Течение в окрестности точки начала интенсивного отсоса ламинарного пограничного слоя в сверхзвуковом потоке Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том VII 1976 № 2

УДК 532.526

533.694.71/72

ТЕЧЕНИЕ В ОКРЕСТНОСТИ ТОЧКИ НАЧАЛА ИНТЕНСИВНОГО ОТСОСА ЛАМИНАРНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ В СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ

И. И. Липатов

Исследуется течение в окрестности точки начала интенсивного отсоса ламинарного пограничного слоя на пластине в сверхзвуковом потоке. Получены уравнения и краевые условия, описывающие это течение и найдено асимптотическое решение при Не->-оо, vw0. В зависимости от соотношения параметров Ие и 1'т проведена классификация возникающих режимов течения. Показано, что начало и прекращение интенсивного отсоса приводит к появлению больших локальных неблагоприятных градиентов давления, но не вызывает отрыв пограничного слоя.

1. Введение. Одним из средств управления пограничным слоем является отсос газа. С помощью распределенного отсасывания можно, например, устранить отрыв пограничного слоя. Как было показано в работе [1], для безотрывного обтекания сверхзвуковым потоком щитка с углом отклонения Re-1/4<0<dl (Re — число Рейнольдса) необходимо отсасывать газ со скоростью^ — их№- Было установлено также, что для предотвращения отрыва нет необходимости производить отсос вдоль всей поверхности тела, и что достаточно отсасывать расход газа в невозмущенном пограничном слое. Однако в связи с тем, что начало отсоса может индуцировать большие локальные неблагоприятные градиенты давления и, возможно, отрыв пограничного слоя, необходимо провести исследование течения в окрестности точки начала отсоса.

2. Постановка задачи и оценка масштабов. Рассматривается обтекание пластины сверхзвуковым потоком вязкого газа. На расстоянии I от передней кромки начинается отсос газа со скоростью "Уа,, меньшей или равной по порядку величины скорости невозмущенного набегающего потока, но большей, чем нормальная скорость в пограничном слое на непроницаемой поверхности. Введем безразмерные функции течения следующим образом:

X — 1Х, у = ly, U = Uca U, V = Иоо V,

Р -- poo р, Р--Роэ Woe Р} Н - йоо/2 Н,

где и, V, р, р, Н — продольный и поперечный компоненты скорости, давление, плотность и энтальпия соответственно; индексом „оо“ отмечены значения переменных в невозмущенном потоке (ниже черта у безразмерных функций опущена).

Начало интенсивного отсоса приводит к быстрому уменьшению толщины пограничного слоя и, следовательно, большим локальным градиентам давления. Результаты исследований ламинарного пограничного слоя с интенсивным отсасыванием, начинающимся с передней кромки и при нулевом градиенте давления, приводятся в работе [2]. Для того чтобы отсосать расход газа в пограничном слое необходимо расстояние Дл^— Изменение толщины

вытеснения До; — е на длине Дх, — г^.1 индуцирует соответствующее изменение давления Дрх — AЪ\lAx]~vw, следовательно, в основной части пограничного слоя, где и1~1, у1 — е (область 1), изменение скорости Да1~г»те.

Схематическое изображение областей течения приведено на фиг. 1. Отношение вязкого члена к инерционному в уравнении импульса для области 1 по порядку величины равно 1,

чтобы удовлетворить условию прилипания на стенке, необходимо ввести в рассмотрение область 2, толщина которой определяется из условия равенства порядков инерционных и вязких членов у2—в- Vwí■ В случае, если vw—1, течение в области 1 с масштабами х1—описывается полными уравнениями Эйлера др1/дх1-{-+др1/ду1—1/е. Течение на непроницаемой поверхности вверх по потоку от точки начала отсоса эквивалентно течению вблизи угловой точки тела. Течения такого типа на основе анализа асимптотического поведения уравнения Навье — Стокса исследовано в работе [3].

Если £ <С! 'Ущ» 1. течение в области / описывается системой уравнений Эйлера, в которой др,/ду1 = 0. Ниже будет показано, что решение р^х^-*- — оо при X!0 (.*! = 0 — координата точки начала отсоса). Следует предположить, что в окрестности точки начала отсоса существует область 3, в которой возмущение давления больше по порядку величины, чем возмущение давления в области 1 перед точкой начала отсоса. Изменение толщины вытеснения обусловлено изменением толщины вытеснения пристеночного слоя, в котором скорость и и возмущение скорости Д& одинаковы по порядку величины. В этом случае изменение толщины вытеснения приводит к изменению давления, которое в свою очередь влияет на изменение толщины вытеснения. Впервые такая модель была предложена в работе [4], где исследовалось течение в окрестности точки отрыва ламинарного пограничного слоя в сверхзвуковом потоке, а также в работе ¡3] при исследовании течения

разрежения. В основной части пограничного слоя, расположенной над областью 3, область 0, ,у0 — е, и0 — 1, из уравнений импульса

и неразрывности можно найти, что изменение толщины вытеснения

Дйо~8оДи0, Д и0~Д/?8. (2.1)

В области 3, где Д«3~и3 — (&РзУ/2, из уравнения неразрывности следует, что

Доз ~ о.з. (2.2)

ь

Так как профиль скорости в невозмущенном пограничном слое при у -*■ 0 можно представить в виде и (у)—J//8S, то для Д83 следует оценка

Д8;~(Дрз)1/28о:»ДС (2.3)

Тогда, используя формулу Аккерета, получим

Д/?3~ Д8з/Дх3. (2.4)

Изменение толщины вытеснения области 3 за счет отсоса

Д83 -■— vw &x3j(&Piy12. (2.5)

Рассматривая окрестность точки начала отсоса и учитывая, что исходной причиной появления возмущений давления и толщины является отсос, из соотношений (2.3) — (2.5) можно получить следующие оценки Д/?3 — г43, A-Kg — £VwV3, Д83~ 83 ~ ¿Vw3, т. е. действительно возмущение давления в области 3 много больше по порядку величины, чем возмущение давления в области 1. Отношение вязкого члена к инерционному в уравнении импульса для подслоя равно по порядку величины вг»^4/3. При е3/4<С vw <^. 1 течение в области 3, в которой формируется максимальное возмущение давления, будет невязким, при vw— s3/4 реализуется вязкое течение типа, рассмотренного в [3]. В общем случае на дне области 3 нужно рассматривать вязкий подслой.

Можно показать, что толщина вязкого подслоя (область 4, фиг. 1) совпадает по порядку величины с толщиной области 2, т. е. уА—у2 — е2®^1. Решение системы уравнений для области 3 при vw~^> г3'4 определяет распределение продольного компонента скорости на внешней границе области 4. Индуцированный градиент давления не влияет непосредственно на течение в вязком подслое, так как отношение градиента давления к вязкому члену в уравнении импульса для области 4 равно по порядку величины ^4/3С 1.

3. Вывод уравнений и краевых условий. В соответствии с приведенными выше оценками введем следующие представления функций течения и координат, сохраняющих величину О (1) в области 1 при совершении предельного перехода

£ -*- 0; vw -*■ 0; е^й1 ^ 0; (3.1)

*1 Ф1 = Ф/£;

и—«01 (Ф1) + Ли(-*1Ф1)-ь • ■ • ; •••;

• poi(4»i)н-Pu(-*1* *i)-+ — ; p—¿2 +v®Ah(*i) + ---;

ï M oo

«~E«01(X„ .]>,) + BVwnn(Xit J»,)-b------

(3.2)

Подстановка разложений (3.2) в полные уравнения Навье — Стокса и предельный переход (3.1) дает следующую систему уравнений:

.. дцц дрщ _______« дп01 ______ дпрі ________ 1 . дры _____/о о\

Ро1 01 дхх dxi ' dxt u01 ’ йфі — рої иоі ' <% ’

откуда

поі = Г - d^~ ; ^оі = + иоі х~ / ~ • (3-4)

{ Рої «01 01 1 01 J Рої Hot v ’

У w

Из сращивания с решением во внешнем сверхзвуковом потоке следует, что

?Рi(*i) = lira v01(xu P = VmL— 1 . (3.5)

ф,-*оо

Подставляя соотношение (3.4) в (3.5), получим

?А>1 *= ---7Т~~гдЛТ?---Г ПРИ Х1 “*■ 0, Pol--------7= • (3.6)

г^01 Рої (+1 т) «01 (<W ш) и 1 ' г01 у Xl V ’

Функции течения и координаты, сохраняющие порядок 0(1) в области 2, можно представить в виде

x2 = xvw/z; y2=yvj^\ и~и02(л:2, у2) + vwul2(x2, у2) 4- , . .

v~vwv0i(x2, у2) + ; р — Рог (-«з» У2) +

і

+ vw Ра, (х2) + ... ; Н ~ Я02 (*„ у2)

(3.7)

При подстановке переменных (3.7) предельный переход (3.1) в системе уравнений Навье — Стокса дает систему уравнений

. ди<я _ ^ / dug, \ _ дрр2 у02 ____р.. дро* ______~

Рог 02 ¿у2 ¿у2 I! o'J ¿у2 I. (jy2 1 ду* '

дН(у> д і' дНпо \ /г» і\ ^

Р02^02Ж-^(Р02 ( )’ ?** = (т_і)М!(я02-«§2)

(3.8)

дН02 д ; дН0^\. __

, (ГГ-1,, Р.,-,.. ........ ^

с граничными условиями

Н02(х2, 0) = Нт(х2); «02(х2, 0) = 0; х>02{х2> 0) = — 1.

Из сращивания решений в областях / и 2 определяются недостающие граничные условия для решения в области 2

Ига и02(х2, у2) = Нш и01 [х2, <[*, (j/J];

Уа-voo у,-4)

lim Н02{х2, у2)— lltn Н01 [х2, Фі, (.у,)].

у а->-оо Уі-*0

(3.9)

В работе [5] приводится решение системы уравнений (3.8) при условии, что вязкость линейно зависит от температуры

Уз

«•а -= «01 (Р*-«•) {1 — ехр[—.УаРмО»***)}; У2-= / Роз <*У«- (3-10)

о

Аналогично можно выписать решение для //02 и р02.

Следуя работе [3], приведем асимптотические представлёния функций течения, а также систему уравнений и краевых условий, описывающих течение в области 3 при — е3/4 (область свободного взаимодействия)

Р'

п ■

х3=х/г3'4; ф3 -= ф/а3/2; и~г1'*и03(х3, Фз)+ ■ ■ ■ ; v~vwvos(xs, ф3)+ . . .

і

“Ь в112 Роз (х3) -г • • • ; + а1 4 /У03 (л:3, ф3)

■ • 1 Р ' ' Р12} I * • • ) Iі • •

тМ-1 - е5/4/г0з (л^з, Фз)

(3.11)

_ 62 _ 2 =3/2 ІІШ /' т^-+оо

ІІШ (/' — V))

а =

¿У I /(*, 0) =

— в невозмущенном пограничном слое;

0 х <0;

/'(х, 0) = 0; /"(*, оо) = 1;

(3.12)

где

сх/і х ^ 0;

/(— оо, г\) = г?!2; f' = дf/дrl■ /=д/1дх,

^ — [2 (МІо — 1),,2/®(1го]1/2/?0.;

дг = [28(М^-1рР^юа5ГЛ; с = а3'2 2Ш (М^о - 1)1/4 / Р. ;

т) = [2 (МІ - 1 і1« £ а3/[х«6-1/*; ф3 = К/2а(М2-1Р£/(х, ті).

Решение системы (3.12) вверх по потоку от точки начала отсоса совпадает с решением в области свободного взаимодействия в окрестности угловой точки, приведенным в работе [6]. Можно показать, что асимптотика решения системы (3.12) при х -* оо (вниз по потоку от точки начала отсоса) имеет вид

\/~сх + ]/^г {е~су — 1)+ У^сху-\- -7г(е~сУ + 1)+ е~°У +

■су

1) + 01/р:

2_1

X

(3.13)

При г'ш<03/4 решение в области 3 можно представить в виде

<!»■= ^ .у); Фі” = ІЬУ — Ф — і) +.УФІ - Ф;

'1*1 (х, 0) = 0; ф! (х, оо) = 0; ф! (— оо, у) = 0;

сх/Ь X > 0; _ 1 — 2 (лг, оо)

0 х < 0; 5 2 ^ (X, со)

ф,(х, 0) =

(3.14)

При х<0 решение системы (3.14) приводится в работе [6]

\ = £0 ехр а = 0,49.

При г>tt,^>e3,4 из анализа порядков функций течения следует, что течение в области 3, где и — Ли, является невязким. Система

уравнений, описывающих течение, может быть представлена тогда

в виде

„ „ I n- ^El _О* С)П:’- — 1 • /о 1 с V

Здх3 ' дх3 * дф ’ дф3 ?wu3 ’ дх3 и3 ' ' ‘ '

Интегрируя первое уравнение (3.15), получим

Ра» “з . Рш и3 ( °°> 4*з) , . 1 [Ч ф3 а /о 1 е\

2 ь/?з——2—; ♦*)= к р ; (ЗЛ6*

изменение толщины вытеснения

/ -3

До3 = lim

db* Г di

Фз->-00

РюИз(^з. Фз) ) Рш из (— °°> h) о

тогда, подставляя выражение Д53 в формулу Аккерета, получим Q 1 Pw vw 1

РРз = - У —

V Par I'® -*з а Рз

dpjdx

Y2 арщ, У pwvwx3a— р3

^3>0;

(3.17)

^>=УтЬ;Ш' *><0-

Последнее соотношение получено в работе [4] при исследовании течения в окрестности угловой точки. После введения переменных

х = х3 (2 а3 Р)1'3, р = р3(2 В2/Рги VI)1!3

уравнения преобразуются к виду

^= — рУх— р + 1; х > 0; (3.18)

Лх

*Р^~р\г-р- *<0. (3.19)

dx

Решение уравнения (3.19) имеет вид

Р(°)

р (х) =----------

[4- * у~р( о) +']

Решение уравнения (3.18) при х -> оо представим в виде ряда

~ 1,1,

р Г%+^~~т • ■ ■ •

4. Решение уравнений и анализ результатов. Уравнения (3.12) и (3.14) решались численно на ЭЦВМ с помощью программы Селиверстова, которая позволяет интегрировать систему параболических уравнений типа уравнений пограничного слоя с заданным распределением давления. В рассматриваемой задаче давление определялось в результате пристрелки на характеристической полосе х = const. В точке начала отсоса при х = 0 задавалась величина 1(0) и организовывалась пристрелка по параметру с.

-/ О 5 х

Фиг. 3

При слишком малой величине с интегральные кривые Х(х) имеют £'(.*)> О при х-»оо и при слишком большом значении с происходит обращение X в нуль при конечных значениях х. В системе (3.14) преобразование Х = Х/Х(0) и с = с/Х(0) сводит задачу к определению параметра с при 1(0) = 1.

На фиг. 2 приведены кривые 1(х), соответствующие различным значениям с; на фиг. 3 приведены кривые /ю{х) при различных с Решение системы (3.14) приведено на фиг. 4, полученное значение с = 0,67. Аналогичная пристрелка была организована при решении уравнения (3.18), значение р(0) оказалось равным 0,84, соответствующее решение р (х) приведено на фиг. 5.

Фиг. 2

5. Заключение. Таким образом, для безотрывного обтекания щитка с углом отклонения 6 необходимо начинать отсос со скоростью vw~b2 на расстоянии х — evü1 от щитка. После безотрывного прохождения области увеличения давления, вызванного щитком, отсос может быть прекращен, так как прекращение отсоса уже не вызовет отрыва пограничного слоя. Действительно, после прекращения отсоса на поверхности щитка начинается образование пограничного слоя, толщина которого изменяется как 3~xReJ1/2, где х — расстояние от точки прекращения отсоса: тогда возмущение давления, индуцируемое образующимся пограничным слоем Д/j ~ Reo,' , растет при х -*■ 0 и максимально при тех значениях Re*, где 8~s2i>~. В области пограничного слоя с отсасыванием о~ ~e2vw прекращение отсоса вызывает поворот струек тока на угол и дальнейший рост пограничного слоя индуцирует меньшие возмущения давления. В работе [1] было показано, что пограничный слой с отсосом vw^§>£ оторвется, если возмущение давления

Д/7 > vw ^>vw, следовательно, после прекращения отсоса сохранится безотрывное обтекание. ‘

В заключение автор выражает благодарность В. Я. Нейланду за предоставление темы и стимулирующие дискуссии.

ЛИТЕРАТУРА

1. Липатов И. И., Нейланд В. Я. Влияние интенсивного отсоса на течение в окрестности точки отрыва ламинарного пограничного слоя в сверхзвуковом потоке. „Изв. АН СССР, МЖГ\ 1974, №2.

2. Шлихт инг Г. Теория пограничного слоя. М., „Наука*, 1969.

3. Нейланд В. Я. К теории отрыва ламинарного пограничного слоя в сверхзвуковом потоке. „Изв. АН СССР, МЖГ*, 1969, № 4.

4. М а т в е е в а Н. С., Н е й л а н д В. Я. Ламинарный погранич-

ный слой вблизи угловой точки тела. „Изв. АН СССР. МЖГ“ Я» 4 1967. -

5. Y о и п g А. О. Nole on the velocity and temperature distributions attained with suctions on a flat plate of infinite extent in compressible flow.

Quart. J. Mech. Appl. Math., 1948, vol 1, N 1.

6. H e й л a h д В. Я. Асимптотические задачи теории вязких сверхзвуковых течений. Труды ЦАГИ, вып. 1529, 1974.

Рукопись поступила lljX 1974 г.