CC BY
22
ИЗВЕСТИЯ
ТОМСКОГО ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО' КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА
Том 205 1972
К РАСЧЕТУ НЕСТАЦИОНАРНОГО ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ В ТЕЛАХ КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ, ПОДВЕРЖЕННЫХ РАДИАЦИОННОМУ НАГРЕВУ
В. В. САЛОМАТОВ
¿Представлена научным семинаром теплоэнергетического факультета!
В инженерной практике теплофизические процессы протекают в конечномерных геометрических системах. В связи с этим разработка эффективных методов решения пространственных задач теории теплового переноса является основным практическим требованием.
В настоящей работе предлагаются ¡приближенные методы решения задач многомерной теплопроводности с граничными условиями радиационного типа. При этом в первом разделе исследуется нестационарный теплоперенос при условии существенной зависимости теплофизических коэффициентов от температуры, а во втором разделе рассматривается температурный режим твердых тел при наличии постоянных термических (ха рактерпстик.
I. Переменные теплофизические характеристики
Прогрев тел конечных размеров лучистым теплом, когда коэффициент теплопроводности и теплоемкость зависят от температуры, являет-1С я наиболее трудной математической проблемой теории теплопроводности, так как система дифференциальных уравнений, описывающая процесс нестационарного теплопереноса, становится дважды нелинейной. Внутренняя нелинейность, содержащаяся в дифференциальном уравнении процесса, обусловлена переменностью термических коэффициентов с температурой; внешняя нелинейность, имеющая место в граничном условии, вызвана наличием нелинейной связи между тепловым потоком на поверхности тела с температурой этой поверхности. При аналитическом исследовании систему линеаризуют. Традиционные приемы линеаризации заключаются в предположении постоянства теплофизических коэффициентов (а(Т) = const, с(Т) = const) и замене нелинейного граничного условия радиационного типа линейным граничным условием III рода с введением условного коэффициента теплоотдачи лучеиспусканием. Вполне естественно, что линеаризованное решение достаточно хорошо описывает картину температурного поля только в случае малых нелинейностей системы "(практически на отдельных этапах процесса нагрева). В целом же рассматриваемая проблема является существенно нелинейной, поэтому для правильного описания температурного распределения нелинейность системы должна учитываться. В настоящее время исследуемая проблема в общем виде может быть решена только приближенно: либо методом конечных разностей (хотя вопрос о сходимости 46
сеточного метода в каждом конкретном случае должен быть исследован особо), либо моделированием изучаемого явления теплового переноса.
В наших предыдущих работах [1, 2] было показано, что решение подобного рода одномерных задач теплопроводности может быть успешно проведено для некоторых частных законов изменения термических коэффициентов с температурой, а именно: если
ЦТ) - /,т3,
с (Т) = х2т3.
(1.1) (1-2)
Пропорциональность Я(Т), с(Т) кубу абсолютной температуры характерна для многих кристаллов в некоторых температурных диапазонах. Отметим, что с учетом (1.1, 1.2) нелинейное дифференциальное уравнение и нелинейное граничное условие радиационного типа автоматически становятся линейными относительно температурного аналога
-п( Т)= [ЦТ) ¿Т.
Очевидно, что при других законах ЦТ) и с(Т), отличных от (1.1), (1.2), с целью получения достаточно точного приближенного решения в расчетном интервале изменения температур или, если этот интервал достаточно велик, то на его отдельных участках термические параметры могут быть аппроксимированы отрезками кубических парабол. Укажем, 'что одновременно и независимо аналогичный подход к исследованию ¡нелинейной теплопроводности в телах классической формы применен в работе [3]. Там же приводится вариант оценки погрешности расчета (при условии параболической аппроксимации термических коэффициентов.
Распространим предложенный метод решения на многомерные задачи лучистого прогрева. В качестве примера исследуем процесс нелинейной теплопроводности в прямоугольном параллелепипеде, математическое описание которого дается системой уравнений:
с( Т)Р
дТ(х, у, г, т)
ЦТ)
Ь > о,
f L
ду
Rv<x<
дх
дТ(х, у, г, т) ду
д_ дх
X (Т)
д_ ' дг
д7(х, у, г, t)
л(Т)
дх
дТ(х.
У, г, <0
+ -*2<у< + /?2,
Т (дг, у, г, 0) = Т0 = const,
¿г
/?3<2< + Кз),
ЦТ)
дх
дТ(х, ±R2,z, z) 4
- = ав | 1 с
ду
, <?Т(х, у, ± Я, _ 4
' V1)-;- = JH 1С
дг
Ri , У, г, -)], Г (х, ± Я,, г, т)], Т1 (X. у. ; Я-,,-.)\.
(1.3)
(1.4)
(1.5)
(1.6) 0-7)
Принимая во внимание условие (1.1) и (1.2), докажем, что решение задачи (1.3—1.7) может быть представлено в виде
т;
Т'(*, Тс - V(x, х) Т2-Т<(у, X) Ti-ТМг, X)
Т4 _ T1 Т4_ Т4 Т4 Т4 Т4 Т4
1 С 1 о 1 с — 1 с — 1 о с — 1 о
(1.8)
здесь Т(х,г), Т(г/,т), T(z,t) —известные решения для трех неограниченных пластин, пересечением которых- образован параллелепипед. Соог-
ношение (1.8), в сущности, выражает известное в теории теплопроводности правило перемножения температурных критериев, где сомножи-т, __ Т4
представляет степень незавершенности прогрева при
тель
Ti - ТЛ
радиационном теплообмене. При доказательстве, естественно, полагаем что начальные и граничные условия для неограниченных пластин оста ются такими же, как и для параллелепипеда, а именно:
Т (х, 0) — Т (у, 0) = T (г, 0) = Т0 - const *dT(±Ri4i)
v,T
ox
,дТ(± R,, t) dv
— aB [Тс T4 (+ R,,'.)],
(1-9) (1.10)
Зат (± jR3 , x) rrri4 / [ -
dz
= aB [Тс-Т*(±Я2,.)],
= *B [Ti-T*(±R3,z)].
(1.11) (1-12)
Удовлетворим дифференциальному уравнению (1.3). В результатеимеем:
[Тс-ТНу, j] [Тс4 - Т4 (г, -С)] Wf
+ Тс4 - т4 (X, X)] [Ti - Т" (г, -с)] Ь*2Т3
дТ (х, т) д dz дх
дТ(у, -) д
ду ду дТ (г, х) д dz dz
х,Т3
■/J3 хД3
дТ(х, О дх <?Т(у,т)
ду
¿>T(z, т) dz
+ 0.
Выражения в фигурных скобках равны нулю, так как представляют из себя дифференциальные уравнения процесса для бесконечных пластин. Значит, соотношение (1.8) превращает в тождество (1.3).
Подставим (1.8) в граничные условия (1.10) — (1.12), после несложных преобразований
(1.13)
Х1Т8 _ Зв [Т4 _ т4 ( ± ^ > х
X
дх
[Тс —Т4(У, *)] [Тс — Т4 (z, т)] (Tj - То4)2
= 0,
_ dT(±R3,*) _ 0в [Т4 _ ?4 (± ^ _ х)] , х
л
ду
[Т*-Т4(х, X)] it-V (г, Q]
(Т4-Т3)2 дТ(± R3,z)
= 0.
xJ3 - v^- _ Зв [Х4 _ Т4 ( ± ^ f х)] I х
X
dz
[Т*-Т4(л:,т)] [Тс — Т4 (у, х)]
en - т;
= 0
убеждаемся, что выражение (1.8) удовлетворяет поставленным гранич-лым условиям. Легко видеть, что соотношение (1.8) соответствует ц начальному условию.
Таким образом, выражение (1.8), удовлетворяющее всем поставленным условиям, по теореме единственности является точным решением задачи (1.3) (1.7).
Аналогично решение задачи для короткого цилиндра имеет вид
Тt - Т4 (г, г, т) Тс - ТГ(г, т) Тс - Т4 (г, т)
X4_ Т4 Т4 Т* Т4 Т4 * *
1 С * О 1 с * о 1 с 1 о
Для практических инженерных расчетов по формулам (1.8), (1.14) можно воспользоваться номограммами по определению температуры на (поверхности и в центре неограниченной пластины и бесконечного цилиндра для условий конвективного теплообмена, которые приведены в [4], заменяя соответствующие критерии на их аналоги
F2tf3 Ti - T$
Погрешность расчета по предложенному методу будет определяться тем, насколько точно аппроксимацией (1.1), (1.2) воспроизводится истинный закон изменения ЦТ) и с(Т) с температурой. Очевидно, следуя этому методу, можно получать надежные данные только при возрастающих законах X и с с температурой. Метод аналитического решения становится малоэффективным в случае убывающих функций ЦТ) и С(Т), хотя необходимо отметить, что такие закономерности встречаются более редко. Для инженерной практики наиболее характерны случаи возрастающих зависимостей ЦТ) и с(Т).
При расчете по методу параболической аппроксимации, по-видимому, самым наихудшим будет случай, когда теплофизические константы остаются неизменными в течение всего процесса нагрева. Следовательно, для установления максимально возможной погрешности расчета по ■изложенному методу необходимо вести сравнение со случаем нагрева при постоянных термических коэффициентах, так как при любых возрастающих законах ЦТ), с(Т) погрешность будет, естественно, меньше, поскольку точность аппроксимации существенно возрастает.
В целях сопоставления расчетных вариантов необходимо провести усреднение переменного термического коэффициента в заданном интервале изменения температур. Иопользуя обычную теорему о среднем, имеем
T¿-fAT T¿ +ДТ
= J X(T)rfT= const; = ^ J с (Т) dl = const.
Учитывая, что ЦТ) и с(Т) определяются (1.1) и (1.2), можно найти значения
4ХдТ
Ун =
1 4Т - + 6T2¿ ДТ н- 4T¿ (ДТ)2 + (¿T)3
(1.15)
и
I \ 1
*0 = -о-п- , 1. 6
4Т? + 6Т/ДТ + 4Т, (ДТ)2 + (ДТ)3 '
которые и будут отвечать необходимому условию аппроксимации в диапазоне повышения температуры ДТ.
Чтобы не выйти за пределы разумной погрешности, целесообразно весь расчет вести по этапам. На каждом этапе необходимо выбирать допустимое значение ДТ, которое будет гарантировать заданную точ-
4. Заказ 2930.
49
ность расчета. Выбор допустимого значения для тел классической формы может быть произведен согласно рекомендации, указанной в работе [3]. Дополнительный контроль может рационально осуществляться путем сравнения с данными номографического расчета с использованием рис. [4], имеющими достаточно высокую точность. Что касается тел ко .нечных размеров, то величина допустимого повышения температуры нами была апробирована посредством сопоставления данных аналитического расчета с результатами численного интегрирования на ЭВМ. В итоге было установлено, что максимально возможная погрешность в 3—4% не будет превышена во всех расчетных вариантах, если Дв1 = 0,60, двц = 0,25, Д© ш= 0,15.
Численный пример, иллюстрирующий разработанный метод решения
Исследуем характер изменения температуры в центре и середине боковой поверхности короткого цилиндра размерами 2Я = 2Н = 0,3 му который симметрично нагревается в условиях постоянной мощности излучателя (Тс = 1273°К) от начальной температуры То = 293°К.
Теплофизические характеристики численно равны: X = 34,9-,
м град
а = 0,0225 — , р = 7800 зв = 4,24 вШ .
час мА мг град4
Результаты расчета с использованием рис. в [4] и формул (1.14) — (1.16) сведены в табл. 1. Здесь же приводятся данные расчета зональным методом [5] и проведено сопоставление результатов, полученных двумя различными методами.
Таблица 1
Температурное поле короткого цилиндра в процессе нагрева
т час Т (0, 0, т) °К 5 % т (И, 0, т )°К о %
согласно (1.14) | данные |5] согласно (1.14) данные |5]
0.1 323,1 319 1,3 529,6 533 0,6
0,2 412,1 417 1,2 652,6 668 2,3
0.3 547,3 551 0,7 784 788 0,5
0.4 694,2 683 1,6 916,5 899 1,9
0.5 806 797 М 1005 988 1,7
0.6 917,8 905 1,4 1079 1061 1,9
0.8 1083 1063 1,9 1183 1156 2,1
1,0 1177 1165 1,0 1245 1231 М
1 .5 1279 1271 0,6 1287 1289 0,2
II. Постоянные теплофизические параметры
Если считать, что в процессе нагрева термические коэффициенты остаются постоянными, то формально математические трудности, связанные с решением нелинейного дифференциального уравнения теплопроводности, снимаются. Нелинейность сохраняется лишь в граничном условии. Но даже и в этом случае классические методы решения оказываются бессильными.
Совместно с В. В. Ивановым [7] предлагается эффективный метод решения многомерной задачи лучистой теплопроводности, который справедлив для не слишком «массивных» в тепловом отношении тел.
Схему метода иллюстрируем на примере прогрева прямоугольного бруса. Распространение тепла в исследуемом образце описывается системой уравнений
1 дв(х, у,х) у, х) д2®(х, у, т)
а дх длс2 ду
в(Х, У, т) = Т(*' т> 0, -/?!<*< + /?!, -/?2<У<+/?2,
(II.1)
_ae(f?by^) + 3gTg [j _ е4 </?х, у, т>] = о, (п.2)
дх X
- R21 + ^Е? [1 - в4 (jc, R2, т)] - О, (II.3) ду I
д® (О, У,-) = ¿в (¿.о,*) = 0) (П 4)
дх ду
в(х, у, 0) = 0О = const. (II.5)
Покажем, что с достаточным приближением решение системы (II.1) — (II.5) может быть представлено в форме
Arth в во + arctg в (*■ У- + во =
= Arth + + arctg e(xtx) + e(yix)
i + в(х, ё 1 — е (jc, х) е (у, -с)
где 0(х, т) и © (х, т) —известные решения для неограниченных пластин, взаимным пересечением которых образован брус прямоугольного сечения. При доказательстве принимаем во внимание идентичность условий однозначности для двух неограниченных пластин размерами 2R\ и 2R2 условиям однозначности для прямоугольной призмы (II.2) — (II.5). Непосредственной подстановкой выражения (II. 6) в граничные и начальные условия для двух неограниченных пластин
дх . ов Тс
1 _ 04 (Я1>Т)
= 0.
ду , овТ3
1-в4 (Я2,т) ' X
д.в (0, *) дв (0, т
в с =0, = 0,
дх ду
о) = е(у,о)-е0
убеждаемся, что соотношение (II. 6) полностью удовлетворяет всем поставленным краевым условиям одномерных задач.
Подставим выражение (II. 6) в дифференциальное уравнение теплопроводности (П. 1). В результате имеем:
дв(х, -=) _ д28 (х, т)] + П д® (у, т) д2в (у, х)
а д~ дх2 J {а дх ду2
4в3(лг,т) (дв(х,х)\* 4Q»(y,x) т)\2_0
-)V ^ У 1-в4(У, t) [ ^ду j
Нетрудно заметить, что выражения в фигурных скобках равны нулю. Тогда из (II. 7) следует, что соотношение (11.6) не удовлетворяет уравнению (II. 1). Однако, анализируя величину невязки
1 — в4 (ДГ, т) V дх I 1 — в4 (у, х)' \ ду
можно отметить, что Чг (х, у,г) =0 при х = у = 0 (условие (II.4), значит для координаты центра решение (П.6) является точным, и Ч*-(х, у, т) ->■ 0, когда Эк—>-0. Следовательно, до определенных значений критерия радиационного теплообмена величиной невязки можно пренебречь, тогда решение (П.6) с допустимым приближением удовлетворяет уравнению (11.1). Аналогично для короткого цилиндра и прямоугольного параллелепипеда решения записываются в виде:
в (г, г, *) + в0 , „. в (г, г, х) + в0
Arth —4 ' ' ' '-- 4- arctg
1 + в (г, г, х) 0„ 1— е (г, г, т) в
= Arth е(г,.) + в(2,,) 9 (г, х) -)- 0 (г, х)
1 + в(г, x)Ö(z.x) 1-в(Г, 1)0(Z, х)
Arth 0 (jc, у, z, х) + arctg 0 (х, у, z, х) + 2 (Arth 0О + arctg 0О) =
= Arth 9 (*. х) + 0 (у, х) + 9 (г, х) + 9 (х, х) 0 (у, х) в (г, х) 1 + 0 (*, т) в (у, х) + 9 (х, х) 0 (г, х) + 9 (у, х) 0 (г, х)
] arctg 9 + В (У' Т) + в (г' Т) + 9 ^ 9 (У' 9 (г' т) (119') g 1 + 0 (*, -) в (у, 1) - 0 (х, х) 0 (г, х) — 0 (у, х) 0 (г, х)'
0 (х, х) 0 (г, х) + 0 (у, 1) 0 (г, х) если - 1;
■ 1 — в (х, х) 0 (у, X)
Arth в (х, у, z, х) + arctg 0 (х, у, г, х) + 2 (Arth 0О + arctg 0О) =
= Arth 0 (X, х) + 0 (у, -О + 0 (2. х) + 0 (X, х) 0 (у, х) 9 (2, х) 1 + 0 (X, х) 0 (у, х) - 0 (х, х) 0 (2, х) - 0 (у, х) 9 (2, х)
1 7t I arctg 9 + 9 (У' Т) + 9 + 9 {Х' 9 {у' т) 9 (г' (119") ё 1 + 9 (х, х) 9 (у, х) - 9 (х, х) 9 (г, х) - 9 (у, х) 0 (г, х)'
9 (х, х) 9 (г, х) + 9(у,х)9(г, х)
если 1 •
Предложенный метод может быть с успехом применен в инженерной практике только при наличии достаточно эффективных способов решения одномерных задач теплопроводности с граничными условиями радиационного типа. Нами созданы инженерные номограммы по расчету температурного поля в телах классической формы при нагреве ик лучистым теплом. Такие номограммы соответственно для неограниченной пластины и бесконечного цилиндра приведены в [6]. Точность номографического метода решения не выходит за пределы 2% в сторону занижения результатов расчета, включая и начальную стадию процесса, обычно определяемую наиболее грубо.
Примеры практического использования предложенного метода
Пример 1. Определить температуры в центре и в середине большой грани стального слитка размером 2Я X 21? у Х21?г =0,2X0,4X0*6 м? который равномерно 'нагревается со всех сторон при температуре печи
1373°К в течение 0,5 и 1 часа. Начальная температура слитка 273°К,
t « Л вт
среднии коэффициент теплопроводности À = 34,9- , температуро-
м. град.
проводность а = 0,03 м2/час, приведенный коэффициент лучеиспускания л с с вт
ав =4,65--
м.2 град*
Предварительно подсчитаем безразмерные комплексы S к, = 0,345, $ку = 1,035, - 0,690.
Fo^= 1,5, Fov =0,167, Рол = 0,375 (- = 0,5 часа). Fo^ = 3,0 Foy = 0;335 Fo^= 0,75 (т = 1 час).
По номограммам (рис. 1,2, [6]) находим:
а) для первого случая (1=0,5 часа)
е,=0 - 0,605, 0у=о - 0,256, вг=0 = 0,348, = 0,75.
б) для второго случая (т = 1 час)
0^о = 0,895, ву=о = 0,373, в,=0 - 0,562, = 0,931.
Расчет по форме (II.9') дает
а) в (0, 0, 0) = 0,752 (=0,752 0 = 0%)
в (Я,, 0,0) =0,841 (= 0,854 3 = 1,5%)
б) 0(0, 0,0) = 0,904 (= 0,961 о = 5,9%)
0 (Rx , О, 0) = 0,942 (= 0,985 8 = 4,3%)
В скобках приведены расчетные данные работы [5] для этого случая и показана величина погрешности расчетов по двум различным: методам.
Пример 2. Брус квадратного сечения подвержен симметричному радиационному нагреву. Безразмерные режимные параметры заданы величинами: SKx=SKy = 1,05; 0о == 0,175.
Каково значение относительных температур в центре, середине боковой грани и ребре бруса по истечении времени a) Foi 0,245, б) Fo2 = 0,815?
Задача решается аналогично с помощью номограмм на рис. 1,2, [6]. В результате получаем:
а) 0(0, 0, Foi) = 0,3796 (Ô = 0,8%) б) 0(0,0, Fo2) = 0,931 (Ô = 2°/о) 0(1,0, Fo,) = 0,758 (6 = 6,7%) 0(1,0, Fo2) = 0,978 (0 = 0,8%)
0(1,1, Foi) = 0,937 (0 = 7,1%) 6(1,1, Fo2) = 0,989 (0 = 0,2%)
Сопоставим с данными расчетов на ЭВМ для этого случая
а) 0(0,0, Foi) = 0,3767 б) 0(0,0, Fo2) = 0,9133
0(1 Д Fo,) =0,7096 0(1,0, Fo2) = 0,9701
0(1,1, FoO = 0,8748 6(1,1, Fo2) = 0,9887.
В скобках приведена погрешность расчета в сравнении с данными ЭВМ.
Пример 3. Какова температура в центре и в середине боковой поверхности короткого стального цилиндра диаметром 2/? = 0,3 м и высотой 2Н = 0,3 му симметрично нагреваемого в лучеиспускающей среде с температурой 1300°К в течение 1 часа. Начальная температура 293°К, теплофизические коэффициенты численно равны
X = 34,9 —'—— , а = 0,0225 м2 лас,
"в = 4,24
м град
вт м2 градА
Вычислим: Sk/? = Skh = 0,401, Fo# = FoH=l. Используя номограммы на рис. 1, 2, 3, 4 [6] и формулу (11,8), получаем
в (0, 0, Fo) = 0,913, е (/?, О, Fo) = 0,959.
Сравним с данными зонального метода расчета [5], согласно которому
в(0, 0, Fo) = 0,892, в (/?, 0, Fo) = 0,945.
погрешность расчета в сравнении с данными зонального метода составляет -соответственно
6=1,2%, fi=l,5%.
Сопоставлением числовых данных, полученных по предлагаемому методу, с результатами расчетов на ЭВМ и зональным методом установлено, что максимальная погрешность расчета температуры в любой точке тела конечных размеров не будет превышать 5% в тех случаях, когда
S К min <0,8, а в 7%, когда SKmiI1 < 1,0.
Выводы
1. Предложены весьма эффективные методы расчета многомерной проблемы нелинейной теплопроводности.
2. Установленные закономерности (1.8), (1.14), (II.6), (II.8), (II.9) правомерны как в случае симметричного, так и в случае несимметричного нагрева. При этом может быть учтена несимметрия, обусловленная разными уровнями температур лучистого источника тепла на противоположных гранях тела конечных размеров, неодинаковостью приведенных степеней черноты 'поверхностей. Приведенные решения справедливы и в том случае, когда по всем координатным направлениям термические коэффициенты будут различны, т. е. когда тело конечных размеров является анизотропным.
ЛИТЕРАТУРА
1. В. В. Салом а то в. Температурное поле в кристалле при нагреве радиацией. Изв. вузов—Физика, № 5, 1965.
2. В. В. Сало матов. Прогрев тел радиацией при переменной температуре источника тепла (кандидатская диссертация), Томск, 1964.
3. Л. А. Бровкин. Изв. вузов — Энергетика, № 3, № 4, 1965.
4. А. В. Лыков, Ю. А. Михайлов. Теория тепло- и массопереноса. ГЭИ, 1963.
5. Г. П. Бойков. Изв. ТПИ, т. 101, 1958.
6. В. В. С а л о м а т о в, А. А. Т о р л о п о в. Изв. вузов, «Черная металлургия». № 10, 1968.
7. В. В. Иванов, В. В. С а л о м а т о в. Изв. вузов, «Физика», № 6, 1966.
