CC BY
1ОШ МАМЛЕКЕТТИК УНИВЕРСИТЕТИНИН ЖАРЧЫСЫ МАТЕМАТИКА. ФИЗИКА. ТЕХНИКА. 2024, № 1(4)
УДК 517.968
DOI: https://doi.org/10.52754/16948645 2024 1(4) 23
КОРРЕКТТУУ БИРИНЧИ ТУРД0ГУ ИНТЕГРАЛДЫК ТЕНДЕМЕЛЕРДИН
КЛАССТАРЫ
Кененбаева Гулай Мекишовна, ф.-м.и.д., профессор
Аскар кызы Лира, ф.-м.и.к.
Бейшебаева Жыпар^л Качкыновна, ага окутуучу Саркелова Жылдыз Жанышевна, ага окутуучу
lira130 780@mail. ru
Жусуп Баласагын атындагы Кыргыз Улуттукуниверситети
Бишкек, Кыргызстан
Аннотация.Энтропия тушунугун колдонуунун негизинде биринчи турдвгу интегралдык тецдеменин корректтуулугунун мумкунчулугу чексиз гана аймактарда кврсвтулдуАналитикалуулук эффектисин пайдалануунун негизинде бир, эки жана квп взгврмвлуу функциялар учун биринчи турдвгу,туура келуучу функциялар мейкиндиктеринде корректтуу,сызыктуу жана сызыктуу эмес интегралдык тецдемелердин кец классы тургузулган. Алардын туруктуу чыгарылышы учун жакындаштырылган ыкмалар тургузулган. Тецдемелерди взгвртуп тузуу ыкмасы, чыгарылыштарды взгвртуп тузуу ыкмасы, аргументти взгвртуп тузуу ыкмасы, аналитикалык функциялардын ыкмасы, интегралдык тецдемелер теориясы, сызыктуу операторлор теориясы,чексиз катарлар, категориялар теориясы, анын объектилери жана морфизмдери колдонулат.
Ачкыч свздвр:биринчи турдвгу интегралдык тецдеме, аналитикалык функция, корректтуулук, тецдемени взгвртуу.
КЛАССЫ КОРРЕКТНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО РОДА
Кененбаева Гулай Мекишовна, д.ф.-м.н., профессор
Аскар кызы Лира, ф.-м.и.к.
Бейшебаева Жыпар^л Качкыновна, старший преподаватель Саркелова Жылдыз Жанышевна, старший преподаватель
lira130 780@mail. ru
Кыргызский национальный университет имени Ж. Баласагына
Бишкек, Кыргызстан
Аннотация. На основе использования понятия энтропии показана возможность корректности интегральных уравнений первого рода только в неограниченных областях. На основе использования эффекта аналитичности построены широкие классы корректных линейных и нелинейных интегральных уравнений первого рода с одной, двумя и многими переменными в соответствующих пространствах функций. Построены приближенные методы для их устойчивого решения. Применяются метод преобразования уравнений, метод преобразования решений, метод преобразования аргумента, методы аналитических функций, теории интегральных уравнений, теория линейных операторов, бесконечные ряды, теория категорий, ее объекты и морфизмы.
Ключевые слова: интегральное уравнение первого рода, аналитическая функция, корректность, преобразование уравнения.
CLASSES OF INTEGRAL EQUATIONSOF THE FIRST KIND
Kenenbaeva Gulay Mekishovna, Doctor of Ph. & Math. Sc., professor
Askar kyzy Lira, Candidate of Ph. & Math. Sc Beishebaeva Zhyparkul, senior lecturer
Sarkelova Zhyldyz, senior lecturer lira130 780@mail. ru Kyrgyz National University named after Jusup Balasagyn
Bishkek, Kyrgyzstan
Abstract. On the base of notion of entropy, there is demonstrated possibility of correctness of integral equations of the first kind only on unbounded domains. On the base of applying the effect of analyticity new classes of correct linear and non-linear integral equations of the first kind with one, two and many variables in corresponding spaces are constructed. Approximate methods for their stable solving are developed. Methods of transformation of equations, of transformation of solutions, of transformation of argument, of analytical functions, of the theory of integral equations, the theory of linear operators, infinite series, the theory of categories, its objects and morphisms are applied.
Keywords: integral equation of the first kind, analytical function, correctness, transformation of equation.
1. Киришуу
1920-жылдары Ж. Адамар кецири жайылган типтеги математикалык маселелердин корректтYYЛYГYнe жалпы аныктама берген (биз метрикалык мейкиндикти топологиялык мейкиндикке алмаштыруу менен беребиз): темен^ тYPдeгY оператордук тевдемеден белгисиз z элементин табуу керек
Az=f, (1)
Мында A - Z топологиялык мейкиндигинен U топологиялык мейкиндигине аракеттенYYчY YЗГYлтYксYЗ оператор, feU - берилген элемент: 1) А оператору биективдYY; 2) А 1 тескери оператору YЗГYлтYксYЗ.
Андан ары А YЗГYлтYксYЗ ядросу бар интегралдык оператор болгондо кеп учурларда маселе Адамар боюнча корректтYY эмес экендиги белгилYY болду. Мындай тевдемелердин маанилYYЛYГYнен улам корректтYYЛYктYн жетишээрлик шарттары женYнде кейгейлер келип чыккан.
Эскертуу- Чыгарылыштын (1) бар экендиги алдын ала болжолдонгон «Тихонов боюнча корректтYYЛYктY» биз карабайбыз.
Кептеген эмгектерде теменкY теореманы далилдее усулу енYктYPYЛYп жана жалпыланып жатат.
Теорема 1. Эгерде M(x,s) жана f(x) жылмакай функциялар болсо, (кошумча шарттар аткарылса) f(0)=0 жана M(x,x)^ 0, анда биринчи тYPдегY Вольтер тибиндеги тевдеме
f М(х , s) u(s) ds = f(x) (2)
YЗГYЛтYксYЗ чыгарылышка ээ.
Мындай теоремалар дифференцирлее жолу менен далилденет, бул аларды экинчи тYPдегY Вольтер тибиндеги эквиваленттYY тевдемелерге келтирет, мисалы.
М(х,х)и(х) + f* дМ(х, s) .дх u(s)ds = f'(х) . (3)
Конволюция тYPYндегY тевдемелер YЧYн белгилYY
Теорема 2 [1]. Эгерде берилген f(x) eL2(R), K(x)eL¡ (R функциялары YЧYн Фурье езгертYYлерY бар болсо жана алар Ф[(-)()) eL2(R), ФЩ)()) eL2(R) шарттарын канааттандырса (ФЦ)()))~' ф()() eL2(R)) анда (1) тевдеме А(х, u(j)=fCК(х -s) u(s)ds менен темен^ тYPде жазылган чыгарылышка ээ
СО
и(х) = ( 2 ж)-1 f (ФК (■)())'1 Фf (■)) i)xd)eL 2(R ).
—С
Бул учурда интегралдоонун аймагы чектелбегендиктен, жеке учурлар YЧYн бар болуу теоремасынын аналитикалык эффектисинин негизинде [2], [3], [4] алдык. Бул макалада бул маселе кененирээк талкууланат.
Биринчи тYPдегY интегралдык тевдеменин корректтYYЛYГYн кандай учурларда алууга болорун карап керелY. Эгерде динамикалык система - "z" баштапкы шарты менен баштапкы маселенин чыгарылышыдифференциалдык тевдеме YЧYн жылмакайлоочу
болсо, анда муну энтропиянын eсYШY катары кароого болот. Демек, эгерде анын чыгарылышыг=Л((), тYPYндe жазылса, мында А толук YЗГYлтYксYЗ интегралдык оператор болсо, анда (1) тYPYндeгY тескери маселени алабыз.
Толук YЗГYлтYксYЗ операторго тескери оператор сызыктуу абалда чектелбей турганы белгилYY, бул YЗГYлтYксYЗДYккe эквиваленттYY. Бул жерден биз гипотеза алабыз: эгерде чексиз кешукте^ объектти издее маселеси энтропияга туура келген чоцдуктун кeбeЙYШY жана бош энергиянын чектелген саны менен процесстин математикалык модели болсо, анда тескери маселе корректтуу эмес болот.
Ошондуктан, чектелбеген аймактарда корректтуу биринчи тYPдeгY интегралдык тецдемелерди издee зарыл.
2-бeлYмдe биздин катышуубуз менен иштелип чыккан тецдемелердин категориясын тYЗYYберилген.
3-бeлYм корректтYY биринчи тYPдeгY сызыктуу интегралдык тецдемелерди камтыйт.
4-бeлYмдe -корректтYY биринчи тYPдeгY сызыктуу эмес интегралдык тецдемелер берилген.
2. Equa тецдемелеринин категориясы
ОЪ(Едиа) - топтомдор{ X, У £ ОЪ(Б^),Хте предикат P(x),B:X^YeзгeртyyлeрX У, Р, В} тецдемесинин чыгарылышыу £У, (Зх£Х)(Р(х)л(у=В(х)). Мог(Едиа) - бул{Х, У, Р, В}топтомдорунун eзгeртYYлeрY, бул жерде чыгарылыш сакталат.
Едиакатегориясынын камтылган категориясы:
- Едиа-Рипсфункциялары YЧYн тецдемелердин категориясы :ОЪ(Едиа-Рипс) - { X £ОЪ(Рипс), У еОЬ^ипс),Хтепредикат P(x),B:X^Yeзгeртyyлeр} топтомдору. Мог(Едиа-Рипс) -чыгарылыштарды сактоочу eзгeртyYлeр, анын ичинде аргументти eзгeртYYлeр;
- узгултуксуз жалпыланган предикаттары бар Equa-Fun функциялары учун тецдемелердин категориясы Ob(Equa-Top) - {X, Y е ОЬ(Тор), Хте Р(х) функциясы маанилердин чектуу жыйындысын алат, алардын бири "чындык", eзгeртyyсy} топтомдору, Хге узгултуксуз eтyy учурунда Р(х) функциясы маанилерин чектеш маанилерге гана eзгeртeт деген шартта.
3. Биринчи турдвгу сызыктуу интегралдык тецдемелер
ди(г, х)/дг = аАи( г, х), ( г, х) £Я++ хЯп , а> 0 (4)
тyрyндeгy
и(0,х) = ф), Х£ЯП, (5)
баштапкы шарты менен Я кeптyгyндeгy жылуулук eткeрyмдyyлyктyн тецдемесин чыгаруу учун бул жерде (р(г) - аналитикалык функцияжана аргументтин чыныгы маанилеринде чыныгы маанилерди алат, Т>0 учун формула белгилуу
и(Т,х) = ехр(аТА)(х) = (2VТал) П ¡нп ехр(—\х — \\2 / (4аТ)) ((\)й\(6)
Теорема2. Эгер функция /(х):Яп -^Я-чыныгы коэффициенттери менен eзгeрмeлeрy боюнча экспоненциалдык типтегибутун аналитикалыкфункция болсо, анда
]п(х^ ): = $ Яп ехр (—Ъ\х — \\2й\ = /(х). (7)
биринчи тyрдeгy интегралдык тецдемесинин ушундай эле бутун аналитикалык
п
чыгарылышы м/(х) = ]п~1 (х;/(з):б) = (-)2ехр ( — -1а)/(х)жашайт.
Ал/(х) боюнча турактуу; эгер/(х)>0 жана (Мс£М)(/'2к)(х)\<2Ък /2к~2)(х)[) болсо ,анда бул чыгарылыш оц болот.
4. Биринчи турдвгу сызыктуу эмес интегралдык тецдемелер
2-теореманын баардык шарттары канааттандырылыса, анда
Яп ехр(—Ъ\х — \\2)р2к(\)й\ = /(х). (8)
тецдеме чыгарылышка ээ.
Чыгарылышты eзгeртYY:
СК(х,% *($)й£ = [(х) (9)
тецдемесинде w(x)= W(x, u(x)) ордуна коюсу аткарылат, жана
Кг(хи) =К( //(% и)) белгилeeсY киргизилет, анда эгер (9) - коррект^ болсо корректтYY болгон
хи(%))й£ = Г(х), (10)
интегралдык тецдемеси алынат.
Аргументтерди eзгeртYY. (9) тецдемесинде % =Щ()) ордуна коюусун колдонобуз, бул жерде Н()) аналитикалык функция, х £Я болгондо чыныгы маанилерди алат жана eсYYЧY болот, Щ(Я)=К Жацы белгисиз и(]) = Н (])) функциясын жана К3(х, ], и) = К(х,Н(]),и)Н' (]) киргизебиз. Анда эгер (9) - корректтYY болсо корректтYY болгон
1°К3(х, ],и(]))й] = / (х), (11)
тецдемесин алабыз. Ошондой эле жацы тецдемелер x=^(z)тYPYндeгY алмашырууларда да алынат.
Интегралдык eзeктeрдYн композициясы. Эгер
п 00 п ОС
I К(х,£ и?(£)) = /(х),1 М(х,£ Г(х)
0 0 интегралдык тецдемелери кайсы бир аналитикалык функциялардын классында корректтYY болсо, анда
00 1 / (х* 1
м(%) п(]))а ]) = г(х)
тецдемеси дагы аналитикалык функциялардын ушул классында корректтYY болот.
Сумма тYPYндe бериле турган интегралдуу eзeгY бар тецдемелердин корректтYYЛYГY. Эгер 1Я1 жетишээрлик кичине болсо, анда
О ехр(-Ъг(х - %)2) + Яехр(-Ь2(х - %)2))м($= Г(х) (12)
тецдемеси болот.
5. Корутунду
Бул макаланын натыйжалары корректтуу биринчи тYPдeгY интегралдык тецдемелердин кецири класстары бар экенин кeрсeтYп турат.
Адабияттар
1. [Электрондук ресурс] / http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ie/ie0322.pdf
2. Аскар кызы Л. Класс интегральных уравнений первого рода, имеющих решение при любой правой части / Г.М. Кененбаева, Л. Аскар кызы // Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики: труды Международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения академика Г. И. Марчука, ИВМ и МФ СО РАН. - Новосибирск: Абвей, 2015. - С. 321-325.
3. Аскар кызы Л. Условия существования положительных решений линейных интегральных уравнений первого рода / Л. Аскар кызы // Вестник ЖАГУ, 2016. - № 1(32). - С. 24-29.
4. Аскар кызы Л. Корректность решения двумерного интегрального уравнения первого рода с аналитическими функциями [Текст] / Л. Аскар кызы // Проблемы современной науки и образования. - № 21(63). - Иваново: Олимп, 2016. - С. 6-9.
