CC BY
63
Engineering method of calculation temperature fields and thermal stresses in the initial stage of radiation convection heating (cooling) body with variable heat transfer coefficient, and the temperature at environment
Gorbunov A.D., Uklcina S.V.
Dneprodzerzhinsk State Technical University
Dnepropetrovsk, Ukraine Abstract. Existing solutions of radiant and convective heating (cooling) body problems at the initial stage at unsteady heat transfer coefficients and temperatures are rather cumbersome. The purpose of this work is getting simpler dependencies. Decisions are based on the analysis of relations between the cause (heat flow) and the effect (surface temperature) in the initial period of heating. Two simple and effective engineering methods of calculation of unsteady temperature fields, and axial thermal stresses at the initial stage of heating (cooling) of body of canonical form for both convection and radiation heat transfer at variable ambient temperature and environmental factors have been developed. Some of the solutions are generic in nature, which allows significantly reducing the number of variables and thus using the graphical method of problem solving. The formulas for calculating the bulk and central temperature in the initial stage are provided; other researchers of nonlinear heat conduction problems did not usually do this. It has been found that the axial thermal stresses are determined entirely by the heat flow on the surface. The adequacy of the developed techniques is based on five cases of calculation of heating (cooling) plates under various conditions of its thermal loading. It is shown that the error in determining the surface temperature does not exceed 6%, and that the developed method can be used up to Fourier numbers Fo < 0,4 .
Keywords: convection, radiant heating (cooling), the initial stage, unsteady temperature fields, variables heat transfer coefficients, thermal stress, and engineering method of calculation.
Metoda inginereasca de calcul a campurilor de temperatura tensiuni termice la etapa initiala de incalzire prin convectie radiatie (racire) a corpurilor la rate variabile de transfer de caldura de
temperatura Gorbunov A.D., Ucleina S.V.
Universitatea Tehnica de Stat din Dneprodzerjinsc Dneprodzerjinsc, Ucraina
Rezumat. Solutiile existente ale problemelor de incalzire (radianta §i cu convectie) sau racire a corpurilor intr-un stadiu initial, cu coeficienti nestationari de transfer termic §i la temperatura variabila a mediului ambiant sunt foarte complicate §i de mare volum. Scopul acestei lucrari consta in obtinerea unor dependente mai simple. Solutiile se bazeaza pe analiza ecuatiilor intre cauza (fluxul de caldura) §i efectul (temperatura la suprafata), in perioada initiala de incalzire. Au fost elaborate doua metodologii inginere§ti simple §i eficiente pentru calculul campurilor nestationare de temperatura §i tensiunie termice axiale la etapa initiala de incalzire (racire) a corpurilor in forma canonica. A fost strudiat regimul atat prin convectie, cat §i prin radiatie la coeficienti variabili de transfer de caldura §i la temperatura mediului ambiant. Unele dintre solutii sunt generalizate, ceea ce permite reducerea semnificativa a numarului de variabile §i, prin urmare, permite utilizarea metodologiei grafice de rezolvare a problemei. Este stabilit, ca tensiune termice axiale definesc in intregime fluxul de caldura la suprafata. Caracterul adecvat al metodologiilor elaborate este bazat pe cinci cazuri de incalzire (racire) a plitei in conditii diferite de incarcare termice a ei. S-a demostrat, ca eroarea de calcul a temperaturilor suprafetei nu depa§e§te 6% §i metodologia propusa poate fi utilizata pana la numarul Fourier Fo < 0,4 . Cuvinte-cheie.: Scimb de caldura prin radiatie §i prin convectie, coeficienti de schimb de caldura nestationare, incalzire, racire, stagiu initial, temperstura medie §i centrala a masei corpului.
Инженерная методика расчета полей температур и термических напряжений на начальной стадии радиационно- конвективного нагрева (охлаждения) тел при переменных коэффициентах
теплообмена и температуре среды Горбунов А.Д., Уклеина С.В.
Днепродзержинский государственный технический университет Днепродзержинск, Украина Аннотация. Существующие решения задач лучисто-конвективного нагрева (охлаждения) тел на начальной стадии при нестационарных коэффициентах теплообмена и температуры среды довольно громоздки. Цель данной работы получение более простых зависимостей. Решения базируются на основе
анализа полученных ранее авторами уравнений связи между причиной (тепловым потоком) и следствием (температурой поверхности) в начальный период нагрева. Разработаны две простые и эффективные инженерные методики расчета нестационарных полей температур и осевых термических напряжений на начальной стадии нагрева (охлаждения) тел канонической формы одновременно конвекцией и излучением при переменных коэффициентах теплообмена и температуре окружающей среды. Некоторые из решений носят обобщенный характер, позволяющий значительно уменьшить число переменных и таким образом использовать графический способ решения задачи. Приведены формулы для расчета среднемассовых и центральных температур на начальной стадии, чего обычно не делали другие исследователи нелинейных задач теплопроводности. Установлено, что осевые термические напряжения целиком определяются тепловым потоком на поверхности. Адекватность разработанных методик установлена на пяти случаях расчета нагрева (охлаждения) плиты при различных условиях ее теплового нагружения. Показано, что погрешность определения температур поверхности не превышает 6 % и что разработанной методикой можно пользоваться до чисел Фурье Бо < 0,4 .
Ключевые слова: лучисто-конвективный теплообмен, нагрев, охлаждение, начальная стадия, среднемассовые и центральные температуры, инженерная методика расчета.
Введение. Знание температурных полей, а следовательно и возникающих термических напряжений позволит назначать рациональные энерго- и материало- сберегающие режимы нагрева тел в печах, сушильных аппаратах и других установках.
При рассмотрении инерционной стадии, когда процессу нагрева (охлаждения) подвержены только тонкие поверхностные слои массивного тела, последнее можно считать полубесконечным плоским телом.
В работе [1] получены интегральные уравнения для определения температуры поверхности Тп (г) при известном удельном тепловом потоке
Тп (г) = То ± яЖУЛ- Бд (г) (1)
и для расчета теплового потока д(т) при заданной температуре на поверхности тела
Вт W) =
ч{т)= g2 • Tn • BT (r) >
ЫТ
(2)
где g1 = р/Ь ; g2 = ь/4л ; р = 2/-¿л ; Ь = ^ЛСУ — коэффициент теплоусвоения; Су — объемная теплоемкость тела; X — коэффициент теплопроводности; Т0 — начальная температура тела, К; д — тепловой поток на поверхности; коэффициент
1 г ! _ д(о) ^ 1
q ( ) 2q4r { y/r-^
ТМ q
Tn (0) +Л_Т rn(g)d4 Tn (т) Tn (r)J Т-l
Знак «-» в уравнении (1) соответствует охлаждению тела, а «+» — нагреву.
В статье [1] разработана инженерная методика аналитического расчета процессов нагрева (охлаждения) тела на основании решения уравнений (1) и (2) при линейных граничных условиях I, II и III родов на начальной стадии.
В [1] приведен также расчет начальной стадии радиационного нагрева (охлаждения) тел. Данная работа посвящена решению задачи теплопроводности при смешанном радиационно-конвективном теплообмене. Ранее [1] было показано, что в отличие от конвективного теплообмена, при теплообмене излучением процессы нагрева и охлаждения не являются симметричными, поэтому их приходится рассматривать по отдельности.
Решение задачи при нагреве. В этом случае тепловой поток с учетом нестационарности коэффициентов теплообмена и температуры среды Tc (r) имеет вид
q(r) = a{r)[Tc (r) - Tn (r)] + а(т) • T4 (r) - Tn4 (r)],
(3)
где a — коэффициент теплоотдачи конвекцией; а = s • а0 — коэффициент излучения; s — приведенная степень черноты.
Подставляя тепловой поток (3) в уравнение (1), получим решение в неявной критериальной форме
может быть интерпретирован как безразмерный тепловой поток;
Fo =
вп (Fo) -во H • Я(вп, Fo)
(4)
РКОБЬЕМЕЬЕ ЕКЕКОЕТ1С11 КЕОЮКГЛЬЕ 2 (31) 2016 ТЕКМОЕКЕКОЕПСА
где Го = ат/Я^ — число Фурье; а — коэффициент температуропроводности;
относительные температуры: текущая — в = Т (х, г)/Тх ; начальная — в0 = Т0/Тх ; среды
— вс = Тс/Тх ; вп (Бо) = Тп (г)/Тх — на поверхности; Тх — характерная или масштабная температура, например, температура окружающей среды в начальный момент времени Тх = Тс 0, К.
б(вп, Бо) = К1 = Б1(Бо)х X [вс (о) - вп (Бо)] + Бк(Бо). в4 (Бо) - в4 (Бо)] (5)
— относительный тепловой поток, число Кирпичева; Б1(Бо)=а(г)*Я0/Я — число Био;
Бк(Бо) = ст(г) • ТХ3 • Я0 / А — радиационное
число Старка; Я0 — характерный размер
тела.
Для реализации прямой задачи — определения в явном виде при заданном времени, следует решить уравнение 4-й степени относительно искомой температуры поверхности Тп (г). Приводя уравнение (4) к каноническому виду, получим
N24 + г -1 = о,
(6)
где г = ; А =
А
во +вс (БоЬк +вс4 (Бо)- Ул ,
1 + Ук '
N =
А3 У
1 + Ук
Ук = Н• Ук; Ук = Б1(Бо)Бо = ук4т
— безразмерное модифицированное время в случае нагрева конвекцией; ук = а (г)/Ь ;
У л = Н • У л ; У л = $к(Бо) ^л/Бо =Гл-4т — время при лучистом теплообмене; ул =ст(г)- Т^ /Ь ; Н = р • Бд — при малых временах процесса, когда
У < 1 и Н = 4к/БТ при больших У > 1.
Уравнение (4) или (6) должно решаться методом последовательных приближений, т.к. значение Бд, входящее в выражение (1), либо БТ ,
определяемое формулой (2), зависит от величины еще не найденного теплового потока или искомой температуры поверхности. Однако, анализ [1, 2,3] решения задачи конвективного теплообмена показал, что величина Бд, как и БТ , изменяется в
достаточно узком диапазоне от 1 до 1,5, поэтому без большой потери точности можно в дальнейшем положить Бд = 1 и БТ = 1.
Покажем ход решения уравнения (6).
Разлагая функцию (6) в ряд Тейлора для малых N, будем иметь
г = 1 - N + 4^ - 2 • N3 +.... (7)
Эта формула дает результаты с точностью 8Х до 5 %, если N < 0,13 при одном члене разложения, когда 2 «1 - N, для n < 0,16 — при двух и n < 0,18 при трех членах разложения (7). По аналогии можно получить разложение в окрестности точек г(ы = 8) = 0,5; г (192)= 0,25; 1 (500) = 0,2; г (9000)= 0,1 и г (152000) = 0,05. Например, для точек, близких к N = 8 :
! N)-1 -
7
1 N - 8
2 80 10000
(-8) (-8)3.
8 •Ю5
(8)
Для случая больших N приближенную асимптотику получим, решая (6) при г = 0 . Тогда
г =
N .
(9)
При N > 500 погрешность формулы (9) менее 5,7 %, хотя абсолютная разность не выходит за пределы Ы = 0,025 уже при N > 100.
Для получения более точных формул воспользуемся методом касательных Ньютона, итерационная формула которого для решения уравнения (6) имеет вид
гк+1 = ^к
/ (г к) 1+3мг'к
/ '( к) 1+4 ж3
(10)
где к = 0, 1, 2, 3, ... — номер итерации.
Число итераций по уравнению (10), необходимое для достижения заданной точности е, когда |гк+1 - гк| <е можно значительно сократить, если правильно выбрать первое приближение. Полагая в (10) 2к = 1, получим уравнение
г =
1 + 3N 1 + 4 N
= 1 - N1 (1 + 4N),
(11)
справедливое при малых n < 0,58 и 82 < 5 %, либо n < 0,25 и 8г < 1 %.
Для больших N, после подстановки (9) в уравнение (10), будем иметь
г =-
1
1/ 4 + N
с погрешностью менее 5 % при N > 4.
В случае проведения экспресс расчетов, не нуждающихся в особой точности, при определении 2 (ы) можно воспользоваться графиком, который легко строится по формуле (6), разрешенной относительно N
n = (1 - 2 )/2 4 .
(13)
Рис. 1. Номограмма для относительной температуры
5 //
определения поверхности
(графическое решение уравнения NZ +2-1=0)
На рисунке 1 в качестве примера приведена зависимость (13), а в [1] дана таблица 2 (ы).
После определения 2 из уравнений (6)...(13) или из графика (рис. 1), окончательно температура поверхности Тп = 2 • А • Тх , К.
Следует отметить, что решение (6) очень выгодно отличается от (4). Согласно уравнению (4) температура поверхности является функцией от четырех чисел подобия вп = /(, 8к, вс, Бо) и такую зависимость весьма трудно изобразить графически. А из выражения (6) вытекает, что вп есть функция только одного критерия N и она реализована на рис. 1.
С другой стороны, уравнение (4) можно представить в следующем обобщенном виде:
вп (Бо)=0о + Н • Т1(о),
(4а)
где т1(о)=д(вп, Ро)^л/Ё0" общее модифицированное время, число Тихонова.
Решение при охлаждении. Полученные выше решения, описывающие лучисто-конвективный нагрев тела, в принципе можно использовать и здесь, т.к. тепловой поток имеет тот же вид (3) или (5), только с обратным знаком, однако, при охлаждении возможны случаи теплообмена в среду с нулевой температурой, поэтому она не может быть масштабной.
Решая, как и ранее, совместно уравнения (1) и (3), но уже выбирая в качестве характерной
температуры не Тс 0, а максимально возможную, начальную температуру Тх = Т0, получим решения (4) и (6), в которых следует положить
относительную начальную температуру
= 1.
В статье авторов [4] разработана приближенная методика расчета температур при конвективно-лучистом охлаждении тел простой формы в квазистационарной стадии (Бо > 0,3). Задача решалась при тепловом потоке
й($п) = Б1А •(! + Р Я(,
(14)
где
Я = (Т - Тс )/ДТ0 -
относительная
температура при охлаждении; ДТ0 = (( - Тс) — максимальный температурный напор; Д = р • ДТ0 ; Р — коэффициент, учитывающий теплообмен излучением [4].
Для начальной стадии, когда число Фурье меньше времени инерционного периода Бо!, после подстановки теплового потока (14) в уравнение (1), получим неявную формулу, аналогичную (4):
Бо =
1 -Я (Ро)
Н• Б1(Бо)А(Ро)^(1 + Р Я(о))
2
(15)
или в явном виде, после решения теперь квадратного уравнения относительно искомой температуры на поверхности
Яп (Бо ) = 1/ [(1 + 7)4(7)
(16) )2 .
где 47)4 + 41 + 4р )/2. р =Р ^/(1 + 7) при малых р величина ю « 1 + р;
7 = НВфоУЁо .
В заключение приведем еще одну,
упрощенную методику расчета температур на
начальной стадии.
Учитывая алгебраическое тождество
(а4 -Ь4)= (а-Ь)•(а + Ь)•(а2 + Ь2), запишем
тепловой поток (5) в форме
е(0) = ы{вс - в)+ 8к (вс -в) У (в), (17)
где У(в) = (вс +в)-(в2 +в2); в — температура на поверхности в = вп .
Упрощение заключается в замене кубической зависимости У (в) линейной
у (в) «в? + 3в' -в.
Далее перейдем от относительной температуры в = Т (x,г)/Tx к избыточной З = (( (x, г) - Тс )(Т0 - Тс). Деля последовательно числитель и знаменатель на характерную температуру Т1:, получим связь между ними:
3 =
в-вc
или
e = ec-(ec-в0)-3 . (18)
С учетом сказанного, тепловой поток (17) примет «конвективный» вид:
Q(3) = Bi3 • 3 • (1 + /32 • 3)
(19)
где Б1э = Б1 + 4 • 8к •в^ — эффективное число Био, учитывающее теплообмен излучением;
Р2 =-38к(-в0)• в^/Шэ .
Далее используются решения (15) и (16) в которых тепловой поток берется по уравнению
(19).
В случае определения термических напряжений необходимо знание среднемассовой и центральной температур. В работе [4] для модели с тепловым потоком (14) было получено
3_ (Fo)= 3n (Fo) + g • Q(3n),
(20)
где температура поверхности на начальной стадии будет определяться уравнением (15) или (16).
Аналогичную формулу можно записать для модели (3)
вср(Fo) = вп(Fo)-g • Q(en),
(21)
где g = 1/(к + 2); к — фактор геометрической формы, равный 1 для пластины, 2 — цилиндра, 3 — шара. Расчет вп (Бо) — см. уравнение (4) или (6). Приведем еще один, упрощенный способ определения в (Бо). Для
этого воспользуемся идеей [5] термического слоя 8(т) = 2и0у[аг и примем параболическое изменение температур в пределах этого слоя
в(,Fo)=вn(о) + ((Бо)-в)[х2 -2X], (22)
где X = x/б (г).
Среднемассовую температуру пластины получим интегрированием уравнения (22) по координате:
вcp(Ро) = }в(х)(X = в(Бо) + 2в)) . (23)
0
Температуру в центральных точках тела вц найдем, используя понятие о
коэффициенте К2 усреднения теплового
потока. Согласно [6] при нагреве
к2 = Q|(вп -вц), откуда
вц (Fo) = вп (Fo)-Q(вп )K2
(24)
или в случае охлаждения
3ц (Fo) = 3п (Fo)+ Q (3п )K2. (25)
При умеренных критериях теплообмена (Bi, Sk) коэффициент K2 и 2 .
Для расчета вц на самой ранней начальной стадии (Fo < 0,1) можно рекомендовать аппроксимационную формулу вц (Fo) = в0 + Kц • Fo3 или
3ц(Fo)= 1 -K4 • Fo3, (26) где K =Бп1 (2Fo3); Foj — время инерционного периода; еп = 5% = 0,05 — условная степень начала прогрева центральных точек тела, когда принимается, что
вцК) = в0 +^п либо 3ц(Fo!) = 1 -Еп . (27)
Приближенно можно считать, что время инерционного периода находится между режимами Tn = const (граничные условия I
рода) и Qn = const (граничные условия II
рода), т.е.
0,1 < Foj < 1 (2 (( + 2)).
(28)
Более точно, для рассматриваемой здесь задачи, это время можно найти, если условие (27) подставить в уравнение (24) или (25) и разрешить его относительно Бо1 .
Теперь данных достаточно, чтобы, следуя методике [4], записать осевые относительные термические напряжения на поверхности:
при нагреве дп (в) = вср (Бо) - вп (Бо)
или охлаждении дп (з)= Зср (Бо) - Зп (Бо) (29)
и в центральных точках
дц (в) = вср (Бо)- вц (Бо) либо ¿~ц (э) =Зср (о) -Эц (о) , (30)
где а(т) = Сто • <~(Ро) ; ст0 (в) = Б • Тх ;
Ст (Э) = Б • (То - Тс); Б =Рь • Е/( -у); рь — линейный коэффициент термического расширения, Е — модуль Юнга, у — коэффициент Пуассона.
С учетом выражений (20), (21) для среднемассовой и (24), (25) — центральной температур, уравнения (29) и (30) можно упростить до вида:
на поверхности (в) = -g • 0(вп),
ст„(Э)=g • еЭ) (31)
и в центре
СТц (в) = К А • е(вп), СТц (э)= - К А • е(Эп), (32)
где К а = gk/2 = к/ [(( + 2)].
Из последних уравнений вытекает, что к концу начальной стадии осевые термические напряжения прямо пропорциональны тепловому потоку на поверхности и зависят только от его величины. Интересно отметить, что согласно формулам (29)...(32) термонапряжения существенно изменяются со временем, а их отношение
Я = стп/Стц = - 2/ к (33)
есть величина постоянная, зависящая лишь от формы тела.
Для оценки адекватности методики приведем несколько численных примеров расчета. Во всех случаях сравниваться будем с точным значением температур поверхности при малых временах процесса, полученных в соответствующих работах методом конечных разностей (МКР).
Пример 1. При нагреве пластины от начальной температуры в0 = 0,2 с числом Старка 8к = 2 и постоянной вс = 1 в момент времени Бо = 0,3 температура поверхности согласно [7] достигла величины вЩ (0,3) = 0,8774 . Сначала решим обратную
задачу с использованием уравнения (4). Тепловой поток
е (вп ) = 8к (1-в ) = 2 .(1-0,87744 ) = 0,815.
Примем Н = Р = 2/= 1,128 . Время нагрева по (4):
Бо = [(0,8774 - 0,2)(1,128 • 0,815)]2 = 0,388 .
Таким образом, погрешность расчета времени ПРо =(1 - 0,388/0,3)400 = -29,2%.
Теперь решаем по уравнению (6) прямую задачу. Здесь Б1 = 0 , т]К = 0; лучистое модифицированное время
г/л = Н • 8к •л/БО = 1,128 • 2 •Л/0з = 1,236; А = в0 +^Л = 0,2 +1,236 = 1,436; число
N = А3 •г!л = 1,4363 • 1,236 = 3,661. По формуле (12) г = 1/ (0,25 + 3,66114) = 0,612. Искомая температура поверхности
вп = А • г = 1,436 • 0,612 = 0,879 ; погрешность ее определения
Пв = (1 - 0,879/0,8774) • 100 = -0,2%.
Пример 2. Охлаждение плиты от начальной в0 = 1 в среду с вс = 0 при числе
8к = 1,5 . Согласно [8] втп (0,38) = 0,70 . Обратная задача: Н = р; тепловой поток е = Бкв - в4)= 1,5(0 - 0,74)= -0,360 . По
формуле (4)
Ро = [(0,7 -1)/(1,128(- 0,36))]2 = 0,545 . Погрешность
ПРо = (1 - 0,545/0,38) 400 = -43,4 %.
Прямая задача: т]К = 0 ; лучистое время
?1Л = р8к ^л/Ёо = 1,128 4,5^038 = 1,045; А = 1; N = цл = 1,045. По формуле (11) г = 1 - N1 (1 + 4N) = 1 -1,045/(1 + 4 • 1,045) = 0,798 . После трех итераций по уравнению (10) г = 0,72 . Окончательно, температура поверхности вп = 0,72 . Погрешность пв = (1 - 0,72/0,7) • 100 = -2,8 %.
Пример 3. Нагрев пластины от в0 = 0,15 при нестационарном числе Био Б1(Бо) = 0,5еро и температуре среды = 1 + 0,075 • Бо .
Согласно [9] при Бо = 0,4 температура поверхности вЩ (0,4) = 0,482 . Число Био Бф,4) = 0,5 • е ' = 0,746 ; температура среды вс = 1 + 0,075 • 0,4 = 1,03 ; тепловой поток
б(в) = Б1(вс - вп )= 0,746(1,03 - 0,482) = 0,409 ; H = p. Время нагрева по (4): Fo = [,482 - 0,15)1,128 • 0,409) = 0,520 . Погрешность в определении времени Яро = (1 - 0,52/0,4)-100 = -30 %.
Прямая задача: 7л = 0, конвективное модифицированное время
7К = p • Б^Ёо = 1,128 • 0,746 • -Д! = 0,532 ; A = ( + вс • 7к) + 7К) =
= (0,15 +1,03 • 0,532)) + 0,532) = 0,456; N = 0 ; 2 = 1. Температура поверхности
вп = 2 • А = 0,456 . Погрешность в определении температуры пв = (1 - 0,456/0,482)-100 = 5,5 %.
Пример 4. Нагрев плиты от в0 = 0,2 одновременно конвекцией (Б1 = 1) и излучением (Бк = 0,5) при вс = 1. Согласно [10] температура поверхности через время Бо = 0,3 втп (0,3) = 0,699. Тепловой поток
в(вп ) = Б1(1 -вп )+ Бк (1 -вп4 ) = = 1(1 -0,699) + 0,5(1 -0,6994)= 0,682; Н = р . Время нагрева
Fo = [,699 - 0,2)1,128 • 0,682) = 0,421. Погрешность расчета времени
ПБо = (1 -0,421/0,3). 100 = -40,3 %.
Прямая задача: модифицированное время
7К = р • = 1,128 4 •Л/0,3 = 0,618,
7Л = р • 8^л/Ео = 1,128 • 0,5 • ^03 = 0,309;
А = (в0 + 7 К + 7 л )(1 + 7 К ) =
= (0,2 + 0,618 + 0,309) + 0,618) = 0,697 ; число N = А37л/(1 + 7К)= 0,6973 • 0,309/(1 + 0,618) = 0,065 ;
по формуле (11)
2 = 1 - 0,065/(1 + 4 • 0,065) = 0,949 . Температура
поверхности вп = А • 2 = 0,697 • 0,949 = 0,661. Погрешность пв = (1 - 0,661/0,699)-100 = 5,5 %.
Пример 5. Сделаем расчет задачи предыдущего примера по упрощенной методике. Эквивалентное число
Б1э = Б1 + 4Бк = 1 + 4 • 0,5 = 3. Коэффициент
Р2 = - 3Бк(1 - вп)Б1э = -3 • 0,5(1 - 0,2)3 = -0,4 . Избыточная температура поверхности Я„ = (1 - вп )/( - в ) = (1 - 0,699)1 - 0,2) = 0,376 . Тепловой поток по формуле (19) ) = Б1эЯп (1 + Р2Яп) = 3 • 0,376(1 - 0,4 • 0,376) = 0,959. Время нагрева по уравнению (15) Бо = [(1 - Яп )рб(Яп ) = [(1 - 0,376)1,128 • 0,959)]2 = = 0,332 . Погрешность
Про = (1 - 0,332/0,3)00 = -10,7 %.
Прямая задача. Модифицированное время 7 = p • Biзл/Fo = 1,128 • Зд/OJ = 1,854;
р = р2^{[ + ^)2 =-0,4 • 1,854/(1 +1,854)2 =-0,091. a(r¡) = 1 + р = 1 - 0,091 = 0,909. По уравнению (16)4 = 1/ [(1 +¡)-®(¡)] = 1/ [(1 +1,854) • 0,909] = 0,391 . Окончательно температура поверхности вп = 1 -(1 -в0)• = 1 -(1 -0,2)• 0,391 = 0,687 . Погрешность в расчете
Пв =(1 - 0,687/0,699) -100 = 1,1%.
Анализ приведенных численных расчетов показал, что:
во-первых, максимальные погрешности приходятся на определение времени нагрева тела до заданной температуры и не превышает 44 %, хотя абсолютные отклонения не превосходят величин AFo < 0,15 ;
во-вторых, расчет по упрощенной методике оказался гораздо точнее, чем по обычной;
в третьих, погрешность определения температуры поверхности не превышает 6 %;
в четвертых, все примеры брались при максимальных для начальной стадии, длительность которой обычно считается FoHC < 0,1, временах процесса Fo = 0,3...0,4;
вполне очевидно, что при Fo < 0,3 погрешности расчетов будут меньше.
Выводы.
1. Разработаны две простые и эффективные инженерные методики расчета
нестационарных полей температур и осевых термических напряжений на начальной стадии нагрева (охлаждения) тел канонической формы одновременно конвекцией и излучением при переменных коэффициентах теплообмена и температуре окружающей среды.
2. Одно из решений для температуры поверхности оказалось обобщенным, т.е. зависящим только от одного критерия и зто решение было представлено в виде номограммы.
3. Упрощенная методика, учитывающая теплообмен излучением через эффективное число Био, оказалось точнее первоначальной.
4. Приведены формулы для расчета среднемассовых и центральных температур на начальной стадии, чего обычно не делали другие исследователи нелинейных задач теплопроводности.
5. Установлено, что осевые термические напряжения целиком определяются тепловым потоком на поверхности.
6. На пяти численных примерах нелинейных задач нагрева (охлаждения) пластины показано, что погрешность определения температур поверхности не превышает 6 % и разработанной методикой можно пользоваться до чисел Фурье Fo < 0,4 .
Литература (Referencies)
[1] Gorbunov A.D. Analiticheskiy raschet protsessov radiatsionnogo nagreva ( okhlazhdeniya ) tel na nachal'noy stadii [Analytical calculation of objects radiant heating (cooling) processes at the initial stage] // Matematichne modelyuvannya, Nr. 2(27), 2012. - s. 90-94, (In Russian).
[2] Lardner T. Variatsionnyy printsip Bio dlya resheniya zadach teploprovodnosti Raketnaya tekhnika i kosmonavtika [Bio variational principle for solving problems of heat conduction] // Rocketry and Astronautics. — 1963. — Nr 1. — p. 225—236.
[3] Abarbanel S. Time dependent temperature distribution in radiating solids // I. Math. and Phys. — 1960. — V. 39. — No 4. — 246.
[4] Gorbunov A.D., Ukkina S.V. K raschetu nestatsionarnykh temperatur i termicheskikh napryazheniy pri vychislenii koeffitsiyenta teploobmena , uchityvayushchego izlucheniye [For the calculation of nonstationary temperatures and thermal stresses within the calculation of heat transfer coefficient that considering the radiation] // Problemele energeticii regionale termoenergetica. Moldavia. Nr. 1(30) 2016. s. 7883, (In Russian).
[5] Postolnik U. S. Priblizhonnyye metody issledovaniya v termomechanics [The approximate methods of researches in thermomechanics]. - B. - Donetsk: High school, 1984. - 158 pp, (In Russian).
[6] Gol'dfarb E. M. Teplotekhnika metallurgicheskikh
protsessov. [Heat metallurgical processes]- M.: Metallurgiya, 1967.- 439 s. (In Russian).
[7] Gorbunov A.D., Ukleina S.V. Trikilo A.I. Analiticheskoye issledovaniye nagreva tverdykh tel radiatsiyey. Soobshcheniye 2. [Analytical studies of the simple shape objects heating by radiation. Letter 2] // Matematichne modelyuvannya . - Dniprodzerzhins'k : DDTU : 2015. Nr. 3 ( 32 ) - p. 3-8, (In Russian).
[8] Gorbunov A.D. Analiticheskoye issledovaniye okhlazhdeniya tverdykh tel radiatsiyey [Analytical studies of the simple shape objects cooling by radiation] // Matematichne modelyuvannya . -Dniprodzerzhins'k : DDTU , 2012 , Nr. 1 ( 28 ) . -s. 22-27, (In Russian).
[9] Salomatov V.V., Goncharov E.I. Temperaturnoye pole neogranichennoy plastiny pri peremennykh znacheniyakh koeffitsiyenta teploobmena i temperatury vneshney sredy [Temperature field of unlimited plate within the varied heat transfer coefficient values and the ambient temperature] // IFJ . - 1967. - V. 14. - N4. - p. 743-745, (In Russian).
[10] Vidin YU. V. Issledovaniye teploprovodnosti tverdykh tel pri peremennykh granichnykh usloviyakh [The thermoconductivity studies of the solids within the varied boundary conditions] // Izvestiya USSR AS Proceedings. Energy and transport. - 1967. - Nr. 4. - p. 132-134, (In Russian).
Сведения об авторах:
Горбунов Александр Дмитриевич, д.т.н., профессор, заведующий кафедрой теплоэнергетики, Днепродзержинского государственного технического Университета. Область научных интересов: теплоэнергетика, металлургическая теплотехника, нелинейный тепломассобмен. Е-шаП: аогЪитэт@ре.ш
Уклеина Светлана Владимировна, аспирант кафедры теплоэнергетики, Днепродзержинского государственного технического университета. Область научных интересов: промышленная теплоэнергетика, нелинейный тепломассобмен. Е-шаП: [email protected]
