T-радикалы, порождаемые бимодулями Текст научной статьи по специальности «Математика»

88

Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2009. № 8(74)

УДК 512.553+512.541

Т-РАДИКАЛЫ, ПОРОЖДАЕМЫЕ БИМОДУЛЯМИ1

© 2009 Е.А. Тимошенко2

В работе доказан следующий факт: для произвольного кольца Б с единицей и левого модуля ^— можно найти Б-Б-бимодуль N такой, что условия А — = 0 и А N = 0 эквивалентны. Показано, что для этого достаточно положить N = — ® Б.

Ключевые слова: модуль, радикал, тензорное произведение, ковариант-ное расширение, бимодуль.

Введение

В статье [1] исследовались связи между двумя похожими по свойствам классами идемпотентных радикалов, определяемых при помощи тензорного произведения: Т-радикалов и Т(—)-радикалов. Перед тем как дать нужные определения, перечислим некоторые обозначения и договоренности.

Группы будут предполагаться абелевыми, кольца — ассоциативными с единицей, модули — унитарными. Мы будем приписывать кольцу свойства его аддитивной группы; так, фраза "Б — периодическое кольцо" означает, что периодической является аддитивная группа Б + данного кольца. Через и ® обозначается тензорное произведение над Б и над кольцом целых чисел Ъ соответственно. Периодическую часть и р-компоненту группы М обозначаем ;(М) и Мр.

Если ^ — — левый модуль над Б, то для правого модуля As сумму всех подмодулей В из А таких, что выполнено равенство В — = 0, мы будем обозначать через WF(А) и называть Т(—)-радикалом, модуля А. Заданный таким образом функтор WF есть идемпотентный радикал (основные факты о радикалах см. в [2, 3]) категории правых Б-модулей шоё-Б. Радикальный класс Т(—) этого радикала, задаваемый условием ""р (А) = А, состоит из тех и только тех модулей As, для которых А — = 0. Подчеркнем, что

1 Статья поддержана ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 годы". Государственный контракт П937 от 20 августа 2009 г., а также частично профинансирована Федеральным агентством по науке и инновациям России по контракту № 02.740.11.0238.

2Тимошенко Егор Александрович ([email protected]), кафедра общей математики Томского государственного университета, 634050, Россия, г. Томск, пр. Ленина, 36.

идемпотентный радикал однозначно задается своим радикальным классом. Если 5 совпадает с кольцом Z целых чисел, Т(^)-радикалы (и только они) имеют радикальные классы, являющиеся замкнутыми относительно взятия сервантных подгрупп [4].

Пусть Я — еще одно кольцо, а е: 5 ^ Я — гомоморфизм колец. Тогда мы можем рассматривать всякий правый Я-модуль А как притягивающий 5-модуль, если для любых элементов а € А, в € 5 положим ав = ае(в). Для £-£-бимодуля Я/е(Б) введем обозначение Я. Через Т обозначим класс всех модулей Вд, для которых эпиморфизм В ®s Я ^ В Я, действующий по правилу Ь ®s г ^ Ь г, является изоморфизмом. Сумму всех входящих в класс Т подмодулей В модуля Ад мы будем называть Т-радикалом модуля А и обозначать через W(A). Это понятие в каком-то смысле дуально по отношению к Е-радикалу, введенному в [5].

Модуль Ад содержится в классе Т в том и только в том случае, когда выполнено А^Я = 0 [6]; отсюда можно вывести, что Т-радикал — это сужение Т(Я)-радикала, действующего в шоё-£, на категорию шоё-Я [1]. С учетом этого естественно с самого начала считать Т-радикал действующим в шоё-£ и таким образом отождествить его с Т(Я)-радикалом. В работе [1] также показано, что для всякого бимодуля sNs можно найти кольцо Я и гомоморфизм е такие, что Я/е(Б) = s. При этом можно добиться, чтобы любой заранее заданный правый модуль А5 получался как притягивающий из подходящим образом выбранного правого Я-модуля; тогда радикалы W и WN представляют собой фактически один и тот же объект.

С этой позиции Т-радикал есть просто частный случай Т(^)-радикала. Естественно поставить обратный вопрос: всякий ли радикал WF категории правых модулей шоё-£ можно представить в виде Т-радикала (а точнее, в виде WN, где N — -бимодуль)? Ниже мы убедимся, что ответ на этот вопрос положителен для любого кольца 5; более того, будет показано, что в качестве N можно взять ковариантное расширение (этот термин введен в [7, гл.11, § 6]) ^ ® 5 модуля ^.

Основные результаты

Нам уже известно, что всякий левый модуль 5^ порождает радикал WF категории правых модулей шоё-£. Точно так же каждый правый модуль А5 будет задавать некоторый радикал (Т(А)-радикал) категории £-шоё левых модулей. Этот радикал также обозначим WA. В дальнейшем будет удобно пользоваться следующей леммой.

Лемма 1. Для кольца 5 следующие условия эквивалентны:

а) для любого sF радикалы WF и WF®s категории шоё-£ совпадают;

б) для любых s^, As и X = А ^^ ^ из X ® 5 = 0 следует X = 0;

в) для любого As радикалы WA и Ws®A категории £-шоё совпадают.

Доказательство. Сразу заметим, что эквивалентность б) ^ в) будет следовать из эквивалентности б) ^ а) из-за симметричности условия б).

а) ^ б). Из равенства радикалов Wf и Wf®s мы получаем равенство их радикальных классов T(F) = T(F ® S). Далее, из X ® S = 0 в силу ассоциативности тензорного произведения следует A G T(F ® S), поэтому имеем A G T(F). Это означает, что X = 0.

б) ^ а). Из эквивалентности равенств X = 0 и X ® S = 0 мы получаем эквивалентность условий A G T(F) и A G T(F ® S). Следовательно, T(F) совпадает с классом T(F ® S), а это и означает, что Wf = Wf®s.

В дальнейшем окажется, что равносильным условиям леммы 1 удовлетворяет любое кольцо. Для доказательства этого факта будет проверяться условие б) из ее формулировки. Сначала отдельно рассмотрим два частных случая. Напомним, что группа M называется m-ограниченной, если имеет место равенство mM = 0 (здесь m — натуральное число).

Теорема 2. Все периодические кольца, а также кольца без кручения удовлетворяют эквивалентным условиям леммы 1.

Доказательство. Предположим, что X = A ®s F = 0, но X ® S = 0.

Пусть S — периодическое кольцо характеристики m > 0. Заметим, что тогда X является m-ограниченной группой. Хотя бы для одного простого числа p, делящего m, имеем Xp = 0. Ясно, что тогда группы X и S + не являются p-делимыми, т. е. обе они имеют циклическую группу Z(p) своим гомоморфным образом. Значит, из X ® S = 0 следует Z(p) ® Z(p) = 0, что дает нам противоречие.

Пусть теперь S — кольцо без кручения, Z(S) — его центр. Допустим, что для натурального числа n и z G S выполнено nz G Z(S). Тогда для любого s G S имеем равенства n(zs — sz) = (nz)s — s(nz) = 0, откуда следует включение z G Z(S). Это доказывает, что подгруппа Z(S)+ сервантна в S+ и, значит, X ®Z(S) = 0. Группа X, очевидно, является модулем над кольцом Z(S), следовательно, отображение x ® z ^ xz задает эпиморфизм абелевых групп X ® Z(S) ^ X. Получили равенство X = 0, которое противоречит исходному предположению.

Теперь можно сформулировать основной результат статьи.

Теорема 3. Для всякого кольца S и всякого модуля sF радикалы Wf и Wf®s категории mod-S совпадают.

Доказательство. В силу теоремы 2 достаточно рассмотреть случай, когда кольцо S является смешанным. Как и ранее, предположим сначала, что X = A ®s F = 0 и X ® S = 0.

Ясно, что t(F) и Fp — подмодули в sF, а t(S) является идеалом в S. Введем обозначения F = F/t(F) и S = S/t(S). Модуль sF естественным образом можно рассматривать как левый модуль над S. Поэтому F также можно превратить в правый модуль над Z(S), полагая fs = sf для любых элементов f G F и s G Z(S).

Пусть г € 5, в € 2(5) и / € F. Тогда из равенства вг = гв немедленно следует вг — гв € ^5) и, значит,

(г/)в — г(/в) = в(г/) — г(в/) = (вг — гв)/ € = 0.

Поэтому F является 5-2(5)-бимодулем.

Итак, У = А ^ F — правый модуль над 2(5). Группа X ® 5 = 0 имеет своим гомоморфным образом У ® 5, т. е. У ® 5 = 0. Мы уже знаем, что 2(5)+ есть сервантная подгруппа группы 5 +; значит, У ® 2(5) =0. Группа У является гомоморфным образом группы У ® 2(5), так что У = 0.

Отсюда следует, что в точной последовательности абелевых групп

А ^ ^) —► А ^ F = X —► А ^ ^ = У —► 0

первое отображение является эпиморфизмом. Это означает, что группа X периодическая и для некоторого простого числа р выполнено Xp = 0; при этом Xp ® 5 = 0. Ясно также, что группа Xp служит гомоморфным образом для А ^ Fp (отметим, что из одного лишь факта периодичности абелевой группы А ^ F нельзя было сделать вывод, что периодической обязательно является одна из групп А и F: в общем случае это утверждение неверно даже для коммутативного кольца 5).

Пусть Xp не является делимой группой. Известно [4], что в этом случае из равенства Xp ® 5 = 0 следует р-делимость группы 5 + и, в частности, обратимость элемента р ■ 1 € 5. Тогда Fp = 0; следовательно, имеем Xp = 0 — противоречие. Итак, Xp есть ненулевая делимая группа. Если бесконечная циклическая подгруппа (1) является р-сервантной в 5+, то из равенства Xp ® 5 = 0 следует Xp = Xp ® (1) = 0, что невозможно.

Пусть (1) не является р-сервантной подгруппой. Тогда найдется целое число т, не делящееся на рк, но удовлетворяющее равенству т ■ 1 = ркв для какого-то элемента в € 5. Пусть т = ргп, где число п взаимно просто с р. Тогда существуют целые числа и и V такие, что ирк-г + то = 1. Отсюда получаем

рг ■ 1 = рг(ирк-г + vn) ■ 1 = (ирк + vm) ■ 1 = рк(и ■ 1 + vв).

Это значит, что элемент рг ■ 1 имеет в 5 + бесконечную р-высоту. Поэтому группа Fp (как и Xp) является рг-ограниченной, т. е. группа Xp не может быть делимой, что вновь приводит нас к противоречию.

Таким образом, для X = А ^ F из X ® 5 = 0 действительно следует равенство X = 0, что и требовалось.

Очевидно, справедлив также левый аналог доказанного результата: для всякого кольца 5 и правого модуля As радикалы WA и Ws®A категории левых модулей 5-шоё совпадают.

Естественное обобщение Т^)-радикала строится следующим образом. Пусть Т есть некоторый непустой класс левых 5-модулей. Сумму всех подмодулей В из As таких, что В ®s F = 0 для всех модулей F € Т, будем называть Т(Т)-радикалом, модуля А и обозначать Wf(А). В радикальный

класс T(F) этого идемпотентного радикала входят те и только те модули As , которые удовлетворяют условию A F = 0 при всех F G F.

Через F®S мы обозначим класс всех S-S-бимодулей F®S, для которых выполнено F G F.

Теорема 4. Для всякого кольца S и непустого класса левых S-модулей F радикалы Wf и Wf®s категории mod-S совпадают.

Доказательство. Из теоремы 3 следует, что модуль As удовлетворяет всем равенствам A F = 0, где F G F, тогда и только тогда, когда он удовлетворяет всем равенствам вида A®s (F ®S) = 0. Из совпадения классов T(F) и T(F® S) следует Wf = Wf8S.

Литература

[1] Тимошенко Е.А. T-радикалы и E-радикалы в категории модулей // Сиб. мат. журн. 2004. Т. 45. № 1. С. 201-210.

[2] Кашу А.И. Радикалы и кручения в модулях. Кишинев: Штиинца, 1983. 156 с.

[3] Мишина А.П., Скорняков Л.А. Абелевы группы и модули. М.: Наука, 1969. 152 с.

[4] Тимошенко Е.А. T-радикалы в категории абелевых групп // Фундамент. и прикл. мат. 2007. Т. 13. № 3. С. 193-208.

[5] Pierce R.S. E-modules // Abelian Group Theory, Proceedings of the 1987 Perth Conference (Perth, August 9-14, 1987). Providence: Amer. Math. Soc., 1989. P. 221-240.

[6] Крылов П.А., Приходовский М.А. Обобщенные T-модули и E-модули // Универсальная алгебра и ее приложения: труды участников международного семинара, посвященного памяти профессора МГУ Л.А. Скор-някова (Волгоград, 6-11 сентября 1999 г.). Волгоград: Перемена, 2000. С. 153-169.

[7] Картан А., Эйленберг С. Гомологическая алгебра. М.: Иностр. лит., 1960. 512 с.

Поступила в редакцию 7/IX/2009; в окончательном варианте — 7/IX/2009.

T-padwKouiu, nopo^daeMue 6uModyjwiMM

93

T-RADICALS GENERATED BY BIMODULES

© 2009 E.A. Timoshenko3

We prove that for an arbitrary ring S with identity and an arbitrary left module sF there exists an S-S-bimodule N such that the conditions A ®s F = 0 and A ®s N = 0 are equivalent. It is shown that it suffices to set N = F ® S.

Key words: module, radical, tensor product, covariant extension, bimodule.

Paper received 7/IX/2009. Paper accepted 7/IX/2009.

3Timoshenko Egor Aleksandrovich ([email protected]), Dept. of General Mathematics, Tomsk State University, Tomsk, 634050, Russia.