CC BY
50
Том XЬ11
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ 2011
№ 3
УДК 532.526.2
РАЗВИТИЕ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ, ВЫЗВАННЫХ ЩЕЛЕВЫМ ОТСОСОМ
Д. С. ДАНИЛОВ
Исследовано развитие нестационарных возмущений, возникающих в результате щелевого отсоса газа в ламинарном пограничном слое. Для этого рассмотрено асимптотическое решение уравнений Навье — Стокса при числе Рейнольдса, стремящемся к бесконечности, описывающее нестационарное ламинарное течение около обтекаемой сверхзвуковым потоком газа пластины, на поверхности которой осуществляется щелевой отсос. Сформулирована задача Коши для уравнения Бюргерса, описывающего распространение возмущений в нелинейной невязкой области на дне пограничного слоя. Получены численные решения.
Ключевые слова: сверхзвуковое ламинарное течение, нестационарное взаимодействие, асимптотическая теория.
Отрыв пограничного слоя во многих случаях является нежелательным явлением, для его устранения применяются различные способы управления. Одним из наиболее эффективных способов воздействия на пограничный слой является отсос газа. Из физических соображений можно предположить, что чем уже область, в которой осуществляется отсос, тем эффективнее его влияние на течение, поскольку при этом сокращается длина зоны, в которой отсасываемый пограничный слой подвергается тормозящему воздействию вследствие трения о тело. По этой причине в данной работе рассматривается отсос газа через щель. Кроме того, щелевой отсос более прост в осуществлении.
Теория пограничного слоя неприменима для описания течений, в которых возникает отрыв или присутствуют области с большими локальными градиентами давления. Исследование отрыва ламинарного пограничного слоя в сверхзвуковом потоке [1] привело к формулированию теории «свободного взаимодействия». Принципиальное отличие этой теории от классической теории пограничного слоя заключается в учете взаимодействия между внешним потоком и вязким течением. В силу того, что щелевой отсос газа приводит к возникновению больших локальных градиентов давления, этот класс течений относится к задачам нестационарной теории взаимодействия. Такой процесс проанализирован в данной работе с помощью метода сращиваемых асимптотических разложений.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ОЦЕНКИ ПОРЯДКОВ ВЕЛИЧИН
Рассматривается обтекание плоской поверхности сверхзвуковым потоком газа. На расстояние I от передней кромки расположен центр щели, через которую осуществляется отсос газа. Для координат, отсчитываемых вдоль поверхности и по нормали к ней, времени, компонентов вектора скорости, плотности, давления, полной энтальпии, динамического коэффициента вязкости приняты следующие обозначения:
1х, 1у,И/иаа, 11у н, РЮР, 9жм1р, и2,Н/2. |лу ц. где индексом да
отмечены параметры невозмущенного невязкого потока над плоско-
ДАНИЛОВ Дмитрий Сергеевич
младший научный сотрудник ЦАГИ
стью. Предполагается, что возникающее в уравнениях число Рейнольдса Ке = велико,
но при этом не превосходит критического значения, при котором вблизи поверхности образуется область переходного или турбулентного течения. В дальнейшем вместо него удобно использо-—1/2
вать параметр в = Яс ' , при этом изложенное выше предположение относительно числа Рейнольдса можно выразить в виде:
е«:1. (1)
Пусть отсос происходит через щель, ширина которой не превышает толщину пограничного слоя. Кроме того, возмущения, вносимые отсосом, могут распространяться в пограничном слое вверх и вниз по потоку. Такого рода эффекты существенно зависят от числа Маха, температурного фактора и режима течения в пограничном слое (ламинарного или турбулентного). Как следует из вышеизложенного, на пластине реализуется ламинарный режим обтекания, при этом число Маха набегающего потока конечно. Еще одно предположение заключается в том, что возмущения, вносимые в поток, малы. В частности, мала характерная амплитуда возмущений давления Ар, через которую в данном рассмотрении выражаются все остальные локальные масштабы:
Ар <к 1. (2)
Несмотря на малость возмущений, локально в области возмущенного течения они вносят наибольший вклад в продольные составляющие градиентов. Под воздействием малых возмущений давления, вызванных отсосом, меняется толщина вытеснения пограничного слоя 5*, при этом основной вклад в это изменение вносит пристеночная область с малыми скоростями [1], в дальнейшем называемая областью 3. Изменение продольной составляющей скорости в этой области нелинейно, т. е. масштаб скорости щ равен масштабу ее возмущений Ащ. При нелинейном воздействии на пристеночное течение изменение скорости можно оценить из условия баланса сил инерции и давления:
Ащ-щ-Ар1^2. (3)
Оценка (3) верна, если влияние сил вязкости в данной области в первом приближении
несущественно. Ниже будут получены значения характерных амплитуд возмущения давления
Ар, при которых реализуется данный режим течения. Из условия сохранения расхода следует, что при нелинейных изменениях скорости в пристеночной области ее толщина также меняется в главном порядке. Кроме того, из условия баланса расхода можно найти масштаб толщины третьей области 83, равный масштабу ее возмущений А83:
А83~83~8Ар1/2. (4)
При этом важно, что основная часть пограничного слоя (область 2) с конечными скоростями и2~ 1 и толщиной, зависящей от числа Рейнольдса, 82 ~ в дает существенно меньший вклад
в суммарное изменение толщины вытеснения А8*, поскольку изменения скорости здесь при малых амплитудах давления линейны:
Д52 ~ г Ар. (5)
Сравнение оценок (4) и (5) показывает, что основной вклад в изменение толщины вытеснения формируется в области 3: А8* ~ А83. Оценка для масштаба индуцированного возмущения давления Ар следует из линейной теории сверхзвуковых течений:
Из (6) с учетом (4) можно выразить масштаб длины области возмущенного течения Ах непосредственно через масштаб амплитуды возмущений давления Ар:
Ах~г/ Ар^2. (7)
Из оценки (7) следует, что для всех малых возмущений давления Ар длина области возмущенного течения Дх превосходит толщину пограничного слоя 82 ~ е. Это дает возможность использовать линейную теорию сверхзвуковых течений для определения масштаба индуцированного возмущения давления.
Учет влияния вязкости на течение в области нелинейных возмущений скорости приводит
к известным оценкам теории свободного взаимодействия [2]. Ниже рассмотрен режим, для кото-
рого влияние вязкости в первом приближении несущественно [3]. Вследствие этого характерный масштаб возмущений давления Ар должен удовлетворять условиям
8^2«;Ар«:1. (8)
Таким образом, в предельном переходе наряду с числом Рейнольдса участвует масштаб возмущений давления Ар, характеризующий величину локальных возмущений.
Для данного режима в поле возмущенного течения можно выделить четыре характерные области. Область 1 представляет собой невязкое сверхзвуковое течение с конечными скоростями:
щ~ 1.
Ее поперечный масштаб равен произведению масштаба длины на наклон характеристик и при конечном числе Маха совпадает с продольным масштабом:
51 ~ Лх ~ г/ Ар1/2.
Область 2 — основная часть пограничного слоя, для которой справедливы классические оценки скорости и толщины:
и2 ■ 1, §2 ^
На дне пограничного слоя расположена область нелинейных возмущений продольной скорости, где влияние вязкости в первом приближении несущественно (область 3):
Аи3 ~иъ~ АрУ2.
Толщина области 3 также меняется нелинейно:
Л83 ~ 83 ~ в Ар1!2.
При этом, как было показано выше, ее возмущения вносят основной вклад в изменение толщины пограничного слоя и, как следствие, в генерацию возмущений давления.
Для выполнения граничных условий на стенке необходимо ввести в рассмотрение область 4, учитывающую влияние вязкости. Масштаб продольной составляющей скорости в этой области такой же, как и в расположенной над ней области 3:
.
Характерный поперечный размер б4 оценивается из условия баланса сил вязкости и инерции:
54 ~ 1Лр1/2.
Область 4 является пограничным слоем по отношению к нелинейной невязкой области 3, как область 2 является классическим пограничным слоем Прандтля в отношении сверхзвукового
невязкого течения в области 1. Следует отметить, что предполагаемая структура течения существует только при условии, что в локальном пограничном слое, в области 4, реализуется безотрывное обтекание. В силу того, что возмущения распространяются в пограничном слое вверх и вниз по потоку в продольном направлении, характерное время тг для каждой из областей возмущенного течения определяется как отношение масштаба длины Ах, одинакового для всех рассматриваемых областей, к масштабу продольной скорости щ:
т1~т2~ 5/ 2 ■> т3 ~ т4 ~ е/Ар.
Наименьшие величины продольной скорости присущи областям 3 и 4. Из этого следует, что величина характерного времени для них много больше аналогичного масштаба для областей 1 и 2. Поэтому нестационарные процессы в пристеночных областях сопровождаются квазистацио-нарными процессами в областях внешнего потока, другими словами, любое возмущение, индуцируемое течением вблизи нижней стенки, мгновенно (в масштабе времени, характерном для пристеночного течения) передается вдоль характеристики в невязком течении.
2. ВЫВОД УРАВНЕНИЙ
Основываясь на полученных выше оценках, можно записать асимптотическое представление уравнений Навье — Стокса в нелинейной невязкой области течения, названной выше областью 3. С этой целью вводятся новые локальные переменные, а функции течения представляются в виде асимптотических рядов:
х = 1 + р^2а^2гАр^2хъ,
у = 9:12а-^2уъ, (9)
I = а~^2еАр~1Ц,
— 1/9 1/9
и X, у, t, 8, Ар =ри/ Ар1 и3 Х3, _у3, ^3 +...,
V х, у, t, в, Ар = р;1/2а'1/281/2Ар3/2У3 х3, у3, % +...,
(10)
р х, у, I, 8, Ар = у-1М“2 + Арр3 х3, у3, Ц +..., р х, у, Г, 8, Ар =р№+...,
где — число Маха невозмущенного невязкого потока газа над пластиной; у — отношение удельных теплоемкостей; ри. — характерный масштаб плотности в пристеночной области. Кроме того, а представляет собой безразмерное напряжение трения в невозмущенном пограничном слое а = ди/ду , из чего следует вывод о порядке этой величины:
а ~ е-1.
Исходя из предположений о характере течения в области 3 было сформулировано условие предельного перехода (8), которое можно записать в следующем виде:
е—>0, Ар>^0, е1^2 Ар—1 —> 0. (11)
После перехода к новым переменным (9), подстановки асимптотических разложений (10) в уравнения Навье — Стокса и осуществления предельного перехода (11) в первом приближении получается система уравнений, описывающая течение идеальной несжимаемой жидкости в тонком слое около стенки:
диъ | ^3 _ 0 дх3 дуъ ’
^ + „3^ + „3^ + 5й=0, (12)
с¥3 9х3 9у3 9х3
^ = 0.
Фз
Одним из возможных решений системы (12) является сдвиговое течение. В связи с этим решение для продольной составляющей скорости можно искать в следующем виде:
Щ = Уз +Л х3, % . (13)
Функция А, введенная в (13), имеет смысл взятого с обратным знаком изменения толщины
вытеснения пограничного слоя, и, кроме того, она равна продольной скорости и3 при у3— 0 на
обтекаемой поверхности:
Щ Н =А Н ■
Из уравнения неразрывности с учетом (13) можно получить решение для поперечной составляющей скорости:
дА
(14)
5х3
При этом распределение поперечной скорости у3 на поверхности пластины при уъ— 0 задается функцией у№ , с помощью которой можно моделировать отсос газа:
уз *з>°> Н *3, Н ■
Уравнение для продольной компоненты импульса при подстановке туда (13) и (14) сводится к следующему:
дА дА дръ
— + Л------+ у^+ —= 0. (15)
дН дхъ дхъ
Распределение А индуцирует во внешнем сверхзвуковом потоке возмущение давления, которое можно найти из решения для области 1, где возмущение давления удовлетворяет волново-
му уравнению
дА /1 /г\
Л=-—• (16)
5х3
С помощью (16) можно исключить возмущение давления р3 из уравнения (15), сведя его к уравнению Бюргерса, описывающему пространственно-временную эволюцию А:
дА АдА д2А
— + А------+ у =—- (17)
дЦ дх3 дхI
При ненулевом свободном члене для уравнения (17) не существует общего алгоритма поиска аналитического решения. В то же время, структура уравнения дает основания предполагать, что у его решений могут проявляться как волновые, так и диссипативные свойства.
Ценность полученной физической модели заключается в том, что развитие самоиндуциро-ванных возмущений в пограничном слое описывается одним уравнением (17), при этом процесс самосогласованной генерации возмущений запускается с помощью свободного члена этого уравнения.
3. ФОРМУЛИРОВКА МОДЕЛЬНОЙ ЗАДАЧИ И РЕЗУЛЬТАТЫ РЕШЕНИЯ
С целью изучения процесса распространения возмущений, вызванных отсосом газа, была поставлена следующая модельная задача. На обтекаемой плоской поверхности расположена щель конечного размера, через которую осуществляется отвод газа, возмущающий течение в данной области. В математической постановке задачи это означает, что на некотором отрезке плоскости, ограничивающей поток, поперечная составляющая скорости у3 принимает отрицательное значение:
°» Н *з> Н <0-
На всей же остальной поверхности выполняется условие непротекания:
^ *3, Ч = °-
В дальнейшем рассматривается щель длиной X, центр которой совпадает с началом координат. При этом поперечная скорость отсасываемого газа на всем протяжении щели равна V.
В момент включения отсоса при Ц = 0 сдвиговое течение около пластины не возмущено. При этом линии тока должны быть параллельны обтекаемой плоскости, из чего с учетом (13) и (14) следует, что продольная составляющая скорости н3 должна принимать нулевое значение на
поверхности пластины щ х3, 0, 0 -А х3, 0 =0. Таким образом, сформулировано начальное условие и поставлена задача Коши для уравнения (17):
А хя, 0=0.
(18)
Рассмотрено два случая, отличающихся длительностью отсасывания. В первом случае отвод газа осуществляется в течение полубесконечного интервала времени, начинающегося с момента включения Ц — 0, вследствие чего свободный член уравнения (17) имел следующий вид:
V* хз, Н =
тг I I ^ п
1Хз|-2’ '3 ’
0, |х3| > —.
I з| 2
(19)
Решение уравнения (17), соответствующее свободному члену (19), описывает расширение области возмущенного течения и дает представление о механизме распространения возмущений вниз и вверх по потоку. Для изучения эволюции индуцированных возмущений после прекращения отвода газа рассмотрен второй случай воздействия на течение ограниченной длительности: отсос включается при ^3 = 0 и выключается спустя при /3 = 7'. В этом случае свободный член уравнения (17) определяется следующим образом:
тг I I ^
0, I х31 > —.
I з| 2
(20)
При этом функция 5 ^ , входящая в выражение (20), служит для ограничения длительности отсоса:
1,
0, и > Т.
0 < Ц < Т,
(21)
Очевидно, что решения поставленных задач совпадают на отрезке времени длиной Т после начала отсоса. Обе задачи были решены численно, при этом параметры свободных членов (19), (20) и (21) были заданы следующим образом:
х = \, У = 1, Г = 50.
Следует заметить, что задание единичной длины щели X эквивалентно исключению этого параметра в результате аффинного преобразования:
х3=Хх3, ?3=Х?3, А3=Х А3, ун,=Х
Кроме того, длительность отсоса Т во втором случае выбиралась таким образом, чтобы развитие генерируемых возмущений к моменту его выключения носило существенно установившийся характер.
Отсос приводит к генерации отрицательного приращения толщины вытеснения, величина которого возрастает в течение некоторого промежутка времени, при этом область возмущенного течения расширяется в обоих направлениях, выходя за границы щели (рис. 1). Затем механизм распространения возмущений меняется: характер расширения возмущенной области начинает зависеть от направления. Вверх по потоку решение для А стремится принять форму стационарной кривой, монотонно возрастающей от нуля при —»—гл до Д11ах ~1.49 в точке х3 =0.5 на правой границе щели. Вниз по потоку с постоянной скоростью с « 0.73 бежит волна, за фронтом которой формируется область «плато» высотой Атах, начинающаяся на правой границе щели х3=0.5. При этом вследствие зависимости (17) волна А сопровождается волной возмущения давления ръ, приобретающей форму положительного импульса высотой /;3|Ш1Х = 0.27, бегущего вниз по потоку со скоростью с, которая определяется как скорость его точки максимума (рис. 2). За волной возмущения давления, бегущей вниз по потоку, расположена невозмущенная область, берущая свое начало на правой границе щели х3 = 0.5. Вверх по потоку возмущение давления ръ монотонно убывает от нуля при х^ —»-оо до /^П1Ш ~ -0.58 на левой границе щели =-0.5. Прилегающая к пластине часть потока засасывается в щель, что вызывает отклонение к поверхности струек тока, расположенных на большем расстоянии от нее. Таким образом, в поле течения возникает расширяющийся в обоих направлениях прогиб линий тока (рис. 3). Спустя некоторое время изогнутые выше по течению струйки тока вновь становятся прямыми на правой границе щели х3 =0.5. То есть внутри области возмущенного течения, расширяющейся вниз по потоку с постоянной скоростью, возникает участок прямолинейного течения.
Выключение отсоса приводит к возникновению заднего фронта волны А, движение которого вниз по потоку носит нелинейный диссипативный характер (рис. 4). При этом он догоняет
А
1
0.5
-10 -5 0 5 10 15 *з
Рис. 1. Развитие возмущения А х3, /3 , генерируемого отсосом бесконечной длительности
/3 =1, 2, 4, 8, 12, 16, 20, 160
-10 -5 О 5 10 15 *з
Рис. 2. Возмущение давления р3 х3, /3 , генерируемое отсосом бесконечной длительности /3 =1, 2, 4, 8, 12, 16, 20, 160
Рис. 3. Локальное отклонение линий тока к поверхности, вызванное отсосом
/3 = 4, 10, 16
Рис. 4. Движение вниз по потоку волны возмущения А х3, 13 , генерируемого отсосом бесконечной длительности /3=40, 60, 80, 100, 120, 140 . Диссипация А х3, /3 после выключения отсоса /3 =60, 80, 100, 120, 140, 180,220,260,300
-5 0 5 10 15 20 25 хз
Рис. 5. Диссипация возмущения давления р3 х3, 13 в области щели после выключения отсоса =51, 52, 54, 56, 58, 60
у 1
II О' II 00 о
■— /
0 20 40 60
Рис. 6. Распространение вниз по потоку возмущения давления р3 х3, /3 после выключения отсоса = 60, 70, 80
Рис. 7. Распространение вниз по потоку импульса возмущения давления р3 х, Н , генерируемого отсосом бесконечной длительности /3=40, 60, 80, 100,120,140 . Диссипация р3 х3, 13 после выключения отсоса 13 =60, 80, 100,120,140, 180,220,260,300
Рис. 8. Линии тока в момент выключения отсоса и после этого = 50, 60, 70, 80
движущийся с прежней постоянной скоростью с передний фронт, тем самым сокращая область «плато». В момент, когда задний фронт догоняет передний, скорость и амплитуда волны А начинают уменьшаться — происходит диссипация возмущения. После отключения отсоса вызванный им провал давления с точкой минимума на левой границе щели = —0.5 превращается в отрицательный импульс возмущения давления, движение которого вниз по потоку носит не волновой, а диссипативный характер, поскольку сопровождается уменьшением его амплитуды и увеличением продольного масштаба (рис. 5). При этом скорость его достаточно велика, чтобы догнать положительный импульс возмущения давления, продолжающий равномерное движение со скоростью с в том же направлении (рис. 6), после чего скорость и высота последнего начинают уменьшаться, а характерный продольный масштаб возрастать (рис. 7). То есть происходит диссипативное уменьшение возмущения давления, сопровождающееся замедлением скорости его движения вниз по потоку. Картина обтекания после отключения отсоса меняется следующим образом: сформировавшийся за щелью участок прямолинейного течения разрушается быстрее, чем область прогиба линии тока расширяется вниз по потоку (рис. 8). В момент, когда прямолинейный участок перестает существовать, начинают уменьшаться глубина прогиба струек тока и скорость, с которой рассматриваемая область расширяется вниз по потоку. Поток стремится вернуться к первоначальному невозмущенному состоянию, при котором линии тока всюду параллельны пластине.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Цель данной работы состояла в изучении вызванных отсосом нестационарных возмущений поля течения, распространяющихся на дне пограничного слоя в области нелинейных возмущений
скорости. Этот процесс может быть описан уравнением Бюргерса, свободный член которого определяется отсосом газа. Индуцируемое при этом возмущение давления проникает как в основную часть пограничного слоя, так и во внешний невязкий сверхзвуковой поток. Было установлено, что механизм распространения возмущений, генерируемых отсосом, зависит от направления относительно потока: вниз по потоку бежит возмущающая поле течения волна, за фронтом которой наступает стабилизация и возмущения газодинамических функций перестают зависеть от времени. Давление падает вверх по потоку до левой границы щели. Вниз по потоку с постоянной скоростью распространяется импульс положительного приращения давления. При этом между щелью и импульсом возникает участок, на котором давление не возмущено. После выключения отсоса начинается процесс диссипации индуцированных им возмущений, при этом на протяжении некоторого времени продолжается волновое расширение возмущенной области вниз по потоку.
ЛИТЕРАТУРА
1. Нейланд В. Я. К теории отрыва ламинарного пограничного слоя // Изв. АН СССР. МЖГ. 1969. № 4, с. 53—57.
2. Нейланд В. Я. Асимптотические задачи теории вязких сверхзвуковых течений //
Труды ЦАГИ. 1974, вып. 1529, 125 с.
3. Липатов И. И., Нейланд В. Я. К теории нестационарного отрыва и взаимодействия пограничного слоя со сверхзвуковым потоком газа // Ученые записки ЦАГИ. 1987.
Т. XVIII, № 1, с. 36 —49.
Рукопись поступила 4/Ш 2010 г.
