Течение в пограничном слое вблизи малого участка отсасывания Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ Том V 197 4

№ 4

УДК 532.526:533.694.71/72

ТЕЧЕНИЕ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ ВБЛИЗИ МАЛОГО УЧАСТКА ОТСАСЫВАНИЯ

В. А. Баринов

Описывается течение несжимаемой жидкости при отсасывании из пограничного слоя через узкий участок проницаемой поверхности. На основе оценок порядков членов уравнений Навье—Стокса выводятся уравнения, определяющие течение в различных зонах, и развит способ их решения. С целью качественного описания явления приводятся результаты численного расчета для случая линейного распределения скорости по толщине пограничного слоя.

Отсасывание небольшого количества заторможенной жидкости из пограничного слоя является одним из средств ламинаризации потока и уменьшения трения. Успешные экспериментальные исследования [1] выполнены в основном на проницаемых поверхностях со щеляли.

Исследование течения в окрестности щели необходимо как для выбора параметров щели, так и для расчета течения за щелью. В 1955 г. Лахманн [2] предложил считать, что профиль скорости за щелью имеет ту же форму, что и до щели, но срезан на величину расхода жидкости через щель. По этому срезанному профилю скорости можно определить толщину потери импульса 8** и, используя эту величину как начальное значение для расчета по однопараметрическому методу, можно приближенно рассчитать пограничный слой за щелью.

Теоретические исследования пограничного слоя обычно проводились в предположении непрерывно распределенного по поверхности отсасывания [1]. Однако приведенные в [3] результаты расчета показали, что при дискретном отсасывании профили скорости в пограничном слое отличаются от вычислительных по схеме распределенного отсасывания. При этом в работе [3] ширина участка отсасывания выбиралась больше толщины пограничного слоя. В экспериментальных же исследованиях [1] ширина щелей примерно в десять раз меньше толщины пограничного слоя. Поэтому представляет интерес определить картину течения для условий, близких к экспериментальным. :

1. Для описания течения в пограничном слое при отсасывании жидкости через участок пористой поверхности можно либо постулировать наличие тех или иных уравнений, урезанных по сравнению с полными уравнениями Навье —Стокса, затем решить их и на основе решения оценить величину неучтенных членов, либо предварительно провести оценку членов уравнения Навье—Стокса на основе некоторых физических представлений. В настоящей работе будем придерживаться второго из указанных способов.

Пусть на плоскости _у=0 на участке [0, а] задано по некоторому закону распределение скорости отсасывания со средним значением ^ (фиг. 1). Величина а предполагается малой по сравнению с толщиной пограничного слоя 8 (а—10_18). Вне пограничного слоя будем считать течение невязким (зона 1).

Определим высоту отсасываемого слоя жидкости Ду и скорость на границе этого слоя Иду. Используя условие для расхода и оценку

для горизонтальной скорости вблизи стенки и~не где ие—скорость на внешней границе пограничного слоя, получим

АУ : l/~fro a Ay_IГ Щ 5" цд / ^ 1 / ие а

5 ' У ие 8 ’ а ~ У ие а ’ v0 У v0 5 '

Из этих оценок видно, что при заданной величине а/8—Ю-1 соотношение между Ду И 8, между Иду и v0 существенно зависит от величины скорости отсасывания. При задании различных по порядку величины значений ‘P0/«e необходимо рассматривать различные схемы решения исследуемой задачи.

В настоящей работе рассматривается течение вблизи малого участка отсасывания при условиях, близких к экспериментальным,

а именно Кещ = -^—102, Re4 = -^—10* [1], где v — коэффициент

кинематической вязкости, Rem и Res —числа Рейнольдса, образованные по характерным для течения в щели и в пограничном слое

величинам скорости и длины. Для этих условий величина vQ/ие

имеет порядок 10-1, и, следовательно Ду~а, мДу — vQ. В этом случае можно построить следующую схему течения.

Внутри пограничного слоя выделим зоны 2 и 3. Зона 3 примыкает непосредственно к участку отсасывания, зона 2 включает остальную часть пограничного слоя. Естественно считать характерным размером по х и у в зоне 3 величину а, а в зоне 2 — толщину пограничного слоя 8. Согласно приведенным выше оценкам возмущения скоростей в зоне 3 сравнимы с их величинами

в невозмущенном пограничном слое на этих линиях тока. В зоне 2 относительная величина возмущений мала.

С учетом этих представлений в таблице приведены оценки инерционных и вязких членов уравнений Навье—Стокса. В первой строке таблицы для зон 2, 3 приведены выражения для порядков членов через числа Res, Нещ и отношение а/8. Во второй строке приведены числовые значения для оценки порядков членов при Кещ—Ю2, Res~104, а/8~10-1 [1]. Тогда основными членами становятся инерционные члены и течение в зонах 2, 3 описывается уравнениями Эйлера.

Отметим, что изменение типа определяющих уравнений (эллиптические вместо параболических) вызвано увеличением порядков инерционных членов для рассматриваемого течения. Так, для пограничного слоя Прандтля имеем ux~vy — uJL, где L — характерная длина, в то время как, например, в зоне 2 ux~vy~vQjb.

точно велико уже при Re = ие/./у~ 106.

При решении задачи для уравнений Эйлера на стенке ставится условие непротекания, кроме участка отсасывания, где значения вертикальной скорости заданы, а на достаточно удаленном от стенки расстоянии возмущения затухают. При этом вблизи стенки необходимо ввести вязкие области, чтобы обеспечить выполнение условия прилипания.

Обозначим их как зоны 4 и 5 со своими характерными толщинами 84 и 85, при этом зона 5 — область с сильным отсасыванием на стенке. Порядки скоростей и производных от них на границе этих зон определяются их порядками в нижних слоях зон 2 и 3 и на стенке. Они выписаны в таблице. Из равенства инерционных и вязких членов определяем толщину рассматриваемых зон—пристеночных пограничных слоев с распределением скорости на внешней границе, определяемом из решения невязкой задачи. Заметим, что, если в зоне 5 сохранить член иих, который в этой зоне, вообще говоря, мал, то течение в пристеночном слое на расстоянии по х, сравнимом с 8, можно единым образом описать уравнения Прандтля.

Таким образом, задача свелась в рассматриваемой области к решению невязких уравнений и последующему расчету пристеночного пограничного слоя.

2. Известно, что в идеальной жидкости вдоль линии тока ■сохраняется величина завихренности иу—^х = ш и величина полного давления р0 = р + р -“2 ^ • Поскольку на достаточно боль-

шом расстоянии слева от участка отсасывания скорость V и производная ъх малы, то по профилю скорости и (у) можно определить распределение завихренности по линиям тока, справедливое в области возмущенного течения. Если ввести функцию тока ^ = и, $х= — ъ, то уравнение для нее будет, иметь вид:

где ю(ф) — известная нелинейная функция. На границе у = 0 значения функции тока заданы, а именно ф = — / ъйх, т. е. до участка отсасывания можно принять ф=0, за участком отсасывания ф=ф0= =г>0 а. В работе [4] рассмотрен случай, когда и(у)=су и co=const=^^

Отношение этих порядков

доста-

(1)

№ зоны Порядки членов уравнений .Навье—Стокса uux vuy '/Uyy 'mxx uvx Wy Wy, WXX Уравнение

v ~ Vo, U~ i»o, VX ~ vy ~ v0la, 1 1 1 1 1 1 1 1 Px uux + vuy = — — ,

3 ux~~v0!a, uy~v0la~ue/b, uxx~v0/a\ Ивщ Re,„ Rem Rem

uyy ~ v0Ui'J vxx~v0ja2, vyy ~ Vola"- 1 1 I0“2 10-2 1 1 10-2 10-2 UVX -|- Wy = — El

u~ ue, v ~ v0, vy~ v0jb, ux ~ v0lb, uy ~ uejb, Uyy ~ tfg/V1 vx — v0jb vxx ~ Vq/^j uxx : v0IV, Vyy ~ v^w> 1 1 1 a 1 1 1 , Re,u 8 1 8 1 Px UUx-\-VUy=— —. uvx + VVv = — El. 9

2 1 1 Ивщ в Ю-з Re5 10-4 Rej a . 10-1 Re8 a Ю-з Re5 io-<

u~v0, vx~v0lK «y~w0/54l Uyy~v0lbl, 1 1 1 a 1 84 54 8* 64 Px UUx-\-VUy— — — -(-4Uyy,

8 Ивщ 5 8 5 ■ 52

4 Vy~v0/8, v ~ v0/b • S4, ~ vj52, Vjcx~volb3-bi, »уу~В*у~1>0/854 1 1 1 Ю-з 3 10 2 3 10 2 3 10_T Ю-з Py =0, 84 1' f a 1 , 8 V 8 Иещ

tt~% U~V0, Uy ~ v0lb5," Uyy~V0lbl, 85 . 1 85 1 65 85 85 85 1 Px uux+vuy=—— + vMyy,

a a Rem a a a a ReUI

5 ux ~ v0/a, ttjfjf ~ vQla2, Wy ~ r0/a, - vx~v0la, Py = 0, 85 1 а Ибщ

. Vyy ~ uXy ~ Volabb, vxx ~ v0ja2 10-2 1 1 Ю-* 10-2 IQ"2 10-2 IO-4

Функция ш(ф) обладает тем свойством, что на границе пограничного слоя при <!> = <)>] она обращается в нуль. Следовательно, выше линии тока ф=ф! уравнение (1) есть уравнение Лапласа Дф—О, а ниже —уравнение типа Пуассона Дф=ш(ф). Это свойство функции <о(ф) и определяет способ решения задачи. _

- Пусть у=у0 (л:) есть уравнение линии тока Ф=Ф1. Обезразмерим скорости течения по величине ие, а координаты х, у по 8. По аналогии со случаем точечного стока можно считать, чтб на большом удалении от стока кривая у0(х) будет иметь асимптоты, параллельные оси х, но имеющие различные значения ординаты. Пусть слева это будет у 1, а справа у2. В области выше линии тока у0(х) можно выписать явное выражение для скорости течения на линии _у0(л:):

Это выражение получено Г. А. Павловцом в качестве первого приближения при условии малости отклонения линии у0(х) от прямой из интегрального уравнения для интенсивности распределения вихревого слоя, к которому сводится решение задачи о потенциальном течении в области выше линии тока у0(х). Это решение обладает тем свойством, что при х^ + оо и уа(—схэ)=_у1, Уо(°°)=у2 скорость течения имеет одно и то же значение г'4-=1.

Далее, на больших расстояниях, где V к V,. малы, можно записать уравнение для определения профиля скорости; фуу = (о(ф);

Поскольку функция ш(ф) одна и та же, решение этого уравнения имеет вид:

Применяя эти соотношения при ф = ф0> нетрудно получить, что у{—У2= &У> т. е. внешняя линия тока при л:-»-оо смещается на расстояние, с которого при х -> ~ оо происходит отсасывание, профиль скорости при х ^ оо сохраняет свой вид, но он срезан, на стенке величина скорости равна значению в точке у = &у при х -> — оо, вообще профиль скорости при л; -* оо как бы „просел11, опустился на величину Ду. Этот интересный факт свидетельствует о том, что условие Лахманна [2] справедливо на расстояниях, достаточно больших по сравнению с толщиной пограничного слоя.

Определив профиль скорости и вид функции ф(>') при ЛГ-^+ОО, можно поставить краевую задачу для уравнения Дф = о>(ф) в области ниже уи(х) при произвольной функции у0(х). Эту задачу можно решить либо конечноразностным методом, либо методом итераций1 [6]: ,

у, = ----. ■■ :-- 1 -1----

^ 1+Уо(*)а ”

х -> — оо,

X -» оо,

У=Уи Ф = Фу==1.

у = Ау, ф = ф0, у = 0, ф = 0,

у=у2, ф=--ф„ фу = 1,

у = 0, ф = ф0.

X — оо,

Фл+1 = Я К(х, у) О) (Ф„) йхйу,

где К(х,у) — функция Грина для рассматриваемой области. Функцию Грина можно найти, зная конформное отображение искривленной полосы 0<_у<_у0(.х) в плоскости х, у на полосу—1/2<^<1/2, в плоскости р, д [5]. Определив тем или иным способом решение для ф(лг, .у), можно найти значение скорости V_ на кривой у0 (х). Приравнивая значение скоростей 1/+ я V-, получим уравнение для определения функции у0(х) и, решив его, можно рассчитать все течения в окрестности участка отсасывания.

3. В качестве примера расчета рассмотрим случай, когда профиль скорости задан в виде линейной функции: и = ие-~- до у <8

и и = ие при .у >8. Можно надеяться, что полученное при этом решение качественно верно описывает явление.

Для этого случая найдем решение в области ниже у0(х), где уравнение и граничные условия для функции тока имеют вид:

Дф=1, ф = при у=у0(х),

<]> = ф (х) при у = 0.

у2 и

Введением функции <р=ф — задача сводится к следующей:

' А Л , У0(*) / Ч

д? = 0, <р = фх------2 ПРИ У^УЛХ)>

ф = ф(л;) при _у = 0.

Посредством отображения [5]

со

. + щ = + | [1 — _у0(0] -%-(г — Ь)<И

— 00

при условии, что Ду — 1—Уо{£) мало, задача сводится к решению

задачи Дирихле для полосы-----------§-<С<7<-у- с граничными усло-

виями

“ т-[■* 0р)]; 9 = — <Р = ФI* (/>)] •

Задача Дирихле для полосы-----------<<? <-§- имеет следующее ре-

шение [5]:

Ч> = Яеа1

сЬ тс — и>) 2 Л с!1 сЬ ж (< — т)

—оо —оо

у2 у2

где а = ф4 — -£- + Ф, ь = ^ — -у- —<1>.

Используя это решение, определим величину V- при у=у0(х). Приравняв ее к значениям г>+, получим интегродифференциальное уравнение относительно у0(х).

Вследствие громоздкости этого нелинейного интегродифферен-циального уравнения для у0(х), что связано с необходимостью

выделения особенностей при 9 = + “^“ и особенностей в подынтегральных функциях, мы его приводить не будем. ,

Задача решалась на интервале —6,2<х<6,2 при условии, что при х<С. — 6,2 у0 = 1, а при х> 6,2 уа = 1 — Ду, где Д_у = ]/2ф0, ■]|0 =распределение скорости ъ0{х) принималось в виде параболы. Решение уравнения для у0{х) искалось путем подбора функции у0(х) таким образом, чтобы максимальное значение разности г/+ — V- было наименьшим. В качестве функций у0(х) опробовались полиномы третьей степени, гиперболический тангенс. Наилучшие результаты были получены, когда у0(х) Удовлетворяет уравнению:

У о = 1 ~ 1Г ~ агс Уо(^—.

Это есть уравнение одной из линий тока для источника, помещенного в точке с координатами у —К, л: = 0. Наименьшая величина

разности ю+ — V- получена при — 1 и составляет'

0,02-*-0,03, что можно считать допустимым для получе- \ ния результатов качественного характера. Заметим, что при этом неточность в определении скоростей на стенке «о (л:) при у = О еще меньше, а° чем было отмечено при вариациях у0 (х).

На фиг. 2 приведено распределение скорости невяз- 01 кого течения на стенке и на ’ внешней границе. Видно, что установление нового режима за участком отсасывания происходит на расстоянии —5—

68. При этом давления вне 0 пограничного слоя и на стенке существенно отличаются.

Распределение давления по стенке качественно согласуется с измерениями, проведенными А. В. Колесниковым. Эти результаты показывают, что вблизи участка отсасывания скорость имеет порйдок средней скорости отсасывания. Так, при ф„ = 0,02 г»0 —0,1, а и0 = 0,19.

При уменьшении участка отсасывания распределение скоростей и0(х) также меняется (фиг. 3). При. этом ясно видно, что это из-

“с

Фиг. 3

Р II II «л*

р на стенке

/

-5 Гл г»

! Рл' —г 1 - 1

менение происходит на расстоянии порядка ширины участка отсасывания (зона 3), а вне ее (зона 2) распределение и0(х) зависит лишь от величины расхода.

На фиг. 4 приведено распределение скорости и0(х) в непосредственной окрестности участка отсасывания при увеличении расхода жидкости. Видно, что при заданной ширине участка отсасывания, начиная с некоторого значения ф0, возникает локальная

область возвратного течения и0<0. ______

На фиг. 4, а, б\ приведены соответствующие этому картины линий тока.

При умеренном отсасывании линии тока имеют плавный характер, при увеличении отсасывания плавность течения нарушается.

По-видимому, можно предположить, что плавная картина течения

ом

0,02

более устойчива по отношению к малым возмущениям. В связи с этим имеет смысл определить, при каких условиях плавность течения нарушается. На фиг. 5 приведены результаты расчета величины расхода <|>0, при которой возникают локальные области обратного течения. Видно, что при увеличении ширины участка отсасывания течение плавно до больших значений расхода.

В заключение этого пункта отметим, что оценки членов уравнений ^авье —Стокса, сделанные на основе приведенных здесь численных результатов, подтверждают сделанные ранее в п. 1. В качестве примера оценим величину вертикальной скорости и вели-

ие

о Ьу п

чину их в зоне 2: ах ----------^—. Сравнивая эти значения

с приведенными в таблице, можно получить

V а [^е5 , а [ ^е8 ,

Щ Ь У Иещ 1 ’ 5у0 ~ Ь У Яещ 1 • *

4. На основе полученных результатов можно сказать, что вблизи участка отсасывания уравнения пограничного слоя несправедливы, но на расстоянии порядка 3 — 48 (величина 3 — 48 соответствует сравнительно небольшим значениям ф0, при которых производился расчет) течение можно считать по уравнениям пограничного слоя с начальным неавтомодельным профилем, составленным из „срезанного“ и профиля вязкого пристеночного слоя.

На фиг. 6 показано, как преобразуется профиль скорости за участком отсасывания (пунктирная линия). Здесь же приведены результаты расчета по уравнениям пограничного слоя по методу интегральных соотношений А. А. Дородницына [7]. Видно, что в основной части пограничного слоя профили скоростей совпадают, но различаются вблизи стенки. Однако такая неравномерность профиля, составленного из „срезанного" и пристеночного, быстро сглаживается: если профиль скорости в пристеночном слое считать в области приближенно профилем Блазиуса, где с1и0/с1х^О, то трение (т. е. наклон профиля) обратно пропорционально толщине 84. Уменьшение его величины —г»0/84 до значения ие/Ь происходит на расстоянии N = -р-/ толщин 84 или на расстоянии

'—т- е- фактически в начале участка, где йщ/йх-^О.

Это значит, что на малом расстоянии ~48 профиль скорости будет совпадать с рассчитанным по уравнениям пограничного слоя.

В заключение автор благодарит Г. А. Павловца и А. В. Зубцова за ценные советы и обсуждение работы.

ЛИТЕРАТУРА

1. „Astronautics and Aeronautics*, vol. 4, No 7, 1966.

2. Lachmann G. V. „Boundary layer control* .Journal of Royal Aeronautical society”, vol. 59, No 3, 1955.

3. Баринов В. А. Влияние дискретности отсасывания на характеристики трехмерного ламинарного пограничного слоя на скользящем крыле. „Ученые записки ЦАГИ“, т. V, № 1, 1974.

4. Колесников.А. В. Исследование вихревого течения несжимаемой жидкости в окрестности отсасывающей щели Доклады 16-й научно-технической конференции по теории корабля. НТО, „Судостроительная промышленность", вып. 73, М., изд. „Судостроение", 1966.

5. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М., Гос. изд. физ.-мат. литературы, 1958.

6. Курант Р., Г ильберт Д. Методы математической физики. М.—Л., Гостехиздат, 1951.

7. Лю Шань-цюань. Расчет ламинарного пограничного слоя в несжимаемой жидкости при наличии отсоса или вдува. „Журн. вычисл. матем. и матем. физ.\ т. 2, № 4, 1962.

Рукопись поступила ЗІ VI 1973 г.