ТЕҢДЕМЕЛЕР КАТЕГОРИЯСЫ ЖАНА АНЫН КАТЕГОРИЯЧАЛАРЫ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ОШ МАМЛЕКЕТТИК УНИВЕРСИТЕТИНИН ЖАРЧЫСЫ МАТЕМАТИКА. ФИЗИКА. ТЕХНИКА. 2024, № 1(4)

УДК 512.581.2

DOI: https://doi.org/10.52754/16948645 2024 1(4) 22

ТЕЦДЕМЕЛЕР КАТЕГОРИЯСЫ ЖАНА АНЫН КАТЕГОРИЯЧАЛАРЫ

Кененбаева Гулай Мекишовна, ф.-м.и.д., профессор

gkenenbaeva@mail. ru Жусуп Баласагын атындагы Кыргыз Улуттукуниверситети

Бишкек, Кыргызстан

Аннотация. Мурда, взгвртYYлврдв чыгарылыштын сакталуу принцибинин негизинде "предикат" тYШYHYгYHYн жардамы менен тецдеменин жацы жалпы тYШYHYгYн киргизгенбиз жана белгилYY категориялардын негизинде тецдемелер категориясынын элементтери тургузулган. «Тецдеме» mYШYHYгYHв баштапкы жана чектик шарттар да кирет. Биз ошондой эле белгилYY болгон "Адамар боюнча корректтYYЛYктY" кошуу менен корректYY тецдемелердин категорияларынын тYШYHYгYH киргиздик жана корректуулукту сактоо менен взгвртуулврдун мисалдарын, функциялар учун тецдемелер категориясын келтирдик ж.б. Бул макаланын максаты -мурда адабиятта кыйыр турдв колдонулган функциялардын категориясын, тецдеме категориясын жана анын аныкталган субкатегорияларын сурвттвп беруу болуп саналат.

Ачкыч свздвр: категория, морфизм, тецдеме, предикат, чыгарылыш, корректтуулук.

КАТЕГОРИЯ УРАВНЕНИЙ И ЕЕ ПОДКАТЕГОРИИ

Кененбаева Гулай Мекишовна, д.ф.-м.н., профессор

gkenenbaeva@mail. ru Кыргызский национальный университет имени Ж. Баласагына

Бишкек, Кыргызстан

Аннотация. Ранее нами было введено новое общее понятие уравнения с помощью понятия "предикат" на основе принципа сохранения решения при преобразованиях и построены элементы категории уравнений на основе известных категорий. Начальные и краевые условия также включаются в понятие «уравнение». Мы также ввели понятие категории корректных уравнений с включением известной «корректности по Адамару» и привели примеры преобразований с сохранением корректности, понятие категории уравнений для функций и другие. Цель настоящей статьи - описание категории функций, которая неявно использовалась ранее в литературе, категории уравнений и выявленных ее подкатегорий.

Ключевые слова: категория, морфизм, уравнение, предикат, решение, корректность.

CATERGORY OF EQUATIONS AND ITS SUBCATEGORIES

Kenenbaeva Gulai Mekishovna, Doctor of Ph. & Math. Sc., professor

gkenenbaeva@mail. ru Kyrgyz National University named after Jusup Balasagyn

Bishkek, Kyrgyzstan

Abstract. A new general notion of equation was introduced by us with assistance of the notion "predicate " on the base of the principle of preservation of solution while transformations and elements of the category of equations were constructed on the base of well-known categories. Initial values and boundary values are also included in the notion of equations. Further, we introduced the notion of the category of correct equations including the known "correctness by Hadamard" and presented examples of transformations. The aim of this paper is to describe the category of functions which was used in literature implicitly, the category of equations and their distinguished subcategories.

Keywords: category, morphism, equation, predicate, solution, correctness.

1. Киришуу. Азыркы учурда математиканын кептеген тармактары категориялар теориясынын алкагында ийгиликтYY изилденYYДе, анткени ал математикалык объекттердин ортосундагы байланыштардын объекттердин ички тYЗYЛYШYнен кез каранды болбогон касиеттерин карайт.

Кыргызстанда категориялык алгебра боюнча биринчи жыйынтыктарды М.Я.Медведев[1], категориялык топология боюнча бир катар жыйынтыктарды академик А.А. Борубаев, А. А.Чекеев жана алардын окуучулары [2] алышкан.

Математиканын тYPДYY тармактарында «тецдеме» тYШYHYГY пайда болот. Бирок буга чейин тецдемелердин айрым тYрлерYHYн категориялары гана курулган, мисалы, [3]. Ошол эле учурда математикада белгилYY жана ар кандай типтеги тевдемелердин жана тевдемелер системаларынын эквиваленттYY экендигин далилдее YЧYн колдонулат.

Мындан тышкары, автономдуу кадимки дифференциалдык тецдемелердин тартибин темендетYYHYн белгилYY ыкмасы, аргументти алмаштыруунун жана езгертYYHYн ар кандай ыкмалары, Кыргызстанда иштелип чыккан чечимдерди езгертYY ыкмасы, Кыргызстанда тYЗYлген кошумча аргумент ыкмасы ж.б., ар кандай чечимдери бар тецдемелердин эквиваленттYY болушу, ал тургай ар кандай мейкиндиктерде да эквиваленттYY болушу мYмкYн экендигин керсетет. Ошондуктан, бул иштин максаты аталган ыкмалардын так жана бирдей CYреттелYШY жана тецдеме категориясынын жана анын категориячаларынын негизги тYШYHYктерYн, объектилерин жана морфизмдерин формулировкалоо, анын башка категориялар менен байланышын орнотуу YЧYн «тецдеме» TYШYHYГYH «тецдемелер системасы», «кошумча шарттары бар тецдеме» тYШYHYктерYн камтуу менен ^^otyy болуп саналат.

Категориялар теориясынан белгилYY маалыматтарды келтирели

Аныктама 1. К категориясы :

1) Ob(K) (А, В, С, ...) объекттердин жыйындысы;

2)Mor(K) (/, д, h, ..) морфизмдеринин жыйындысы;

3) Ар бир f морфизмге кээ бир dom(f) жана cod(f) объекттерин ыйгаруучу dorn жана cod операциялары (алар /тин башы жана аягы деп аталат). dom(f) = А жана cod(f) = В экендиги /: А ^ В катары керсетYлген. Бул учурда / Адан Вге чейинки морфизм деп айтабыз.

4) cod(f) = dom(g) болгондой ар бир жуп f жана g морфизмдери боюнча кандайдыр бир g° f: А ^ С морфизмди пайда кылган композиция операциясы (ал д жана / композициясы деп аталат).

5) Ар бир А объекти боюнча кандайдыр бир IA: А^А морфизмин пайда кылган I операциясы (ал А объектисинин бирдик же тецдеш морфизми деп аталат).

К категориясындагы Адан Вге чейинки бардык морфизмдердин жыйындысы К(Л, В) менен белгиленет.

Бул учурда, темен^ шарттар аткарылышы керек:

1. Композициянын ассоциативдYYЛYГY. Каалаган YчтYк f,g,h,f:А — В; g:В — С; h: С — D морфизмдери YЧYн ( h ° д) о f = fto(^o^) барабардыгы аткарылат.

2. Тецдештиктин касиеттери. Ар кандай /: А ^ В морфизми YЧYн / о М = /, IB о f = f барабардыктары аткарылат.

Негизги категориялар, алардан бардык калгандары курулган, болуп теменкYлер саналат:

Set кешуктер категориясы. Ob(Set) - бош эмес KenTYKTep, Mor(Set) - бир кешук^ экинчисине чагылдыруучу функциялар.

Функциялардын категориясы (операторлор, e3repTYn тYЗYYлep, чагылдыруулар). Ал адабиятта айтылган, бирок ага эч кандай белги киргизилген эмес, анын формалдуу CYpeттeлYШYн да таба алган жокпуз. Биз сунуштайбыз: Func, Ob(Func)=Mor(Set), Mor(Func) - функцияларды eзгepтYп тYЗYYлep. Эз кезегинде бул категориянын субкатегориялары математиканын ар кандай тармактарында колдонулат.

Тор топологиялык мейкиндиктердин категориясы. Ob(Top) - топологиялык мейкиндиктер, Mor(Top) - YЗГYлтYксYЗ чагылдыруу.

Бул категориядагы тYШYHYктep башка нерселер менен катар маселелердин коppектYYЛYГYн аныктоо YЧYн, анын ичинде тецдемелер категориясында колдонулат.

2. Тецдемелердин категориясын жана анын категориячаларын аныктоо

Динамикалык системалар теориясынын ар кандай бeлYмдepYндe дифференциалдык, интегралдык, айырмалык, ошондой эле интегродифференциалдык жана башка типтеги тецдемелердин баштапкы, чектик, локалдык эмес шарттары жана башка кошумча маалыматтары менен ар кандай функционалдык мейкиндиктерде каралат. Мындай маселелерди бир тYPдe кepсeтYY YЧYн, ошондой эле белгилYY методдорду системалуу тYPдe колдонуу жана жалпылоо YЧYн категория теориясынын ыкмасын колдонуу сунушталат

Тецдемелер категориясы Equa [4] деп белгиленет.

Аныктама 1. Ob(Equa) - {бош эмес X, Y кeптYктepY, X кeптYГYндe P(x) предикаты, B:X^Y eзгepтYп TYЗYYCY} топтому.

{X, Y, P, B} тецдемесинин чечими (3xeX)(P(x)л(у=В(х)) болгондой yeYболот.

Ошондой эле, эгерде В тецдеш eзгepтYп TYЗYY болсо, анда биз "P(x) ". тецдемесинин чечYY маселесин гана алабыз.

Mor(Equa) - {X, Y, P, В} кeптYктepYHYн чечимдери (же алардын жоктугу) сакталгандай eзгepтYYлep.

Морфизмдердин мисалдары:

1- М и с а л. Баштапкы ^шунтун eзгepтYЛYШY. XкeптYГY {xeX: P(x)}= {xeX1: P(x)} боло тургандай X1 кeптYГY менен алмаштырылат.

2- М и с а л. Чечимдерди eзгepтYY• p:X^X биективдYY функциясы киргизилди. {X, Y, P, В} маселеси "P(p(z)), zeX" тецдемесин чыгарууга жана y=B(p(z)) э^ш^го eзгepтYлeт.

3- М и с а л. Тецдеменин eзгepтYЛYШY• Pi предикаты же {xeX: P(x)}= {xeX: Pi(x)}, же (жалпы, бирок татаалыраак ыкма) {xeX: P(x)} œ {xeX: P1(x)}. катары киргизилет. Экинчи учурда, В eзгepтYп тYЗYYлepY чечимдерин {xeX: P1(x)}\ {xeX: P(x)} топтомунан алып салуу YЧYн eзгepтYЛYШY керек.

Equa категориясынын категориячалары.

Equa-Func функциялары YЧYн тецдемелер категориясы.

Аныктама 2. Ob(Equa-Func) - {X eOb(Func), Y eOb(Func) X боюнча P(x) предикаты, B:X^Y eзгepтYп тYЗYYлepY} топтому.

Mor(Equa-Func) - eзгepтYYлep, анын ичинде, 1-, 2-, 3- жалпы мисалдардан тышкары, тeмeнкYлep:

4- М и с а л. Аргументтин eзгeртYЛYШY. x(t) функциясы y4Yh жацы Z функцияларынын мейкиндигинен 1-1 t=y(s) алмаштыруусу киргизилди, анда z(s)=x(y(s)) менен белгиленет жана, (xeX: P (x)}= (zeZ: Pi(z)} болгондой P1 предикаты киргизилет.

YзгYлтYксYЗ жалпыланган предикаттары менен тецдемелер категориясы.

Аныктама 3. Ob(Equa-Top) - {топологиялык X, Y мейкиндиктери, функция - бири белгиленген "чындык" болгон чектYY маанилер жыйындысын алуучу X мейкиндигиндеги жалпыланган предикат P(x), Хте YЗГYлтYксYЗ eтYYДe P(x) функциясы маанилерди коцшуларга гана езгертет (мындай функцияны жалпыланган-YЗГYлтYксYЗ деп атоо сунуш кылынат) деген шартта B:X^Y eзгeртYп тYЗYYCY} топтому. Бул [5]те колдонулган.

Параметрлери бар тецдемелер YЧYн сунушталат

Аныктама 4. Ob(Equa-Par) - (бош эмес X, F, Y кeптYктeрY, XxF кeптYГYндe P(x, f) предикаты, B:X^Y eзгeртYп тYЗYYCY} топтому.

{X, F, Y, P, B} тецдемесинин чечими деп, каалаган feF YЧYн (3xeX)(P(x, f)A(y=B(x)) болгондой yf)eY ди атайбыз.

Ошондой эле, эгерде В тецдеш eзгeртYп тYЗYY болсо, анда "P(x,y) " тецдемесинин чечYY маселесин гана алабыз.

Mor(Equa-Par) - (X, Y, P, B} (Ртен тышкары) кeптYктeрYHYн чечимдери (же алардын жоктугу) сакталгандай eзгeртYYлeр.

Параметрлери бар корректтYY тецдемелер YЧYн сунушталат

Аныктама 5. Ob(Equa-Par-Top) - {X, F, Y топологиялык мейкиндиктер, XxF те P(xf) предикаты, B:X^Y YЗГYлтYксYЗ eзгeртYп тYЗYYCY} топтому. Бул учурда 1) (VfeF)ß!yeY)(BxeX) (P(x,f)A(y=B(x));

2) y f тен YЗГYлтYксYЗ ^з каранды.

Mor(Equa-Par-Top) - 1)- жана 2- касиеттерин сактаган eзгeртYп тYЗYYлeр.

Ошондой эле, эгерде предикат P(x,f) ="A(x)=f" тYPYндe жазылса, мында А кандайдыр бир оператор болсо, анда биз "Адамар боюнча корректтYYЛYктY" алабыз.

3. Корутунду

Бул макалада келтирилген аныктамалардан математикада кездешYYЧY ар кандай типтеги тецдемелерди жалпы тецдемелер категориясына киргизYYгe боло тургандыгы кeрYHYп турат.

Адабияттар

1. Медведев М.Я. Полусопряженные функторы и категории алгебр над n -тройками: Автореферат дисс. ... к. ф.-м.н. (01.01.04) / М.Я. Медведев. - Новосибирск, 1973. - 17 с.

2. Борубаев А.А. О категорных характеристиках компактных, полных равномерных пространств и полных по Райкову топологических групп / А.А. Борубаев // Известия Академии наук, вып. 4, 2007. - С. 1-6.

3. Roskky J. Equational categories / J.Roskky // Cachiers de topologie et géométrie différentielle catégoriques, vol. 22, no. 1, 1981. - P.85-95.

4. Кененбаева Г.М., Аскар кызы Л., Бейшебаева Ж.К., Маматжан уулу Э. Элементы категории уравнений / Г.М. Кененбаева, Л.Аскар кызы, Ж.К. Бейшебаева, Э. Маматжан уулу // Вестник Института математики НАН КР, 2018, № 1. - С. 88-95.

5. Кененбаева Г.М. Применение доказательных вычислений к поиску областей, удовлетворяющих заданным свойствам / Г.М. Кененбаева. - Автореферат дисс. ... к.ф.-м.н., 05.13.16. - Новосибирск, 1991. - 16 с.