CC BY
45
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2010 Математика и механика № 2(10)
УДК 512.553+512.541
Е.А. Тимошенко
О ПОРОЖДАЕМОСТИ Т-РАДИКАЛОВ БИМОДУЛЯМИ1,2
Ранее автором было установлено, что всякий Т-радикал категории модулей можно представить как порождённый некоторым бимодулем. В настоящей статье получено существенное усиление данного результата.
Ключевые слова: модуль, радикал, бимодуль, нейтрализатор, тензорное произведение.
На протяжении всей статьи группы будем предполагать абелевыми, кольца -ассоциативными с единицей, модули - унитарными. Будем приписывать кольцу свойства его аддитивной группы; так, фраза «кольцо £ периодическое» означает, что периодической является аддитивная группа £ + данного кольца. Через ®£ и ® обозначается тензорное произведение над кольцом £ и над кольцом целых чисел соответственно.
Сначала напомним терминологию [1, 2]. Пусть каждому правому £-модулю А сопоставлен подмодуль р(А). Будем говорить, что в категории правых £-модулей задан радикал р, если для всякого £-модульного гомоморфизма ф: А ^ В верно включение ф(р(А)) с р(В), причём р(А/р(А)) = 0 для любого модуля А. Радикал р называют идемпотентным, если для любого модуля А выполнено р(р(А)) = р(А). Радикалы можно естественным образом частично упорядочить, полагая р < ст в том и только в том случае, когда р(А) с ст(А) для любого модуля А.
Пусть (здесь и далее) Р есть фиксированный левый £-модуль, А - некоторый правый £-модуль. Сумму всех подмодулей В модуля А , для которых выполнено В ®£ Р = 0, мы будем обозначать через WF (А). Заданный таким образом функтор - идемпотентный радикал категории правых £-модулей; будем называть его Т(Р )-радикалом, или Т-радикалом, порождённым модулем Р. В работе [3] было получено полное описание Т-радикалов категории абелевых групп.
В статье [4] ставился вопрос: всегда ли существует £-£-бимодуль V, такой, что идемпотентные радикалы и WV категории правых £-модулей совпадают? Там же было показано, что ответ на этот вопрос является положительным. Более того, верно следующее утверждение:
WF = Wр®£ для любых кольца £ и модуля р (1)
(£-£-бимодульная структура на Р ® £ вводится естественным образом).
В соответствии с [5] назовём Р-нейтрализатором модуля А множество N (А) всех его элементов а, таких, что в тензорном произведении А ®£ Р имеем а ®£/ = 0 для всякого / е Р. Определённый таким образом функтор N7? является радикалом (вообще говоря, не идемпотентным). Отметим (без доказательства) следующее очевидное свойство нейтрализаторов:
1 Работа выполнена при поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009 - 2013 годы». Государственный контракт П937 от 20 августа 2009 г.
2 Работа частично профинансирована Федеральным агентством по науке и инновациям России по контракту № 02.740.11.0238.
Лемма 1. Если £р является гомоморфным образом модуля £Н, то ^ < Нр.
В [5] отмечалось, что WF - наибольший из всех идемпотентных радикалов р, удовлетворяющих условию р < N^4 Основной нашей целью будет доказательство утверждения
N = НР®£ для любых кольца £ и модуля ; (2)
в силу сказанного выше, (1) будет получаться из (2) как простое следствие.
Предложение 2. Для любых кольца £ и модуля р выполнено N < НР®£.
Доказательство. Пусть А£ есть некоторый модуль. Известно, что существует изоморфизм абелевых групп
ф: (А ®£ Р) ® £ ^ А ®£ (Р ® £ ), (3)
переводящий элементы вида (а ®£ /) ® 5 в элементы а ®£ (/ ® 5). Следовательно, для всякого а е N (А) имеем равенство а ®£ (/® 5) = 0 при любых /е Р и 5 е £, откуда сразу следует а е НР®£ (А). Предложение доказано. ■
Далее нам потребуется ряд вспомогательных результатов. Центр кольца £ мы будем обозначать через 2(£ ). Периодическую часть и р-примарную компоненту произвольной группы О обозначаем соответственно 1(0) и 0р.
Предложение 3. Если кольцо £ периодическое, то для любого £Р выполнено неравенство НР®£ < НР.
Доказательство. Так как £ содержит единичный элемент, оно разлагается в конечное прямое произведение колец £р, соответствующих различным простым числам р. Тогда всякий левый модуль £Р есть прямое произведение модулей Рр, являющихся левыми модулями, каждый над своим кольцом £р. Покажем теперь, что модуль Р есть гомоморфный образ модуля Р ® £.
В силу сказанного, достаточно доказать данный факт в предположении, что £ есть некоторое р-кольцо. Элемент 1 имеет в р-группе £ + максимальный порядок, т.е. циклическая подгруппа (1) - прямое слагаемое этой группы [6, лемма 15.1]; пусть п: £ + ^ (1) есть соответствующая проекция абелевых групп. Аддитивный гомоморфизм ф: Р ® £ ^ Р определим при помощи равенства ф(/® 5) = п(5)/ Из равенства п(1) = 1 следует сюръективность ф. Далее, образ п содержится в 2(£ ), поэтому ф - эпиморфизм левых £-модулей. Применяя теперь лемму 1, получаем неравенство НР®£ < НР, что завершает доказательство. ■
Лемма 4. Пусть £ - непериодическое кольцо, такое, что £/£р есть р-делимая группа. Тогда:
1) Кольцо £ разлагается в прямую сумму
£ = К © £р (4)
своих идеалов, причём группа К является р-делимой, а группа £р - ограниченной.
2) Для кольца 2(£ ) справедливо прямое разложение
2(£ ) = 2(К ) © 2(£р), (5)
обладающее теми же свойствами.
Доказательство. 1) Очевидно, что £р - идеал кольца £. По условию леммы имеем равенство 1 + £р = р(5 + £р) для некоторого 5 е £. Тогда элемент 1 - р5 е £
имеет порядок рк для некоторого целого к > 0; в этом случае р-высота элемента
рк-1 е £ бесконечна. Отсюда уже сразу получаем рк£р = 0.
£р - ограниченная сервантная подгруппа группы £ +; следовательно, найдётся подгруппа К группы £ +, такая, что имеет место групповое прямое разложение (4). Тогда из изоморфизма К = £/£р следует р-делимость группы К. И наоборот, все
18
Е.А. Тимошенко
элементы кольца £, имеющие бесконечную р-высоту, должны лежать в К в силу ограниченности £р. Отсюда получаем, что К является идеалом в £.
2) Ясно, что выполнено условие (5), причём 2(£р) совпадает с р-компонентой группы 2(£ ). Поэтому остаётся проверить р-делимость группы 2(К ). Для всякого а е 2(К ) и всякого натурального числа к найдётся элемент Ь идеала К, такой, что р Ь = а. Для произвольного с е К имеем р (Ьс - сЬ) = ас - са = 0. В идеале К, нет элементов порядка р, так что Ь е 2(К ). Поэтому группа 2(К ) является р-делимой, что и требовалось. ■
Теперь мы готовы доказать основной результат статьи.
Теорема 5. Для любых кольца £ и модуля выполнено N = НР®£.
Доказательство. Благодаря предложениям 2 и 3, нам достаточно убедиться, что неравенство НР®£ < N выполнено, если кольцо £ является непериодическим. Предположим противное: пусть для некоторого модуля А£ существует элемент а е А, такой, что а е НР®£ (А) и а £ N (А).
Обозначим X = А ®£ Р, тогда, в силу нашего предположения, найдётся элемент / е Р, для которого X = а ®£ / есть ненулевой элемент группы X. Изоморфизм (3) показывает, что справедливо включение х е N5 (X ), где N5 обозначает Т-радикал категории абелевых групп, порождённый группой £ +.
Введём обозначение Л = £Л(£). Применяя к радикалу N категории абелевых групп лемму 1, приходим к включению х е ^(Х ). Далее, группа Л есть плоский модуль над кольцом целых чисел, а значит, N = WЛ [5].
Из описания Т(Р )-радикалов категории абелевых групп, приведённого в [3], непосредственно получаем, что содержащая элемент х группа У = ^(Х ) = WЛ(X ) совпадает с прямой суммой всех р-компонент Xp, для которых рЛ = Л. Далее, из сервантности подгруппы У в группе X и включения х е N5 (X ) нетрудно вывести, что х е N5 (У ). Поскольку х Ф 0, мы можем найти такое простое число р, что для проекции п: У ^ Xp будет выполнено у = п(х) Ф 0. Из х е N5 (У ) теперь следует У е N5 X).
Напомним, что рЛ = Л. Возможны два случая.
а) Пусть р£ = £. Это означает, что элемент р -1 обратим в кольце £. Поэтому £ содержит подкольцо Я, которое изоморфно кольцу всех рациональных чисел, чьи знаменатели являются степенями числа р. В этом случае А и Р (а значит, и X) -модули над кольцом Я, что противоречит неравенству Xp Ф 0.
б) Пусть р£ Ф £. Группы Л и 1(£)/£р являются р-делимыми; следовательно, тем же свойством обладает и аддитивная группа кольца £/£р. Это означает, что £р Ф 0. Применяя лемму 4, приходим к разложению (4); пусть характеристика кольца £р равна рк, а g есть единичный элемент кольца £р. Как мы знаем из доказательства предложения 3, циклическая группа О = ^) порядка р есть гомоморфный образ группы £р и, значит, гомоморфный образ группы £+. Применяя теперь лемму 1, приходим к включению у е ^ где ^ - радикал категории абелевых групп.
Заметим, что А и Р (а значит, X и, далее, Xp) суть модули над 2(£ ). Применяя лемму 4, приходим к разложению (5). Из р-делимости идеала 2(К ) мы получаем равенство Xp - 2{К) = 0, т.е. Xp является 2(£р)-модулем и, значит, pkXp = 0. Отсюда следует, что эпиморфизм Xp ^ Xp ® О, переводящий всякий элемент Ь в элемент Ь ® g, будет изоморфизмом [6, § 59]. Тогда из у е ^ сразу получаем у = 0 -противоречие.
Теорема доказана. ■
ЛИТЕРАТУРА
1. КашуА.И. Радикалы и кручения в модулях. Кишинёв: Штиинца, 1983.
2. Мишина А.П., СкорняковЛ.А. Абелевы группы и модули. М.: Наука, 1969.
3. Тимошенко Е.А. T-радикалы в категории абелевых групп // Фундамент. и прикл. матем. 2007. Т. 13. № 3. С. 193 - 208.
4. Тимошенко Е.А. T-радикалы, порождаемые бимодулями // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2009. № 8(74). С. 88 - 93.
5. Тимошенко Е.А. T-радикалы и E-радикалы в категории модулей // Сиб. матем. журн. 2004. Т. 45. № 1. С. 201 - 210.
6. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. М.: Мир, 1974. Т. 1.
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ:
ТИМОШЕНКО Егор Александрович - доцент, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры общей математики механико-математического факультета Томского государственного университета. E-mail: [email protected]
Статья принята в печать 26.04.2010 г.
