CC BY
12
УДК 512.552.13
DOI 10.25513/1812-3996.2018.23(4).37-43
ОБ АРТИНОВЫХ КОЛЬЦАХ С ОТЩЕПЛЯЕМЫМ ПОЛНЫМ РАДИКАЛОМ
Т. В. Павлова
Ишимский педагогический институт им. П. П. Ершова,
филиал Тюменского государственного университета, г. Ишим, Россия
Информация о статье
Дата поступления 29.09.2018
Дата принятия в печать 17.10.2018
Аннотация. Изучаются понятия полноты и редуцированности (в смысле Л.М. Мартынова) для ассоциативных колец. Доказано, что коммутативное артиново кольцо, аддитивная группа которого не содержит квазициклических подгрупп, разложимо в прямую сумму идеалов - полного и редуцированного колец, дан критерий разложимости для артиновых колец с односторонней единицей.
Дата онлайн-размещения 14.12.2018
Ключевые слова
Ассоциативное кольцо, артиново кольцо,полное кольцо, редуцированное кольцо, расщепляемое кольцо
ON ARTINIAN RINGS WITH A SPLIT-OFF RADICAL
T. V. Pavlova
Yershov Ishim Pedagogical Institute, Tyumen State University Branch, Ishim, Russia
Article info
Received 29.09.2018
Accepted 17.10.2018
Abstract. We study the concepts of completeness and reducibility (in the sense of L.M. Martynov) for associative rings. We prove any commutative Artinian ring whose additive group does not contain a quasi cyclic subgroup is decomposable into a direct sum of ideals of complete and reduced rings. A criterion for decomposability of an Artinian ring with one-sided identity is also given.
Available online 14.12.2018
Keywords
Associative ring, Artinian ring, complete ring, reduced ring, split ring
В теории абелевых групп важную роль играют понятия полной (делимой) и редуцированной группы. К определениям этих понятий возможен другой подход, использующий теорию многообразий групп. Л.М. Мартыновым в работе [1] были определены аналоги этих понятий для произвольных (универсальных) алгебр. В частности, ассоциативное кольцо называется полным, если оно не имеет гомоморфизмов на ненулевые кольца из атомов решетки многообразий ассоциативных колец, которые исчерпываются многообразиями Тр =
= уаг{рх = 0, хр = х} и 2р = уаг{рх = 0,ху = 0} по всем простым р. Под кольцом далее будем понимать ассоциативное кольцо, а под идеалом - двусторонний идеал. Кольцо, не имеющее гомоморфизмов на ненулевые кольца из многообразия Хр (?р), будем называть ^-полным (^-полным) кольцом. Кольцо, не имеющее ненулевых полных подколец, в соответствии с [1], называем редуцированным. В силу основного результата работы [2], в любом кольце И существует наибольшее полное подкольцо С(И), которое является идеалом, и отображение
■ ISSN 1812-3996
Я ^ С (Я) в абстрактном классе колец является строгим радикалом в смысле Куроша. Идеал С(Я) кольца Я называется полным радикалом кольца Я.
Хорошо известно, что любая абелева группа является прямой суммой своих полной и редуцированной подгрупп. Более того, в случае абелевых групп любая полная подгруппа выделяется прямым слагаемым. Поэтому естественной является постановка задачи описания колец с аналогичным свойством. В соответствии с работой [3], кольцо Я называем расщепляемым, если полный радикал в нем отделяется прямым слагаемым. Если Я = С(Я)фА, где А - идеал, то С (Я) назовем отщепляемым полным радикалом, а идеал А - дополняющим идеалом.
В настоящей статье изучаются расщепляемые артиновы слева кольца. Напомним, кольцо называется артиновым слева, если стабилизируется любая убывающая цепочка его левых идеалов. Далее артиновы слева кольца будем называть артиновыми. Ясно, что расщепляемыми являются все полные и редуцированные кольца, а также кольца с нулевым умножением. Кроме того, расщепляемыми являются также все артиновы полупростые (по Дже-кобсону) кольца, так как в этом случае кольцо, согласно теореме Веддербарна-Артина (см., например, [4], теоремы 1.4.4 и 2.1.6), представляет собой конечную прямую сумму колец матриц над телами, т. е. простых колец. Ясно, что любое простое кольцо является либо полным, либо редуцированным.
Основной целью работы является получение критерия расщепляемости для артиновых колец с односторонней единицей и доказательство того, что любое коммутативное артиново кольцо, аддитивная группа которого не содержит квазициклических подгрупп, является расщепляемым кольцом.
Приведем некоторые определения, обозначения и факты для ассоциативных колец. Посредством Ср™ для любого простого р будем обозначать аддитивную квазициклическую группу типа рт. Для обозначения прямой суммы колец или аддитивных групп используем знак ®. Через Я+ обозначаем аддитивную группу кольца Я. Без ссылок на источники используем известный факт о том, что (см., например, [5], с. 141) любая полная аддитивная абелева группа является прямой суммой групп типа изоморфных аддитивной группе поля рациональных чисел, и типа Ср™. Кольцо, совпадающее со своим квадратом, будем называть идемпотентным. Для кольца Я через ¡(Я) обозначается его радикал Дже-кобсона. Полупростым называем полупростое по
Джекобсону кольцо, то есть кольцо с нулевым радикалом Джекобсона. Также считаем известным то, что радикал Джекобсона артинова кольца нильпо-тентен (см., например, [4], теорема 1.3.1, с. 25), а полупростое артиново кольцо, изоморфное конечной прямой сумме колец матриц над некоторыми телами, является кольцом с единицей. Основным идемпотентом кольца R называется идемпотент е, отображающийся в единицу при естественном гомоморфизме ф:Я ^Я/](Я). Знаком □ будем обозначать окончание доказательства соответствующего утверждения.
Формулировке и доказательству основных результатов предпошлем несколько вспомогательных утверждений, часть из которых представляют самостоятельный интерес. Но прежде всего напомним известные результаты об артиновых кольцах, которые далее будем неоднократно использовать.
Замечание 1. Из теоремы 122.7, ([6], с. 350) следует, что произвольное артиново кольцо Я есть прямая сумма идеалов 5 и Т, где 5 - кольцо без кручения, Т - периодическая часть кольца Я. Аддитивная группа артинова кольца без кручения 5 по теореме 122.4 [6] представляет собой прямую сумму подгрупп, изоморфных аддитивной группе поля рациональных чисел: 5+ = , т. е. является полной группой. Поэтому кольцо 5 также полное. Кроме того, по теореме 1.4.3 ([4], с. 35), кольцо 5 обладает левой единицей, следовательно, 5 - идемпотентное кольцо.
Из приведенного ниже предложения 1 следует, что полнота артинова кольца тесно связана с полнотой некоторого артинова кольца с единицей.
Предложение 1. Для основного идемпотента е ненильпотентного артинова кольца Я выполняется С(еЯе) = еС(Я)е.
Доказательство. Известно, что всякое не-нильпотентное артиново кольцо содержит ненулевой основной идемпотент (см., например, предложение 4.1, [4]). Пусть е - основной идемпотент кольца Я, т. е. ф(е) - единица кольца Я/](Я) при естественном гомоморфизме ф:Я ^ Я/](Я).
Покажем, что С(еЯе) £ еС(Я)е. Полный радикал С(Я) является наибольшим полным подколь-цом кольца Я и содержит все полные подкольца Я, в том числе С(еЯе). Умножая включение С(еЯе) £ £ С(Я) слева и справа на е и учитывая, что е - единица кольца еЯе, получим еС(еЯе)е £ еС(Я)е, откуда С(еЯе) £ еС(Я)е.
ISSN 1812-3996-
Чтобы доказать обратное включение еC(R)e £ £ C(eRe), покажем сначала, что кольцо eC(R)e является полным. Кольцо eC(R)e является кольцом с единицей, поэтому оно Zp-полное. Покажем, что еC(R)e является также Тр-полным кольцом. Так как p(e) - единица кольца при естественном гомоморфизме то кольцо p(eC(R)e) =
<p(e)<p(C(R))<p(e) = p(C(R)) будет Zp- и Jp-пол-ным кольцом как гомоморфный образ полного кольца C(R). Причем Кег p П eRe = = ](R) neRе есть кольцо нильпотентное, а значит, Jp-полное для любого простого р (лемма 10 [7]). То есть KerpneRe лежит в ядре любого гомоморфизма на кольца из многообразия Тр, поэтому по лемме 3 в [8], из Тр-полноты кольца (p(eC(R)e) следует Тр-полнота кольца eC(R)е. Таким образом, кольцо eC(R)e будет полным и при этом как под-кольцо кольца eRe содержится в его наибольшем полном подкольце. Отсюда следует требуемое включение е C(R)e £ C(eRe). □
Замечание 2. Требование того, чтобы идемпо-тент е являлся основным идемпотентом ненильпо-тентного артинова кольца R, является существенным, к примеру, в полном кольце R = M2(Fp) всех матриц второго порядка над простым конечным полем, для идемпотента е = 0) подкольцо eR е = Fp является редуцированным.
Следствие 1. Если ненильпотентное артиново кольцо R является полным (редуцированным), то для основного идемпотента e артиново кольцо eRe является полным (соответственно редуцированным).
Доказательство. Известно, что в артиновом кольце R для любого идемпотента е кольцо eRe также артиново (см., к примеру, [9], предложение 4.1а), остальное напрямую следует из последней леммы. □
Следствие 2. Ненильпотентное минимально полное артиново кольцо R содержит единицу.
Доказательство сразу следует из определения минимально полного артинова кольца как ненулевого полного кольца, не содержащего собственных ненулевых полных подколец. □
Лемма 1. Коммутативное артиново кольцо есть прямая сумма идеалов - артинова кольца с единицей и нильпотентного артинова кольца.
Доказательство. Если коммутативное артиново кольцо R нильпотентно, то все доказано. Иначе
артиново кольцо Я содержит ненулевой идемпо-тент е (см., например, теорему 1.3.2, [4], с. 27) и может быть представлено в виде прямой суммы идеалов: Я = Яеф(Я — Яе), где Яе - артиново кольцо с единицей. Если артиново кольцо Я1 = Я--Яе нильпотентно, то все доказано. Иначе Я1 = = Я1е1 ф (Я1 — Я^-ь) для некоторого идемпотента е1 Е Я1, и так далее. В силу артиновости Я, убывающая цепочка идеалов кольца Я 3 Я1 3 Я2 3 3 — 3 Я1 3 —, где Я1 = Я—1 — Я1-1в1-1, стабилизируется на некотором шаге п, при этом получим, что Я=Яеф Я1е1 ф ... ф Яп-1еп-1 ф Яп, где Яе ф Я1е1ф ...ф Яп-1еп-1 - кольцо с единицей
1 = е + е1 + —+ еп-1, Яп - нильпотентное кольцо.
□
Следствие 3. Идемпотентное коммутативное артиново кольцо Я содержит единицу.
Заметим, что в некоммутативном случае идемпотентное артиново кольцо может не иметь даже односторонней единицы. К примеру, таким будет
я кя)
кольцо матриц вида
О (R) J2(R)
для любого не-
полупростого артинова кольца Я с единицей.
Следующее предложение является критерием существования правой единицы в артиновом слева кольце, обобщающим аналогичный результат для конечных колец (см., к примеру, [10], теорема 3, с. 11).
Предложение 2. Артиново слева кольцо Я обладает правой единицей тогда и только тогда, когда Ях = Я для некоторого х ЕЯ.
Доказательство. Прямое утверждение очевидно, если в качестве элемента х ЕЯ взять правую единицу кольца. Обратно, пусть Ях = Я Ф 0 для некоторого х Е Я. Прежде всего покажем, что в кольце, удовлетворяющем условию леммы, Уа Е Я равенство ах = 0 возможно только при а = 0. То есть х является правым неделителем нуля в Я. Предположим противное - пусть для некоторого ненулевого элемента а1ЕЯ произведение а1х = 0. Так как а1 Е Ях, то а1 = а2х для некоторого а2 Ф 0, при этом а2х2 = 0. Аналогично, элемент а2 Е Ях можно представить как а2 = а3х для некоторого а3 Ф 0, при этом а3х3 = 0. И так далее. Таким образом, для а1 найдутся элементы а1, ¿ЕМ такие, что а^х1-1 = — Ф 0, но а1х =
а1 = апХ
- П -V2 - ... -
азХ
= а2х2 = а3х3 = — = а^х1 = — = 0. Для всех I Е М обозначим А^ = [г Е Я \гх1 = 0}. Множества А^ будут левыми идеалами кольца Я. Ясно, что А—1 £ А^ для всех I > 1, при этом а^ Е А^, но а^ А1-1, т. е.
Вестник Омского университета 2018. Т. 23, № 4. С. 37-43
-ISSN 1812-3996
цепочка левых идеалов А^ кольца Я является строго возрастающей: Аг с А2 с —. Но кольцо Я идемпо-тентно, поэтому является также нетеровым слева кольцом (см. предложение 2.6 [11]). Поэтому любая возрастающая цепочка его левых идеалов стабилизируется на некотором шаге п£М. Получили противоречие. Следовательно, в кольце, удовлетворяющем условию леммы, У а Е Я из равенства ах = 0 следует а = 0.
Так как Ях = Я для некоторого х Е Я, то в кольце Я существует е Е Я такой, что ех = х, тогда для всех г ЕЯ, гех = гх, откуда (ге — г)х = 0. Из доказанного выше следует, что ге — г = 0, или ге = г для всех г ЕЯ, т. е. е - правая единица Я. □
Теорема 1. Коммутативное артиново кольцо, аддитивная группа которого не содержит квазициклических подгрупп, является расщепляемым.
Доказательство. По лемме 1 коммутативное артиново кольцо представимо в виде прямой суммы идеалов Я = АфВ, где А - кольцо с единицей, В -нильпотентное кольцо. По теореме 8.7 [12] артиново кольцо с единицей А является конечным прямым произведением локальных артиновых колец АI. Для каждого из этих колец, А^/] (А{) есть поле, а любое поле ввиду отсутствия собственных идеалов является либо полным кольцом, либо редуцированным, поэтому согласно теореме 2 [8] и теореме 2 [13] кольца А^ будут соответственно полными или редуцированными. Кольцо В является нильпотентным артиновым кольцом. Из предложения 65.4 ([14], с. 270) следует, что его аддитивная группа будет группой с кручением. Следовательно, учитывая условия теоремы, В+ является ограниченной группой. По лемме 8 [15] и следствию 2 [15] всякое нильпотентное артиново кольцо с ограниченной аддитивной группой является редуцированным кольцом, откуда следует требуемое. □
Замечание 3. В случае, когда аддитивная группа артинова кольца содержит квазициклические подгруппы, кольцо может быть нерасщепляе-мым. Простейшим примером такого кольца является кольцо R, для которого R+ = Ср^ + (а) и ра = 0,а2 = с1,ас1 = с^а = 0, где для всех I Е И, С1 - порождающие Ср™. Полная подгруппа Ср^ выделяется прямым слагаемым в кольце и содержится в аннуляторе кольца R, поэтому является идеалом и полным радикалом кольца R. Тем не менее, прямым слагаемым в кольце не выделяется.
Предложение 3. Если в артиновом кольце Я с наибольшей полной подгруппой D факторкольцо Я/D содержит одностороннюю единицу, то Я распадается в прямую сумму идеалов D и В = Я/D.
Доказательство. Аддитивную группу Я+ кольца согласно замечанию 1 можно считать периодической. Тогда полная подгруппа D = по лемме 122.5 ([6], с. 349) содержится в аннуляторе Ann Я кольца Я и выделяется прямым слагаемым в аддитивной группе кольца: Я+ = A®D. Пусть Я/D содержит левую единицу е. Так как D - нилькольцо, то (см., например, [4], лемма 1.3.2) найдется идем-потент е ЕЯ, являющийся прообразом е при естественном гомоморфизме р:Я ^ Я/D.
Множество В = еА = {еа\а Е A} будет подгруппой в Я и для всех г Е Я,ег — г = d Е D, откуда г = ег — d Е еА + D, т. е. Я+ = еА + D. Из включения D £ Ann Я следует, что если для некоторого а Е А, еа Е D, то еа = е • еа = 0, т. е. последняя сумма будет прямой: Я+ = еAфD. Также из включения D £ Ann Я следует, что для того, чтобы подгруппа еA была идеалом кольца Я, достаточно, чтобы еA = В была подкольцом в Я. Если для некоторых b1 = еа1, b2 Е В, b1b2 = b + d, где b = еа Е В, d Е D, то d = b1b2 — b = еа1Ь2 — еа = е2а1Ь2 — е2а = е(еа1Ь2 — еа) = еd = 0, откуда b1b2 = b. Следовательно, В будет идеалом кольца и Я = ВфD. □
Следствие 4. Если в артиновом кольце Я с наибольшей делимой подгруппой D факторкольцо Я/ D редуцировано и содержит одностороннюю единицу, то Я является расщепляемым кольцом.
Из доказательства леммы 1 следует, что для того, чтобы артиново кольцо Я было представимо в виде прямой суммы своих идеалов, достаточно, чтобы оно содержало центральный идемпотент. Который всегда существует в случае коммутативного ненильпотентного артинова кольца. Из следующего утверждения следует, что подобное требование должно выполняться и в некоммутативном случае
Лемма 2. Идеал I кольца Я, являющийся кольцом с единицей е, выделяется прямым слагаемым в кольце Я, при этом е является центральным идемпотентом кольца Я.
Доказательство. Пусть идеал I содержит собственную двустороннюю единицу е, т. е. е Е I и еi = 1е = е для всех i Е I. Рассмотрим левое разложение Пирса кольца Я относительно идемпотента е, Я = Яеф(Я — Яе). Так как е Е I, то Яе £ I. Обратно, I = 1е £ Яе, поэтому I = Я е. Аналогично проверяется, что = Я.
ISSN 1812-3996 -
Так как е - двусторонняя единица идеала I = Re = eR, то для любого элемента гЕЙ, ere = (ег)е = е(ег) = ег. С другой стороны, ere = e(re) = (re)e = ге, откуда ге = ег, то есть е
- центральный идемпотент кольца R. Поэтому левый идеал R — Re = [г — ге\Уг Е R} будет двусторонним идеалом кольца R, откуда следует требуемое. □
Следствие 5. Идеал I кольца R с единицей выделяется прямым слагаемым в кольце тогда и только тогда, когда также является кольцом с единицей.
Доказательство. Прямое утверждение следует из леммы 2. Обратно, пусть е - единица кольца R, где R = Iф] есть прямая сумма двух идеалов. Пусть е = е1 + е2, где е1 Е 1,е2 Е ]. Тогда е = е2 = = е^2 + е22, откуда, в силу единственности разложения е по компонентам, принадлежащим / и /, 22 1 = 1 , 2 = 2 .
Аналогично лемме 2 проверяется, что е^ = I, e2R = ]. При этом для любого г Е R,r = ге = ег, то г = re1 + ге2 = е^г + е2г, откуда в силу единственности разложения, ге1 = е{г и ге2 = е2г, т. е. е1,е2
- центральные идемпотенты в R. □
Следствие 6. Кольцо R с единицей является расщепляемым тогда и только тогда, когда полный радикал кольца C(R) также является кольцом с единицей.
Замечание 4. В качестве примера нерасщепля-емого кольца с единицей можно привести кольцо R
/Fpn Fpn\ матриц вида ^ р ), где F
р
конечное поле
порядка рп. Полный радикал C(R) кольца R - это
подкольцо матриц вида
(Fpn ГрП)
V о о )'
F р n
которое содер-
жит только левую, но не правую единицу, поэтому отщепляемым не является.
Теорема 2. Для артинова кольца R с правой единицей е следующие условия эквивалентны:
1) кольцо R расщепляемо;
2) кольцо eR расщепляемо;
3) полный радикал кольца eR является кольцом с единицей.
Доказательство. Из замечания 1 и условий теоремы следует, что достаточно ограничиться случаем, когда аддитивная группа R+ кольца является периодической. Также отметим, что согласно следствию 2.2 [11] и предложению 2.6 [11] аддитивная группа артинова идемпотентного кольца не содержит квазициклических подгрупп. Поэтому аддитив-
ную группу кольца R можно считать ограниченной группой.
По условию е - правая единица кольца R. Тогда Уг Е R, г — ге = (г — ег)2 = 0 Е](Д), т. е. при гомоморфизме ф:Я ^ R/](R) образ ф(е) является единицей кольца R/](R). Следовательно, е - основной идемпотент кольца R. Также из того, что е - правая единица кольца R, следует, что подкольцо eRe = eR является правым идеалом кольца R. Но для большинства промежуточных утверждений теоремы достаточно, чтобы е был основным идемпотентом кольца R, поэтому доказательство будем проводить в максимальной общности.
(1 ^ 2) Если кольцо R расщепляемо, т. е. R = АфС(Д), то для основного идемпотента е кольца eR е = еАе + е С^)е = еАе + C(eRe) по предложению 1. При этом указанная сумма также будет прямой, так как eRe - кольцо с единицей е и еАе • еС^)е £ А • С (Я) = (0). Если хЕ еАеПеС(Я)е, то х = х • е Е х • eRe = х • (еАе + еС^)е) = (0). Заметим, что даже при еАе = (0) или C(eRe) = (0) кольцо eRe будет расщепляемым согласно определению.
(2 ^ 1) Обратно, пусть кольцо eRe расщепляемо, eRе = АфС, где С = C(eRe) = еС(И.)е. Кольцо eRe является кольцом с единицей е, поэтому по следствию 5, идеалы А и С кольца eRe также являются кольцами с собственными единицами, пусть еа и ес соответственно, являющимися ортогональными идемпотентами, перестановочными со всеми элементами eRe. При этом еа + ес = е. В этом случае А = ва^е") = (еИе)ва = баДба, с = eс(eRe) = = (еЯ е )е с = всЯе^
Пусть ReRe - минимальный двусторонний идеал, порожденный подкольцом eR е, тогда ReRe = = R(eRe)R + R(eRe) + (eRe)R + eRе. Заметим, что для любого идемпотента е, Re = Re • ее £ £ Re • Re = (Яе)2, т. е. Re = (Яе)2. Аналогично, eR = (eR)2. Отсюда, ReRe = R(eRe)R + R(eRe) + + (eRe)R + eRe = ReR + Re + eR + eRe, где ReR = = {П[=1г1е511Г1,51 Е R}. При этом eRe = е(Яе) £ £ eR, eR = еeR £ ReR, Re = Ree £ ReR. Окончательно получаем, что ReRe = ReR.
Покажем, что ReR = Д. Так как е - основной идемпотент кольца Д, то при естественном гомоморфизме ф:Я (p(ReR) = ф(Я2) = ф(Я), так
как R2 = Д. Тогда для любого г Е R, ф(г) Е Е ф(ReR), поэтому г Е ReR + Кег <р = ReR + }(Я). Таким образом, R = ReR + ](Я). Возводя обе части полученного равенства в степень, учитывая идемпо-
Вестник Омского университета 2018. Т. 23, № 4. С. 37-43
-ISSN 1812-3996
тентность кольца R и нильпотентность радикала Джекобсона в артиновом кольце, для некоторого натурального числа п получим R = Rn £ ReR + +Jn(R) = ReR, откуда R = ReR.
Ясно, что R = ReR = ReaR + RecR. Покажем, что RecR = C(R). Так как аддитивная группа кольца R ограничена по предположению, то C2(R) = C(R), иначе факторкольцо полного кольца
с(Ю c2(r)
являлось
бы ненулевым кольцом с нулевым умножением и ограниченной аддитивной группой, т. е. редуцированным кольцом. Тогда С(Я) = С3(Я) = ЯС(Я)Я. Если х Е С(Я) = яс(я)я, то хЕ (Яея)с(Я)(ЯеЯ), откуда х Е яе(яс(я)я)ея £ ЯесЯесЯ £ ЯесЯ. Обратно, ес Е есЯес = С(еЯе) £ С(Я), следовательно, ЯесЯ £ С(Я).
Остается показать, что сумма Я = ЯеаЯ + +ЯесЯ, где ЯесЯ = С(Я), будет прямой. Пусть хЕЯеаЯпЯесЯ. Идемпотенты еа и ес ортогональны, еа • ес = ес • еа = 0, поэтому х • Я = = х • (ЯеаЯ + ЯесЯ) = (0). Так как е - правая единица кольца Я, то х = х^еЕх^Я = (0), поэтому х = 0.
Условия 2) и 3) теоремы эквивалентны согласно следствию 6. □
Следствие 7. Идемпотентное артиново кольцо R является полным (редуцированным) тогда и только тогда, когда для основного идемпо-тента e артиново кольцо eRe является полным (соответственно редуцированным).
Доказательство. Прямое утверждение - это следствие 1. Справедливость обратного утверждения следует из доказательства теоремы 2. В случае, если еЯе - полное кольцо, идемпотент ес = е является основным идемпотентом кольца Я. Тогда С(Я) = ЯесЯ = ЯеЯ = Я, т. е. кольцо Я полное. Аналогично, если кольцо еЯе редуцировано, то еа = е является основным идемпотентом кольца Я, при этом ес = 0. Тогда С (Я) = ЯесЯ = (0), т. е. кольцо Я редуцированное. □
В заключение автор выражает благодарность профессору Л.М. Мартынову за постановку задачи, ценные замечания и помощь в работе над статьей.
СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ
1. Мартынов Л. М. О понятиях полноты, редуцированности, примарности и чистоты для произвольных алгебр // Универс. алгебра и ее приложения: Труды междунар. семинара. Волгоград : Перемена, 2000. С. 179190.
2. Мартынов Л. М. Об одном радикале алгебр со свойством трансвербальности по минимальным многообразиям // Вестн. Ом. ун-та. 2004. № 2. С. 19-21.
3. Мартынов Л. М. Полнота, редуцированность, примарность и чистота для алгебр: результаты и проблемы // Сиб. электр. матем. изв. 2016. Т. 13. С. 181-241.
4. Херстейн Н. Некоммутативные кольца. М. : Мир, 1972. 191 с.
5. Курош А. Г. Теория групп. М. : Наука, 1967. 648 с.
6. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. Т. 2. M. : Мир, 1977. 416 с.
7. Павлова Т. В. Минимально полные ассоциативные артиновы кольца // Сиб. электр. матем. изв. 2017. Т. 14. С. 1238-1247.
8. Павлова Т. В. Полные ассоциативные артиновы кольца // Вестн. Ом. ун-та. 2005. № 1. С. 17-19.
9. Hopkins C. Rings with minimal condition for left ideals // Ann. of Math. 1939. Vol. 40. P. 712-730.
10. Елизаров В. П. Конечные кольца. Основы теории. М. : Гелиос АРВ, 2006. 304 с.
11. Levy L. S. Artinian, non-Noetherian rings // J. Algebra. 1977. Vol. 47. P. 276-304.
12. Atiyah M. F., Macdonald I. G. Introduction to Commutative Algebra. Cambridge, Mass. : Advanced Book Program, Perseus Books, Addison-Wesley series in mathematics, 1969. 128 p.
13. Павлова Т. В. О редуцированных ассоциативных артиновых кольцах // Проблемы и персп. физ.-мат. и техн. обр. : сб. мат. Всерос. науч.-практ. конф. Ишим : Филиал ТюмГУ, 2014. C. 40-46.
14. Kertesz A. Lectures on Artinian rings. Budapest : Akad. Kiado, 1987. 427 p.
15. Мартынов Л. М., Павлова Т. В. О минимально полных ассоциативных кольцах // Вестн. Ом. ун-та. 2016. № 1. С. 6-13.
ISSN 1812-3996-
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРЕ
Павлова Татьяна Вениаминовна - старший преподаватель кафедры физико-математических дисциплин и профессионально-технологического образования, Ишимский государственный педагогический институт им. П. П. Ершова, филиал Тюменского государственного университета, 627750, Тюменская область, г. Ишим, Россия, ул. Ленина, 1; e-mail: pavlova-t-v@bk.ru.
ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ
Павлова Т. В. Об артиновых кольцах с отщепляемым полным радикалом // Вестн. Ом. ун-та. 2018. Т. 23, № 4. С. 37-43. DOI: 10.25513/1812-3996.2018.23(4). 37-43.
INFORMATION ABOUT THE AUTHOR
Pavlova Tatiana Veniaminovna - Senjor Lector of De-partmant of Physical and Mathematical Sciences and Vocational Technology Education, Yershov Ishim Pedagogical Institute, Tyumen State University Branch, 1, str. Lenina, Ishim, Tyumen Region, 627750, Russia; email: pavlova-t-v@bk.ru.
FOR QTATIONS
Pavlova T.V. On Artinian rings with a split-off radical. Vestnik Omskogo universiteta = Herald of Omsk University, 2018, vol. 23, no. 4, pp. 37-43. DOI: 10.25513/ 1812-3996.2018.23(4).37-43. (in Russ.).
