CC BY
9
ИЗВЕСТИЯ
ТОМСКОГО ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА
Том 205 1972
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ДВИЖУЩЕЙСЯ ПЛАСТИНКИ
Т. А. ЛУКОВСКАЯ
(Представлена кафедрой высшей математики Томского политехнического института)
Решение симметричной задачи для бесконечно тонкой немагнитной пластинки было получено Ю. К. Федосенко [1] в 1965 г. Впервые задача была поставлена Штейдингером [2], затем рассматривалась А. Б. Сапожниковым [3], но решений, пригодных для вычислений, не было получено.
Мы будем рассматривать ферромагнитную пластинку, поперечное сечение которой образует область с магнитн°й
проницаемостью ¡л, проводимостью о, движующуюся с постоянной скоростью v в положительном направлении оси ОХ. Рассмотрим следующие три случая.
§ 1. Металлическая пластинка движется в постоянном поле двух одноименных полюсов, расположенных на расстоянии h по обе стороны от поверхности пластинки, рис. 1. Обозначим через и=А составляю-
о о
щую вектор потенциала А по оси OY в области — — < г < —, —
2 2
составляющую первичного поля в области z>—. и~ — составляющую
2
первичного поля в области — -^-.Составляющую вторичного поля обозначим:
О
и г — в области z > — ,
2
8
— в ооласти z <--.
2
В случае линейного магнита:
+ ? — I л+ -т z I а sin ах , щ = т \ е 1 2 i -da;
j ОС
о u
оо 1.5 I
— С - \h+ "V +2 a Sin сих , «о = тп \ е 1 2 1 -т.
J CL
и a
I2Í
Б главе 22 [3] показано, что задача сводится к решению уравнений:
д-и~ д'Нг
дх'2 о2 а
= О
дг-
да , д'2и
дх- дх дх1 д2и- , д2и-
2>
О о
О
О
(1) (2) (3)
дх- дг2
где ш =
Допустим, что внешняя среда по отношению к пластинке — воздух (Мо== 1).
42
+
+
-т
о
—х
~т
Рис. 1
На границах смежных сред имеют место условия:
— ) = и+ I х, -
2 1 \ 2
и \ X, — \ — и + I — I + ЙО
К);
, ди I х, -- ) да ( л", — ] дао ( х,
- \ 2 / _ ' 2) _ у 2 I
¡л дг дг ' дг
и [л\ - ^ | = и~ - (л"' - ^ I '
1 да | х, | да- — ^ | ди0 ( х, — ~ »д. дг дг 1 дг
(4)
Решение поставленной задачи будем искать в виде интегралов Фурье;
оо §
(х, г) = Г [Л + (а, г) cos ах + В+ (а, 2) sin ах] da, z > — (6) о 2
So
и (л:, с) = | [ А (а, г) COS ах + В (а, г) sin ах] ¿¿а,--< г < — (7)
6 2 2
со £
и~ (Л. г) = Г [А- (а, г) cos ах + В" (а, г) sin ах] da. z < — . (8)
о 2
Подставляя интегралы в уравнения (1) — (3) -и используя единственность представления интегралом Фурье (см. [4]) получаем уравнения:
—--а2А+ — 0, *Ё1-а>В+=0, (9)
dz1 dz-
(Ю)
dz- dz-
— - а2 Л — а о) В - 0, — — а2В + ашА - 0. (11)
dz- dz¿
Частными решениями уравнений (9) и (10) являются выражения
Л
exp(+az) и ехр(—az), но для верхней среды г>— только второе
2
о
о
дает ограниченное решение, а для нижнем z<--— только первое,
2
так что будем иметь:
Л+ (a, z) = ct (а) В + (а, г) = с} (а) <Га2, (12)
Л" (a, z) =¿T(a)é?az, В" (a, z)^cj(a)ez. (13)
Система (11) приводится к уравнению четвертого порядка d* А //2 А
ÜJL _ 2а2 — + а2 («2 + а2) Л = 0. (14)
dz4 ¿fe2 v '
Общее решение этого уравнения можно записать в виде
A (a, г) = схек* + с2е«*г + сге~к>г + cAe~K*z, (15)
где
Я-,, = а ± bi, а = + + |/ 1 + £ . *= ^
(16)
или
Л (z, z) = e*z (Сt cos bz + C2 sin bz) + e~az (C3 cos bz + C4 sin bz), (17)
если положим cx -{- c2 = Cu ¿з + c4 — C3, i{cl — c2) = C2, i (c4 — c3) = C4 Из системы (11) имеем:
acó )
И, подставляя значение Л (a, г), получим:
В (а, г) = i (с{ек^г — + сгетк*г — с4ет-*»г)
или
В (а, г) = еаг (С2 cos bz — Ct sin bz) -f e~az (C3 sin — C4 eos bz). (18)
Подчиняя решения (6) — (8) краевым условиям (4) — (5), получим систему восьми уравнений для неизвестных d, ct, с[Ъ си с7, Сг
к,8 /с, о /Со^ а5
схе2 +c2e¿ + c.¿e 2 + ске 1 =с\е 2,
KjO к</> /с j о к.25 ао
Л,',0 кх о А\>6 /СоО
tf 1 2 — ^ 2 ) + 2 — ^ 2 ).
к, О Л',0 К\,0 Л'оО
^(с^ 2 — 2 ) + к% (с2е 2 — с,/2)
— [xa е
- 2 = [ia^i е
/с, о к\,о a'.jO а5
/ - с2ет + съе Т - с,е т) = Т+ — е-*л9 (19)
а
/СоО А',0 Л^О ао
2 — 2 — cie1)=cje 2 -j--e~ah,
а
к о k.j 5 ао
íc^2 — с3<? 2) — гТе2 (с2б2 — сАе 2) = — ¡-tac2f e 2 4- m\íe~ahr
А'1 о /С[0 /c./j ао
/л*! (Ci<? 2 — 2) — (с2е 2 — 2 ) = {АасГ^ 2 — т\ье-лН.
Из ¿той системы следует, что с% = си сА = с2, сТ = ct, c^~ = c2h. Тогдо и С3 = Сь a Crt — — С2. И из (17) и (18) будем иметь:
А (а, г) = (Q eos fe + С, sin te) + e~az (CL cos bz — C2 sin te),
или
А (а, 2) = 2Cj eos bz ch az + 2C2 sin te sh az, В (а, г) = (С2 cos 62 — Ci sin te) + e~az (C2 eos te + C, sin te)
или
б (а, 2) = 2C2 cos bz ch az ~ 2Ci sin bz sh az.
Теперь вместо системы (19) будем иметь систему четырех уравнении с четырьмя неизвестными С\ , Си С2, с£.
1 л Л , л > аЬ
оиао , . bo ао + - ~ 2С, cos — ch--г 2С» sin — sh — = С\ е ,
2 2 2 2
2С, a cos — sh--b sin — ch —
V 2 2 2 2
, / . bo ao bo a8\ + ~T
~r 2C>> a sin — ch--b cos — sh — = -- ,
У 2 2 2 2j
Л ао
on • uao . o/^ bo . ao "2" . tTb
— 26! sin — sh--Ь 2Co cos — ch — ~ a e A— e~ah.
2 2 2 2 а
o ni -ЬЪ ао bo аЬ.
— 2С, a sin — ch--\-Ъ cos — sh — +
1 2 2 2 2 '
-r2C:
ао
í 63 , ао t_ . bo ,ao\ _u - 2~ , „;,
a cos — sh--6 sin — ch— = — а e + m\ie-al..
\ 2 2 2 2 1
Решая систему (20), получим: с, =
р2 + я~
P' + Q-
Со =
m\i
т , (asmbo + b$hab)e
•К)
p¿ + q'
P'-rq'
a sh ао — b sin ЬЬ + 2au (sin2 — sh2 — +
\ 2 2
о ЬЬ ,,ÜO
+ eos2 — ch2 — 2 2
a
где
. ¿o . aS , . 6o ao f , й . ao
n = ota sin — sh--Ь a sin — ch--\- b eos — sh —
22 22 22
tó LaS , 6S . ab , . 65 f o8
q — a\i cos — ch--p- a cos — sh--b sin — ch — .
2 2 2 2 2 2
(21)
Таким образом, при найденных значениях Си С2, ct и с* решение выразится в виде интегралов:
оо
и+ (х, z) = j [с* (a) cos ax + c<¿ (a) sin ax] e~az dx о
CO
u~ (x, z) = J [c* (a) cos ax + cf (a) sin ax] e*zda, u~ (x, ~ z) = (x, 2), о
CO
и (x, z) = 2 J [(C, (a) cos ch аг + C2 (a) sin 6г sh az) cos ax +
0
+ (C2 (a) cos bz ch az ~ Ct (a) sin bz sh az) sin ax] da. Замечаем, что поле симметрично относительно плоскости ХОУ.
§ 2. Пластинка движется в поле разноименных полюсов, расположенных, как в первом случае. Первичное поле будет иметь вид
оо 1,8 I .
л - л+ y ~z a sin ax _ n
ti¿ = m e 1 -da; u0 — — m \ e
oJ a 0J
00 — \h+Y+z\a sinax
da.
a
Задача сводится к решению уравнений (1) — (3) с краевыми условиями (4) —(5).
Как и прежде, решение задачи ищем в виде интегралов Фурье, используя единственность представления этого решения интегралом Фурье. При этом получаем
с3 = — си = — сг, сТ — — с\л С2 = — С2 и Си С4= — С2.
В этом случае решение выразится в виде интегралов:
со
г) = Г [ci1" (a) cos ax + с} (a) sin ax] e~azdoc, j
0
00
ti~ (x, г) = — J [c* (a) cos ax + ct (a) sin ax] e:az da,
D
00
и (x, z) = 2 j {[C1! (a) cos 6г sh аг + C2 (a) sinfech az] cos ax -f ó
+ [C, (a) cos sh az — Cj (a) sin bz ch az \ sin ax} rfa.
где
С, (<*) = --
mm „_1Й. r _ .«Wí
С, (а) =
сГ (а)
РI + ?í ту-
Р'\ + q\
g-M.
-(a sin 63 — & sh aí) e
— а I /z— —
; / ч Щ1
ci (a) = '
P\ +gi
4- 2au. sin¿ — ch2--Ь cos- — sh- —
V 2 2 2 2
a sh ao + b sin bb -7)
a h
ra
-ai/2- — I
, fto . ай , . bo , ao , , bo , ao /7, = au sin — ch--a sin — sh--f b eos — ch — ,
22 2 2 22
bo , ao bo . ao . . feo ao
q — aucos — sh--\- a cos— ch--b sin — sh — .
2 2 2 2 2 2
§ 3. Пластинка движется в поле четырех магнитных полюсов расположенных как показано на рис. 2.
Ш-
a/i-
ff
в
Ч
ш-
Piic. 2
Оставляя прежние обозначения, будем иметь:
00 ). О I
~ — —--2 а d*
U{j=m^e " [sin (х + d) a — sin (x — d) a] —
о a
или
со
+ о Г ~ * 2" ' л äa
Uo = 2m \e 1 cos xa sin aa — ;
о a
CO
^ «•» — \h -г — -i- 2 a dl
Uq = 2m \ e cos xa sin ad — .
и a
Как и в предыдущих случаях, задача сводится к решению уравнении (1) —(3). На границах смежных сред имеют место условия (4) — (5). Решение задачи будем искать в виде интегралов Фурье (6) — (8). Подчиняя решение (6) — (8) краевым условиям (4) — (о), получим систему восьми уравнений
/С,о К.2о л-,0 _ К.,о _
~о~ -о- . ~2~ 4- 2 2éTTl . , ,
С^ + " ==С\е -¡--Sin aíí-t'"^,
a
Кх о Kji't К/. Kt'> ас,
сге 2 + с2е 2 -rc3e2 + с4е2 = сГе 2--sinad-g-«*, (22)
a
АГ/j ку» к.,o ao
к, (ct£2 — cze 2) + к2{с2е2 — с4е 2) = — ацсГг 2 + 2т\i sin ad-e-ah.
Л'/' к., о ао
к\ (с\е 2 ) + 2 — сАе2 ) = a\icTe 2 — 2тр sinad-e~-ah.
ATjó K/i h'/i K20 0.1
• / T T, 2" — "2~
i (cxe — c2e f cze — cAe ) = C2'e
A.*,o k./j A'jí /с25 a 5
¿ — -p — ) = со e .
iíjO к2о кйо ao
2 — c3e 2) — ík2 (c2e" — cAe 2) = — аре}e 2.
KjO h'i'i кЛ к» б a5
¿a^ (¿^e 2 — c3e 2 ) — ¿k2 (c2e 2 — 2) = а^сГг 2.
Отсюда и
Сг — — — c\ •> C'¿ — C2
Сз — CM C4 — C2. И вместо системы (21) будем иметь систему четырех уравнений с неизвестными ct (a), Cj (a), C2 (a), cí (a):
cto
c\/~* bo u ao . 6o ao + - y , 2/я . - . 2C< eos — ch---2Co sin — sh — = cte -I--sin *d*e-ah<
2 2 2 2 a
o/-> í bb ao. . 6o a8\ . 0„ / . 68 L ao , , 68 t a8 2Ci a eos — sh — 6 sin — ch — + 2C2 a sin — ch--h ¿ eos — sh —
l 2 2 2 2 / V 22 22
_ ab
= — ajjtfj^ 2(23)
O^ . bo ao . 6o , ao +
— 2C! sin — sh--b 2C, eos — ch — = cí ¿ ,
2 2 2 2
— 2C, a sin — ch--b eos — sh — 1 +
\ 2 2 2 2)
, o^ / ^ ( ao , 68 a8\ + ~T
+ 2C-> a eos — sh--6 sin — ch — = — au cié .
2 2 2 2 1
Решая систему (23), получим
r , v 2/И{1 sin ad h 2m\i sin ad
Cl (^ = „2 i rp 'У6 ' °2 = 2 , 2 'Pe~ P2 + g- p2 + q2
+ , ч 2m\x sin ad
ci (a) = o ,
p- + q-
ak
o / . обо , 9ao 68 10 ao\ 2aa sin- — sh2--h eos2 — ch2 — ] 4-
2 2 2 2
a sh ao — 6 sin 6o —
Г + с
- h
e * 2
ají
j. , v 2/wiASinad. . ^ «fA j
c-> (a) = —£-(asín 6o + 6sh ao) e v ;
P- +
где q и р определяются по формулам (21). Тогда решение выразится в виде интегралов:
00
и+ (х, z) = J [с* (a) cos ах + с$ (а) sin осх] e~az da, о 00
иг (х, z) = I* fcí" (а) cos ад: -f с% (а) sin ах] £az da, о
оо
w (х, г) = 2 ( {[Сх (а) cos 6z ch az 4- C2 (a) sin bz sh az] cos ax + ó
~r [C2 (a) cos 62 ch аг — Cí (a) sin sh az] sin ax} da.
Заметим, что мы можем решить задачу, как только ]нам задано первичное поле б виде интеграла Фурье. В частности, легко получить решение для случая, когда задано первичное поле линейных токов. Для численного анализа задачи лучше всего, пользуясь зависимостью В = rotÁ, записать выражения для Нх и Hz
тт да г, да \хИх = — — , V-Пг = — дг дх
'л затем уже вычислять значения их на ЭВМ в различных точках при различных значениях параметров.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ю. К. Федосенко. «Дефектоскопия», № 4, 1965, стр. 8.
2. W. S t е i d i n g e r. Arch. für. El. XXII, 1953, 1929
3. А. Б. Сапожников. Основы электромагнитной дефектоскопии металлических тел. Диссертация, Томск. 1951. гл. 22.
4. Г. А. Б юл ер и Т А. Луков ска я. — «Физика», № 2, 1968.
