Влияние внезапного изменения движения поверхности пластины на течение в ламинарном пограничном слое в сверхзвуковом потоке Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том ХШ 1982

№ 5

УДК. 532.526

ВЛИЯНИЕ ВНЕЗАПНОГО ИЗМЕНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ ПЛАСТИНЫ НА ТЕЧЕНИЕ В ЛАМИНАРНОМ ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ В СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ

И. И. Липатов, В. Я. Нейланд

Изучено течение в окрестности точек начала и прекращения движения поверхности пластины, обтекаемой сверхзвуковым потоком вязкого газа, в предположении, что направление скорости поверхности совпадает с направлением скорости невозмущен.чого набегающего потока. С помощью метода сращиваемых асимптотических разложений исследованы предельные решения уравнений Навье— Стокса для больших докритических чисел Рейнольдса. Выведены уравнения и краевые условия для характерных областей течения, получены параметры подобия. Приведены результаты численного решения краевых задач.

1. Для управления течением в пограничном слое существует ряд способов, например, тангенциальный вдув, отсос, приведение поверхности в движение и т. д. Влияние на течение движения поверхности исследовано сравнительно мало, хотя эффективность воздействия такого способа управления течением в пограничном слое была продемонстрирована Л. Прандтлем в опыте с вращающимся цилиндром еще в 1904 году. В монографии [1] описаны опыты Фавра, в которых установлено, что на профиле с частично подвижной верхней поверхностью течение сохраняется безотрывным до угла атаки, равного 55°. Технически осуществить такой способ управления течением в пограничном слое трудно, поэтому он не нашел широкого практического применения. Следует отметить, что задание ненулевой скорости поверхности может описывать не только течение над подвижной поверхностью, но и другие течения.

В работах [2—4] изучено взаимодействие движущегося с постоянной скоростью скачка уплотнения с ламинарным пограничным слоем и показано, что такое течение можно описать системой уравнений для стационарного режима „свободного взаимодей-ствия“ с ненулевой скоростью поверхности. Задание ненулевой ске-

рости поверхности оказывается также необходимым при описании некоторых режимов взаимодействия внешнего сверхзвукового течения с пограничным слоем, в котором вдоль поверхности вдувается струя газа для обеспечения безотрывного обтекания или уменьшения теплового потока к поверхности. При внезапном начале или прекращении движения поверхности разрыв в граничных условиях вносит возмущение в течение в исходном пограничном слое. Классическая теория пограничного слоя может оказаться неприменимой для описания подобных течений. Вопросы, связанные с влиянием на течение начала и прекращения движения поверхности, требуют поэтому специального рассмотрения.

Основой анализа задач с внезапно меняющимися граничными условиями могут служить метод сращиваемых асимптотических разложений, по существу впервые примененный Прандтлем [5] при формулировании теории пограничного слоя, и метод координатных разложений, использованный Гольдштейном [6] при исследовании течения в следе за пластиной. Изменение граничных условий, происходящее в пограничном слое, может и не приводить к нарушению справедливости предположений теории пограничного слоя, влияние изменения граничных условий будет описываться тогда задачей регулярных возмущений. В такой постановке влияние изменения граничных условий на течение в пограничном слое изучено в работах [7—9]. В работе [9] предполагалось, что изменение граничных условий влияет на течение уже в первом приближении и что такое течение описывается теорией пограничного слоя. Здесь по существу решена обратная задача, в которой для устранения влияния пограничного слоя на внешнее течение и соответственно влияния внешнего течения на течение в пограничном слое контур тела выбирался специальным образом.

В дальнейшем были получены решения прямых задач, которые основывались на теории „свободного взаимодействия", развитой в работах [10, 11] при исследовании предотрывного течения в ламинарном пограничном слое на пластине в сверхзвуковом потоке. В частности, исследовано сверхзвуковое обтекание задней кромки пластины нулевой толщины под нулевым углом атаки [12], сверхзвуковое обтекание пластины с внезапно начинающимся интенсивным отсосом [13] или вдувом [14—16], течение при внезапном изменении температуры поверхности [17] и др. Настоящая работа посвящена изучению особенностей течений в ламинарном пограничном слое в сверхзвуковом потоке в окрестности точек начала и прекращения движения поверхности.

2. Рассматривается ламинарное обтекание плоской поверхности сверхзвуковым потоком. На расстоянии / от передней кромки начинается подвижный участок поверхности, скорость которого равна uw\ направление этой скорости совпадает с направлением невозмущенного набегающего потока (рис. 1, а). На рис. 1, б схематически изображено течение около точки прекращения движения поверхности. Для декартовых координат, отсчитываемых вдоль поверхности и по нормали к ней, компонентов вектора скорости, плотности, давления, энтальпии, коэффициента вязкости приняты следующие обозначения: xl, yl, «<*>«, UooV, poop, pxiiLp, ц^///2, fAcofjt. соответственно. Индекс „оо“ соответствует параметрам невозмущенного внешнего потока.

Предполагается, что число Re = p00M00//H'co достаточно велико.

а)

Рис. 1

Предполагается также, что скачкообразное изменение скорости движения поверхности не слишком мало и приводит к нелинейным изменениям функций течения. Условия, при которых подобное предположение справедливо, будут установлены ниже. Следуя обычной процедуре построения решения, описывающего течение в окрестности точки изменения граничного условия (л: = 0), введем в рассмотрение область, находящуюся на дне исходного пограничного слоя. Функция тока и поперечная координата в этой области представимы в виде

Ф = еи^дс1/а21^|ч^р,^/(т1); ]

уН/2; £ = Ие-’/2. | (1>

Вертикальная скорость на внешней границе пограничного слоя, образующегося при л:>0, неограниченно растет при х -> 0. П01 лощение газа из исходного пограничного слоя приводит к изменению толщины вытеснения и отклонению линий тока во внешнем невязком сверхзвуковом потоке, что индуцирует возмущение давления Ар. Найдем такие расстояния Ах, на которых индуцируемое возмущение давления влияет в главном члене на течение в гой части пограничного слоя, струйки тока из которой поглощаются образующимся пограничным слоем. Расход газа ф, поглощаемого из исходного пограничного слоя на расстоянии Дл; от точки начала движения поверхности, равен по порядку величины гиЦ,2 Ах1/2. Поглощение газа приводит к изменению толщины вытеснения исходного пограничного слоя на АЗ* — ей®4Ахт. Если расстояние Ах превосходит по порядку величины толщину вытеснения невозмущенного

€—«Ученые записки ЦАГИ» № 5

81

пограничного слоя §о — е, возмущение давления, индуцируемое изменением толщины вытеснения, можно оценить по формуле Аккерета Др — еы^4 Ддс-3'4. Пусть индуцированное, возмущение давления влияет в основном порядке на течение в пристеночной области: Ар—и2. Тогда равенство расхода в области с нелинейными изменениями функций течения расходу газа, который поглощается образующимся пограничным слоем, позволяет найти длину возмущенной области течения Ах — е4'5 «-1/5. При выводе последней оценки предполагалось, что в области с нелинейными изменениями функций течения силы вязкости не превосходят по порядку величины сил инерции, а толщина образующегося пограничного слоя на длине Ах не больше, чем толщина области с нелинейными изменениями. Используя полученные выше оценки, можно найти, что отношение сил вязкости к силам инерции

Оценка для отношения толщины образующегося пограничного слоя Д* и толщины области с нелинейными изменениями 8* имеет вид Д*/8* — (е1/4и“1)4/5, Таким образом, при —е1/4 в области с нелинейными изменениями функций течения влияние сил вязкости и сил инерции одинаково по порядку величины, а толщина образующегося пограничного слоя сравнима с толщиной области, в которой происходят нелинейные изменения функций течения. Подобный характер течения — режим „свободного взаимодействия" — впервые изучен в работах [10, 11], где рассмотрено течение в окрестности точки отрыва ламинарного пограничного слоя в сверхзвуковом потоке.

При иш > е1/4 силы вязкости не влияют в первом приближении на течение в области с нелинейными изменениями, а толщина образующегося пограничного слоя пренебрежимо мала по сравнению с толщиной самой области. Анализ выражений (1) показывает, что асимптотические разложения в области с нелинейными изменениями функций течения не являются равномерно пригодными, поскольку вертикальная скорость V, индуцируемая обоазующимся пограничным слоем, неограниченно растет при х + 0. Особое поведение компонента скорости V приводит к необходимости введения в окрестности точки л: = 0 малой подобласти, в которой Ах—Ду, Ди.— V. Характерный масштаб для компонента скорости и определяется величиной скорости движения пластины. Исходя также из того, что в этой подобласти существенно влияние сил вязкости, можно найти, что Ах — Ду— е2»-1, V — Ди — ит.

Завихренность внешнего, по отношению к малой подобласти в начале координат, течения при и„^>г1'2 не влияет в основном приближении на течение в подобласти, которое описывается системой уравнений Навье— Стокса. Изменение скорости Дм, связанное с завихренностью, на расстоянии Ду — от поверх-

ности в этом случае меньше, чем величина скорости ит. При ит — е1/2, Ах — Ду—е3/2 возмущенное течение описывается системой уравнений Навье — Стокса, где граничное условие на больших расстояниях от точки х = 0 получено при сращивании с невозмущенным сдвиговым потоком. Наконец, при ит«е1/2 внезапное изменение скорости движения пластины приводит к линей-

ным изменениям функций, а течение описывается системой уравнений Озеена.

Разрыв скорости при х = 0 физически нереален, фактически изменение скорости будет происходить на некотором конечном расстоянии Дд:0. От величины расстояния Дх0 зависит и описание структуры течения в подобласти вблизи начала координат. Ниже ограничимся лишь исследованием течения в областях с длинами, превосходящими толщину невозмущенного пограничного слоя 3* — е, предполагая, что расстояние, на котором скорость поверхности меняется от О ДО иа„ не больше, чем §0.

3. При — е1/4 течение в области с нелинейными изменениями функций описывается системой уравнений для режима „свободного взаимодействия" [10, 11]. Эта система уравнений имеет вид

1р цг•'__ ЦТ" р1 __ ЦТ'".

¥•'(*,00)1= — Р\ ¥(*, 0) = 0; ¥(— со, У) = Г*/2; ¥'(X<0, 0) = 0; ¥' (Л>0,0) = £/„;

( ) = ~дх ; ( ) = ~дУ >

в которой введены переменные подобия

X = (а5 Р3 Р1 У = (£ р9У*у,

¥ = (ар/ц„ е3)1'2 4>; Р = ф/е а |*№У12р;

и* = (р1 РМ Ю1/4 «•; Р = № - 1)г/2;

а = 8-^(*->-оо,0).

(2)

(3)

При ит С 1 решение краевой задачи (2) представимо в виде

чг-уз/а + Ж.ПЦ,; р=ит~Р1\

К/' — / + Р, =

/' (X, оо} ь= — /' (X < 0,0) = 0; /'(*>0,0)= 1;

/(*,0) = 0; /'(—оо, Г) = 0.

(4)

Используя преобразование Фурье, можно получить решение краевой задачи (4):

Р = - 3 и9 е ехр (0*)/4; *<0; В = [-Щ (0)]^;

ОО

п ит « 31/2 С в4'3 ехр (—0.9Х)Лб ш у^. п

р----------, + ,«+/» • х>0-

(5)

Подобным же образом может быть описано возмущенное течение вблизи точки прекращения движения поверхности. Такое течение описывается системой уравнений (2), в которой граничные условия для ¥'(*,0) имеют вид.

¥'(*,0 ) = £/.; *<0;

¥'(*, 0) = 0; * >0. .

Решение соответствующей линейной задачи при ит<^\ определяется следующим образом:

Р =

Р = ЗитВ ехр (6*)/4; X < 0; 31/20и№ ? х4/3 ехр (-Ох*) Л?

(6)

Следует отметить, что при I С/ч, | С 1 решения, описывающие течение вблизи точки начала движения поверхности и вблизи точки прекращения движения поверхности для скорости поверхности, направленной против направления невозмущенного набегающего потока, отличаются от решений (5), (6) только знаком.

В окрестности точки Х=-\-0 функции течения при У = 0(1) представимы в виде следующих координатных разложений:

¥ = = -0, У) + *1/2¥1(К)+. .

Р (X) = Р0 (* = — 0) + X112 Р10.

(7)

Функциональный вид разложений определяется из условий сращивания с решением в образующемся пограничном слое, т. е. при У = 0(1), где функции течения представимы в виде

¥ = 2112 Х1/2 иЦ2/ (г\) + ...; т) = У иЦ2 2_ш Х~112. (8)

Подстановка (7) в систему уравнений (2) приводит к следующему уравнению для функции 'РДУ);

¥оЧГ'1-^оЧГ1 + Р1 = 0.

Анализ выражений (7), (8) и условия взаимодействия показывает, что ненулевые возмущения на внешней границе области с нелинейным изменением функции течения [¥,(оо)=^0] приводят к бесконечно большим отрицательным величинам давления, поэтому ¥1(оо) = 0. Таким образом, быстрое уменьшение или увеличение толщины вытеснения за счет образующегося пограничного слоя должно сопровождаться появлением большого градиента давления, который обеспечивает нулевое, в главном члене, суммарное изменение толщины вытеснения. Решение для функции ¥/(У) принимает тогда вид

СО

\]Г — ЦТ' Р Г

1— *10 ) ф'2 ■

У *0

Сращивание с решением для образующегося пограничного слоя позволяет найти параметр Р1о, который для случая начала движения поверхности равен

Рк, = 212 С0 С0« 1,229, а для случая прекращения движения поверхности —

4. При 1>ывд>е1/4 функции и координаты для области с нелинейными изменениями для течения в окрестности точки начала движения поверхности представимы в виде

х=е4/5 иш1/5 *1; у=е6/5 иИ,5 у 1;

и = е1,5 „175 ^ у,) + . . . ; г» = еЗ/5 „3,5 1/1 у,) +. . . ;

ц = е7,5и2,5хк(Хи Уг)+...; Р^^и^Р1(Х1) + ....

(9)

Для дальнейшего анализа удобно перейти к переменным Мизеса. Система уравнений Навье — Стокса в этих переменных дает в пределе при Не -> со, ит -> 0, ит Ие-1'8 -> 0 для первых членов разложений (9) следующую систему уравнений:

п I дР\—0.

и1лх. ^ дХх ~~' ’

дРг

1дХ1

дУг

дХг — иг ’ <№ “ рш их ’

I/, = (X, < 0,0) = 0; V, (X1 > 0, ЧГ„) = - С0 ^ 2~>/2 р-1/2 Х~ч* ; « С0 (2 р„)»/2 *//2, С0 1,229.

I

0;

(10)

Выше по течению от точки начала движения поверхности профиль скорости в пристеночной области в невозмущенном пограничном слое имеет вид

и, (- оо, У,) = аУ,- и\ (- оо, ЧГ,) = (2а ЧГ, р-у/».

(П)

Сращивание искомого решения с решением во внешнем невязком потоке приводит к следующему соотношению:

--Ж

(12)

Система уравнений (10) и граничных условий (11), (12) после замены переменных

Л = (а2 Со Рв ^ 2/р)1'5Р-- Хг = (Р4 а6 2« С02Р1 X\

может быть сведена для функции Р (Хг) к следующей краевой задаче для уравнения Риккати:

= ~ !Г,/2+ Рг (Х\12 - Л)3'2, Хг >0; аХ\ *

йРх

Р,{-Рх)^- Х1<0;

йХх

Р1(^1-*±оо) = 0. Решение краевой задачи (13) имеет вид

(13)

Р | = Х\

1/2 г [х;/2/с2;5(4,5 х,)5'4]

л}'2 К215(ЩХ^) где К%5 — модифицированная функция Бесселя [18].

Решение краевой задачи (13), записанное в переменных (3), позволяет определить значение Р(Х = 0) при £/„>-1

Р(Х = 0) = С4/5 21/5 С2 и^5; С2 « 0,858.

5. Течение в окрестности точки прекращения движения поверхности при ит •—* описывается системой уравнений (2) с видо-

измененными граничными условиями. При увеличении скорости движения поверхности течение в той области, где формируется изменение толщины вытеснения, оказывается в первом приближении невязким.

Основываясь на уравнениях движения, можно найти, что при 1 «и, 3> £1/4 положительное возмущение давления сохраняет тот

же порядок, что и при а длина возмущенной области

стремится к нулю.

Следует отметить, что прекращение движения поверхности не приводит к отрыву, так как при 1>йИ)>г1'4 течение описывается линейной системой уравнений. Функции и координаты возмущенной области течения представимы в виде

" ф = еи*ф!;

: «о (Фі) + є1^«™1 «і (х»Уі) +

V-

.1/2

Щ»‘оЛхиЬ)+. . . ;

у=««£Уо (Фі) +є3/2 у і (*і, Фі) + • • •;

р = є1/2,М*і)+ • • •; р = рго +-

(14)

Подстановка разложений (14) в систему уравнений Навье — Стокса и предельный переход ит -* 0, июНе_1/8^0 приводят к следующей системе уравнений:

!*» ”■' = ‘ 1-

р.иіи0+а = 0;

<?Уо

1

<?Уі

2 1 ?т “о

<?Уі

Л*!

”1

И0

Р/»1 (*0 = (*і.и0(«1»1) = (1 + 2а фх/рш)1/я;

(л: г < 0,0) = 0; г»! {хх > 0,0) — да, ш (л:,).

(15)

Система уравнений (15) может быть преобразована к обыкновенному дифференциальному уравнению

(16)

Вертикальная скорость на поверхности ^ „ определяется при сращивании с решением для пограничного слоя, образующегося ниже по течению от точки изменения граничного условия. Согласно [5] образующийся пограничный слой индуцирует вертикальную скорость т — 2~1/2^2Рда1/2 х~і12Сх. Решение уравнения (16),

удовлетворяющее условию затухания возмущений на больших расстояниях ниже по течению от точки изменения граничного условия, имеет вид

р 1=-

Сі № *1/2 Л1/2 ехр (р аЫ Хі) 21,2 «1/2

1

р!/2^1/2 № *1/2

Л(-і)

J0 = | exp (- pt a pw 5) d%\

0

Pl = 2-w«pexp(рдРя,Jfj); *,<0.

Из полученного решения следует, что при Uw -*>- оо значение р(0) стремится к пределу, равному я1/2 2_1/2 Сь Длина возмущенной зоны с ростом t/„„ как это следует из (14), монотонно стремится к нулю [в переменных (3)].

6. Для численного решения краевой задачи (2) при 0<Х<1 вводилось разбиение области интегрирования на две подобласти. В первой подобласти уравнения записывались для функции ЧГ (?, Y), где q = X112. Во второй подобласти уравнения записывались для функции <р (Е, Tfjj), где <р = Ч?уЕ; = Y/\. Вычисления проводились при каждом X = const методом прогонки одновременно в двух областях. Были выбраны следующие шаги разностной схемы: ДК = 0,1, АХ = 0,1, ДЕ = 0,01, = 0,1, и максимальные значения координат:

Уе = 15, т)1е=Ю. В остальном процесс вычислений почти не отличался от описанного в работе [13].

На рис. 2 представлены распределения возмущения давления, полученные в результате численного решения краевой задачи (2).

поверхности и вблизи точки прекращения движения поверхности: Решение системы уравнений (2) получено для значения параметра Уф — 0,4. Отметим, что особое поведение градиента давления при X -*■ + 0 соответствует формулам (8). Кривая III описывает распределение возмущения давления Рх (Лг1') в окрестности точки начала движения поверхности при 1 > ит > є1'4 и получена в результате численного интегрирования уравнения (13). Напомним,

что в переменных (3) длина возмущенной зоны в окрестности точки начала движения поверхности при 1>ми,>е1'4 равна нулю, а возмущение давления по модулю бесконечно велико.

На рис. 2 приведено также решение (3) линейной системы уравнений (4); соответствующая кривая для случая начала движения поверхности отмечена на рис. 2 цифрой IV. Решение линейной системы уравнений (4) для случая прекращения движения поверхности (6) отличается от решения (5) только знаком и на рисунке не приведено.

На рис. 3 приведены распределения напряжения трения на поверхности для случая ит = 0,4. Особенность в распределении трения при X ->■ + 0 обусловлена образованием пограничного слоя ниже по течению от точки изменения граничного условия. Продольная скорость в образующемся пограничном слое равна по

порядку величины скорости движения поверхности, в то время как толщина образующегося пограничного слоя стремится к нулю при ^->+0. Таким образом, при А'-^+О внезапное начало движения поверхности приводит в переменных (3) к бесконечно большому отрицательному трению; внезапное прекращение движения поверхности приводит к бесконечно большому положительному трению.

Профили скорости и (У) в течении непосредственно перед точкой изменения граничных условий и ниже по течению от этой точки изображены на рис. 4. Отметим, что на больших расстояниях ниже по течению от начала координат профили скорости приобретают форму, характерную для сдвигового течения над неподвижной или движущейся поверхностью.

7. В заключение укажем на возможность описания течения в окрестности выемки в поверхности, в которой продувается газ с постоянной в выходном сечении скоростью ит. Если по порядку величины эта скорость превосходит е1^4 на длине Ах, равной

длине взаимодействия е4/5й~1;5, основную роль играет поглощение газа струей. Действительно, расход газа, поглощаемого слоем смешения между сдвиговым течением и покоящимся газом, меняется как ех213, а расход газа, поглощаемого слоем смешения между равномерным потоком и покоящимся газом, растет как еи^2х112. Следовательно, при х<^и3т в течении преобладают процессы переноса массы из пограничного слоя в струю.

Используя оценку для длины области взаимодействия (9), можно получить, что при иш^>е114 зависимость ^(х) при д:>0 будет такой же, как и в системе уравнений (10). Необходимо учитывать также, что поскольку глубина выемки может быть конечной (конечен расход выдуваемого газа), расход газа, поглощаемого струей на длине области взаимодействия, не должен превосходить исходного расхода газа в струе ф0 > е7/5а^5. В про-

тивном случае скорость инициируемого смешением отсоса будет меняться по другому закону, чем предположенный в системе уравнений (10). Таким образом, решение системы уравнений (10), представленное на рис. 2, может также описывать и течение вблизи выемки, в которой продувается газ с постоянной в начальном сечении скоростью ит.

ЛИТЕРАТУРА

1. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М., „Наука“,

1969.

2. Жук В. И., Рыжов О. С. О пограничном слое с само-индуцированным давлением на движущейся поверхоости. ДАН СССР, т. 248, № 2, 1979.

3. Ж у к В. И. Об образовании рециркуляционных зон в пограничном слое на движущейся поверхности. „Изв. АН СССР, МЖГ" 1980, № 5.

4. Соколов Л. А. О пограничном слое с самоиндуцирован-ным давлением на подвижной стенке. „Ученые записки ЦАГИ“, т. XI, № 5, 1980.

5. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. М., „Мир", 1967.

6. Goldstein S. Concerning some solutions of the boundary layer equations. Philos. Mag., vol. 26, pt. 1, 1931.

7. Шманенков В. Н. К исследованию ламинарного пограничного слоя за точкой скачкообразного изменения граничных условий. „Изв. АН СССР, МЖГ*, .1966, № 3.

8. Демьянов Ю. А. Об одном способе построения решения уравнений типа Прандтля в окрестности точек нарушения аналитичности граничных условий. „Ж. вычислит, матем. и матем. физ.“, т. 9, № 4, 1969.

9. Е л и с е е в В. И. К теории пограничного слоя с внезапно изменяющимися граничными условиями. „Изв. АН СССР, МЖГ“, 1972, № 4.

10. Ней ланд В. Я. К теории отрыва ламинарного пограничного слоя в сверхзвуковом потоке. „Изв. АН СССР, МЖГ*, 1969, №4.

11. Stewartson К., Williams Р, G. Self-induced separation. Proc. Roy. Soc., London, ser. A, vol. 312, 1969.

12. Daniels P. G. Numerical and asymptotic solutions for the supersonic flow near the trailing edge of a flat plate. „Ouart. J. Mech. appl. Math.*, vol. 27, pt. 2, 1974.

13. Липатов И. И. Течение в окрестности точки начала интенсивного отсоса ламинарного пограничного слоя в сверхзвуковом потоке. „Ученые записки ЦАГИ", т. VII, № 2, 1976.

14. Липатов И. И. Влияние интенсивного вдува на малом участке поверхности на течение в ламинарном пограничном слое в сверхзвуковом потоке. Труды ЦАГИ; вып. 2080, 1979.

15. Smith F. Т., Stewartson К. On slot injection into a supersonic laminar boundary layer. Proc. Roy. Soc., London, ser. A, vol. 332, 1973.

16. Smith F. Т., Stewartson K. Plate injection into a separated supersonic boundary layer. „J. Fluid Mech.“, vol. 58, pt. 1, 1973.

17. Соколов Л. А. К асимптотической теории плоских течений ламнарного пограничного слоя с разрывом температуры на теле. Труды ЦАГИ, вып. 1650. 1975.

18. Справочник по специальным функциям. Под ред. М. Абрамовича и И. Стиган. М., „Наука*, 1979.

Рукопись поступила lOjVlI 1981