Прогрев тел конечных размеров под действием лучистого тепла (Сообщение второе) Текст научной статьи по специальности «Физика»

ИЗВЕСТИЯ

ТОМСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО Том 101 ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА 1958 г.

ПРОГРЕВ ТЕЛ КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ЛУЧИСТОГО ТЕПЛА

(сообщение второе)

Г. П. БОЙКОВ Представлено профессором ФУКС Г. И.

В сообщении 1 было показано, что дифференциальное уравнение теплопроводности, описывающее распространение тепла 'в любых телах

д Т (&Т — =.а\ —

может быть сведено к формуле:

дх

ду* ' дг-

=

д*Т дх*-'

(20

Последнее дает возможность определить температурное поле вдоль линии стока тепла в теле при распространении тепла более чем в одном измерении. Так как выражение (1') описывает процесс, протекающий в любых телах, то и дифференциальное уравнение (2') дает температурное поле вдоль линии стока тепла в любом теле, если известна линия стока и значение коэффициента

Таким образом, задача для граничных условий, соответствующих лучистому теплообмену, может быть сформулирована так: Имеем дифференциальное уравнение теплопроводности: дТ(х, т) _ , &Т(х,ъ)

дъ

дх2

Начальное условие:

Граничное условие:

дТ(Яи х)

Т(х, 0)

2/Г

дх

м4 100/

100

А

Условие симметрии:

дТ( 0,т)

дх

(1) (2)

(3)

(4)

Можно показать, что выражение:

74*.*)

]± Тс

1<

ёс 1-^1

А - Тг

\умЦ

ах

К

(6+2)

С08

п — \

|2 £ п

2 ах

X? Й

(5)

3*

35.

удовлетворяет дифференциальному уравнению (1). Для этого продифференцируем его один раз по времени т и дважды по координате х:

( 00

дТ gc\^Rl

дх

\

Хй

II-1

2 с а~ (.I■ ?

п-н 2|..С08/ * )х

V

" *1 • ц.2 С • — ^ Л?

(с)

дх2 X

ОС

+1

1 л=1

2е

С05

X

х*

4 .

Подстановка (с) и (й) в уравнение (1) приводит к тождеству.

Для проверки соответствия выражения (5) условиям на границе (3) и условиям симметрии (4) найдем первую производную по х;

ахл

2 ^ ■Н-л' « Т2

. ^ я

П-1

Полагая я = находим:

дх X

Полагая далее х~0, убеждаемся, что

, так как эШ — зт ят = О

— '

дх

Таким образом, выражение (5) строго удовлетворяет дифференциальному уравнению теплопроводности (1), граничным условиям (3) и условиям симметрии (4). Но так как дифференциальное уравнение (1) относится к телам любой формы и размеров, то и написанное соотношение (5) представляет температурное поле вдоль линии стока тепла в различных телах, т. е. претендует на определенную универсальность. Универсальность формулы (5) можно также подтвердить и следующими рассуждениями:

Известно, что начиная с некоторого значения критерия Фурье (приблизительно 0,3 — для неограниченной пластины; 0,25 — для бесконечного цилиндра; 0,2 — для шара) рядом от 1 до со в расчетных формулах можно пренебрегать, т. е. приравнивать его нулю. Тогда расчетные формулы примут более простой вид:

а) Для неограниченной пластины:

б) Для бесконечного цилиндра:

Г2_

Я»

(б)

в) Для шара:

в = AV |з/\,—

2 ' R*

(В)

Пренебрегая рядом от 1 до со в формуле (5), перепишем ее в виде:

Замечаем, что при £ — 1 последнее выражение переходит в формулу (а) для неограниченной пластины. При (5') превращается в расчет-

ную формулу для бесконечного цилиндра (б). При £ — 3 выражение (5') принимает вид расчетной формулы для шара (в). Последнее дает пр<'м:о утверждать, что соотношение (5') является расчетной формулой п для всех промежуточных значений £ от 1 до 2 и от 2 до 3, т. е. (5') представляет универсальную расчетную формулу для определения температурного поля вдоль линии стока тепла при лучистом прогреве для тел любой формы и размеров. Однако, исследования показали, что зависимость (5) (с учетом ряда от 1 до оэ), удовлетворительно согласуется с начальным условием лишь при малых значениях коэффициента

При больших значениях коэффициента £ (в пределе | = 3) расхождение с начальным условием получается наибольшее. Но эти же исследования показывают (фиг. 1), что даже наибольшее несоответствие начальным условиям, например, при £ —3, очень быстро перестает сказываться на ход расчета. Если исходить из случая, когда £ = 3, то можно считать, что предлагаемое расчетное соотношение (5) может быть использовано с достаточной степенью точности при значении критериев Фурье, больших 0,08. Рекомендуемые формулы для | приведены в таблице 1.

/г,

0,3

Фиг. 1. Прогрев шара при g = Const. Кривые 1 и 2 — изменение безразмерной- температуры поверхности и центра шара, построенные по точной формуле (см. [1]). Кривые Г и 2' построены по формуле (5).

Таблица 1

Прогреваемое тело

Формула для определения коэффициента 5

Параллелепипед; куб; брус прямоугольного и квадратного сечения; неограниченная пластина

1 -

Измерения

± 0,5 $1 + 0,5 И]

/?1 < * 2 < #3 2/?! ■ 2/?3 . 2^3

Цилиндр конечных размеров; бесконечный цилиндр

2 +

Измерения

Щ + 0,5 щ

^ Я ,>

2я1

Диск; неограниченная пластина

1 + 2,5

Щ + 0,5 Я?

Измерения

с

Л - 2/?! а = 2/?.

Шар

Формула (5) для т-го момента времени при нагреве тел лучистым теплом, когда теплофизнческие характеристики меняются в функции от температуры, имеет вид: (см. [2]).

Тт(х)

1о ёс •

?? ^ §с С1 gc \т

I = 1

со

Щ 4- 2)

1 1 1 V/ 2 • $ / X \

п = 1

2 у V1 ^ ^ = ' ¿А #2

¿ = 1

-щ ■

1=1

X;

+ А)^

^ + 1) * Ц1 + 1)

к=1

(6)

Среднюю температуру тела и расчетный интервал времени следует определять, пользуясь соотношениями:

за

(=т

Тср тп

То_ То

gc ■ ,. «1*1

• Тс ' ' 7?| — С

1=1

• Е

8а С1

I

0,022 • /-! • Тс • .

(I 4- 2) (ёс

1 —

I - §С2 '

00

2

п-1

(7)

(8)

(9)

/? 1$ 14 /,<*

Фиг. 2. Прогрев стального цилиндра (1=0,3 м: I =0,3 м при Я =30 ккал/м час. град. а=0,0225 м2/час; Си3л ■='В,65 ккал/м^час °К4.

-Расчетные данные изменения температуры поверхности и центра цилиндра

без учета изменения теплофизических характеристик вещества, полученные по формуле (6).

----тоже по методу перемножения температурных критериев при ъизл =200

ккал/м2час град.

При £ = 1, 2, 3 выражения (7), (8), (9) переходят в соответствующие формулы для неограниченной пластины, бесконечного цилиндра и шара [2].

Если теплофизические характеристики вещества неизменны, то при

сх=С2 = ... с1 ; Х{ — Х2 = ■ ■. Я/ ; а-{ — а2 = . . . а,- выражения (6) ■;-- (9) перейдут в расчетные формулы для случая, когда теплофизичсские характеристики не зависят от температуры [2].

Фиг.

3. Прогрев куба из стали (сг. ккал

цо

м час град.

0,34) со стороной 0,457 ккал м-

при

кг град.

час

— расчетные данные изменения температуры поверхности и центра куба с учетом изменения теплофизических характеристик вещества, полученные по формуле (6) при Сизл —3,6 ккал/м2час °К4, ----то же по данным опыта [3].

В большинстве практических расчетов значение ряда от 1 до со очень мало по сравнению с двумя первыми слагаемыми в фигурных скобках формулы (6). Поэтому им можно пренебречь. Тогда расчетное соотношение сильно упрощается и принимает вид:

Тт М

= — 1 ЯсЪ ( а^

Тс '4 Тс \ *?

§ст Г Е

'•ОТ 2 Ц + 2)

I-т

¿=1 1

Я;

(6')

При указанном условии формула (б7) является математически точным расчетным соотношением для тел любой формы и размеров. В частности при 1, 2, 3 она переходит в формулы для неограниченной пластины, бесконечного цилиндра, шара (см. [2]).

На фиг. 2 показан прогрев стального цилиндра диаметром ¿ = 0,3 м и длиной / — 0,3 м. Кривая 1 (изменение температуры поверхности) и кривая 2 (центра) построены по формуле (6) при неизменных теплофи-

зических характеристиках вещества. Кривые Г и 2' построены для тех же условий методом перемножения температурных критериев при

= 200 . м-час граи.

На фиг. 3 показан прогрев стального куба со стороной 0,457 м. Кривая 1 (изменение температуры поверхности) и кривая 2 (центра) построены по формуле (6) с учетом изменения теплофизических характеристик вещества в функции от температуры. Кривые Г и 2' построены по данным опыта [31

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

]. Распределение температурного поля вдоль линии стока тепла в телах различной конечной формы может быть представлено одной формулой, не отличающейся по сложности от решения для одномерной задачи.

2. Расчетные соотношения (6) (9) могут быть рекомендованы, как приближенные формулы для определения температурного поля вдоль линии стока тепла в телах различной формы при прогреве их под действием лучистого тепла. Предложенные выражения применимы при

Л, >0,08.

ЛИТЕРАТУРА

1. А. В. Лыков — Теория теплопроводности, ГИТТЛ, М., 1952.

2. Г. П. Бойков— Прогрев тел под действием лучистого тепла, (Изв. ТПИ, том 89, 1957), Томск.

3. В. Н. Соколов — Расчет нагрева металла методом сеток, ЦНИИМАШ (Нагрев крупных слитков), ГНТИМЛ, М., 1954.