Прогрев тел конечных размеров под действием лучистого тепла (Сообщение первое) Текст научной статьи по специальности «Физика»

ИЗВЕСТИЯ

ТОМСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО Том 101 ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА 1958 г.

ПРОГРЕВ ТЕЛ КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ЛУЧИСТОГО ТЕПЛА

(сообщение первое)

Г. П. БОЙКОВ

Представлено профессором ФУКС Г. И.

Вопрос определения прогрева тел конечных размеров давно привлекал и привлекает внимание многих ученых. Последнее объясняется тем, что решение дифференциального уравнения теплопроводности вида

дх

= а---------(I)

\djfi ду2 К 7

представляет оольшои принципиальный интерес, а умение рассчитывать прогрев тел конечных размеров является непосредственным требованием практики.

В настоящее время имеется ряд методов, которые, несмотря на определенные недостатки, указывают пути решения пространственной задачи и дают возможность находить температурное поле в том или ином приближении. Одним из таких методов является метод сеток или, что то же, метод численного интегрирования дифференциального уравнения теплопроводности [1]. Применение этого метода при довольно большом объеме числовых операций позволяет получить достаточно точные результаты подсчетов [2].

Теоретический интерес представляет решение дифференциального уравнения теплопроводности для трехмерного поля, полученное Н. Ю. Тайц [3], который дал его для параллелипипеда в форме:

00 СО 00

1 VI / 21—\

X

= + 2 • 2С08 ^ X

ВБЬ

[ = 1 т = 1 п-1

>(*,у,г)-<р(0)

$

а -г/.

Хсоз^.^-сов^.«). | | |

х С08 •• С08 • • С05 ■ га) йх-йу-йгх

Хе

00 ОО СО

1\т+п 4 1

61, у. у .у- __С08^.^х

и ¿и (2/ — 1) (2т—1) [2п -1) \ 2« /

¿ = 1 т-\ 1

г/2?-1\2 , / 2/П-1 х2 / 2п~ 1 \2~?2 2т-\ \ /2я-1 \ 25 ) "Ч 2В ] 21 ) \

хто8(— .«у .С08/— .«2 .е X

X*

е

о

Здесь 25; 25; 2Ь — стороны параллелепипеда; <р (т) —закон изменения температуры на поверхности; Р (х, у, г) — начальное распределение температуры; I, т, п — характеристические числа. Приведенное решение представляет в общем виде температурное поле параллелепипеда в любой момент времени для граничных условий первого рода. Для получения значений температуры при пользовании этим соотношением необходимо знать закон 1п — ф (т) и произвести ряд интегрирований, что может быть более или менее затруднительным в зависимости от вида функции ф (т).

Следует заметить, что обоснованные решения для двух- и трехмерного нестационарного поля были предложены еще в 1919 году Вильям-соном и Адаме [4] для случая бесконечно большого коэффициента теплоотдачи. Позднее в 1932 году, для коротких цилиндров при граничных условиях третьего рода подобный вопрос был исследован Гольдштей-ном [5].

Оказывается, что короткие цилиндры, призмы прямоугольного сечения или параллелепипеды можно рассматривать, как тела, образованные взаимным пересечением перпендикулярных тел классической формы. Так, короткий цилиндр может быть образован взаимным перпендикулярным пересечением неограниченной пластины и бесконечного цилиндра. Параллелепипед — пересечением трех неограниченных пластин и т. п. Температурный критерий любой точки таких коротких тел может быть найден путем перемножения температурных критериев для соответствующих точек в телах бесконечного размера, пересечением которых образовано данное тело. Так, например, для параллелепипеда и короткого цилиндра температурный критерий может быть вычислен согласно выражений:

в/ш^.-в^.в^.е*з (2)

еЧ£М. = е,.е* (з)

где: в^/, 0^; 0#3; —известные решения в критериях для неограниченных пластин толщиною 2/?ь 2/?г; 27?3; 27?; 9Г—известное решение для бесконечного цилиндра диаметром 2г. Справедливость выражения (2) и (3) была подтверждена опытами Д. В. Будрина и Б. А. Красов-ского [6].

Если в соотношения (2) и (3) подставить вместо 0 их значения, то последние перепишутся для случая нагрева в форме:

Тс~ Т(х,ушх,х) Тс-Т(х,т) Тс-Т(у,х) Тс- Т(хшх)

№ /т! т гп гту 'Т!

1 с-1 о \1 с — 'О 1 С — * о 1 с

Тс- Т(г,г~) _ Тс — Т(г,т) _ Тс — Г(2,т)

ГР т" "т* т* Т Т

I г—" I (\ 1 г — I П I г — О

(20

(30

которая соответствует как граничным условиям первого, так и граничным условиям третьего рода [7]. Здесь Т (х, т), Т (у, х), Т (г, х), Т (г, х) — известные решения для тел классической формы [7]. Пользуясь соотношениями (2') и (3х) можно найти температурное поле в параллелепипеде и коротком цилиндре для указанных граничных условий.

Одним из интересных методов определения температурного поля^в ряде тел конечных размеров является метод А. И. Вейника [7]. А. И. Вей-ник предложил расчетные соотношения для таких тел в виде известных решений для граничных условий третьего рода, в структуру которых вводятся специальные коэффициенты, учитывающие сложность конфигурации исследуемого тела.

Для граничных условий второго рода при постоянном лучистом потоке расчетные соотношения были даны Иванцовым Г. П. [8] и Тайц Н. Ю. [9]. Способы расчета нагрева квадратного слитка были раз-работаны Семикиным [10] и Линчевским [И]. Теория решения задач двух- и трехмерного поля при граничных условиях первого рода изложена также в книге И. Снеддона [13].

II

Анализируя методы решения пространственной задачи, можно придти к следующему заключению:

1. Получить решение дифференциального уравнения теплопроводности для различных граничных условий представляет большие трудности.

2. Строгое решение задачи на основе имеющихся методов математической физики дает весьма сложный окончательный результат и требует знания ряда дополнительных факторов (например, закона изменения температуры на поверхности и т. п.).

3. Из различных условий прогрева тел при распространении тепла более, чем в одном измерении, наиболее слабо изучен вопрос, связанный с расчетом температурного поля при граничных условиях второго рода, выраженных законом Стефана-Больцмана.

Все это дает возможность высказать мнение о том, что не всегда целесообразно пытаться решать пространственную задачу чисто математически в таком виде, в каком она описывается дифференциальным уравнением (1). Правильнее в ряде случаев эту задачу решать технически, пытаясь каким-либо образом учесть влияние второго и третьего измерений. Поэтому мы решили отказаться от поисков чисто математического решения условия (1), а сочли возможным попытаться найти такое решение, которое, не отличаясь по сложности от одномерной задачи [12], могло бы дать распределение температуры в телах конечных размеров при нагреве их под действием лучистого тепла. При этом, в первую очередь, мы поставили своей целью определение лишь части температурного поля в теле, пока лишь того участка, который совпадает с линией стока тепла в теле. Под линией стока тепла в теле понимается направление от центра тела до той точки поверхности, температура которой остается наименьшей по поверхности на всем протяжении процесса нагрева.

Сущность предлагаемой методики расчета состоит в том, что составляющая расхождения градиента температуры вдоль линии стока тепла определяется как частное от деления расхождения градиента температуры на некоторый постоянный коэффициент, т. е. имеется в виду существование зависимости

д*'Г _ Щу (дга<1- Т)

дх> ~ 6 ( "

Тогда расхождение градиента температуры в формуле (1) может быть заменено по форме

(РТ сйт _

дх* п дуз йг? ~~ дх-

и исходное дифференциальное уравнение примет вид

дТ , д*Т

— ~\а--.

д- дх~

В том, что выражения (4), (5), (6) существуют, можно убедиться из рассмотрения прохода тепла через элементарный объем йУ = йх йу йг за дифференциал времени йх.

Фиг. 1.

Согласно закону Фурье, количество тепла, проходящее за время йх в направлении оси х через грань АВСй (фиг. 1), равно

= -¿у-аг-ж, (7)

* дх

а через грань ЕРОН, имеющую температуру Т -{- — • йх , за то же вре-

дх

мя равно

СЦ - л -д { Т+ — -йх\ -йу-йг-йх, (8)

дх \ дх !

Тогда изменение тепла в объеме, в связи с переносом тепла вдоль оси х, будет

(а)

аналогично

<?>• = (б) <ъ = Я'-СГ, (С)

Общее изменение количества тепла в элементе объема йх • йу • йг за период йх равно сумме выражения (а), (б), (с), а именно:

¿я = йС1х + й<эу + йяг,

или, что то же,

1 дх у Чд Ч *Ох ^

Так как перенос тепла рассматривается за дифференциал времени йх, то

Тогда

= 8 — const; ^^ = т- const. dQx r dQx

— -dx-dy-dz-di = dQx(\ +Р+т) — dt

Согласно (7) и (8):

dQx = q; - Q;

откуда

r)2 т

X--dx-dy-dz-di,

д x~

дТ

или, что то же:

= S • X

02 /*

6-а

д2 7'

т. е. получено выражение (6).

III

Решая уравнение (6) для граничных условий, выраженных законом Стефана-Больдмана, получим распределение температуры вдоль линии стока тепла х, но с учетом распространения тепла так же и по другим измерениям (методику решения см. [12]).

Последнее для случая неизменных теплофизических характеристик имеет вид:

Тт(х) „ То , gc'R 1

Ь-Т,

^ Sei

*i " *

Sem, Sc

R\ - 3x2 6«?

+

00

V / i\*+1 2 / * 2j (— l) — -cos IV

л =1

f*ii / = /»—1

2 t ^"l

•ч 2 t

Sci-Sc{i-j-1) . ^

/=1

(9)

Здесь ось х совпадает с линией стока тепла в теле и изменяется от О до /?1 [2/?1 — наименьшее измерение параллелепипеда].

Интегрируя выражение (9) от 0 до Ru получим среднее значение температуры вдоль линии стока тепла в теле

Тт __ Jo Sc'Rt

Tf

\ • Тг

у Sa ' *? £ gc'

(10)

При этом расчетный интервал времени определяется из аналитико-эм лирических соотношений

?т<

0,0 S-k-Tc-Ri gc-t-a

(6+2) • teci-g<x)

gel

5+2. £

n-1

Dl

(П)

(12)

При £=1 (11) и (12) переходят в соответствующие аналитические выражения для неограниченной пластины [12].

Выражения, аналогичные (9) (12) для случая, когда теплофизи-ческие характеристики вещества меняются в функции от температуры, могут быть представлены в виде (9') (12').

Гт(:к)

Тс

с,

00

"Г /1—1 ¿~пг— 1

I

Л"'1 2 £(-1) — -СОБ

V" Ж

£п ёс

§сш

ёс >ЧЯ

¿-та

Л 1

1-Х 1

6#

. А. —

■¿V

(¿-ы)/

л5

¿ = 1

л?

' т

— + Тс

ёс'Я 1 с «1'

ёа

0,03-АГ7>/?,

(5-1-2)

5i2.Se

л«=1

(9')

(10') (И')

(120

Таким образом, используя выражения (9)-;-(12) при известном коэффициенте % можно найти распределение температуры вдоль линии стока тепла в параллелепипеде. Приближенное значение величины | можно найти из следующих рассуждений.

В настоящее время решен вопрос о прогреве параллелепипеда при граничных условиях первого и третьего рода. Следует заметить, что решение задачи для параллелепипеда, данное в виде произведения соответствующих температурных критериев (формула (27), математически доказано [7] и подтверждено опытами [6]. Согласно формуле (2')

Цх, У, г,*)=Те- Iтс— т(х- Т)1 [Тс-Т(у, 1)1 [тс- Дг^х)] > (15)

(Тс— То)3

где Т (ф, г), решения для неограниченных пластин, известны для граничных условий первого и третьего рода [7]. Эти решения для удобства можно представить в следующей сокращенной записи.

00

Т(Х, %)=ТС — 2/я (т) . СОЭ ■

п ~ 1 т=1

* См. [12].

(а)

(б) (в)

При этом д ля граничных условий 1-го и 3-го рода величины /п (х) и IV и /А(х) и ^ будут различны.

Дифференцируя дважды выражение (15) по х, получим:

д'Щхл)

<ПТ(х,уа,~) _ . дх2 Т

\Тс-Т(у,*)\-\Тс T(z,

дх* {Тс-Т^

Взяв далее вторую производную от выражения (15) по у, будем иметь:

i)-T(v,

........^...... " ~ (7V~>.,)-

Тогда:

Л2 7-

1 \ТС- Дл-,х)] ......

d V-

o.rJ ах2

Учитывая выражения (а), (б), (в), последнее соотношение представим так:

2

(РТ х I х \ ж . ¡У \ k ю

£ /л(т) • cos — I • S /Я1(т). cos —- •

^ / - х а2

Ох* £ /я ■ cos (V/i ) ■ ' Е fm (-с) • COS )

Для удобства записи это соотношение перепишем в следующем виде:

<РТ 30 00

Е S у?2

"■У п = 1 = 1

Г

2

^ s ^ — • S

л-л Jx\ m = 1

Раскрывая ряды, получим:

О4!* -г ■ • ■) (Б1 rn'Am Blm Am'- • • ■)*?

3 =

" «я ' • ' +) (БШ + Б2т • "О #2

Произведя деление по правилу деления многочлена на многочлен, будем иметь:

Аналогично:

Тогда

'1 m • V-\m-t-B2m (A2m-f ... м2 --~

Б\т ~ Б2т + • ■ *

Р =

--2 п2

ду2 _ Нт

„2 П?

_ к2

А*»

(16)

Точно таким же путем находим

д 2 > 1К I / 1 "7\

Т . • (17

ФТ

2

д*Т ™ 9 Гщ'

дх*

Таким образом, для граничных условий первого и третьего рода существуют совершенно одинаковые по форме зависимости (16) и (17). Это позволяет полагать, что и для граничных условий, выраженных законом Стефана-Больцмана, эти соотношения должны иметь место. С другой стороны, для граничных условий первого и второго рода характеристические числа не зависят от параметров, характеризующих процесс, и соответственно равны:

(л= 1,2,3...) = (л= 1,2,3...)

Поэтому для граничных условий первого и второго рода соотношения (16) и (17) примут вид:

д*Т (РТ

&Т ~ я*' дП " ^ Ох? " дх1

Пользуясь соотношением (18), расхождение градиента температуры можно заменить по схеме:

/ д21 д2Т\ 1 4- \&т

д21 ±.д21 д11 дх* дуз дя*

&Т 1 д*Т

\

дх? дх* }

следовательно,

п ■ ч ■ X д2Т

......... (Ш)

Последнее выражение, являясь приближенным количественным соотношением коэффициента хорошо раскрывает качественную его сторону. Оно показывает, что искомый коэффициент определяется отношением квадратов измерений тела. Практические расчеты, проведенные для граничных условий типа второго рода, подтверждали правильность структурной формы выражения (19), однако при условии, что под /?2 и /?з понимаются средние значения размеров тела, вычисленные из соотношений:

^ 1^+^иаг. = + =$ + 0,5/??

Тогда для параллелепипеда формула коэффициента | принимает вид:

5=1 +

Л

я;

Я|+0,5Л* Л»+ 0,5^

(20)

Из формулы (20) может быть получено значение данного коэффициента для длинного бруса прямоугольного или квадратного сечения, куба, неограниченной пластины. Соответствующие формулы приведены в таблице 1.

Таблица 1

№№ п. п. Соотношение измерений Значение 5 Расчет но выражениям (9)—(12) дает . . .

1 < СХЭ -Н ^ + ^ Температурное поле в параллелепипеде.

2 /?1 < /?2 < СО = ОО 0,51*1 Температурное поле в брусе прямоугольного сечения.

3 /?1 = /?3 ~ $ = 2,332 Температурное поле в кубе.

4 — £>3 — 00 6=1,666 Температурное поле в брусе квадратного сечения.

5 6=1 Температурное поле в неограниченной пластине.

6 /?2 < К1 или При данном обозначении измерений 6 не имеет смысла. Пиния стока тепла не совпадает с

Проверка путем подстановки в уравнения, описывающие процесс, выражений (9) и (9') показала, что они удовлетворяют дифференциальному уравнению теплопроводности (6) и соответствующим условиям однозначности.

На фиг. 2 показан прогрев стального параллелепипеда со сторонами 0,2Х0,4Х0>6 м. Кривая 1 (изменение температуры поверхности) и кривая 2 (центра) построены по формуле (9). Кривые 1' и 2' построены для тех же условий методом перемножения температурных критериев При О. из л "== 225 ккал/м2час град.

IV

Дифференциальное уравнение (6) для короткого цилиндра можно представить в виде

+ -(21)

д1 \дг2 г дг/' " '

0 < г < /?! < Я2 ; -Я2 /?2,

где 2Я2 — длина цилиндра.

Рекомендуемая формула для определения коэффициента £ приведена в таблице 2.

Проводя рассуждения, аналогичные рассуждениям для параллелепипеда, получим распределение температуры вдоль линии стока тепла г,

Таблица 2

№№ п. п. Соотношение измерений Значение £ Примечание

1 #1 < #2 < 00 5=1 + 1 • - 2 Температурное поле в коротком цилиндре вдоль Ль

2 Яг — £ = 1,333 Температурное поле в коротком цилиндре вдоль Яь

3 Температурное поле в неограниченном цилиндре.

< Коэффициент ? теряет смысл. Линия стока тепла не совпадает с Я\.

г.

Фиг. 2. Прогрев стального параллелепипеда размером 0,2X0,4X0.6 м3 при

^=30 ккал/м час. град. а=0,03 м2/час; С'изл ~4 ккал/'м2час; °К4. -Расчетные данные изменения температуры поверхности и центра параллелепипеда, полученные по формуле (9)

---То же по методу перемножения температурных критериев при «изл=200

ккал/м2час град.

с учетом распространения тепла и вдоль оси г. Последнее для случая неизменных теплофизических характеристик имеет вид:

Тт(г) То | Тг тг ' А Тг

I _ ш

у __ ёш (1__9

• ^ —1 ^ 4 .«V ( " )

У

я -1

• Л I

о Гй

/г,

I -- /п - 1 Г!

У

1 = 1

Яс

8с

- • <Ш - /) : • '12.

(9")

Здесь г совпадает с линией стока тепла в теле и изменяется от 0 до 7?! (2/?! — диаметр цилиндра).

Интегрируя выражение (9") от 0 до получим среднее значение температуры вдоль линии стока тепла:

/ = т

Г.^хг, 'я? (10)

тер ш

При этом расчетный интервал времени определяется из аналитико эмпирических соотношений:

_ 0,0225.X. Тс-Я1

ёсЬ'в,

Яг,

„2 :

ос — —--

1+2 £ е " «I

П — 1

(11") (12")

При 9 = 1 (И") и (12//) переходят в аналогичное выражение для бесконечного цилиндра [12].

Выражения, аналогичные (9") — (12") для случая, когда теплофи-зические характеристики вещества меняются в функции от температуры, могут быть представлены в виде

г„

I»

Те

&£1В±

Аг Тс

У

п2 ^ I I

£с с,-

[ 8с Кн

00

1—2

/ - т— 1

Е

/ 1

Г-

я?

V

^ 2 / / \

! ^/гМ^/)

•Л

О

£>1

* = т а г.,

_ о , V _

-е = 1

* = гй)"

Л

С И)

•е

/г

(9'

ТСР 1 т

\ 2 ^ Тс 1ГТС

У ^ . £

(10'")

* См. также Д2].

1 —

0,0225-Х, • Тс-Пх

(п

тп

1 —

6 + 1+2 ""«1

Л = 1

(12 )

На фиг. 3 показан прогрев стального цилиндра диаметром ¿ = 0,3м и длиной 1 = 0,6. Кривая 1 (изменение температуры поверхности) и кривая 2 (центра) построены по формуле (9"). Кривые V и 2' построены для тех же условий методом перемножения температурных критериев при аизл =200 ккал/м2час град.

Фиг. 3. Прогрев стального цилиндра 6=0,3 м, 1 = 0,6 м при X == 30 ккал/м час град, а—0,0225 м2/час; С»зл=3,65 ккал/м2 час °К4.

_ Расчетные данные изменения температуры поверхности и центра цилиндра,

полученные по формуле (9")

----Тоже по методу перемножения температурных критериев при <*изл—200

ккал/м2 час. град.

3 Заклз 2710

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Распределение температурного поля вдоль линии стока тепла в теле, при распространении последнего более чем в одном измерении, может быть представлено выражением, не отличающимся по сложности от одномерной задачи (см. [12]).

2. Расчетные соотношения (9) -;- (12) могут быть рекомендованы как приближенные формулы для определения температурного поля вдоль линии стока тепла в параллелепипеде и коротком цилиндре при прогреве их по закону лучеиспускания.

Основные обозначения

Тс — температура источника тепла, °К, Го —начальная температура тела, °К,

ккал

£ с — поток лучистого тепла от источника в пустоту, -

м* час

ёа~лучистый поток тепла на поверхности тела в итый момент времени, определяемый из соотношения,

ёа — ^п'С о

Т — распределение температуры вдоль линии стока тепла в теле в т-ный момент времени, /?1 —половина наименьшего измерения тела, м, Т1 — расчетный интервал времени, час, Фт—погрешность расчета, а, с — теплофизические характеристики вещества тела.

ЛИТЕРАТУРА

1. Д. Ю. Панов. Справочник по численному решению дифференциальных уравнений, ГИТТЛ, М.— Л., 1951.

2. В. Н. Соколов.— Расчет нагрева тел методом сеток, ЦНИИМАШ (Нагрев крупных слитков), ГИТИМЛ, М., 1954.

3. Н. Ю. Т а й ц.— Теоретические основы нагрева металла (диссертация), 1940, Днепропетровск.

4. Williamson a. Adam s,— «Physic Rev.», (2), 14, 99, 1919.

5. G о 1 d s с h t e i n —«Zeitschrift f. Angew. Math. u. Mech», 1932, Nr. 4.

6. Д. В. Будрин, Красовский Б. Л.,— Нагрев и охлаждение тел различной формы, Труды Уральского индустриального института им. С. М. Кирова, вып. XVII, ГНТИЛ, С.—М., 1941.

7. А. В. Лыков,— Теория теплопроводности, ГИТТЛ, М., 1952.

8. Г. П. И в а н ц о в,— Нагрев металла, М., 1948, Металлургиздат.

9. Н. Ю. Т а й ц,— Технология нагрева стали, Металлургиздат, М., 1950.

10. И. Семики н,— «Сталь», 1937, № 12, 1939, № 4—5.

11. JI и н ч е в с к и й,— «Металлург», 1938, № 9.

12. Г. П. Бойков,— Прогрев тел под действием лучистого тепла ГИзв. ТПИ, том 69, 1957], Томск, 1955.

13. И. Снеддон,— Преобразование Фурье, И Vi Л, М., 1955.

V loo у I юо )