CC BY
1ОШ МАМЛЕКЕТТИК УНИВЕРСИТЕТИНИН ЖАРЧЫСЫ МАТЕМАТИКА. ФИЗИКА. ТЕХНИКА. 2024, № 1(4)
УДК 517.5:517.91
DOI: https://doi.org/10.52754/16948645 2024 1(4) 21
ФУНКЦИОНАЛДЫК 03 АРА байланыштар, дифференциалдык ТЕЦДЕМЕЛЕР ЖАНА БАШКАРЫЛУУЧУ ОБЪЕКТТЕР Y4YH АЛАРДЫН
КОЛДОНУЛУШУ
Кененбаев Эламан Elaman0527@gmail. com
Кыргыз Республикасынын Улуттук илимдер академиясынын Математика институту
Бишкек, Кыргызстан
Аннотация. Макалада кандайдыр бир квптYктвгY объекттин чекиттеринин ортосундагы вз ара байланыш, анын ичинде функциянын маанилеринин, дифференциалдык тецдеменин чечимдеринин ортосундагы вз ара байланыш каралат. Алардын классификациясы сунушталат: чексиз жана чектYY сандагы чоцдуктар ортосундагы вз ара байланыштар; толук аныкталган жана жарым-жартылай аныкталган маанилердин ортосундагы вз ара байланыштар. Функционалдык вз ара байланыштардын YстYHвн болгон амалдар каралат. Геометриялык объектилердин, кыймылдуу геометриялык объекттердин, кадимки дифференциалдык тецдемелердин жана жекече туундулуу дифференциалдык тецдемелердин функционалдык вз ара байланыштарынын мисалдары келтирилген. Мындай байланыштардын кээ бир дифференциалдык тецдемелерди изилдвв YЧYH, компьютерде колдонуучунун жардамы менен башкарылуучу объекттердеги тилдик тYШYHYктврдYH CYрвттвЛYштврY YЧYH колдонулушу кврсвтYлгвн.
Негизги свздвр: функционалдык вз ара байланыш, дифференциалдык тецдеме, башкарылуучу объект, классификация, компьютерде кврсвтYY■
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ, ИХ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ДЛЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И УПРАВЛЯЕМЫХ ОБЪЕКТОВ
Kenenbaev Elaman Elaman0527@gmail. com
Институт математики Национальной Академии наук Кыргызской Республики
Бишкек, Кыргызстан
Аннотация. В статье рассматриваются соотношения между точками объекта из какого-либо множества, в том числе между значениями функции, решениями дифференциального уравнения. Предлагается их классификация: соотношения между бесконечным и между конечным количеством значений; полностью определенные и частично определенные. Рассматриваются действия над функциональными соотношениями. Приведены примеры функциональных соотношений для геометрических объектов, подвижных геометрических объектов, обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений в частных производных. Показано использование таких соотношений для исследования некоторых дифференциальных уравнений, для изображения языковых понятий на компьютере с помощью управляемых пользователем объектов.
Ключевые слова: функциональное соотношение, дифференциальное уравнение, управляемый объект, классификация, компьютерное представление.
FUNCTIONAL RELATIONS, THEIR APPLICATION TO DIFFERENTIAL EQUATIONS AND CONTROLLED OBJECTS
Kenenbaev Elaman Elaman0527@gmail. com
Institute of Mathematics of National Academy of Sciences of Kyrgyz Republic
Bishkek, Kyrgyzstan
Abstract. The article deals with the relationship between the points of an object of any set, including ones between the values of a function, solutions of a differential equation. Their classification is proposed: relations between an infinite and between a finite number of values; fully defined and partially defined. Actions on functional relations are considered: intersection, union. Examples of functional relations for geometric objects, moving geometric objects, ordinary differential equations and partial differential equations are given. Application of such relations for the study of some differential equations, for the representation of language notions on a computer with assistance of user-controlled objects is shown.
Keywords: functional relation, differential equation, controlled object, classification, computer presentation.
1. Киришуу- Макалада кандайдыр бир кептуктун объектинин чекиттеринин ортосундагы байланыштар, анын ичинде функциянын маанилери, "функционалдык ез ара байланыштар" деп аталган дифференциалдык тевдеменин чечимдери.
Функционалдык ара байланыштар мамилелер математиканын ар кандай тармактарындагы объекттерде жана алардын колдонулуштарында бар. Анын ичинде, дифференциалдык тевдемелердин теориясы боюнча эмгектердин кепчYЛYГYнде же чечимдер, же жакын чекиттердеги чечимдердин маанилери (жакындаштыруу ыкмалары) каралат. Ошол эле учурда, алыскы чекиттердеги функциялардын маанилери колдонулган кээ бир жыйынтыктар каралат [1].
Экинчи белYмде геометриялык объектилердин, кыймылдуу геометриялык объекттердин, кадимки дифференциалдык тевдемелердин жана жекече туундулуу дифференциалдык тевдемелердин функционалдык ез ара байланыштарынын мисалдары келтирилген. Алардын классификациясы сунушталат: чексиз жана чектYY сандагы човдуктар ортосундагы ез ара байланыштар; толук аныкталган жана жарым-жартылай аныкталган маанилердин ортосундагы ез ара байланыштар. Функционалдык ез ара байланыштардын YCTYнен болгон амалдар каралат.
YчYнчY белYмде мындай ез ара байланыштар кээ бир дифференциалдык тевдемелерди изилдее YЧYн, компьютерде колдонуучунун жардамы менен башкарылуучу объекттердеги тилдик тYШYHYктердYн CYреттелYштерY YЧYн колдонулушу керсетYЛген.
2. Функционалдык ез ара байланыштардын мисалдары жана
классификациясы
БелгилеенY колдонобуз: F - бири-бири менен туташтырылган чекиттердин минималдуу саны, х = (х1,х2,...,хт) eRm.
Чекиттердин номурлары чарчы кашаа менен белгиленет.
2.1. Тегерек. F=4. Эгерде T[2] жана T[3] чекиттери T[1] жана T[4] чекиттеринин ортосунда болсо, анда (T[1] T[2] T[4]) бурчу (T[1] T[3] T[4]) бурчуна барабар болот.
2.2. Кыймылдуу эки звенолуу сынык сызык. F=3. (T[1] T [2] ) сегменттин узундугу туруктуу, (T[2] T[3]) сегменттин узундугу туруктууга барабар.
2.3. БелгилYY болгондой, эки eзгeрмeлYY гармоникалык функциялар ез ара байланышты канааттандырат: функциянын каалаган тегеректеги орточо мааниси (чексиз сандагы чекиттер) тегеректин борборундагы функциянын маанисине барабар.
Ошол эле учурда чекиттердин ар кандай чектYY кeптYГYндe гармоникалык функция каалаган човдуктарды ала алат. m=2 болсун, x[1], x[2],...,x[k] чекиттери жана u[1], u[2], ...,u[k] сандары бар.
Бул маанилердин негизинде биз комплекстYY eзгeрмeнYн функциясы катары L(x) Лагранж адп мYчeсYн тYзeбYз: L(x[j])=u[j, j=1,...,k жана армоникалык функция U(x)=Re L(x) ти аныктайбыз. Анда
U(x[j]) = Re L(x[j]) = Re u[j]= u[j], j=1, ...,k.
Демек, чектYY чекиттердеги гармоникалык функциянын ар кандай маанилери бири-бири менен байланышпайт. Бул жерде F=w.
2.4. Бир скалярдуу eзгeрмeлYY f(x)=kx тYPYндeгY сызыктуу функциясынын нeлдeн башка эки чекитиндеги маанилери туура келиши керек:
f(x[1])x[2]=f(x[2])x[1]; F=2.
2.5. Yч чекиттеги бир скалярдуу eзгeрмeлYY f(x)=kx+b сызыктуу функциясынын маанилери туура келиши керек:
(f(x[1])-f(x[3]))(x[1]-x[3])= (f(x[2])-f(x[3]))(x[2) ]-x[3]); F=3.
2.6. Бир скалярдуу eзгeрмeлYY k даражадагы кeп мYчe-функциянын F=k+2 чекиттериндеги маанилери туура келиши керек.
m=1 болсун, x[1], x[2],...,x[k+2] сандары жана f[1], f[2], ..., f[k+2] сандары берилсин. x[1], x[2], ...,x[k+1] жанаf[1], f[2], ...,f[k+1] маанилерин колдонуп, k-тартиптеги L(x) Lagrange адп мYчeсYн тYзeбYЗ. L(x[k+2])=f[k+2] болушу керек.
Эгерде чекиттер арифметикалык прогрессияны тYЗсe, анда мындай туура келYYЧYЛYк тeмeкYдeй жазылат:
Zfc+i .
ci+1 ( - 1 Vf(x[j + 1]) = О
j=о
2.7. Эки скалярдуу eзгeрмeлYY функция - ар бири бир eзгeрмeлYY функциялардын суммасы - Асгейрссондун тендештигин тeрт чекит YЧYн канааттандырат, F=4:
Эгерде m=2 болгондо f(x) = f1(x1)+f2(x2), u[1], u[2], v[1], v[2] кандайдыр бир сандар болсо, анда
f(u[1], v[1])+f(u[2], v[2])fu[1], v[2])+f(u[2], v[1]).
Функционалдык eз ара байланышка амалдар:
Эгерде u[3] кандайдыр бир сан болсо, анда биз жаза алабыз: f(u[2], v[1])+f(u[3], v[2])fu[2], v[2])+f(u[3], v[1]).
Мурунку барабардык менен кошсок, алабыз f(u[1], v[1])+f(u[3], v[2])fu[1], v[2])+f(u[3], v[1]).
2.8. m скалярдуу eзгeрмeлeлYY функциясы - ар бири бир eзгeрмeлYY функциялардын суммасы - тик бурчтукту тузген тeрт чекити YЧYн ошондой эле Асгейрссон тендештигин канааттандырат, анын каалаган эки карама-каршы жагы ордината окторунун бирине параллель.
2.9. m скалярдуу згeрмeлeлYY функциясы - ар бири аз eзгeрмeлYY функциялардын суммасы катарында -
f(x)= gl(X2,..., xm ) + ...+ gq(X], ..., Xq—1, Xq+1,..., Xm ) + ... + gm(x1,^,xm-1),
F=2m чекиттери Y4YH жалпыланган Асгейрссон тендештигин канааттандырат.
3. Дифференциалдык тецдемелердин классификациясы жана функционалдык
ез ара байланыштардын колдонулушу
Адабияттарда, кадимки дифференциалдык жана экиден кеп эмес eзгeрмeлYY жана экинчи тартиптен жогору эмес жекече туундулуу дифференциалдык тецдемелер Y4Y^ терминологиядагы бирдейлик бар экенин кeрсeтYп турат.
[2], [3], [4] жана башкаларда жекече туундулуу дифференциалдык тецдемелерди алардын жазылышына жараша классификациялоо жана жазылышын жeнeкeйлeштYрсe да eзгeрбeй тургандай eзгeртYп тYЗYYлeрдY сунушталат. Мурда бир типке таандык болгон тецдемелердин чечимдеринин ар кандай функционалдык e3 ара байланыштары бар экендиги [5], [6] кeрсeтYлгeн. [7] макаласында, жазуу формасына карабастан, тецдемелерди чечимдерине жараша классификациялоо сунушталган.
Функционалдык e3 ара байланыштарды колдонуунун мисалдарын карап кeрeлY.
3.1. Кадимки дифференциалдык тевдемелер.
y(k(x)=0 тецдемесин карап кeрeлY. Анын чечими (k-1)- тартиптеги ^п мYчe. 2.6-бeлYктeн анын маанилери каалаган h>0 YЧYн удаалаш тYPдe формула боюнча табылышы мYмкYн экени келип чыгат:
у(х) = ук cl( - 1 V+ky(x-jh)
¿—4=1
Ар тYPДYY чекиттердеги тецдеменин чечиминин маанилеринин ортосундагы байланышты C. J. de la Vallee Poussin алган (мисалы, [8]): тецдеме
y(n)(x)+p1(x) y(n—1)(x)+... + pn(x) y(x) = 0, a<x<b, pk(x) eC[a,b], y(x[i]) = c i, i=1,..., n шарты менен
Il P1\\[a,b](b—a)+ || P2\\[a,b] (b—a)2/2!+... + || pn\\[a,b] (b—a)n/n! < 1. чектeeсYндe жалгыз чыгарылышка ээ.
3.2. Жекече туундулуу дифференциалдык тевдемелер.
uxx (x,y)-Uyy (x,y)=0 толкун тецдемесин карап кeрeлY. Бул тецдеменин жалпы чечими д'Аламбердин формуласы менен табылат жана 2.7-бeлYмдeн (t, x) тегиздикте жактары координата октору менен 450 тYЗгeн тик бурчтуктун диагоналдарынын биринин учунда u(t, x) функциясынын маанилеринин суммасы, башка диагоналдын учтарындагы u(t,x) функциясынын маанилеринин суммасына барабар, F=4 экендиги келип чыгат. Бул функ-ционалдык байланышты колдонуу менен, ар кандай чекиттердеги чечимдин маанилерин удаалаш табууга болот.
3.3. eзгeрYYЧY этиштердин e3 алдынча компьютерде кeрсeтYЛYШY [9]. Математикалык кeз караштан жана компьютердик ишке ашыруу боюнча, этиштер: эц жeнeкeй (которуу) - ал, кой, жылдыр, бер (бир чекиттин кыймылын программалоо жетиштYY), жылдыруу -буруу - бур, тургуз (бир чекиттин жана буруу бурчунун eзгeрYШYHYн кыймылы программаланган) жана татаал - дисплейде eзгeртYYЧY объект болуп бeлYнeт. Мындай этиштер YЧYн кeп учурларда функционалдык e3 ара байланышкан
чектYY сандагы чекиттердин кыймылын программалоо жетиштYY. Мисалы, тYздв, бYктв (2.1-пунктту кара).
4. Корутунду
Бул макалада келтирилген мисалдар функционалдык eз ара байланыштарды колдонуу математиканын жана анын колдонмолорунун ар кандай тармактарында объекттерди кeрсeтYYгe жана кээ бир маселелерди чечYY мYмкYнчYЛYктeрYн берээрин кeрсeтYп турат.
Адабияттар
1. Панков П.С. Аксиоматическая теория характеристик и ее применение к аналитическим функциям / П.С.Панков, Г.М.Матиева, Х.С. Сабирова // Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям, вып. 33. - Бишкек: Илим, 2004. - С. 37-42.
2. Джураев Т.Д. О классификации и приведении к каноническому виду уравнений с частными производными третьего порядка / Т.Д.Джураев, Я.Попелек // Дифференциальные уравнения. - 1991. - Т. 27. -№ 10. - С. 1734-1745.
3. Джураев Т.Д. К теории дифференциальных уравнений в частных производных четвертого порядка / Т.Д.Джураев, А.Сопуев. - Ташкент: Фан, 2000. - 144 с.
4. Джураев Т.Д. Краевые задачи для уравнений параболо-гиперболического типа / Т.Д.Джураев, А.Сопуев. М.Мамажанов. - Ташкент: Фан, 1986. - 220 с.
5. Сабирова Х.С. Влияние младших членов дифференциальных уравнений с частными производными на их характеристичность / Х.С. Сабирова // Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям, вып. 38. - Бишкек: Илим, 2008. - С. 107-111.
6. Сабирова Х.С. Различие в характеристических свойствах волновых уравнений с различным количеством переменных / Х.С. Сабирова // Вестник Международного университета Кыргызстана, № 1(20), 2011. - С. 58-61.
7. Кененбаева Г.М. Элементы категории уравнений / Г.М.Кененбаева, Л.Аскар кызы, Ж.К. Бейшебаева, Э. Маматжан уулу // Вестник Института математики НАН КР, 2018, № 1. - С. 88-95.
8. Бессмертных Г. А. О существовании и единственности решений многоточечной задачи Валле-Пуссена для нелинейных дифференциальных уравнений / Г. А. Бессмертных // Дифференциальные уравнения, 1970, том 6, № 2, с. 298-310.
9. Kenenbaev E. Functional relations and mathematical models of transforming verbs / P.Pankov, E. Kenenbaev, S. Chodobaev // Herald of Institute of Mathematics of NAS of KR, 2022, No. 1. - Pp. 131-136.
