Научная статья на тему 'О br-кольцах'

О br-кольцах Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
168
34
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
МОДУЛЬ / БИМОДУЛЬ / РАДИКАЛ / ГОМОМОРФИЗМ / TEA471@MAIL.TSU.RU / MODULE / BIMODULE / RADICAL / HOMOMORPHISM

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Тимошенко Егор Александрович

Исследуются br-кольца, характеризующиеся тем свойством, что в категории модулей над ними всякий идемпотентный радикал порождён и копорождён подходящими классами бимодулей.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

We study br-rings which are characterized by the property that in the category of modules over them every idempotent radical is generated and cogenerated by suitable classes of bimodules.

Текст научной работы на тему «О br-кольцах»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2010 Математика и механика № 4(12)

УДК 512.553+512.541

Е.А. Тимошенко

О Ьг-КОЛЬЦАХи

Исследуются Ъг-кольца, характеризующиеся тем свойством, что в категории модулей над ними всякий идемпотентный радикал порождён и копорождён подходящими классами бимодулей.

Ключевые слова: модуль, бимодуль, радикал, гомоморфизм.

На протяжении статьи все группы будут предполагаться абелевыми, кольца -ассоциативными с единицей, модули - унитарными (и по умолчанию правыми). Будем приписывать кольцу свойства его аддитивной группы; например, фраза «кольцо .-периодическое» означает, что аддитивная группа £ + указанного кольца является периодической. Через Иош(О, Н ) обозначаем группу всех аддитивных гомоморфизмов из О в Н, через ЕМ V - кольцо эндоморфизмов модуля V.

Данная работа является продолжением статьи [1], в которой был рассмотрен вопрос о том, когда идемпотентный радикал категории правых .-модулей шо^. порождён или копорождён некоторым классом .-.-бимодулей. Напомним [1, 2], что идемпотентные радикалы категории правых .-модулей находятся во взаимно однозначном соответствии как с радикальными (замкнутыми относительно гомоморфных образов, прямых сумм и расширений), так и с полупростыми (замкнутыми относительно подмодулей, прямых произведений и расширений) классами правых .-модулей.

Пусть Г - некоторый непустой класс правых .-модулей. Среди радикальных (полупростых) классов категории шо^., содержащих в себе Г, всегда найдётся наименьший. Идемпотентный радикал, соответствующий такому наименьшему радикальному (полупростому) классу, обозначим через ИГ (соответственно КГ). Будем говорить, что идемпотентный радикал ИГ порождён, а КГ копорождён классом Г. Всякий идемпотентный радикал порождён и копорождён некоторыми подходящими (отличными друг от друга) классами модулей. Если Г состоит из единственного модуля V, то пишем просто И и К^- .

Приведём ряд условий, равносильность которых была установлена в [1].

Теорема 1. Пусть £ - кольцо. Следующие условия эквивалентны:

1) Для всякого модуля V. существует .-.-бимодуль и, такой, что Ии = И .

2) Для всякого модуля V. существует .-.-бимодуль и, такой, что Ки = К^- .

3) Всякий идемпотентный радикал категории шо^. порождается некоторым классом .-.-бимодулей.

4) Всякий идемпотентный радикал категории шо^. копорождён некоторым классом .-.-бимодулей.

5) Для всякого модуля V. Ф 0 выполнено Иош(., ЕМ V.) Ф 0.

1 Работа выполнена при поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009 - 2013 годы». Государственный контракт П937 от 20 августа 2009 г.

2 Работа частично профинансирована Федеральным агентством по науке и инновациям России по контракту № 02.740.11.0238.

Всякое кольцо, удовлетворяющее эквивалентным условиям теоремы 1, будем называть правым br-кольцом (от слов «бимодуль» и «радикал»). Основная цель статьи - исследование свойств таких колец. Помимо прочего, выделим достаточно широкие классы колец, которые являются правыми (а также левыми) br-кольцами. Ясно, что к таковым относятся, в частности, все коммутативные кольца (поскольку все модули над ними можно считать бимодулями). Отметим, что для всех результатов будут справедливы и «левые» аналоги.

Через Z(S), как обычно, обозначим центр кольца S. Чтобы узнать, является ли то или иное кольцо S правым br-кольцом, в дальнейшем будем либо использовать предложение 2, либо проверять, что для всякого модуля VS Ф 0 выполнено

Hom(S, End VS) Ф 0. (1)

Предложение 2. Если существует гомоморфизм у е Hom(S, Z(S )), такой, что

1 е y(S ), то S является правым br-кольцом.

Доказательство. Пусть VS Ф 0. Гомоморфизм групп ф: S ^ End VS зададим формулой (ф(^))(у) = vy(s). Образ этого гомоморфизма содержит тождественный эндоморфизм 1V модуля VS . Поэтому ф Ф 0, так что условие (1) выполнено. ■

Теорема 3. Пусть п: R ^ S - сюръективный кольцевой гомоморфизм, и пусть

VS Ф 0 - модуль, для которого (1) не выполнено. Если справедливо условие

Hom(Kerп, End VS) = 0, (2)

то R не является правым br-кольцом.

Доказательство. Обозначим Л = End VS . Полагая vr = vn(r), наделяем VS структурой правого R-модуля; при этом End VR = Л. Точная последовательность

0 ^ Hom(S, Л) ^ Hom(R, Л) ^ Hom(Ker п, Л) (3)

приводит к равенству Hom(R, Л) = 0, т.е. R не является правым br-кольцом. ■

Теорема 4. 1) Конечное прямое произведение правых br-колец само является правым br-кольцом.

2) Пусть n - натуральное число. Кольцо S является правым br-кольцом тогда и только тогда, когда таковым является кольцо S n

Доказательство. 1) Достаточно проверить требуемое утверждение для произведения двух колец. Пусть задано разложение R = S ©S ' кольца R в прямую сумму двух его идеалов, каждый из которых является правым br-кольцом. Если R не является правым br-кольцом, то для некоторого UR Ф 0 выполняется равенство Hom(R, End UR) = 0.

Имеет место R-модульное разложение U = Ue ®Ue', где e и e' - единицы колец S и S' ; можно считать, что выполнено V = Ue Ф 0. Модуль VR , очевидно, является правым S-модулем. Несложно видеть, что аддитивная группа кольца End VS изоморфна прямому слагаемому группы (End UR)+. Тогда из Hom(R, End UR) = 0 получаем, что для модуля VS условие (1) не выполнено - противоречие.

2) Одна из импликаций очевидна в силу пункта 1). Предположим, что R = S n -правое br-кольцо; покажем, что тем же свойством обладает S.

Допустим противное: пусть для некоторого VS Ф 0 условие (1) не выполнено. Очевидно, что существует сюръективный гомоморфизм п: Sn ^ S, ядро которого есть прямая сумма копий S. Применяя теорему 3, получаем, что Sn не является правым br-кольцом - противоречие. ■

Замечание. Пусть S не является правым br-кольцом (ряд таких примеров приведён в конце статьи). Из предложения 2 получаем, что Z х S (где Z - это кольцо целых чисел) будет правым br-кольцом. Итак, ни факторкольцо, ни даже прямое слагаемое правого br-кольца не обязано само быть таковым.

Теорема 5. Свойство «быть правым br-кольцом» является инвариантным в смысле Мориты.

Доказательство. Пусть кольца S и R эквивалентны в смысле Мориты и S -правое br-кольцо. Можем считать, что R = End PS , где P - это прообразующий категории mod-S. Убедимся сначала, что для всякой группы Л из Hom(S, Л) Ф 0 следует Hom(R, Л) Ф 0.

Пусть существует ненулевой гомоморфизм у e Hom(S, Л). Поскольку PS есть прообразующий категории mod-S, получаем, что SS - гомоморфный образ прямой суммы копий P. Тогда существует аддитивный гомоморфизм a: P ^ S, такой, что выполняется уа Ф 0. Зафиксируем некоторый элемент p e P, удовлетворяющий неравенству (уа)( p) Ф 0. Для гомоморфизма ф e Hom(R, Л), заданного формулой ф(г) = (уаг)( p), имеем ф(1р) Ф 0. Итак, Hom(R, Л) Ф 0.

Далее, возьмём произвольный ненулевой модуль UR . Пусть h: mod-R ^ mod-S есть эквивалентность категорий, тогда End UR = End VS , где V = h(U ) Ф 0. В этом случае из неравенства (1) следует Hom(R, End UR) Ф 0. Таким образом, R является правым br-кольцом. ■

Периодическую часть и p-компоненту абелевой группы G будем обозначать t(G) и Gp соответственно.

Лемма 6. Если ненулевой модуль VS не удовлетворяет условию (1), то End VS есть кольцо без кручения.

Доказательство. Обозначим Л = End VS и предположим, что для некоторого простого числа p выполнено Лp Ф 0. Это означает, что в V есть элемент порядка p. Последнее возможно только при условии, что 1 í pS. Тогда циклическая группа Z(p) порядка p служит гомоморфным образом группы S +, т.е. Hom(S, Л) Ф 0, что даёт нам противоречие. ■

Теорема 7. Пусть R - непериодическое правое br-кольцо. Тогда факторкольцо S = R/t(R) также является правым br-кольцом.

Доказательство. Пусть S не является правым br-кольцом, т.е. для некоторого

VS Ф 0 условие (1) не выполнено. Из леммы 6 мы знаем, что End VS - кольцо без кручения. Это означает, что канонический гомоморфизм п: R ^ S удовлетворяет равенству (2). Тогда R не является правым br-кольцом - противоречие. ■

Для доказательства последующих теорем нам понадобится

Лемма 8. Пусть S - кольцо, а S/t(S ) - p-делимая группа. Тогда:

1) Существует целое к > 0, такое, что для всякого VS выполнено pkVp = 0.

2) Всякий модуль VS разлагается в сумму V = V' ©Vp своих подмодулей, где V' есть множество всех элементов из V, имеющих бесконечную p-высоту.

Доказательство. 1) S/t(S ) и t(S )/Sp - это p-делимые группы; следовательно, тем же свойством обладает аддитивная группа факторкольца S/Sp . Отсюда имеем

1 + Sp = p(s + Sp) для подходящего s e S. Тогда элемент 1 - ps e S имеет порядок pk для некоторого целого к > 0 и, значит, элемент pk ■ 1 имеет в кольце S бесконечную p-высоту. Это даёт нам требуемое утверждение.

2) Vp есть ограниченная сервантная подгруппа группы V, поэтому существует подгруппа V' из V, такая, что V = V' ®Vp . Факторгруппа V' s V/Vp естественным образом превращается в правый модуль над p-делимым кольцом S/Sp ; значит, все её элементы имеют бесконечную p-высоту. И наоборот, все элементы модуля V, имеющие бесконечную p-высоту, должны лежать в V '. Получили, что V ' является подмодулем в VS , а V = V' ©Vp - модульное разложение.

Утверждения леммы остаются справедливыми, если выполнено S = Sp : в этом случае V' = 0, а в качестве pk можно взять характеристику кольца S. ■

Через Q обозначаем поле всех рациональных чисел, через Qp - кольцо всех рациональных чисел, знаменателями которых служат степени простого числа p.

Теорема 9. Если ранг без кручения кольца S не превышает 1, то S есть правое br-кольцо.

Доказательство. Разберём сначала случай, когда S - периодическое кольцо. Тогда для всякого модуля VS Ф 0 кольцо End VS будет периодическим, поскольку его характеристика есть делитель характеристики кольца S. Из леммы 6 можно сделать вывод, что для всех VS Ф 0 выполнено условие (1).

Пусть теперь ранг без кручения группы S+ в точности равен 1. Предположим, что для ненулевого модуля VS неравенство (1) не имеет места. Обозначим через R то подкольцо поля Q, которое изоморфно факторкольцу S/t(S ). Если бы V можно было наделить некоторой R-модульной структурой, то аддитивная группа кольца End VS обладала бы аналогичным свойством, т.е. мы получили бы противоречие с условием Hom(S, End VS) = 0. Следовательно, найдётся простое число р, такое, что pR = R, но V не является Q^-модулем.

Применяя к кольцу S лемму 8, приходим к модульному прямому разложению

V = V' ®Vp , где V ' - ещё и модуль над Q(p). При этом выполнено Vp Ф 0 (иначе V можно было бы наделить структурой Q(p)-модуля). Из той же леммы следует, что p-компонента кольца End VS содержит ненулевые элементы (примером служит проекция V^ Vp). Заметим, что 1 g pS (иначе было бы Vp = 0), так что группа S+ имеет Z( p) своим гомоморфным образом. Итак, вновь приходим к противоречию с условием Hom(S, End VS) = 0. Получили, что S - правое br-кольцо. ■

Лемма 10. Если аддитивная группа S + кольца S является непериодической и делимой, то S - правое br-кольцо.

Доказательство. Из условия следует, что в Z(S ) есть подкольцо, изоморфное полю Q; аддитивная группа этого подкольца выделяется прямым слагаемым в S+. Применяя предложение 2, получаем, что S - правое br-кольцо. ■

Теорема 11. Пусть R - такое кольцо, что аддитивная группа кольца S = R/t(R) делима. Тогда R является правым br-кольцом.

Доказательство. Пусть кольцо R не является периодическим (в противном случае достаточно воспользоваться теоремой 9). Допустим, что для ненулевого модуля VR выполнено Hom(R, End VR) = 0; обозначим Л = End VR .

Пусть p - простое число, для которого Vp Ф 0. Из леммы 8 нам известно, что подмодуль Vp служит прямым слагаемым R-модуля V и является ограниченной группой. В этом случае проекция V ^ Vp представляет собой ненулевой элемент идеала Л;) , что противоречит лемме 6.

Итак, V есть группа без кручения. Тогда VR легко превратить в S-модуль так, чтобы выполнялось Л = End VS . Точная последовательность (3), построенная для канонического гомоморфизма п: R ^ S, приводит нас к равенству Hom(S, Л) = 0. Поэтому S не является правым br-кольцом, что противоречит лемме 10. Теорема доказана. ■

Кольцо R называют слабо п-регулярным справа (слева), если для всякого r є R найдётся натуральное к, такое, что Г є r^Rr^R (соответственно Г є Rr^Rr^ ).

Следствие 12. Класс всех правых br-колец строго содержит в себе следующие классы колец: простые, регулярные, артиновы (справа или слева), совершенные (справа или слева), п-регулярные, слабо п-регулярные (справа или слева).

Доказательство. Нам достаточно показать, что включение справедливо для самых широких из названных классов, т.е. для слабо п-регулярных колец. Пусть кольцо R (учитывая теорему 9, мы можем считать его непериодическим) является

слабо п-регулярным справа или слева. Для г = р -1 получаем, что при некотором натуральном к выполнено рк-1 е р2кЯ. Следовательно, единица кольца ЯЛ(Я) есть элемент бесконечной р-высоты; тогда аддитивная группа этого кольца р-делима. Приведённое рассуждение справедливо для любого простого числа р; применяя теорему 11, получаем, что Я является правым Ьг-кольцом.

Для завершения доказательства остаётся убедиться, что включение является строгим: кольцо целых чисел Z служит примером правого Ьг-кольца, которое не будет слабо п-регулярным ни справа, ни слева. ■

Оставшаяся часть статьи целиком посвящена построению ряда любопытных примеров (точнее сказать, контрпримеров), связанных с Ьг-кольцами. Для этого нам будут полезны матричные кольца. Пусть А, В и С - множества; обозначим

'А В ^ ((а Ьл

0 C

a е A, b е B, c е C

}■

Если A и C - кольца, а B - A-C-бимодуль, то указанное множество треугольных матриц является кольцом относительно обычных матричных операций.

Описание модулей над таким кольцом и гомоморфизмов этих модулей можно найти в [3, 4]. Аналогичное описание легко получить для модулей над кольцами матриц большего порядка. Чисто технические выкладки, связанные с модулями над матричными кольцами и с эндоморфизмами таких модулей, зачастую будут опускаться.

Условие (1) проще всего проверять для циклического модуля VS = S/I, где I Ф S есть некоторый правый идеал кольца S. Хорошо известно, что для такого модуля кольцо End VS изоморфно факторкольцу JI /I, где JI = {5 е S | sI с I }.

Пример 1. Пусть p и q - различные простые числа, и пусть Qp - кольцо всех рациональных чисел, знаменатели которых взаимно просты с p. Положим

( Qp П Qq 0

(Q Р Q ^ (0 Qq ^

S = p , I = q , L =

1 0 Qq V 0 Q

тогда S - кольцо, I - его правый идеал и JI = L. В этом случае для циклического правого модуля V = S/I имеем End VS = L /I = Qp П Qq , так что V не удовлетворяет условию (1). Следовательно, S не является правым br-кольцом.

Замечания. 1) Аддитивная группа данного кольца без кручения имеет ранг 3. Ясно, что все кольца без кручения ранга 1 и 2 будут правыми br-кольцами в силу своей коммутативности.

2) Отметим, что S служит подкольцом полного кольца матриц порядка 2 над полем Q. Из леммы 10 мы знаем, что это полное кольцо матриц является правым br-кольцом. Итак, подкольцо правого br-кольца не обязано само быть таковым.

Пример 2. Примитивное кольцо может не быть правым br-кольцом.

Пусть обозначения S и V имеют тот же смысл, что и в примере 1. Определим кольцо R как множество всех бесконечных матриц вида

(M 0 ^

^0 '

где М есть квадратная матрица произвольного чётного порядка с элементами из поля рациональных чисел, а - некоторая матрица порядка 2, содержащаяся в .. Отображение п: Я ^ S, которое переводит всякую бесконечную матрицу данного

вида в соответствующую ей матрицу a є S, является сюръективным кольцевым гомоморфизмом. Его ядром служит делимая группа, т. е. выполнено условие (2). Применяя теорему 3, получаем, что R не является правым br-кольцом.

С другой стороны, построенное нами кольцо R изоморфно плотному кольцу линейных преобразований счётномерного правого Q-пространства, а значит, оно примитивно слева (на самом деле R также примитивно справа).

Пример 3. Неравенство Hom(R, Z(R)) Ф О не является достаточным для того, чтобы R было правым br-кольцом.

Пусть S и V вновь имеют тот же смысл, что и в примере !. Положим

тогда K - идеал в S, а R - кольцо. Отображение п: R ^ S, переводящее матрицы указанного вида в соответствующие им элементы a е S, является сюръективным гомоморфизмом колец. Очевидно, что для него выполнено равенство (2), т.е. R не является правым br-кольцом.

Наконец, заметим, что S/K вкладывается в Z(R) и, значит, Hom(R, Z(R)) Ф 0.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Пример 4. Локальное кольцо может не быть правым br-кольцом.

Через B мы обозначим кольцо целых p-адических чисел; пусть п: B ^ B/pB -канонический гомоморфизм. В кольце B выберем сервантные подкольца A и C, имеющие конечный ранг и такие, что ни одно из них не содержится в другом. Кольцо S (несложно убедиться, что оно локально) и его правый идеал I зададим равенствами

Тогда для циклического модуля VS = S/I выполнено End VS s A П C. Отсюда уже можно вывести, что V не удовлетворяет условию (!). Итак, S не является правым br-кольцом.

Пример 5. Правое br-кольцо может не быть левым br-кольцом.

Пусть p Ф q - нечётные простые числа, Z(2“ ) - квазициклическая 2-группа. Кольцо S и его левый идеал I зададим равенствами

Легко показать, что кольцо эндоморфизмов циклического левого модуля U = S/I изоморфно Z. Тогда Hom(S, End SU) = О, т.е. S не является левым br-кольцом.

С другой стороны, из описания модулей над матричными кольцами следует, что всякий модуль VS Ф О разлагается в прямую сумму двух своих подмодулей, один из которых является также модулем над кольцом Q(p), а другой - над Q(q). Следовательно, для VS выполнено (!), так что S- правое br-кольцо.

Замечание. Легко убедиться, что Z(S ) s Z, т.е. Hom(S, Z(S )) = О. Это значит, что упомянутое в предложении 2 достаточное условие не является необходимым.

Пример б. Пусть A = Q(2), C = Q(3). Положим

(здесь сумма и произведение берутся по всем простым p > 3). Факторкольцо D/B является делимым кольцом без кручения; поэтому D содержит подкольцо Y, для которого B с Y и Y/B = Q2 . Легко убедиться, что группу Y+ можно рассматривать как C-модуль.

Модуль VS зададим равенством V = (A, Y), причём умножение на элементы кольца S будет осуществляться при помощи обычного матричного умножения. Опираясь на описание модульных гомоморфизмов над матричными кольцами, приведённое в работах [3, 4], можно проверить, что End VS = Z. Итак, условие (1) не выполнено, т.е. S не является правым br-кольцом.

Замечания. 1) В предшествующих примерах (включая примеры 2 и 3, где это было сделано неявно) ненулевой модуль, для которого не выполнено условие (1), всегда выбирался циклическим. Можно проверить, что в данном примере всякий ненулевой циклический модуль VS удовлетворяет условию (1).

2) Кольцо S/t(S ) коммутативно и, значит, является правым br-кольцом. Этот факт говорит о том, что утверждение теоремы 7 нельзя обратить.

3) Ранг без кручения кольца S равен 2. Таким образом, оценка, приведённая в теореме 9, является точной.

ЛИТЕРАТУРА

1. Тимошенко Е.А. Радикалы, порождаемые или копорождаемые бимодулями // Вестник ТГУ. Математика и механика. 2010. № 3(11). С. 47-52.

2. КашуА.И. Радикалы и кручения в модулях. Кишинёв: Штиинца, 1983.

3. Green E.L. On the representation theory of rings in matrix form // Pacific J. Math. 1982. V. 100. No. 1. P. 123-138.

4. Haghany A., Varadarajan K. Study of modules over formal triangular matrix rings // J. Pure Appl. Algebra. 2000. V. 147. No. 1. P. 41-58.

Статья принята в печать 21.10.2010г.

Timoshenko E.A. ON br-RINGS. We study br-rings which are characterized by the property that in the category of modules over them every idempotent radical is generated and cogenerated by suitable classes of bimodules.

Keywords: module, bimodule, radical, homomorphism.

TIMOSHENKO Egor Aleksandrovich (Tomsk State University)

E-mail: tea471@mail.tsu.ru

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.