Нелинейное развитие возмущений в осесимметричных пограничных слоях Текст научной статьи по специальности «Физика»

_________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

Том XXX 1999 ' :

№3-4

УДК 532.526

НЕЛИНЕЙНОЕ РАЗВИТИЕ ВОЗМУЩЕНИЙ В ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ПОГРАНИЧНЫХ СЛОЯХ

А. X. Карабалаев, И. И. Липатов

Методами теории сращиваемых асимптотических разложений проведен анализ нестационарных уравнений пограничного слоя при разрывных граничных условиях (движение поверхности; отсос, тангенциальный вдув). Показано, что в случае осесимметричных течений процессы свободного взаимодействия описываются решениями неоднородного уравнения Кортевега де Вриза. Выявлена структура возмущенного течения, включающая в себя ряд вложенных подобластей. Приведены результаты численного решения, иллюстри-! рующие проявление волновых свойств рассматриваемых процессов.

Анализ поведения решения уравнений пограничного слоя для случая разрывных граничных условий проведен в работе [1], в которой рассмотрена задача об обтекании задней кромки пластины. В этой задаче имеется переход от условия на пластине к условию симметрии на оси следа (ниже по течению от задней кромки пластины), что соответствует разрывному поведению градиента продольной скорости на оси симметрии. Оказалось, что решение классических уравнений Прандтля приводит к особенности в распределении вертикальной скорости на внешней границе пограничного слоя (следа) и необходимо построение другой теории. В работах [2], [3] показано, что при описании течения около задней кромки пластины нулевой толщины и конечной длины, расположенной под нулевым углом атаки, необходимо учитывать влияние сильного локального вязко-невязкого взаимодействия. В дальнейшем структура возмущенного течения вблизи задней кромки пластины исследовалась в [4]. Последующие исследования течений при разрывных граничных условиях относились к стационарным режимам [5]—[10]. В работах [11]—[13] анализировались плоские нестационарные течения при наличии разрывных граничных условий.

В данной статье рассматриваются нестационарные осесимметричные течения. Предполагается, что индуцируемое разрывным распределением скорости поверхности возмущение давления зависит от продольной кри-

визны линий тока невязкого течения. Подобный закон взаимодействия приводит к уравнению Кортевега де Вриза, описывающему нелинейно возмущенное течение вблизи точки разрыва граничных условий.

1. Постановка задачи. Рассматривается обтекание осесимметричной трубки с радиусом Лд невозмущенным сверхзвуковым потоком (число М> 1). Предполагается, что поверхность трубки изотермическая, а температурный фактор имеет конечное значение. Для продольной координаты, отсчитываемой от точки изменения граничных условий, радиальной координаты, отсчитываемой от поверхности трубки, для времени, соответствующих компонентов вектора скорости, давления, плотности и энтальпии

используются следующие обозначения: хЬ, уЬ, и11ю, ррда,

2

.РРоо^оо, • Индекс «оо» соответствует размерным величинам в невозмущенном потоке, Ь — расстояние от передней кромки до точки разрыва граничных условий. Предполагается, что поверхность трубки х > 1 с момента времени I = 0 начинает двигаться с малой скоростью «1. Предполагается также, что входящие в задачу безразмерные параметры удовлетворяют следующим соотношениям:

При таких условиях эффекты поперечной кривизны в первом приближении несущественны. Предполагается, что характерное время, за которое стенка приобретает скорость «1, не превосходит по порядку величины характерного временного масштаба процесса свободного взаимодействия.

2. Локальная структура возмущенного течения. Следует отметить, что разрыв в граничных условиях для задач, описывающих течения при больших числах Рейнольдса, приводит к неравномерной пригодности асимптотических разложений и к необходимости рассмотрения ряда локальных областей, в которых по-разному проявляется влияние сил вязкости, сил инерции и градиента давления. С точки зрения решения прикладных задач выявление структуры возмущенного течения и нахождение локальных аналитических решений необходимы для построения вычислительных сеток, обеспечивающих адекватное представление решения. Другая, более существенная сторона, объясняющая необходимость проведения асимптотического анализа, состоит в возможности нахождения существенных эффектов, ответственных, например, за возникновение неустойчивости и других явлений. Не оспаривая роли численных методов, сле-

/

1

л

9

а 1п

Д - с

а_

, А «1, —^Ц-« 1.

«¿Д

V

У

Рис. 1

дует поэтому рассматривать аналитическое описание хотя бы и локальных областей течения как необходимый элемент моделей механики жидкости.

В соответствии с имеющимися результатами анализа плоских возмущенных течений [4]—[7] можно предположить возникновение следующей структуры возмущенного течения (рис. 1):

— обл. 1 — слабовозмущенное внешнее невязкое течение, описывающееся линеаризованными уравнениями Эйлера;

— обл. 2 — слабовозмущенное течение, описывающееся линеаризованными уравнениями пограничного слоя;

— обл. 3 — нелинейно возмущенное течение, описывающееся уравнениями теории свободного взаимодействия;

— обл. 4 — пристенное течение в локальном пограничном слое, возникающем в результате разрыва в граничных условиях;

— обл. 5 — слабовозмущенное течение, описывающееся линеаризованными уравнениями пограничного слоя, в которые градиент давления входит уже в первом приближении;

— обл. 6 — течение, описывающееся линеаризованными уравнениями Эйлера;

— обл. 7 — течение, описывающееся полными уравнениями Эйлера;

— обл. 8 — течение, описывающееся полными уравнениями На-вье —" Стокса;

— обл. 9 — нелинейно возмущенное течение, в котором происходит уменьшение поверхностного трения до величин, сравнимых с трением в исходном пограничном слое.

3. Асимптотические оценки величин возмущений. В результате, предполагаемого разрыва скорости поверхности ниже по течению от точки разрыва образуется пристенный пограничный слой. Предполагается, что локальное число Рейнольдса, определенное по локальным величинам скорости, плотности, расстоянию от точки разрыва и локальной величине коэффициента вязкости велико. Для конечных или малых величин локального числа Рейнольдса, соответствующих малым расстояниям от точки раз-

рыва, как показано ниже, приходится вводить в, рассмотрение обл. 8, где течение описывается полными уравнениями Навье — Стокса. Существенно отметить, что влияние течения в областях, имеющих меньшие масштабы в продольном направлении, сказывается в первом приближении на течении в областях, имеющих большие масштабы, только через условия сращивания. Это позволяет получать замкнутые математические формулировки при условии правильного учета соответствующих граничных условий.

Характерный поперечный масштаб обл. 4 определяется тогда из условия равенства порядков величин членов, описывающих влияние сил

функций течения и расстояние от точки разрыва граничных условий, на котором возмущенное трение уменьшается до величин, сравнимых с трением в исходном пограничном слое. Эти оценки соответствуют обл. 9:

Система оценок для течения в области локального сильного взаимодействия (обл. 3) использует формулу связи индуцированного возмущения давления и толщины вытеснения. Эта формула выведена для рассматриваемого режима течения в Приложении 1. Отличие от обычно используемых в плоском случае формулы Аккерета (для сверхзвуковых течений) и интеграла Коши (для дозвуковых внешних течений) состоит в том, что индуцированное возмущение давления пропорционально продольной кривизне внешней границы пограничного слоя. Следует отметить также, что в общем случае в указанной формуле связи содержатся члены, пропорциональные как первой, так и второй производной толщины вытеснения, и только в предельных случаях получаем для индуцированного градиента давления выражение, соответствующее диссипации или дисперсии:

где г(х) — толщина вытеснения пограничного слоя.

Используя для нахождения масштабов возмущенных функций системы соотношений

инерции и сил вязкости в уравнении продольного импульса

Эти оценки позволяют найти также масштабы

а In— я2

р и

— ~и-; ev|f-yu^', у

, 14

? ** ?

£ £ X у

X X

получаем оценки

В дальнейшем используется следующий предельный переход: 1

1 V

а 1п-

ґ

Д =

1

л/м2 -1 “I

9

•0;

и^А д/м^Д

д/м^Д —> 0, 2 з — (мц;Д) •

н2Д3

В обл. 2, включающей струйки тока основной части пограничного слоя, получаются следующие оценки:

3.4 . £34

У~£-, х~ищД ; м-м^Д; (-и^А .

Щ/А

Существенно, что характерное время для этой области асимптотически меньше, чем характерное время для обл. 3, поэтому рассмотрение нестационарного течения в обл. 3 приводит к квазистационарной задаче для обл. 2.

4. Представление решения в области сильного локального взаимодействия. Для обл. 1 характерны следующие представления координат и функций течения:

(х,.у,г) = м^д4(А'1,Л,/1),

и - 1 + (ми,Д)2м1(х1,71) + ---, и = (м^Д)2о1(л:1,^1) + ---, л /?-(уМ2) +{и^А)2 Р1{хъ У1 ) + •••, р = 1 + (м^ Д )2 Р! [х\ ,У1) + • • •.

Подстановка указанных разложений в систему уравнений Навье — Стокса и предельный переход приводят для первого приближения к линеаризованной системе уравнений Эйлера: '

Зч+^ио, -^ + ^. = 0;

ОХ] 5хі 5х] дуу

. + ^1 = 0; р р1 ; Єхі Єхі уі+Яо дух ’ м2’

°\ІУ\ 0) = у2 (У2 °°)- "

(1)

В качестве дополнительного граничного условия используется условие отсутствия приходящих возмущений.

Из (1) получаем волновое уравнение

(м2-і)

е2 я і ар і г1 р, 0

Эх2 Л + ^О^і ду\ '

(2)

р\{.х> о) =

л/м2 -1

х-э

Н{х)-

ау! М2-1

] |

Л

м сій

О 1

кЦи) + п2іНи) и

где К\{и), 1\{и) — модифицированные функции Бесселя мнимого аргу-

( ч сіг(х) мента, Н{х) =-------

сіх

продольный наклон толщины вытеснения погра-

ничного слоя. При а = 0 имеем асимптотическое разложение решения (см. Пршожение /):

л/М -1 <&1 '

В обл. 2 в соответствии с полученными выше оценками вводится следующее представление функций течения:

(*,/)-ц!,л4(х2,/2); у = £У2>

Р = Ро(>;2) + мм'ДР2+-”; /г = И0(у2) + иц,А1т2+---;

\ 2

Р =-----2+(м^Д) Д2+-; и = ^Го(^2) + мм/Ам2(л:2>3;2) + ---;

уМ . . . .

и~ і ї1)2(х2’У2) + '"’

где С/о(>’)’ РоЫ> ^о(у) '— профили скорости, плотности и энтальпии в невозмущенном пограничном слое. Решение для обл. 2 квазистационарно, так как характерное время этой области асимптотически меньше характерного временного масштаба для обл. 3. Подстановка разложений в систему уравнений Навье — Стокса и предельный переход приводят к следующей линейной системе уравнений: '.

+ = Р0^2+Р2^)-°;

дх2 с!у2 ■

дщ ду2 Л дрі _ ,. З/н Л* п

—*- + —^ = 0; -^ = 0; ип—- + сь —- = 0. дх2 ду2 ду2 8x2 ^У!

(3)

Решение системы уравнений, удовлетворяющее условию сращивания с решением в пристеночной области, имеет следующий вид:

Для обл. 3 справедливы следующие представления координат и функций течения

Подстановка асимптотических разложений в систему уравнений На-вье — Стокса и предельный переход приводят к системе уравнений, которая распадается на независимую подсистему уравнений импульсов и неразрывности и зависимую подсистему уравнений состояния и энергии. Приведем первую из них:

Граничные и начальные условия для этой системы уравнений получаются из сращивания с решениями в обл. 2 и с решением для пристеночной области невозмущенного пограничного слоя:

Поведение вертикальной скорости на дне обл. 3 определяется решением для обл. 4, в которой вследствие разрыва граничных условий формируется пристенный пограничный слой щ{у3 0) = Для определения величины индуцированного возмущения давления используются решения в обл. 1 и 2:

х = и^£?х3, у = еим/Ау3, / = к2 Д3/3;

(4)

Зъ=о.

дх3 ду3 дуъ

щ{уъ -> °°) = аА(х3, г3) + ау3, и3(х -> -со) = ау3.

Решение системы уравнений (4) будем искать в виде

Подставляя это представление в (4), получаем следующее уравнение для функции л(х, /), представляющей собой взятое с обратным знаком изменение толщины вытеснения пограничного слоя (индекс 3 опущен):

(5)

Начальное условие при / = 0 соответствует отсутствию возмущений в пограничном слое.

Для определения скорости эжекции из обл. 3 необходимо рассмотреть течение в локальном пограничном слое (обл. 4). Образование этого пограничного слоя связано с разрывом в граничных условиях. Течение в невозмущенном пограничном слое обладает нулевой скоростью вблизи поверхности, поэтому приведение в движение участка поверхности и передача продольного импульса за счет эффектов вязкости струйкам тока, имеющим продольную скорость, близкую к нулевой, сопровождаются вследствие сохранения массы одновременным уменьшением поперечного размера трубок тока. Это и приводит к появлению больших локальных вертикальных скоростей, вызывающих, в свою очередь, проявление процессов сильного локального взаимодействия. Оценки для функций течения в обл. 4 основаны на рассмотрении уравнения неразрывности и уравнения для продольного импульса:

Существенно также, что течение в образующемся пограничном слое является квазистационарным (при условии, что течение в обл. 3 нестационарно). Этот факт объясняется тем, что при одинаковой длине областей возмущенного течения максимальное характерное время присуще области с минимальной продольной скоростью. Таковой является обл. 3, которая расположена между обл. 2 и 4 и содержит струйки тока исходного пограничного слоя. Следует отметить также, что в условиях вязкого течения в обл. 3 обл. 4 не существует. Подстановка разложений (6) в систему уравнений Навье — Стокса и предельный переход приводят к системе уравнений, которая распадается на независимую подсистему уравнений нераз-

х = и3Д4л:4; у = еим/А2у^; '* = и*Д4Г4;

м = мжм4(.у4,л: 4) н—; а= - ц4(х4,74) +

(6)

уМ

рывностй и импульсов и зависимую подсистему уравнений состояния и энергии. Приведем первую из них:

дщ дщ 8 щ дщ 8ул дрл п

Ьч-у4_-1 = __1 + _-± = о, “ = 0.

дхл

ду4

(7)

Н 8у\ 8х4 ду4

Условия сращивания решений в обл. 3 и 4 дают

щ{у4 -> оо) = щ{уъ -> 0) = Ащ,(у3а + аА{х, /) + —) = Д^0(1) « им>.

Таким образом, граничные условия для образующегося пограничного слоя имеют вид

Щ(^4 —> оо) = О, У4(у4-> 0) = 0, м4(>'4->6) = 1.

Полученная система уравнений и краевых условий имеет автомодельное решение следующего вида (индекс 4 опущен):

у = л[х/(-^=) = ^/{ц); и=А; » =

у дудх

/"'+^#" = 0; /(0) = /'(оо) = 0; /'(0) = 1.

Из решения этой задачи следует выражение для скорости эжекции

/(«) = С0+о(1); С0~0(1)>0; 7„(х,0 = -

ду

дх

4х

<0.

Таким образом, нелинейно возмущенное течение в обл. 3 при сделанных предположениях описывается неоднородным уравнением Кортевега де Вриза:

ЗА 2 а8А 1 8 А

С,

а^ + а^А^-—^. = а^гв(х)0((); &(х) = д1 дх ръ, дхл у!х [1, * > О

А(х, 0) = 0.

О, х < О

(8)

Численное решение этой эволюционной задачи приведено в конце статьи. Аналитическое решение в начальный момент времени в линейной постановке дано в Приложении 2.

Неоднородное уравнение Кортевега де Вриза описывает также некоторые режимы нелинейно возмущенных течений в пристенных струях [15]. Толщину вытеснения можно связать с картиной линий тока в обл. 3:

¿У

сЬс

8А

У(х,у,р ау8х ”

у

=сопз1 «(*.:М) ау + аА(х,0

вд|

i|/= const

A(x,t)+ A2(x,t) + 2A(x0,t)y0+y2+- \vwix,t)dx 1 aJ

где *о>Уо — координаты точки, через которую проходит линия тока. Видно, что значениям Л(х, ?) < 0 соответствуют возвратные токи.

Следует заметить, что на больших расстояниях от точки разрыва

ние возмущений (трение в образующемся пограничном слое оказывается одинаковым по порядку величины с трением в невозмущенном пограничном слое). Можно показать, что в стационарном случае

5. Анализ равномерной пригодности разложений при приближении к точке разрыва. Дальнейший анализ связан с рассмотрением следующих приближений и определением условий равномерной пригодности разложений. Цель этого анализа состоит в выяснении необходимости введения дополнительных подобластей, обеспечивающих равномерную пригодность решений.

Анализ начнем с рассмотрения решения в обл. 2. Здесь при подходе к точке разрыва граничных условий градиент давления ведет себя сингулярно и при достаточно малых х становится асимптотически одного порядка с инерционными членами в уравнении импульсов, описывающем возмущенное течение в обл. 2.

Введем в рассмотрение обл. 5, течение в которой описывается линеаризованными уравнениями пограничного слоя, где в уравнение импульсов градиент давления будет входить уже в первом приближении в отличие от соответствующего уравнения для обл. 2. Из (8) имеем

Следует отметить, что функции Ад, А\, А2 не влияют на градиент индуцированного давления в первом приближении, так как он пропорционален третьей производной толщины вытеснения пограничного слоя. Вид

3 .

-> +СО-» х ~ Ну, под влиянием сил вязкости происходит затуха-

А(х —» +оо) ~ х4 —> и ~ ~ и^.

дА 2 . дА 1 д3А аСд

------ha А------------------г- = —х

; х>0; t3 ~ 1;

X (

Л(х3 ->0+) = AQ(t3) + A](t3)x3 + A2{t3)-^-+ -

^ V

этих функций в начальный момент времени дан в Приложении 2, откуда видно, что они ограничены по t даже в режиме жесткого возбуждения пограничного слоя (резкое выдвижение стенки).

Из сравнения градиента давления с инерционными членами в уравнении импульсов для обл. 2 получаем продольный масштаб обл. 5:

Следует отметить, что продольный масштаб этой области не зависит от параметра возмущения

Возмущенное течение в обл. 5 будет квазистационарным или нестационарным в зависимости от соотношения времен, характеризующих течение в этой области и процесс изменения граничного условия. Подстановка разложения (9) в систему уравнений Навье — Стокса и соответствующий предельный переход дают для квазистационарного случая после ряда преобразований следующую систему уравнений:

ах дх

х

-¿А4ф^ = вЩа\па-')'/2(м2

Представление решения для обл. 5 имеет вид

/

\

(р,р,И) =

\

---Т + “^л2^2(О>Р0О'5)> ^оО^) +

уМ2 )

/

(9)

и = ио(у2) + ЩуА А{) + +ЫмАА2

V

/

(Ю)

Первые члены в решении являются решением однородной системы уравнений (10). Вид функции В(х) определяется из сращивания со вторым приближением решения для обл. 4 при условии

При у5 —> +оо, у5 —»уі ~х\, и0 —> 1, Щ—>0, и как можно показать, система уравнений (10) переходит в систему (1). Сращивание решения (11) с решением для обл. 4 дает:

Можно видеть, что градиент давления в обл. 5 непосредственно определяется скоростью эжекции.

При х -> 0 + градиент давления и связанные с ним члены в разложении решения (9) для обл. 5 ведут себя сингулярно. При достаточно малых х сингулярно возрастающие инерционные члены в уравнении для поперечного импульса становятся одинаковыми по порядку величины с градиентом давления в поперечном направлении:

Из последнего равенства определяется продольный масштаб обл. б, описываемой линеаризованными уравнениями Эйлера. Представление решения для обл. 6 имеет вид:

ъ(у

с

Х-» и^А4{и^А)1^2 (х5 -» 0+); у~еО( 1);

~ «5 ~ («и-Д)2(“иД)^4~ у5

ми,Д2(ми,Д)^/4 л/*5

є

(х,у) = е(х6,у6),

0,р,/г) = Г(уМ2) +г^^А2Ь3),ро(уб)МУб) + 7®“іЛ/%?РбЛ) + -"

и-ІІо + и^А

Ао + з 4 Аххв + Ии, А

/ \ Є

*6

£/6 +>!гим>иь н—’

у = -

и^Д

Л

-Л,

1 3 4 ^2Х6 и^А

Щ + л/£1^у6 +”••

Для последних членов разложений имеем следующую систему уравнений:

ро^о|&+ро^6+-Ц-!й-=<>; ^«Т^-пНг^

5х6 уМ2 5х6 дх6 уМ2 Ф-’б

ро^+Ро|^-+£/о:р-+убРо=0; Рб = РоАб+ЛоРб;

дрб

5^6 Ги^б и^б

Ро^о|^+

йх6

= и.

О"

У -1 Фб .

у йх6 ’ 1

ч{у6^0+’х6>°) = К-----г=’, °б(*б-»+00) = 1,5

1

Iх 6 л/х6

и6(х6 -> +оо) = м5(х5 -> 0+) ~ ь6,щ(хь -> -оо) = ю2,

и2[х2—>0-).

Система уравнений (13) может быть сведена к уравнению для возмущения давления, которое является уравнением смешанного (эллиптико-гиперболического) типа

(13)

ду^ Щ ду6

РбіУб °> хб) - їавіСу^ -/*6 + О

Ґ 2 Ч 1б_ х3/2 4*6 у

(14)

Разложение граничного условия справедливо при

^ «1 х6 -> +оо; у6~0( 1); р-^ + оЩ-р^х).

Х6

Стоит отметить, что первые члены разложения (12) для обл. 6 уже не удовлетворяют уравнению для поперечного импульса в (13), но возмущение давления, которое они вносят, имеет порядок

ґ

Є £

м^А2 и^А4

О У

тывая вносимую ими асимптотически малую погрешность. Граничное условие для (14) при *6 —» 0+, уб -» 0 определяется из сращивания с решением полных уравнений Эйлера в обл. 7.

6. Анализ решений в областях нелинейных возмущений, имеющих сравнимые продольный и поперечный размеры. На дне обл. 6 существует донный пограничный слой — обл. 4, имеющая поперечный мас-

рушается асимптотическое представление решения (12) и возмущение оказывается одного порядка с решением для невозмущенного течения:

*б~Уб-> °; Ч~Ч~ ~ ио(Уб 0 ) = аУб + °(уб)-

V* 6

Таким образом, необходимо ввести обл. 7, описывающуюся в первом приближении полными уравнениями Эйлера для несжимаемой жидкости.

Подставляя разложения (15) в уравнения Навье — Стокса и осуществляя предельный переход, можно показать, что течение в обл. 7 для квази-стационарного случая описывается в первом приближении системой уравнений, которая распадается на замкнутую подсистему уравнений неразрывности и импульсов и подсистему уравнений состояния и энергии, решаемую совместно с первой подсистемой. Приведем первую из этих подсистем

Следовательно, существует следующая область, где на-

Разложение решения имеет вид

и

и

( \

І^уМ

(16)

дх~! дуі

^(*7 > У7 - о) = Ум> = —и7(х7 < 0, >»7 - 0) = 0;

л/*7

и7(х2 +у2 =>+ю) = аут

Граничное условие для щ при х7 <0 соответствует условию отсутствия эжекции. Опустим индекс 7. Вводя функцию тока у и потенциал скорости Ф,получаем

ду дФ дудФ .

и = = Х) = ~~К~ = Т"> Щг) = Ф(х,у) + 1у(х,у);

су дх дх ду

5ц/

дх

г = х + 1у\ Д\|/ = я;

х>0 ду_{„2 , „2

0; *<о’ ^

£

—7=; х > 0 5ш (22 )

Ы* ’ -£\г+уг-*+<*>) = ау.

(17)

1

Здесь \|/ = у0 + У! =— ау — частное решение неоднородного уравнения (17).

Ду0 = 0; Щ(г) = Ф + г'\|/0. (18)

.!, Решение (18) имеет вид , ,

Щ(х,у) = е(еи^)1/\А

в(«к»)'4 Аг- в(ем,,)1/3^ 2 \ А *3

^ ' А\ к ! 2 ■¿А4 2 6

V . \ У

а +

+ е(еми,)2/3^(2) + ---;

и = м№Д

е(еи^)^3

*+А£га'х+ (в^)1/3

уз

2 2 ЛГ - у

а +

С ~

г^Д

Щ ■ Ф -р-вш—\-ау

2 *

ч2/3

+ •

“и-Д

, . £(£М") „

4^ +-----47Г~4*У

ИмД

+

(«о

1/3

ф

—Дсоэ— 4г 2

Р(х,У) = (««А)2 4 + Л(*> .У) + (ек)2/3 Ро(*> У) + «Уо - Фгг-

I & у

(19)

Первые члены в решении (19) появляются в результате сращивания с решением для обл. 6 и фактически являются асимптотикой регулярного разложения решения (8) для х-»0 в обл. 3. Сравним второй и третий члены в решении для возмущения давления в (19) при х,у—> +оо, где

Р7 {х,у) — вклад в давление, обусловленный неоднородностью в уравнении (17). Возможны несколько попарных комбинаций: -^-~и------------------,

ду дх

следовательно, получаем оценку для р^(х,у) на бесконечности (две асимптотически наиболее большие оценки):

При —> + 0 величины И7, И7 ведут себя сингулярно и становятся порядка иМ), а силы вязкости становятся одного порядка с инерционными членами в уравнении импульсов для обл. 7. Поэтому необходимо ввести обл. 8, описывающуюся в первом приближении полными уравнениями На-вье — Стокса для несжимаемой жидкости. Масштаб области определяется из равенства ее продольного и поперечного масштабов толщине пристеночного пограничного слоя (обл. 4):

тогда как для однородного решения уравнения (18)

= ^х2+у2 -»(ег^) 1/3 ^ ~ (ем*, )2/3 у[Ё ~ (ем*, )1/2.

Видно, что при Я —» +оо величина ро » Р] и граничное условие для (13) и (14) в обл. 6 имеет вид

/ Л

Рв{^6~> +°) — 2<агЛ^) л/^соз-у—-Р]{В.7 +оо). (20)

л/^6

Разложение решения имеет вид

(х, у) = —(л&,Дв);

(Р>Р,к)

1

2 ’ Рм/>

+

уМ

(«,») = «»(**, Чв)+—-

4(А»Р8Л) + —»

(21)

Подставляя (21) в уравнения Навье — Стокса и осуществляя предельный переход для квазистационарного случая, можно показать, что система полученных уравнений распадается на замкнутую подсистему уравнений неразрывности и импульсов и незамкнутую подсистему уравнения состояния и энергии, решаемую совместно с первой подсистемой, которая имеет вид

„ Ви* I Эц8 . 1 Ф» - д\ , д\ .

8 ^ 48 ду% ^уМ2 <Эх8 дх2 ду2 *

дия

1________дР& .... д\ . д\ .

8x1 5у1 ’

дЩ дц8 3*8 оу%

(22)

с граничными условиями

**(>*= 0) = {?’ Х8<0’> '^(у»=0) = 0.

[1, *8 >0 :

Сращивание решений в обл. 7 и 8 определяет граничнре условие для (22) при Я -» + оо.

7. Результаты численного решения. Решение уравнения (8) получено численно при условии, что неоднородный член в правой части имеет вид

6(х)

VI

где 0(х) — функция Хэвисайда, для следующих величин параметров £) = = 0,2, -25<х<+25, шаг пох равен = 0,1, шаг по г = 0,0001.

Параметр £> достаточно мал, что соответствует режиму жесткого возмущения пограничного слоя (в начальный момент времени стенка почти мгновенно приобретает конечную стационарную скорость выдвижения).

На рис. 2 представлены распределения возмущения толщины вытеснения* взятой с обратным знаком в различные моменты времени. Можно отметить проявление волновых свойств процесса, зарождение и эволюцию волн, выход процесса на стационарный режим. На рис. 3 показана картина линий тока в момент г = 4. Можно выделить эффекты поглощения газа из области нелинейных возмущений, сопровождающиеся волновым поведением линий тока.

у'

Предлагаемая работа вносит определенную ясность в картину развития пограничного слоя при наличии сильных разрывов граничных условий (резкое выдвижение стенки, отсос, вдув). Несмотря на то что рассматривалось осесимметричное течение, так как пограничный слой оставался в первом приближении двумерным, полученная локальная картина течения в окрестности разрыва граничных условий может без изменения физической и математической логики перенесена на плоский случай с некоторыми незначительными изменениями. В широком классе задач устойчивости пограничного слоя с разрывными граничными условиями, если мы специально не вносим нестационарные коротковолновые возмущения в пограничный слой, определяющую роль в устойчивости пограничного слоя играют длинноволновые возмущения, описываемые режимом сильного взаимодействия. В то же время на полученных профилях скорости в пограничном слое могут развиваться коротковолновые возмущения. Для исследования эффектов устойчивости необходимы поэтому специальные исследования.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект№ 96-01-001573).

Рис. 2

Рис. 3

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Решение уравнения (2) имеет вид:

/

\

7 е с1и

I К1{и) + к21^и) и

Вывод этой формулы дан в [14]. Здесь г — текущая безразмерная координата вдоль оси, Кх(и),1\(и) — модифицированные функции Бесселя мнимого аргумента [16]. При а -» 0, раскладывая решение по малому параметру, имеем

а21п—

А =

л/м2 -1 *

Для вывода этой формулы предположим, что Н{£) ограничена при -оо < г < +оо со всеми производными и Н(г) —> 0 при г +оо. Обозначим

-и— в а

с/и

к1(и) + к21?(и) и

о о

Произведем замену переменных интегрирования:

и — и^ й| 1 о

и-и, 2 " о2 гй«& = с/мс/и = и 2

-У = и(г-5), г = л, . м «А >Л

и

с/ыс/У',

Л.2,а) = -\ \Н

+00 +00 ( 2 ^

о о

г--

^12(м) + л2/12(м) и2

с1ьс1и =

7 и

+00 У +00

г --

2м

^12(м) + 712/12(м) м2

+00 V

= -2 | ье а <1ъ

Н

2--

с1и

+оо

Л т2,

■ +

^ 2 ^ гг. 2- — и \ )

н ¿/м

К\(и) + я2/2(и) ы2

6(а) V I и +оо

-2 | ю «*

и2

+00

- 2 | ие а ¿¡V 8(а)

г с/м +р Й?М

-¿Г

5(а)->0, —->0. 5

1)

К\ (и) + я2/2(и) и2

1-м"

1п-^ + ^-1 + о(м41п2м), и-»О,

е2“

И—>+СО,

+°° 1 — е~2“

^(и) + 712/,2(м) м3 4 16

+00

№ = 0)= |

(¡и

о

^(Ы) + ТГ2/12(М) и2

= 1.

Оценим второй член в выражении для ./(г, а)

+00 V2

8(а)

Итак имеем:

5(0) V

J{z, а) = -2 | ое а <&>■ о

У , +00 с аи с с1и • = 0 Г 52(о)

V е а

.0 V 1 У

V

I

Я

/ 2 А

V

2----

ч и;

(1и

+00

1-

Н

->0.

( 2 \ V

г----

и

V

У

(¡и

К2 (и) + я2/2(м) и2 ■» ^(м) + л2/12(м) м2

+

(¿и

У

5(а) о Н

-2 | ^ аМ12(м) + л2/2(м)м2

^ 2 А

у2

г------

V_______«У

5(а) о2 +оо Н

/ г-'

V

г------

и

\

с1и

0 о Г2(м) + я2/2(м)м2

Рассмотрим выражение для /1:

+ 0

Г _8^И Г 52(аП

в а =Л + 5 + 0 е а

V У \ У

^ 2 А

V

2-----

V_____иУ

К2(и) + п21?(и)

„2 Л

V

1

о

2 V ( I-«2

< л

и 1

1п----1---

2 2

м2

V"

+ о(и41п2 иу^и =

и . 2 Л

й?м = |я 2-— «/м+о(у31п&),

V <8(а) ->■ 0;

8(а) у2 (V ( 2 ^

2

и

\ /

\н г-— с1и + о[т?\пь)

J V

V

I*

( а ( л

и 2 с1и = УН(2-и)-[Н' V 2

и } ■ 0 и \ /

¿и=оЩг-и) +

+ [ь2Н\2-™)—=иН(2) + о{у1} + Ь2{Н'(2)\пЬ + 0(\')), м> = —\

м> и

+00

5(а) _х?_ ,

А = -2 | йое а у! иН(г) + 0\р2) + у2\Н'(2)\пь +

■ -2 а3/2Н(г)

+00

\cfye~y у2

О

-а1\паН'{г)

+00

¡с/уе

■у2 3 у У

+ 0(а2) + 0

/ 52(а)

Рассмотрим выражение для В\

6(а) V2

В

=-21

ие а (IV

Я

( 2 Л

V

2~ —

V_____%

¿/ы

К?(и) + п21?(и) и2

'' К2, Л

8-(а)

+ 0

л

/

5(а) _*г

= -2 | Ние а о

Л

+?> Я (2) - Я'(*)— + Я”(7)\ + • • •

____________и__________и аи

1

К{(и) + п21?(и)

м2

(IV -

= Н(2)

Г 8(л) _х?_ +оо

-2 | ие “<&>• |

1

(1и

К((и) + я2/2 (и) м‘

+

+Я'(2)

6(а) _£Г

2 | 03е а £& о

+00

I

^12(м) + л2/12(м) и2

+.

+о

^5(а) > ’+00

| |

<Л/

^(м) + п2/?(м) и4

- < у < 6(а) -> 0.

Из указанных выше свойств подынтегральной, функции следуют соотношения:

+00

V —► + 0; +оо

г 1 ¿и _ г

с1и

К2(«) + тс2/]2(и) м2 ^ К2(и) + те2/2(и) и2

и

-I

с1и

^,2(ы) + я2/12(м)м2

= 1-у + о(и31по);

+00

1

с!и

+ 00

1

с1и

К\ («).+ л: /, (м) гг ' Кх (и) + 71 /] (и) и

-5--------Ц-=-------^ = -1по + 0(1);

X] (и) + тс /2(и) и

-г-а

I

£/м

Г 00

I

¿/и

£ Л?(м) + тГ-/Г(и)и4 •» Л] (м)+ 71 /] (ы) и

1

-I

1

¿К 1

Лг, „2г2/.л,.4 ~ +О0)-

^Г(м) + ^/Г(и) и* о

Тогда получаем выражение для В:

£ = Н(г)

-2 | ив а^и(г-о + о(у31пу))

+Я'^)

(

5 = Я(г)

+о

5 (а) > •' ч

| У5б аЛ -+ 0(1) 1

-Л +

2а3/2 | уе ^ ф + о(а^21па)

о ■

+о(а2)+о(а5/2).

/

А . ■ / + Я'(г)

+

Для У получаем:

/(г, а) = А + В = -2 а3/2Я(г)

Л-' ф

4 0 у

/ . _ Л

,2

+о(а2) - а#(г) + 2 с&2Щг)

а 1п аН'(г)

+? О

| уъе~гду

\ о

+

+00

I У (¡у

+ о\

(а5/21па)

-аг 1п аН'(г)

+00

| у'е У <3у

+

0(а2).

= -аН(г) -2ал\паН'(г)

+00

+

о(а2);

+о° -

| у*ё~у <Лу = --

Окончательно имеем следующее выражение для возмущения давле-

ния:

Р\ =

4м2

1

а а21п *

ВД+-

1у1 М2-1

Дг,а)

л/м2 -1

=Я'(г) + о(а2).

Интересно, что и в случае несжимаемой жидкости возмущение давления также зависит от кривизны поверхности [17].

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Рассмотрим режим «жесткого» возмущения пограничного слоя, когда характерное время начального выдвижения стенки асимптотически мало по сравнению с характерным временем для обл. 3 и велико по сравнению с характерными временами для обл. 4—8. В начальный момент » О уравнение Кортевега де Вриза можно линеаризовать в силу относительной малости конвективных членов. При *-»■ 0 имеем:

дА д3А

~ - 3 — О. Уц/(Хг О —

дt дх

А(х, (= 0) = 0.

1

л[х

О, лес О,

,*>0,

Константы можно положить равными 1, не меняя уравнение качественно. Имеем решение:

• ( • зЛ

JSX 1 —ist

+00 e l — e

Отсюда можно получить регулярное разложение A(x,t)x —> 0, t-> 0:

А(х, t) = AqW + Ay(t)x л- A2(t)x2/2 + ф(л:5/2) +•••;

л

sin и

,6

du > 0.

У

ЛИТЕРАТУРА

1. Goldstein S. Concerning some solutions of the boundary layer equations in hydrodynamics//Proc. Camb. Phil. Soc.— Vol. 26, pt. 1.

2. M e s s i t e r A. F. Boundary layer flow near the trailing edge of flat plate//SIAM J. Appl. Math.— 1970. Vol. 16.

3. Stewartson K. On the flow near the trailing edge of a flat plate// Mathematika.— 1970. Vol. 16.

4. V e 1 d m a n A. E. P. Boundary layer past a finite flat plate. Rijksuniv. Groningen.— 1976.

5. Л и п а т о в И. И., Н е й л а н д В. Я. Влияние внезапного изменения движения поверхности пластины на течение в ламинарном пограничном слое в сверхзвуковом потоке//Ученые записки ЦАГИ.— 1982. Т. XIII, № 5.

6. Л и п а т о в И. И. Течение в окрестности точки начала интенсивного отсоса ламинарного пограничного слоя в сверхзвуковом гютоке//Ученые записки ЦАГИ,— 1976. Т. VII, № 2.

7. С о к о л о в JI. А. К асимптотической теории плоских течений ламинарного пограничного слоя с разрывом температуры на теле//Труды ЦАГИ.— 1975. Вып. 1650.

8. Боголепов В. В., Липатов И. И., Соколов Л. А. Структура химически неравновесных течений при скачкообразном изменении температуры и каталитических свойств поверхности/ЛТМТФ.— 1990, № 3.

9. Л и п а т о в И. И., Н е й л а н д В. Я. К теории нестационарного отрыва и взаимодействия ламинарного пограничного слоя//Ученые записки ЦАГИ.— 1988. Т. XIX, № 1.

10. Л и п а т о в И. И. Влияние щелевого вдува на отрыв ламинарного пограничного слоя//Труды ЦАГИ.— 1983. Вып. 2190.

11.Липатов И. И. Квазистационарные и нестационарные процессы взаимодействия вязких и невязких потоков. Диссертация на соиск. уч. ст.д.ф.м.н. ЦАГИ.— 1994.

12. К а г a b а 1 a e v А. Н., Lipatov I. I. Viscous-inviscid interaction processes induced by abrupt boundary conditions//AIAA Paper.— 1996, N 2144.

13. К a r a b a 1 a e v A. H., L i p a t о v 1.1. Nonlinear processes in laminar boundary layers initiated by discontinuous boundary conditions//AIAA Paper.— 1996, N 2020.

14. W a r d G. N. Linearized theory of steady highspeed flow (chap. 8)// Cambridge University press.— 1955.

15. Ж у к В. И., Р ы ж о в О. С. О локально-невязких возмущениях в пограничном слое с самоиндуцированным давлением//ДАН СССР.— 1982. Т. 263, № 1.

16. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного.— М.: Наука.— 1987.

17. Kluwick A. Axysimmetric laminar interacting boundary lay-ers//Arch. Mech.—1991. Vol. 43, N 5, Warzsawa.

Рукопись поступила 5/VI1997 г