О br-кольцах Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2010 Математика и механика № 4(12)

УДК 512.553+512.541

Е.А. Тимошенко

О Ьг-КОЛЬЦАХи

Исследуются Ъг-кольца, характеризующиеся тем свойством, что в категории модулей над ними всякий идемпотентный радикал порождён и копорождён подходящими классами бимодулей.

Ключевые слова: модуль, бимодуль, радикал, гомоморфизм.

На протяжении статьи все группы будут предполагаться абелевыми, кольца -ассоциативными с единицей, модули - унитарными (и по умолчанию правыми). Будем приписывать кольцу свойства его аддитивной группы; например, фраза «кольцо .-периодическое» означает, что аддитивная группа £ + указанного кольца является периодической. Через Иош(О, Н ) обозначаем группу всех аддитивных гомоморфизмов из О в Н, через ЕМ V - кольцо эндоморфизмов модуля V.

Данная работа является продолжением статьи [1], в которой был рассмотрен вопрос о том, когда идемпотентный радикал категории правых .-модулей шо^. порождён или копорождён некоторым классом .-.-бимодулей. Напомним [1, 2], что идемпотентные радикалы категории правых .-модулей находятся во взаимно однозначном соответствии как с радикальными (замкнутыми относительно гомоморфных образов, прямых сумм и расширений), так и с полупростыми (замкнутыми относительно подмодулей, прямых произведений и расширений) классами правых .-модулей.

Пусть Г - некоторый непустой класс правых .-модулей. Среди радикальных (полупростых) классов категории шо^., содержащих в себе Г, всегда найдётся наименьший. Идемпотентный радикал, соответствующий такому наименьшему радикальному (полупростому) классу, обозначим через ИГ (соответственно КГ). Будем говорить, что идемпотентный радикал ИГ порождён, а КГ копорождён классом Г. Всякий идемпотентный радикал порождён и копорождён некоторыми подходящими (отличными друг от друга) классами модулей. Если Г состоит из единственного модуля V, то пишем просто И и К^- .

Приведём ряд условий, равносильность которых была установлена в [1].

Теорема 1. Пусть £ - кольцо. Следующие условия эквивалентны:

1) Для всякого модуля V. существует .-.-бимодуль и, такой, что Ии = И .

2) Для всякого модуля V. существует .-.-бимодуль и, такой, что Ки = К^- .

3) Всякий идемпотентный радикал категории шо^. порождается некоторым классом .-.-бимодулей.

4) Всякий идемпотентный радикал категории шо^. копорождён некоторым классом .-.-бимодулей.

5) Для всякого модуля V. Ф 0 выполнено Иош(., ЕМ V.) Ф 0.

1 Работа выполнена при поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009 - 2013 годы». Государственный контракт П937 от 20 августа 2009 г.

2 Работа частично профинансирована Федеральным агентством по науке и инновациям России по контракту № 02.740.11.0238.

Всякое кольцо, удовлетворяющее эквивалентным условиям теоремы 1, будем называть правым br-кольцом (от слов «бимодуль» и «радикал»). Основная цель статьи - исследование свойств таких колец. Помимо прочего, выделим достаточно широкие классы колец, которые являются правыми (а также левыми) br-кольцами. Ясно, что к таковым относятся, в частности, все коммутативные кольца (поскольку все модули над ними можно считать бимодулями). Отметим, что для всех результатов будут справедливы и «левые» аналоги.

Через Z(S), как обычно, обозначим центр кольца S. Чтобы узнать, является ли то или иное кольцо S правым br-кольцом, в дальнейшем будем либо использовать предложение 2, либо проверять, что для всякого модуля VS Ф 0 выполнено

Hom(S, End VS) Ф 0. (1)

Предложение 2. Если существует гомоморфизм у е Hom(S, Z(S )), такой, что

1 е y(S ), то S является правым br-кольцом.

Доказательство. Пусть VS Ф 0. Гомоморфизм групп ф: S ^ End VS зададим формулой (ф(^))(у) = vy(s). Образ этого гомоморфизма содержит тождественный эндоморфизм 1V модуля VS . Поэтому ф Ф 0, так что условие (1) выполнено. ■

Теорема 3. Пусть п: R ^ S - сюръективный кольцевой гомоморфизм, и пусть

VS Ф 0 - модуль, для которого (1) не выполнено. Если справедливо условие

Hom(Kerп, End VS) = 0, (2)

то R не является правым br-кольцом.

Доказательство. Обозначим Л = End VS . Полагая vr = vn(r), наделяем VS структурой правого R-модуля; при этом End VR = Л. Точная последовательность

0 ^ Hom(S, Л) ^ Hom(R, Л) ^ Hom(Ker п, Л) (3)

приводит к равенству Hom(R, Л) = 0, т.е. R не является правым br-кольцом. ■

Теорема 4. 1) Конечное прямое произведение правых br-колец само является правым br-кольцом.

2) Пусть n - натуральное число. Кольцо S является правым br-кольцом тогда и только тогда, когда таковым является кольцо S n

Доказательство. 1) Достаточно проверить требуемое утверждение для произведения двух колец. Пусть задано разложение R = S ©S ' кольца R в прямую сумму двух его идеалов, каждый из которых является правым br-кольцом. Если R не является правым br-кольцом, то для некоторого UR Ф 0 выполняется равенство Hom(R, End UR) = 0.

Имеет место R-модульное разложение U = Ue ®Ue', где e и e' - единицы колец S и S' ; можно считать, что выполнено V = Ue Ф 0. Модуль VR , очевидно, является правым S-модулем. Несложно видеть, что аддитивная группа кольца End VS изоморфна прямому слагаемому группы (End UR)+. Тогда из Hom(R, End UR) = 0 получаем, что для модуля VS условие (1) не выполнено - противоречие.

2) Одна из импликаций очевидна в силу пункта 1). Предположим, что R = S n -правое br-кольцо; покажем, что тем же свойством обладает S.

Допустим противное: пусть для некоторого VS Ф 0 условие (1) не выполнено. Очевидно, что существует сюръективный гомоморфизм п: Sn ^ S, ядро которого есть прямая сумма копий S. Применяя теорему 3, получаем, что Sn не является правым br-кольцом - противоречие. ■

Замечание. Пусть S не является правым br-кольцом (ряд таких примеров приведён в конце статьи). Из предложения 2 получаем, что Z х S (где Z - это кольцо целых чисел) будет правым br-кольцом. Итак, ни факторкольцо, ни даже прямое слагаемое правого br-кольца не обязано само быть таковым.

Теорема 5. Свойство «быть правым br-кольцом» является инвариантным в смысле Мориты.

Доказательство. Пусть кольца S и R эквивалентны в смысле Мориты и S -правое br-кольцо. Можем считать, что R = End PS , где P - это прообразующий категории mod-S. Убедимся сначала, что для всякой группы Л из Hom(S, Л) Ф 0 следует Hom(R, Л) Ф 0.

Пусть существует ненулевой гомоморфизм у e Hom(S, Л). Поскольку PS есть прообразующий категории mod-S, получаем, что SS - гомоморфный образ прямой суммы копий P. Тогда существует аддитивный гомоморфизм a: P ^ S, такой, что выполняется уа Ф 0. Зафиксируем некоторый элемент p e P, удовлетворяющий неравенству (уа)( p) Ф 0. Для гомоморфизма ф e Hom(R, Л), заданного формулой ф(г) = (уаг)( p), имеем ф(1р) Ф 0. Итак, Hom(R, Л) Ф 0.

Далее, возьмём произвольный ненулевой модуль UR . Пусть h: mod-R ^ mod-S есть эквивалентность категорий, тогда End UR = End VS , где V = h(U ) Ф 0. В этом случае из неравенства (1) следует Hom(R, End UR) Ф 0. Таким образом, R является правым br-кольцом. ■

Периодическую часть и p-компоненту абелевой группы G будем обозначать t(G) и Gp соответственно.

Лемма 6. Если ненулевой модуль VS не удовлетворяет условию (1), то End VS есть кольцо без кручения.

Доказательство. Обозначим Л = End VS и предположим, что для некоторого простого числа p выполнено Лp Ф 0. Это означает, что в V есть элемент порядка p. Последнее возможно только при условии, что 1 í pS. Тогда циклическая группа Z(p) порядка p служит гомоморфным образом группы S +, т.е. Hom(S, Л) Ф 0, что даёт нам противоречие. ■

Теорема 7. Пусть R - непериодическое правое br-кольцо. Тогда факторкольцо S = R/t(R) также является правым br-кольцом.

Доказательство. Пусть S не является правым br-кольцом, т.е. для некоторого

VS Ф 0 условие (1) не выполнено. Из леммы 6 мы знаем, что End VS - кольцо без кручения. Это означает, что канонический гомоморфизм п: R ^ S удовлетворяет равенству (2). Тогда R не является правым br-кольцом - противоречие. ■

Для доказательства последующих теорем нам понадобится

Лемма 8. Пусть S - кольцо, а S/t(S ) - p-делимая группа. Тогда:

1) Существует целое к > 0, такое, что для всякого VS выполнено pkVp = 0.

2) Всякий модуль VS разлагается в сумму V = V' ©Vp своих подмодулей, где V' есть множество всех элементов из V, имеющих бесконечную p-высоту.

Доказательство. 1) S/t(S ) и t(S )/Sp - это p-делимые группы; следовательно, тем же свойством обладает аддитивная группа факторкольца S/Sp . Отсюда имеем

1 + Sp = p(s + Sp) для подходящего s e S. Тогда элемент 1 - ps e S имеет порядок pk для некоторого целого к > 0 и, значит, элемент pk ■ 1 имеет в кольце S бесконечную p-высоту. Это даёт нам требуемое утверждение.

2) Vp есть ограниченная сервантная подгруппа группы V, поэтому существует подгруппа V' из V, такая, что V = V' ®Vp . Факторгруппа V' s V/Vp естественным образом превращается в правый модуль над p-делимым кольцом S/Sp ; значит, все её элементы имеют бесконечную p-высоту. И наоборот, все элементы модуля V, имеющие бесконечную p-высоту, должны лежать в V '. Получили, что V ' является подмодулем в VS , а V = V' ©Vp - модульное разложение.

Утверждения леммы остаются справедливыми, если выполнено S = Sp : в этом случае V' = 0, а в качестве pk можно взять характеристику кольца S. ■

Через Q обозначаем поле всех рациональных чисел, через Qp - кольцо всех рациональных чисел, знаменателями которых служат степени простого числа p.

Теорема 9. Если ранг без кручения кольца S не превышает 1, то S есть правое br-кольцо.

Доказательство. Разберём сначала случай, когда S - периодическое кольцо. Тогда для всякого модуля VS Ф 0 кольцо End VS будет периодическим, поскольку его характеристика есть делитель характеристики кольца S. Из леммы 6 можно сделать вывод, что для всех VS Ф 0 выполнено условие (1).

Пусть теперь ранг без кручения группы S+ в точности равен 1. Предположим, что для ненулевого модуля VS неравенство (1) не имеет места. Обозначим через R то подкольцо поля Q, которое изоморфно факторкольцу S/t(S ). Если бы V можно было наделить некоторой R-модульной структурой, то аддитивная группа кольца End VS обладала бы аналогичным свойством, т.е. мы получили бы противоречие с условием Hom(S, End VS) = 0. Следовательно, найдётся простое число р, такое, что pR = R, но V не является Q^-модулем.

Применяя к кольцу S лемму 8, приходим к модульному прямому разложению

V = V' ®Vp , где V ' - ещё и модуль над Q(p). При этом выполнено Vp Ф 0 (иначе V можно было бы наделить структурой Q(p)-модуля). Из той же леммы следует, что p-компонента кольца End VS содержит ненулевые элементы (примером служит проекция V^ Vp). Заметим, что 1 g pS (иначе было бы Vp = 0), так что группа S+ имеет Z( p) своим гомоморфным образом. Итак, вновь приходим к противоречию с условием Hom(S, End VS) = 0. Получили, что S - правое br-кольцо. ■

Лемма 10. Если аддитивная группа S + кольца S является непериодической и делимой, то S - правое br-кольцо.

Доказательство. Из условия следует, что в Z(S ) есть подкольцо, изоморфное полю Q; аддитивная группа этого подкольца выделяется прямым слагаемым в S+. Применяя предложение 2, получаем, что S - правое br-кольцо. ■

Теорема 11. Пусть R - такое кольцо, что аддитивная группа кольца S = R/t(R) делима. Тогда R является правым br-кольцом.

Доказательство. Пусть кольцо R не является периодическим (в противном случае достаточно воспользоваться теоремой 9). Допустим, что для ненулевого модуля VR выполнено Hom(R, End VR) = 0; обозначим Л = End VR .

Пусть p - простое число, для которого Vp Ф 0. Из леммы 8 нам известно, что подмодуль Vp служит прямым слагаемым R-модуля V и является ограниченной группой. В этом случае проекция V ^ Vp представляет собой ненулевой элемент идеала Л;) , что противоречит лемме 6.

Итак, V есть группа без кручения. Тогда VR легко превратить в S-модуль так, чтобы выполнялось Л = End VS . Точная последовательность (3), построенная для канонического гомоморфизма п: R ^ S, приводит нас к равенству Hom(S, Л) = 0. Поэтому S не является правым br-кольцом, что противоречит лемме 10. Теорема доказана. ■

Кольцо R называют слабо п-регулярным справа (слева), если для всякого r є R найдётся натуральное к, такое, что Г є r^Rr^R (соответственно Г є Rr^Rr^ ).

Следствие 12. Класс всех правых br-колец строго содержит в себе следующие классы колец: простые, регулярные, артиновы (справа или слева), совершенные (справа или слева), п-регулярные, слабо п-регулярные (справа или слева).

Доказательство. Нам достаточно показать, что включение справедливо для самых широких из названных классов, т.е. для слабо п-регулярных колец. Пусть кольцо R (учитывая теорему 9, мы можем считать его непериодическим) является

слабо п-регулярным справа или слева. Для г = р -1 получаем, что при некотором натуральном к выполнено рк-1 е р2кЯ. Следовательно, единица кольца ЯЛ(Я) есть элемент бесконечной р-высоты; тогда аддитивная группа этого кольца р-делима. Приведённое рассуждение справедливо для любого простого числа р; применяя теорему 11, получаем, что Я является правым Ьг-кольцом.

Для завершения доказательства остаётся убедиться, что включение является строгим: кольцо целых чисел Z служит примером правого Ьг-кольца, которое не будет слабо п-регулярным ни справа, ни слева. ■

Оставшаяся часть статьи целиком посвящена построению ряда любопытных примеров (точнее сказать, контрпримеров), связанных с Ьг-кольцами. Для этого нам будут полезны матричные кольца. Пусть А, В и С - множества; обозначим

'А В ^ ((а Ьл

0 C

a е A, b е B, c е C

}■

Если A и C - кольца, а B - A-C-бимодуль, то указанное множество треугольных матриц является кольцом относительно обычных матричных операций.

Описание модулей над таким кольцом и гомоморфизмов этих модулей можно найти в [3, 4]. Аналогичное описание легко получить для модулей над кольцами матриц большего порядка. Чисто технические выкладки, связанные с модулями над матричными кольцами и с эндоморфизмами таких модулей, зачастую будут опускаться.

Условие (1) проще всего проверять для циклического модуля VS = S/I, где I Ф S есть некоторый правый идеал кольца S. Хорошо известно, что для такого модуля кольцо End VS изоморфно факторкольцу JI /I, где JI = {5 е S | sI с I }.

Пример 1. Пусть p и q - различные простые числа, и пусть Qp - кольцо всех рациональных чисел, знаменатели которых взаимно просты с p. Положим

( Qp П Qq 0

(Q Р Q ^ (0 Qq ^

S = p , I = q , L =

1 0 Qq V 0 Q

тогда S - кольцо, I - его правый идеал и JI = L. В этом случае для циклического правого модуля V = S/I имеем End VS = L /I = Qp П Qq , так что V не удовлетворяет условию (1). Следовательно, S не является правым br-кольцом.

Замечания. 1) Аддитивная группа данного кольца без кручения имеет ранг 3. Ясно, что все кольца без кручения ранга 1 и 2 будут правыми br-кольцами в силу своей коммутативности.

2) Отметим, что S служит подкольцом полного кольца матриц порядка 2 над полем Q. Из леммы 10 мы знаем, что это полное кольцо матриц является правым br-кольцом. Итак, подкольцо правого br-кольца не обязано само быть таковым.

Пример 2. Примитивное кольцо может не быть правым br-кольцом.

Пусть обозначения S и V имеют тот же смысл, что и в примере 1. Определим кольцо R как множество всех бесконечных матриц вида

(M 0 ^

^0 '

где М есть квадратная матрица произвольного чётного порядка с элементами из поля рациональных чисел, а - некоторая матрица порядка 2, содержащаяся в .. Отображение п: Я ^ S, которое переводит всякую бесконечную матрицу данного

вида в соответствующую ей матрицу a є S, является сюръективным кольцевым гомоморфизмом. Его ядром служит делимая группа, т. е. выполнено условие (2). Применяя теорему 3, получаем, что R не является правым br-кольцом.

С другой стороны, построенное нами кольцо R изоморфно плотному кольцу линейных преобразований счётномерного правого Q-пространства, а значит, оно примитивно слева (на самом деле R также примитивно справа).

Пример 3. Неравенство Hom(R, Z(R)) Ф О не является достаточным для того, чтобы R было правым br-кольцом.

Пусть S и V вновь имеют тот же смысл, что и в примере !. Положим

тогда K - идеал в S, а R - кольцо. Отображение п: R ^ S, переводящее матрицы указанного вида в соответствующие им элементы a е S, является сюръективным гомоморфизмом колец. Очевидно, что для него выполнено равенство (2), т.е. R не является правым br-кольцом.

Наконец, заметим, что S/K вкладывается в Z(R) и, значит, Hom(R, Z(R)) Ф 0.

Пример 4. Локальное кольцо может не быть правым br-кольцом.

Через B мы обозначим кольцо целых p-адических чисел; пусть п: B ^ B/pB -канонический гомоморфизм. В кольце B выберем сервантные подкольца A и C, имеющие конечный ранг и такие, что ни одно из них не содержится в другом. Кольцо S (несложно убедиться, что оно локально) и его правый идеал I зададим равенствами

Тогда для циклического модуля VS = S/I выполнено End VS s A П C. Отсюда уже можно вывести, что V не удовлетворяет условию (!). Итак, S не является правым br-кольцом.

Пример 5. Правое br-кольцо может не быть левым br-кольцом.

Пусть p Ф q - нечётные простые числа, Z(2“ ) - квазициклическая 2-группа. Кольцо S и его левый идеал I зададим равенствами

Легко показать, что кольцо эндоморфизмов циклического левого модуля U = S/I изоморфно Z. Тогда Hom(S, End SU) = О, т.е. S не является левым br-кольцом.

С другой стороны, из описания модулей над матричными кольцами следует, что всякий модуль VS Ф О разлагается в прямую сумму двух своих подмодулей, один из которых является также модулем над кольцом Q(p), а другой - над Q(q). Следовательно, для VS выполнено (!), так что S- правое br-кольцо.

Замечание. Легко убедиться, что Z(S ) s Z, т.е. Hom(S, Z(S )) = О. Это значит, что упомянутое в предложении 2 достаточное условие не является необходимым.

Пример б. Пусть A = Q(2), C = Q(3). Положим

(здесь сумма и произведение берутся по всем простым p > 3). Факторкольцо D/B является делимым кольцом без кручения; поэтому D содержит подкольцо Y, для которого B с Y и Y/B = Q2 . Легко убедиться, что группу Y+ можно рассматривать как C-модуль.

Модуль VS зададим равенством V = (A, Y), причём умножение на элементы кольца S будет осуществляться при помощи обычного матричного умножения. Опираясь на описание модульных гомоморфизмов над матричными кольцами, приведённое в работах [3, 4], можно проверить, что End VS = Z. Итак, условие (1) не выполнено, т.е. S не является правым br-кольцом.

Замечания. 1) В предшествующих примерах (включая примеры 2 и 3, где это было сделано неявно) ненулевой модуль, для которого не выполнено условие (1), всегда выбирался циклическим. Можно проверить, что в данном примере всякий ненулевой циклический модуль VS удовлетворяет условию (1).

2) Кольцо S/t(S ) коммутативно и, значит, является правым br-кольцом. Этот факт говорит о том, что утверждение теоремы 7 нельзя обратить.

3) Ранг без кручения кольца S равен 2. Таким образом, оценка, приведённая в теореме 9, является точной.

ЛИТЕРАТУРА

1. Тимошенко Е.А. Радикалы, порождаемые или копорождаемые бимодулями // Вестник ТГУ. Математика и механика. 2010. № 3(11). С. 47-52.

2. КашуА.И. Радикалы и кручения в модулях. Кишинёв: Штиинца, 1983.

3. Green E.L. On the representation theory of rings in matrix form // Pacific J. Math. 1982. V. 100. No. 1. P. 123-138.

4. Haghany A., Varadarajan K. Study of modules over formal triangular matrix rings // J. Pure Appl. Algebra. 2000. V. 147. No. 1. P. 41-58.

Статья принята в печать 21.10.2010г.

Timoshenko E.A. ON br-RINGS. We study br-rings which are characterized by the property that in the category of modules over them every idempotent radical is generated and cogenerated by suitable classes of bimodules.

Keywords: module, bimodule, radical, homomorphism.

TIMOSHENKO Egor Aleksandrovich (Tomsk State University)

E-mail: [email protected]