прямоугольного треугольника втекает идеальная жидкость с температурой ТГ со скоростью и. Температура стенок канала равна Тст, причем Тст << ТГ.

Длина катета треугольника равна Ь . Жидкость перемещается в направлении оси ъ . Компоненты скорости вдоль осей х, у равны нулю.

Требуется найти температурное поле в жидкости Т(х, у, ъ) и локальный удельный тепловой поток на стенки канала.

Уравнение теплообмена и граничные условия

дТ (д 2Т д 2Т д 2Т ^

и— — а\ —-—\------- —\---— I,

дъ ^дх2 ду2 дъ2) (1)

0 < х < Ь, 0 < у < Ь,ъ > 0,

Т(х,у,0) — ТГ,0 < х < Ь,0 < у < Ь,

дТ (х, у, да)

az

= 0,0 < x < b,0 < y < b,

T(b,y,z) = Тст ,0 < y < b,z > 0, T(x,0,z) = Тст,0 < x < b,z > 0,

T(x,y = x, z) = Тст ,0 < x < b, z > 0. Перейдем к безразмерной форме T(x,y,z) - Тст

0(x,y,z) = Тогда получим

Тг - Тст

Рис. 1 - Схема тепловых потоков. 1 - вход горячей жидкости, 2 - выход охлажденной жидкости

a0 (a2 0 a2 0 a2 0

и— = a\ —- + —- + —-az ^ax2 ay2 az2

0 < x < b,0 < y < b,z > 0,

0(x, y,0) = 1,0 < x < b,0 < y < b,

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

З9(х, у, да) Зг

= 0,0 < х < Ь, 0 < у < Ь, (10)

0(Ь,у,ъ) — 0,0 < у < Ь,ъ > 0, (11)

0(х,0, ъ) — 0,0 < х < Ь,ъ > 0, (12)

0(х,у — х,ъ) — 0,0 < х < Ь,ъ > 0. (13)

Введем преобразование

0(х, у, ъ) — 0, (х, у) е-г2, (14)

которое приводим к однородному уравнению Гельмгольца с однородными граничными условиями для плоского случая

♦*е.<*у> — 0, (15)

дх2 ду2

0 < х < Ь, 0 < у < Ь,

0(Ь,у) — 0,0 < у < Ь, (16)

01(х,0) — 0,0 < х < Ь, (17)

0(х,у — х) — 0,0 < х < Ь, (18)

где х — (а (■2 + ^ и) / а.

Для решения задачи (15) - (18) применим следующий прием. Сначала рассмотрим задачу д2 0,(х, у) + д2 0,(х,у)

Зх2 Зу2

0 < х < Ь,0 < у < Ь, 9,(0, у) = 0,0 < у < Ь, 91 (Ь, у) = 0,0 < у < Ь, 9,(х,0) = 0,0 < х < Ь, 9,(х, Ь) = 0,0 < х < Ь,

+ %9Дх, у) = 0,

(19)

(20) (21) (22) (23)

Она получается на основании вышеприведенных преобразований, если в исходной постановке (1) - (6) использовать только условия (2) - (5) добавив дополнительные краевые условия: Т(0,у,ъ) — Тст,

Т(х, Ь, ъ) — Тст, то есть рассмотреть квадратное сечение канала при однородных граничных условиях первого рода вместо треугольного сечения канала. Решим задачу (19) - (23) методом разделения переменных. Положим

0,(х,у) — Х(х) У(у)

Тогда будем иметь

Х"(х) У "(у) Х"(х)

- + ^^ —х, —-^,

Х(х) У(у)

Х(х)

У Чу) У(у)

= -у, X = Ц + V.

Далее

Х"(х) + цХ(х) = 0, Х(0) = 0, Х(Ь) = 0. У "(у) + V У(у) = 0, У(0) = 0, У(Ь) = 0.

В итоге будем иметь

Х(х) = Ск біп—^(к = 1,2,3,...)

к2 п2

Ц к = -^(к = 1,2,3,...)

Аналогично

У(у) = Сі5Іпі^ЬУ(] = 1,2,3...)

:2 2

V)— ^Ь^(^ — 1^...)

п2

х к,)— ^(к2 + тк —1,2,3,...)

Таким образом, решение задачи (19) - (23) позволит получить следующие собственные функции и собственные значения

0.(х,у) — Ск,)з1пкп-х эт, (24)

Ь

Ь

где к = 1,2,3...

X-,, = ^(к2 + і 2)(к,і = 1,2,3,...).

(25)

Теперь приступим к решению (15) - (18), а значит и исходной задачи (1) - (6). В данном случае все собственные значения и полнота собственных функций задачи находятся путем построения картины узловых линий известных под названием хладниевых фигур [8]. Кстати, в курсах физики рассматривается экспериментальный способ получения хладниевых фигур.

В [8] область в форме равнобедренного прямоугольного треугольника с катетом Ь дополняется до квадрата и для этой области решается уравнение Гельмгольца с однородными краевыми условиями. Это, как раз, и есть задача (19) - (23).

Её собственные функции и собственные значения в наших обозначениях имеют вид (24), (25).

Далее было показано, что функции

91 = 91-,і - 91 ,- =

. кпх . ілу . ілх . кпу = БІП--------БІП-—- - БІП------------------БІП--

Ь Ь Ь Ь

(26)

при любых не равных между собой] и к (к — 1,2,...; ) — к + 1,к + 2,....)

являются собственными функциями задачи (15) - (18) и равны нолю на границах данного равнобедренного прямоугольного треугольника при тех же собственных значениях

2

X

(к 2 + І2 ),

к,і Ь 2 где (к = 1,2,3,...; і = к + 1,к + 2,...).

Таким образом можно записать на основе 91(х,у) = с-,і х

кп х пу п х кп у

БІП-----------БІП-—— - БІП------БІП---

Ь Ь Ь Ь

с учетом (14) и (27) будем иметь

(27)

9(х,у,г) = С-,і х

к пх п у п х к пу БІП--------БІП-—- - БІП-----БІП

Є-і г. (28)

Ь Ь Ь Ь

Или, принимая во внимание бесконечное число собственных значений, приходим к выражению

9(х,у,г) = 2 2 Ск

кпх пу БІП--------БІП-

Ь

Ь

. іпх . кпу - БІП-------БІП

Ь

Ь

(29)

Применяя условие (9), получим

X

і г

Є

1 = Z Z Ckj

k=1 j=k+1

. k л x . j л y sin-----sin^-^-

. j л x . k л y - sin-—sin

(З0)

Ь Ь

Найдем коэффициенты Фурье при разложении единицы в треугольнике по функциям системы

(30) [8,9]

4 bx

Ck,i= br^x

b 0 0

. k Л x . j Л y

sin----------sin-

b

. j л x . k л y - sin-—sin

b

dxdy.

bb

Интегрирование (31) дает

Ck,j = ~2T[2(j2 + k2) - (j - k)2 cos л(і + k) -

(31)

- (j + k)2 cos л(і - k)]x 1

jk(j2 - k2)

(З2)

Из (29) с учетом (7) и соотношения для l приходим к выражению

T(x,y, z) - TCT

Tr - Tст

= Z Z Ck,i x

k=1j=k+1

. k Л x . j Л y . j Л x . k Л y

sin------sin-—- - sin-—sin

x exp

b b b b

•y/b2и2 + 4a2л2(k2 + j2) - bu 2ab

. (33)

Здесь соотношение для I выведено на основе значений для х к] и выражения для х в (18).

Или

Т(х,у,ъ) — Тст + (Тг - Тст) х £ £ Ск,)Х

к=1]=к+1

. к п х . ) п у . ) п х . к п у Б1П--Э1П-—- - Э1П------------Б1П

x exp

b b b b

д/b2и2 + 4a2л2(k2 + j2) -bu 2ab

(34)

Найдем локальный удельный тепловой поток на наклонную стенку канала (нормальный к гипотенузе треугольного сечения) и на его другие стенки, параллельные осям координат x, y.

Рассмотрим локальный тепловой поток на наклонную стенку

Математическое выражение производной по направлению n [10], нормальному к прямой y = x, в

декартовой системе координат, записывается следующим образом (рис. 2).

dT аT , сТ ,

---= — cos а/ + — cos а' . (35)

dn ax x ay y

Здесь а^,a'y - углы наклона нормали n соответственно к осям 0Х и 0Y .

Из геометрических построений (рис. 2) следует, что

ЛЛ

ay =a y = 2-a ^ ax =a x + 2 ,

где a;c - угол наклона прямой y = х к оси Ох.

(Зб)

Рис. 2 - К расчету производной по направлению п и геометрических параметров поперечного сечения канала

Тогда

cos a'x = cosj ax + 2 | = - sin ax, (37)

cos a'y = cosj 2 - ax | = sin ax. (3S)

На основании (ЗЗ), (37), (3S) получим

dT ST . ST .

-----=----------sin a +— sin a . (39)

dn дx x дy x

Удельный тепловой поток имеет следующее математическое выражение [9]

I x dT

=x = -X ж

= -X ж

dn

д^ . д! .

--------sin ax + — sin ax

дx дy

„ її С учетом того, что a x =— ,sin a x

4

будем иметь

2

ЭТ -5T дx дy

л/2 2 ,

(40)

Использование выражения (40) совместно с (34) позволяет получить

і л>/2 x ж (Tr - Tст) » »

, . j л x k л x . . k л x j л x ksin-—cos-----j sin-----cos-—

x exp

і

b2и2 + 4a2n2(k2 + j2) -bu

2ab

. (41)

x

x

z

z

y=x

y=x

x

x

Теперь определим тепловые потоки, направленные вдоль осей 0х и 0у, (перпендикулярные катетам сечения вдоль осей 0у и 0х соответственно, рис. 2).

Используя известное выражение совместно с (34), получим

I л ЗТ

ч|“ ■ аТ... =

л. ■ (Т - Т„)

і СОБІ л • БІП

Ь

. к л у

ст' х 2 2 Ск,і х к=1 і=к+1

- кСОБк л • БІП

іпу

х ехр

Ь Ь

д/Ь2и2 + 4а2л2(к2 + і2) -Ьи 2аЬ

I ЗТ

Ч|у=0 = ■ Зу

у=Ь

л-■ (Тг - Тст)

Ь

. . к л х і БІП-

х 2 2 Ск,і х

к=1 і=к+1

, ■ і л х

- к БІП

х ехр

ЬЬ

д/Ь2и2 + 4а2л2(к2 + і2) - Ьи 2аЬ

Следует напомнить, что коэффициенты в

вышеприведенных формулах определяются при помощи выражения (32).

Обозначения

х, у, ъ - декартовы координаты, м;

Т(х, у, ъ) -текущая средняя температура жидкости, К ; ТГ ,Тст - температура греющей жидкости на входе в канал и температура стенок, соответственно, К ; и - средняя постоянная скорость жидкости в канале, м/с;

Ь - длина катета треугольника в сечении канала, м; йэкв - эквивалентный диаметр канала, м;

а - коэффициент температуропроводности жидкости,

м2/с;

0(х, у, ъ) - текущая температура жидкости, безразмерная;

О - объемный расход жидкости, м3/с; м3/ч;

Ч - удельный тепловой поток на стенки, Вт/м2 ;

Ре- критерий Рейнольдса, безразмерный;

а'х,а", - углы наклона нормали п к осям 0х и 0у ,

соответственно, рад;

а х - угол наклона прямой у — х к оси 0 х, рад;

X ж - теплопроводность жидкости, Вт/(м • К); ц ж - динамическая вязкость жидкости, Па • с;

V ж - кинематическая вязкость жидкости, м2/с;

. (42)

рж - плотность жидкости, кг/м3.

Литература

1. Промышленная теплоэнергетика и теплотехника: справочник / А.М. Бакластов, В.М. Бродянский, Б.П. Голубев; общ. ред. В.А. Григорьева, В.Н. Зорина.- М.: Энергоатом-издат, 1983.- 552 с.

Лыков А.В. Тепломассообмен: справочник / А.В. Лыков.- 3е изд., перераб. и доп.- М.: Энергия, 1978.- 480 с.

2. Теплотехническое оборудование и теплоснабжение промышленных предприятий / общ. ред. Б.Н. Голубева.- М.: Энергия, 1972.- 424 с.

Манусов Б.Б. Расчет реакторов объемного типа / Е.Б. Ману. (43) сов, Е.А. Буянов.- М.: Машиностроение, 1978.- 111 с.

3. Кейс В.М. Конвективный тепло- и массообмен: пер. с англ./ В.М. Кейс.- М.: Энергия, 1972.- 447 с.

Вольфсон С.А. Основы создания технологического процесса получения полимеров / С.А. Вольфсон.- М.: Химия, 1987.- 244 с.

4. Конструирование и расчет машин химических производств / Ю.И. Гусев [и др.].- М.: Машиностроение, 1985.408 с.

5. Левин В.И. Дифференциальные уравнения / В.И. Левин, Ю.И. Гросберг.- М.- Л.: ГИФМЛ, 1951.- 576 с.

6. Лыков А.В. Теория теплопроводности / А.В. Лыков.- М.: Высшая школа, 1967.- 599 с.

7. Корн Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. Корн, Т. Корн.- М.: Наука, 1973.832 с.

х

г

X

© С. В. Анаников - д-р техн. наук, проф. каф. химической кибернетики КНИТУ; [email protected].