О соотношениях дистрибутивности для T-радикалов абелевых групп Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2008. №6(65).

УДК 512.541+512.553

193

О СООТНОШЕНИЯХ ДИСТРИБУТИВНОСТИ ДЛЯ ^РАДИКАЛОВ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП1

© 2008 Е.А. Тимошенко2

Работа посвящена радикалам, которые задаются при помощи тензорного произведения абелевых групп. Рассмотрен вопрос о том, какие соотношения дистрибутивности справедливы для таких радикалов.

Ключевые слова: радикал, тензорное произведение, Абелева группа, дистрибутивность.

Предварительные сведения

Данная статья продолжает исследование Т-радикалов, которое было начато в работе [1]. Т-радикалы можно охарактеризовать, в частности, как те радикалы, чьи радикальные классы замкнуты относительно взятия сер-вантных подгрупп. В качестве удобного инструмента используются также Е-радикалы. Все группы предполагаются абелевыми. Используются следующие обозначения:

0 прямая сумма

с (с) строгое (нестрогое) включение

р множество всех простых чисел

Ъ группа целых чисел

Ъ( р) циклическая группа порядка р

Ъ( р“) квазициклическая р-группа

д группа рациональных чисел

д р группа рациональных чисел, знаменатели

ъ которых взаимно просты с р

группа рациональных чисел, знаменателями которых являются степени числа р

1 Представлена доктором физико-математических наук, профессором А.Н. Пановым. 2Тимошенко Егор Александрович ([email protected]), кафедра общей математики Томского государственного университета, 634050, Россия, г. Томск, пр. Ленина, 36.

Qp кольцо целых р-адических чисел

г(А) периодическая часть группы А

А ® В тензорное произведение групп А и В

Нот(А, В) группа гомоморфизмов из группы А в группу В.

Напомним некоторые факты из теории радикалов [2,3]. Пусть каждой группе А сопоставлена некоторая ее подгруппа р(А). Скажем, что в категории абелевых групп задан идемпотентный радикал р, если для любого ф е Нот(А, В) имеет место включение ф(р(А)) с р(В) и для любой группы А выполнены равенства

р(р(А)) = р(А), р(А/р(А)) = 0.

Пусть р — идемпотентный радикал (далее слово ’’идемпотентный” зачастую будет опускаться). Назовем р-радикальным класс всех групп А, удовлетворяющих условию р(А) = А. Двойственным образом равенство р(А) = 0 определяет класс, называемый р-полупростым. Заметим, что идемпотент-ный радикал р однозначно определяется как своим полупростым, так и своим радикальным классом (будем обозначать эти два класса Рр и Яр соответственно). Всякий радикальный класс замкнут относительно взятия расширений, прямых сумм и гомоморфных образов; всякий полупростой — относительно взятия расширений, прямых произведений и подгрупп.

Идемпотентные радикалы можно частично упорядочить, полагая р ^ о

в том и только в том случае, когда р(А) с о(А) для любой группы А. Тогда

большему радикалу будет соответствовать больший радикальный и меньший полупростой класс. Согласованные с введенным частичным порядком операции пересечения и объединения задаются равенствами

(Л(е1 р>)(А) = 2{В с А |р;(В) = В для любого г е I},

(уш рг)(А) = П{В С А |рг(А/В) = 0 для любого г е I}.

Относительно данных операций совокупность всех радикалов составляет полную большую решетку Х*Я с нулем и единицей (эта решетка отличается от обычной тем, что рассматриваемая совокупность не образует множество

[4]).

Напомним теперь основные понятия из [1]. Пусть р есть некоторая абелева группа. Через Шр(А) будет обозначаться сумма всех подгрупп В группы А, для которых выполнено В ® р = 0. Для абелевой группы V через Ну (А) обозначается пересечение всех подгрупп В группы А таких, что Нот(У, А/В) = 0.

Определенные таким образом функторы Шр и Ну суть радикалы. Далее они называются соответственно Т(р)-радикалом и Е(У)-радикалом. Заметим, что для Шр радикальным будет класс всех групп А таких, что А®р = 0. По-лупростым классом радикала Ну является класс Е(У) всех абелевых групп А, для которых выполнено Нот(У,А) = 0. Кроме того, Ну — наименьший из всех радикалов р таких, что V е Яр.

В [1] отмечался также следующий факт: если {р;}г61 есть семейство групп,

то пересечение всех Т(р,-)-радикалов и объединение всех Е(р,-)-радикалов

совпадают соответственно с Шр и Нр, где р = ф р(-.

ге1

Т(р)-радикалы и дистрибутивность

Воспроизведем полученное в [1] описание частично упорядоченного множества X всех Т(р)-радикалов. Рассмотрим решетку М = {I, т, п, X, V} с отношением порядка п ^ т ^ I ^ ^ ^ V, т ^ X ^ ^ (элементы I и X считаем несравнимыми). Всякому радикалу Шр ставится в соответствие функция ур: Р ^ М, задаваемая следующим образом: если группа р непериодиче-

а факторгруппа р/г(р) является; п, если факторгруппа р/г(р) не является р-делимой.

Если же группа р периодическая, то

Сопоставляя функцию ур всякому радикалу Шр, мы устанавливаем взаимно однозначное соответствие между X и подмножеством М' множества

да а = (а2,аз,а5,...,ар,...), все члены которых одновременно входят в какое-то одно из множеств {I, т, п} или {X, V}. Построенное соответствие задает изоморфизм частично упорядоченных множеств (считаем, что а ^ а' тогда и только тогда, когда ар ^ а'р для всех простых чисел р). Отсюда нетрудно вывести, что X — полная дистрибутивная решетка.

Ясно, что в силу конечности множества М в решетке X справедливы также и бесконечные законы дистрибутивности. Что касается большой решетки ХК, то, как показано в конце параграфа, она не является не только дистрибутивной, но и модулярной.

Цель данной работы — ответить на вопрос: какие законы дистрибутивности останутся верны для Т(р)-радикалов, если заменить в этих законах операции Л и V решетки X операциями Л и V, определенными в ХК? В силу сказанного в конце первого параграфа Л действует на Т(р)-радикалы так же, как и Л. Далее нам потребуется ряд подготовительных результатов.

Через XI и X2 будем обозначать множества всех Т(р)-радикалов таких, что абелева группа р является соответственно непериодической либо периодической. В [1] отмечалось, что множество XI, в отличие от X2, есть подрешетка большой решетки ХК. Радикал t, который сопоставляет всякой

ская, то

I, если группа р является р-делимой; т, если группа р не является р-делимой,

X, если р-компонента группы р не является делимой;

если р-компонента группы р делима и отлична от 0; V, если р имеет нулевую р-компоненту.

МР. Заметим, что данное подмножество состоит из последовательностей ви-

группе ее периодическую часть, является наибольшим элементом в XI; если группа р периодическая, то имеем Шр ^ t.

Введем некоторые необходимые для дальнейшего изложения дополнительные обозначения. Пусть V — непустой класс абелевых групп. Через Н<у обозначим наименьший из всех радикалов р, которые обладают свойством

V С Яр (такой радикал обязательно существует). Несложно показать, что Hv-полупростой класс совпадает с классом вСТ) всех групп А, для которых Нот(У, А) = 0 при всех V еТ. Можно также убедиться, что для любого множества групп и = {и(-}(-61 радикал Ни будет объединением (точной верхней гранью) множества всех Е(и,-)-радикалов. Говорят, что радикал Нт порождается классом V.

Ясно, что всякий радикал р может быть представлен в виде Нт (для этого достаточно положить V = Яр). Далее, если V и и — два класса абелевых групп, то через обозначим класс всех групп вида V ® и, где

V еТ, и е и. Если при этом V = {V}, то пишем просто V ®и.

Лемма 1: Для любых классов X, V, и из Нх ^ Нт следует Нх®и ^ НТ®и.

Доказательство: Достаточно доказать включение в(Т®и) Св(Х®и) для случая, когда в(Т) С в(Х). В самом деле, если выполнено А е в(Т®и), то при любых V еТ, и е и имеем

Нот(^ Нот(и, А)) = Нот^ ® и, А) = 0.

Отсюда для всех и еи получаем, что Нот(и,А) ев(Т') Св(Х) и, значит,

Нот(Х ® и, А) = Нот(Х, Нот(и, А)) = 0

для всякой группы X еХ. Это доказывает, что А е в(Х®и). Таким образом, если в(Т) С в(Х), то в(Т®и) Св(Х®и). Доказательство завершено.

С учетом коммутативности тензорного произведения групп получаем

Следствие 2: Для любых классов X, У, V, и из Нх ^ Нт и Ну ^ Ни следует неравенство Нх®у ^ Нт®и.

Следствие 3: Для любых классов X, У, V, и из Нх = Нт и Ну = Н<ц следует равенство Нх®у = Нт®и.

Следствие 4: Для любых классов V и и выполнено Нт®и ^ Н<ц.

Доказательство: Радикал Нх — наибольший элемент в ХК. Это означает, что Нт ^ Нх и Нт®и ^ Нх®и = Ни (так как X ® и = и для всякой группы и).

Напомним, что для любого радикала р подгруппа р(А) сервантна в А [5].

Лемма 5: Если р < о, то найдется группа без кручения, циклическая группа простого порядка или квазициклическая группа В Ф 0, для которой выполняются включения В е Рр и В е Яо.

Доказательство: Из включения Яр с Яо следует, что существует абелева группа А, для которой А £ Яр и А е Яо. Группа А принадлежит радикальному классу Я тогда и только тогда, когда г(А) е Я и А/г(А) е Я [6];

таким образом, можно, не умаляя общности, считать А группой без кручения или периодической группой. В первом из этих случаев достаточно положить В = А/р(А), поскольку подгруппа р(А) сервантна в А.

Пусть группа А периодическая. Действие радикала на периодические группы полностью определяется его действием на группы вида Х( р) и Х( р“) [6,7], так что существует группа В указанного вида, для которой р(В) с о(В). Группа В будет искомой, так как коциклические группы не имеют ненулевых собственных сервантных подгрупп. Лемма доказана.

Как было показано в [1], всякий радикал р е X можно представить в виде Hv для подходящей группы V. Для р еX2 это делается следующим образом: если идемпотентному радикалу р соответствует функция у: Р ^ М, то достаточно положить V = X 0 У, где X — аддитивная группа всех рациональных чисел, знаменатели которых взаимно просты со всеми простыми р е у-1^), а У есть прямая сумма групп Х(р) по всем р е у-1(^,). При этом А е Яр в том и только в том случае, когда факторгруппа А/г(А) является р-делимой для всех простых чисел р е у-1(^), а сама группа А — р-делимой для всех р е У 1&).

Теорема 6: Пусть ^ е X2, где группа V = X0 У имеет указанный выше вид, и пусть класс и содержит по крайней мере одну непериодическую группу. Тогда Hv Л Ни = Н^и.

Доказательство: Обозначим р = Hv, о = Ни. Применив следствие 4 дважды, получаем неравенство Hv®ru ^ р Л о. Предположим, что оно является строгим. Тогда по предыдущей лемме существует группа В (вида Х(р), квазициклическая либо без кручения) такая, что В ев^ <8>Ц) и В е ЯрЛо. Пусть у: Р ^ М есть функция, соответствующая идемпотентному радикалу ^.

В V есть хотя бы одна непериодическая группа, так что радикальный класс радикала Hv®ru содержит все делимые абелевы группы [5]; следовательно, имеем В ^ Х(р“). Предположим теперь, что В = Х(р) для некоторого простого числа р. Из условия В е Яо следует, что для какой-то группы и е и справедливо неравенство Нот(и, В) Ф 0, т. е. группа и не является р-делимой. Точно так же из В е Яр следует, что р-делимой не является группа V. Но тогда V ® и имеет своим гомоморфным образом ненулевую группу (V/pV) ® (и/ри). Данная группа изоморфна прямой сумме копий Х(р). Отсюда Hv®ru(В) = В, что невозможно.

Осталось разобрать случай, когда В — группа без кручения. Из В е Яо сразу следует, что для некоторой группы и е и имеем Нот(и, В) Ф 0. Далее, группа без кручения В входит в Яр и, значит, р-делима для любого р £ у-1^). Тогда В можно рассматривать как унитарный модуль над кольцом X; следовательно, группа Нот(и, В) также допускает X-модульную структуру. Отсюда

Нот^ ® и, В) = Нот^, Нот(и, В)) Ф 0,

что противоречит включению В ев^ ®и) Св^ ® и). Теорема доказана.

Следствие 7: Пусть Н<у €Х2, а и есть некоторый класс, содержащий хотя бы одну непериодическую группу. Тогда И<у Л Ни = Н<у®и•

Доказательство: Для V = {X 0 У} данный факт уже доказан в предыдущей теореме. Применяя теперь следствие 3, приходим к требуемому ра-

венству.

Следствие 8: Если Ну, Ни € Х2, то Ну Л Ни = Ну®и.

Доказательство: Из Ни ^ t нетрудно вывести, что и — непериодическая группа. Для получения нужного равенства остается применить следствие 7.

Утверждение следствия 8 верно и для любых конечных пересечений, так как Ну®и вновь будет элементом Х2. К сожалению, равенство Ну Л Ни = = Ну®и не удается обобщить даже для ситуации Ну € Х1, Ни е£; в самом деле, абелевы группы у = Ъ(р“) и и = д удовлетворяют условиям Ну € Х1 и Ни € Х2, но

Ну Л Ну = Ну Ф 0 = Но = Ну®у,

Ну Л Ни = Ну Ф 0 = Но = Ну^и •

Перейдем теперь к основному результату статьи.

Теорема 9: Для любого семейства {ог}г€/ сХ и любого р €Х выполнено

р Л(у а,‘) = V (рЛ °г)-

1€1 1€1

Доказательство: Сначала введем вспомогательные обозначения т, = р Л а,, а = \у а,, т = р Л а.

1е1

Неравенство V Т ^ т очевидно; осталось доказать, что т ^ V т,.

1€1 1€1

Разобьем доказательство на несколько случаев. Сначала мы предположим, что для всех ' € I выполнено а, € Х1. Тогда а,- ^ г, так что т, = р Л а, входит не только в Х, но и в Х1. Используя дистрибутивность решетки Х и тот факт, что Х1 является полной подрешеткой в ХК, получаем

\/ т, = \/ т = У (р Л а,-) = р Л (У а,-) = р Л а = т.

ш ш ш ш

Пусть теперь р € Х1 (заметим, что этот случай не исключает предыдущий). Вновь имеем т, = р Л а, € Х1 для любого , € I. Далее,

У т = \/ т, = \/(р Л а,-) = р Л (У а,-) = р Л (У а,-) ^ р Л а = т.

,€1 ,€1 ,€1 ,€1 ,€1

Нам осталось рассмотреть случай, когда р €Х2 и а, € Х2 по крайней мере для одного индекса , € I. Как отмечалось ранее, можно выбрать группы {и,},^ и у так, что а, и р суть Б(и,-)-радикалы и Е(у)-радикал соответственно. Тогда для класса и = {и,},€1 имеем Ни = а. Применяя следствие 4 к одноэлементным классам {у} и {и,}, мы получаем, что для каждого , € I группа у <8> и, входит в т,-радикальный класс. Поэтому

Ну®ы ^\/ т ^ т = р Л а = Ну Л Ни •

І€І

Но по крайней мере одна из групп и, является непериодической; в этом

случае по следствию 7 получаем т = Ну&и, т. е. т = V т,-. Теорема доказана.

€

В заключение рассмотрим другой тип дистрибутивности.

Пример: Покажем, что, вообще говоря, для Т(Х)-радикалов не выполняется дистрибутивный закон

р V (а Л т) = (р V а) Л (р V т).

Для этого найдем группу А такую, что А € Рр П РаЛт и А € ЯрVo П Яр^. В роли р, а и т будут выступать радикалы Ну, Нх и Ну, порожденные подходящими рациональными группами идемпотентного типа. Фактически будет показано, что в этом случае

HУ®(X®Y) Ф Ну®х Л Ну®у.

Возьмем различные р, д, г € Р; пусть у = д(р), X = д(д) и У = д(г). Далее, положим В = д(рд) (группа всех рациональных чисел, знаменатели которых суть произведения некоторых степеней р и д) и С = д(рг). Через в и у мы обозначим канонические гомоморфизмы В ^ В/Х и С ^ С/ У. Заметим, что факторгруппы В/Х и С/У обе изоморфны группе Ъ(рте); пусть ф: В/Х ^ С/У есть некоторый изоморфизм этих факторгрупп. Группу А зададим равенством

А = {(Ь, с) € В 0 С | (фв)(Ь) = у(с)}.

Легко убедиться, что гомоморфизм А ^ С, который переводит всякую пару (Ь, с) в элемент с, является эпиморфизмом, а его ядро изоморфно X. Тогда из включений С € Яр, X € Яа и замкнутости радикальных классов относительно расширений следует А € ЯрVo. Аналогично доказывается, что А € Яр^. Далее, справедлив изоморфизм X<8> У = д(дг), так что А € £(X<8> У) =

= Р аЛт.

Остается показать, что для подходящим образом выбранного изоморфизма ф выполнено включение А € £(у) и, значит, р(А) = 0. Имеем

B/X = (у + X)/X = у/(у П X) = у/(у П У) = (у + У)/У = С/У;

пусть ,: B/X ^ С/ У обозначает соответствующий изоморфизм, т. е. для любого элемента V € у справедливо равенство ,(у + X) = V + У.

Факторгруппу С/У (как и всякую р-группу) можно превратить в модуль над кольцом целых р-адических чисел др, полагая

п + дИи = »(«, + »„>+ + д(„ (п £ ^

рк ) рк

если П = 5о + 51 р + ... + Smprn + ... € др (5у €{0, 1,..., р -1}).

Пусть п € др \ др (мы считаем, что др с др) есть некоторое р-адическое число указанного выше вида, причем 50 Ф 0. Эндоморфизм х группы С/У, задаваемый умножением на п, является автоморфизмом (обратный к нему автоморфизм х-1 действует как умножение на п-1 ); положим ф = х,.

Допустим, что Нот(у, А) Ф 0. Это значит, что в А найдется ненулевая пара (Ь, с) такая, что для любого натурального к выполнено (Ь/рк, с/рк) € А. При этом можно считать, что числа Ь и с целые (иначе просто домножим их на общий знаменатель), так что

+ = , м = , ^ = , +

рк рк рк рк

откуда следует, что с - Ьп € ркд*р для всех к. Значит, с = Ьп, а это противоречит выбору элемента п. Итак, А € £(у), что завершает построение примера.

Замечания: 1) Если записать полученное для р, а, т неравенство в виде

(р Л р) V (р Л т) V (а Л р) V (а Л т) Ф (р V а) Л (р V т),

то нетрудно заметить, что в рассмотренном примере мы фактически построили вполне разложимые абелевы группы К = у 0 X и Ь = у 0 У ранга 2 такие, что выполнено Нк®ь Ф Нк Л Нь. Итак, условия, налагаемые теоремой 6 на группу, которая порождает радикал Ну, действительно существенны.

2) С учетом теоремы 9 для тех же радикалов р, а, т имеем

р V (а Л (р V т)) = р V (а Л р) V (а Л т) = р V (а Л т) Ф (р V а) Л (р V т),

при этом, очевидно, р ^ р V т. Отсюда получаем, что большая решетка ХК не является модулярной, как и отмечалось в начале параграфа. Ясно, что не будет модулярной и подрешетка большой решетки ХК, порожденная подмножеством Х.

В свете теоремы 6 и следствия 7 уместен следующий вопрос. Пусть у Ф 0 и известно, что для всякого класса и, содержащего хотя бы одну непериодическую группу, выполнено Ну Л Ни = Ну<зи. Следует ли отсюда, что Ну € Х2? Ответ пока неизвестен.

Литература

[1] Тимошенко, Е.А. T-радикалы в категории абелевых групп /

Е.А. Тимошенко // Фундамент. и прикл. мат. - 2007. - Т. 13. -

№3. - С. 193-208.

[2] Кашу, А.И. Радикалы и кручения в модулях / А.И. Кашу. - Кишинев: Штиинца, 1983. - 156 с.

[3] Мишина, А.П. Абелевы группы и модули / А.П. Мишина,

Л.А. Скорняков. - М.: Наука, 1969. - 152 с.

[4] Gobel, R. Semi-rigid classes of cotorsion-free abelian group / R. Gobel, S.Shelah // J. Algebra. - 1985. - Vol. 93. - №1. - P. 136-150.

[5] Gardner, B.J. Two notes on radicals of abelian groups / B.J. Gardner // Comment. Math. Univ. Carolinae. - 1972. - Vol. 13. - №3. - P. 419-430.

[6] Dickson, S.E. On torsion classes of abelian groups / S.E. Dickson // J. Math. Soc. Japan. - 1965. - Vol. 17. - №1. - P. 30-35.

[7] Курош, А.Г. Радикалы в теории групп / А.Г. Курош // Сиб. мат. журн. - 1962. - Т. 3. - №6. - С. 912-931.

Поступила в редакцию 29/ VIII/2008; в окончательном варианте — 29/VIII/2008.

ON THE DISTRIBUTIVE LAWS FOR T-RADICALS OF ABELIAN GROUPS3

© 2008 E.A. Timoshenko4

The paper is devoted to the radicals defined by means of tensor product of Abelian groups. A question: what distributive laws hold for such radicals is considered?

Keywords and phrases: radical, tensor product, Abelian groups, distributivity.

Paper received 29/VIII/2008.

Paper accepted 29/VIII/2008.

3Communicated by Dr. Sci. (Phys. & Math.) Prof. A.N. Panov.

4Timoshenko Egor Aleksandrovich ([email protected]), Dept. of General Mathematics, Tomsk State University, Tomsk, 634050, Russia.