CC BY
39
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
Т о м IV
197 3
№ 4
УДК 532.526.3
О ПРИБЛИЖЕННОЙ ЗАВИСИМОСТИ КРИТИЧЕСКОГО ЧИСЛА РЕЙНОЛЬДСА В ТРЕХМЕРНОМ ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ
Приводятся результаты численного расчета характеристик устойчивости профилей скорости вблизи критической линии скользящего крыла за участком отсасывания. На основе сопоставления имеющихся литературных и полученных в работе данных выведена более общая зависимость для определения наименьшего критического числа Рейнольдса для профилей скорости в пространственном пограничном слое в направлении, нормальном линии тока на внешней границе пограничного слоя.
Определение характеристик устойчивости пространственного пограничного слоя необходимо при исследовании явления перехода ламинарного пограничного слоя в турбулентный, в частности, при наличии отсасывания воздуха с поверхности крыла [1].
В работе [2] указано, что в линейном приближении исследование устойчивости трехмерного пограничного слоя сводится к расчету устойчивости совокупности плоских профилей скорости, являющихся проекцией вектора скорости внутри пограничного слоя на направление распространения возмущения, которое варьируется в диапазоне + 90° по отношению к линии тока на внешней границе пограничного слоя. Отдельные расчеты, результаты которых приведены в работах [3] и [4], показывают, что наиболее опасны направление распространения возмущений вдоль внешней линии тока и перпендикулярное к нему направление. В настоящей статье рассматривается устойчивость профилей скорости в нормальном к внешней линии тока направлении.
На основе результатов расчета нескольких профилей скорости в работе [5] предлагается следующая аппроксимирующая формула для определения наименьшего критического числа Рейнольдса:
гдеА^ах — максимальное значение скорости в направлении, перпендикулярном внешней линии тока; 8(0. о— расстояние от стенки до
В. А. Баринов, В. М. Лутовинов
Иед;
кр
(1)
точки, где величина скорости составляет 0,1 Л^тах; (д2 N/ ду2)0 — значение второй производной от профиля скорости на стенке; V — кинематический коэффициент вязкости.
Ниже будет показано, что эта формула не всегда верно определяет границу устойчивости.
В работе [6] методом интегральных соотношений рассчитан случай, когда в окрестности критической линии скользящего крыла отсасывание жидкости из пограничного слоя осуществляется на малом участке. Эти расчеты в некоторой мере имитируют экспериментально опробованный способ предотвращения распространения турбулентных возмущений вдоль критической линии посредством отсасывания через щели, расположенные перпендикулярно критической линии [1]. Скорость отсасывания на участке [-— а, 0] задавалась в виде параболы
П(г)=б700^ (^- + 1),
а вне этого участка она равнялась нулю; \/= I/У ■*£/'; г= ги'е/\)Ре; г, — координата и скорость на границе пограничного слоя вдоль критической линии; V — градиент скорости в перпендикулярном к ней направлении х, у = у У и^/ч.
На фиг. 1 приведены профили скорости в пограничном слое в окрестности критической линии в направлении, перпендикулярном внешней линии тока; N = С1—\У; где и (у), IV (у) — профили скорости по х и г, отнесенные к соответствующим значениям на внешней границе. Профиль 1 соответствует координате г = — а; он же имеет место при гсо (г ^ 0,3); профиль 2 соответствует г = 0 при Я — ^оо а~ 0,1^ в,—0,01; профиль 3 рассчитан при 2 = 0, д = —0,2; профиль 4—при г —0,002; <3 — — 0,2; профиль 5 — при г =0,05, <3 = — 0,2. Видно, что непосредственно за участком отсасывания (2 = 0) максимальное значение Л^]па]1 при увеличении расхода <3 меняется незначительно, но величина 8(о, и, т. е. расстояние от стенки до точки на профиле, где N = 0,1 NmгíX уменьшается. Величина (д2N/ ду2)0 для всех приведенных профилей одна и та же, так как на скользящем крыле (д2 т/ду2)0=0, а (д2 и/ду2)0—др/дх, где р—давление, т. е. определяется внешними постоянными в рамках гипотезы пограничного слоя условиями. Следовательно, согласно формуле (1)
величина критического числа Рейнольдса должна быть меньше и профиль за участком отсасывания менее устойчив по отношению к бесконечно малым возмущениям. Этот вывод не соответствует известному положению об увеличении устойчивости пограничного слоя за участком отсасывания, поэтому было решено провести расчет устойчивости этих профилей на основе решения уравнения Орра — Зоммерфельда.
Фиг. 2
Профиль скорости и(у) и и»(у) соответствующего стационарного течения можно определить, интегрируя систему обыкновенных уравнений [6] [в выражениях (2) черточки опущены]:
йи
йу
,1/6 (и); ^ = 1/9(0,); ау
и (0) — но (0) = 0;
£2==
/(!-«); /(1 — те),
(2)
где Рк— многочлены третьей степени, в точках ■шг = г/4, ¿ = 0, 1,2, 3, равные 1 — г/4, а во всех остальных точках обращающиеся в нуль; вк и 2* — значения функций 6 и 2 в точках г/ЛЛ Значения величин Ьк и 2*, использованные в настоящих расчетах, приведены в таблице.
Значения вторых производных от профиля скорости определялись путем дифференцирования соотношений (2), они приведены на фиг. 2. Видно, что максимальное значение второй производной (12Ы¡йу1 для профилей 2, 3 и 4 имеет место внутри пограничного слоя, а не на стенке, как в исследованных ранее случаях [4], [5], [7]. Это связано с тем, что перестройка внутренней части пограничного слоя с большими при наличии отсасывания значениями №'(у) происходит медленнее, чем изменение значения второй производной на стенке, которое следует за изменением скорости отсасывания.
шетры Профиль 1 Профиль 2 Профиль 3 Профиль 4 Профил 5
00 0,8112 0,3041 0,1839 0,3034 0,6773
01 0,9909 0,3371 0,1863 0,3057 0,7687
02 1,3314 0,5348 0,2977 0,3989 0,9501
03 2,2442 1,5743 1,1615 1,1855 1,5975
20 1,7535 0,4566 0,3190 0,5062 1,0823
21 1,7928 0,7183 0,4342 0,5741 1,0934
Й2 1,9854 1,5735 0,9198 0,9275 1,2630
Йз 2,7813 3,4440 2,6146 , * 2,4632 2,4093
Расчет критических чисел Рейнольдса проводился при обычных предположениях линейной теории гидродинамической устойчивости согласно процедуре, указанной в работах [7], [8]. Как и в работе [7], использовался вариант детерминантного метода
, 0 ( В + в*
д' = Вд-{-----з---
Я, Я Я
Здесь
В:
Н Н*
/,// + /2н* и
0 1 0
; Н = 0 0 1
0 0 0
= 2а2 4 га Не (/V— С); /2
I <711 = 1:
+ га Ие (А'' — С)] + га Ие ЛГ,
В*, Я* —матрицы, сопряженные В, Н; а, С — безразмерные волновое число и комплексная скорость распространения возмущений.
10 20 100 200 т Ке
Фиг. 3
Результаты расчета приведены на фиг. 3. Здесь Ие=
ЛГ„
Результаты расчета показывают, что устойчивость пограничного слоя за участком отсасывания существенно повышается.
В связи с изложенным возникает необходимость скорректировать или заменить формулу (1) для определения значения критического числа Рейнольдса.
В уравнение Орра — Зоммерфельда входит функция №'(у), которую можно характеризовать ее максимальным значением, поэтому в качестве определяющего параметра можно взять не параметр N"(0) 8^0,1) ;Атах, как в работе [5], а Ыт„ 8(о,1)/ЛАтах. Тогда результаты расчета для профиля скорости при умеренной величине расхода воздуха (2 = — 0,1 (профиль 2) наряду с известными ранее данными [4], [5] и [7] можно описать одной формулой
= Аих»((и>.... 58 8__о 708(3)
кр V ’ ’ Л щах ' ду2 ' >
шах
Для профилей 3 и 4 при большей величине расхода воздуха критические числа Рейнольдса превышают значения, определяемые этой формулой.
Возможны и другие варианты, например, в работе [9] показано, что результаты расчета критического числа Рейнольдса для профилей с монотонно возрастающей от 0 до ие скоростью можно ■описать с некоторым приближением единой зависимостью от параметра Т — (ди1ду)0 8*, где (ди!ду)0 — значение первой производной от профиля скорости на стенке, 8* — толщина вытеснения. Если аналогично этому для профилей, нормальных к внешней линии тока, ввести параметр = ЛГ (0) 8(о;и/Мпах, т0 оказывается, что все известные данные, включая и полученные в настоящей работе, кроме профилей, соответствующих повышенному отсасыванию, можно описать также одной формулой
Келгкр - Л ':;ах,',<п-: — 8,77 (М)1’14- (4)
Однако, критические числа Рейнольдса при большем отсасывании (профили 3, 4 и 5) довольно значительно превышают значения, предсказываемые зависимостями (3) и (4) и тем более формулой (1). Это указывает на необходимость введения в этом случае дополнительного параметра, который бы позволил скорректировать указанные зависимости с учетом результатов, полученных из расчетов по уравнению Орра—Зоммерфельда.
Если сопоставить разность между точными (расчетными) значениями критического числа Рейнольдса и вычисленными по формулам (3), (4) (Д/?дг и Д/?др) соответственно со значениями безраз-
мерной скорости Сп в точке перегиба (фиг. 4), то оказывается, что существует монотонная зависимость, которая хорошо описывается следующей формулой
Д/? — 6920 Сп6 ’8 .
Следовательно, введение этой поправки дает вместо (3) и (4)
Ие* = 58,8 - 0,71 ^ ) + Л ^ (5>
КР ^тах ' /шах
Иелг ==8,77 (/V'’)1'14 —Д/? . (6)
кр
Эти формулы значительно лучше аппроксимируют все известные результаты, включая и значения критических чисел Рейнольдса для профилей с повышенным отсасыванием. Это особенно хорошо видно на фиг. 5, где показано изменение критического числа Рейнольдса за участком отсасывания в зависимости от удаления от него.
В заключение следует подчеркнуть, что предлагаемые зависимости относятся к критическим числам Рейнольдса для профилей скорости в направлении, нормальном к внешней линии потока,
которые не меняют знака внутри пограничного слоя.
ЛИТЕРАТУРА
1. .Astronautics and Aeronautics“, 1966, v. 4, No 7.
2. Gregory N., Stuart I. Т., Walker W. S. On the stability of three-dimensional boundary layer with application to the flow due to rotating disk phil. Trans., Roy. Soc., London., Ser A, v. 248, No 943, 1955.
3. Brown W. B. Incompressible cross Flow stability calculations with various angles of the wave fronts with the potential flow direction. Summery of Laminar Boundary Layer Control Research, v. 1, 1964.
4. В о л о д и н А. Г. Устойчивость пограничного слоя на скользящем крыле. Изв. Сиб. отд. АН СССР, серия техн. наук, вып. 3, № 13, 1971.
5. Brown W. В. A stability criterion for three-dimensional laminar boundary layer, Boundary Layer and Flow Control. Its Principles and application, v. 2, Oxford and others, 1961.
6. Б a p и н о в В. А. Трехмерный пограничный слой в окрестности критической линии скользящего крыла при неравномерном отсасывании. .Ученые записки ЦАГИ“, т. Ill, № 1, 1972.
7. Лутовинов В. М. Неустойчивость плоской пристеночной струи. „Ученые записки ЦАГИ“, т. III, № 6, 1972.
8. Л у т о в и н о в В. М. О методе локализации собственных значений и одной задаче линейной теории гидродинамической устойчивости. „Ученые записки ЦАГИ“, т. II, № 2, 1971.
9. Wuest W. Survey of calculation methods of laminar boundary layers with suction in Incompressible flow. Boundary Layer and Flow Control its Principles and Application, v. 2, Oxford and others, 1961.
Рукопись поступила 31 /X 1972 г~
