CC BY
25
2005
НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Математика и физика
№91(9)
УДК 621.396
НИЛЬ-ИДЕАЛЫ КОЛЕЦ СО СМЕШАННОЙ АДДИТИВНОЙ ГРУППОЙ
Е. И. КОМПАНЦЕВА
Статья представлена доктором физико-математических наук, профессором Козловым А.И.
Исследуются абсолютный радикал Джекобсона и абсолютный ниль-радикал абелевой группы, имеющий делимую факторгруппу по периодической части.
В настоящей статье исследуются абсолютный радикал Джекобсона и абсолютный нильрадикал абелевой группы О, факторгруппа которой по периодической части Т(О) делима. Под абсолютным радикалом Джекобсона (абсолютным ниль-радикалом) абелевой группы О
* *
понимается пересечение Я (О) (N (О)) радикалов Джекобсона (верхних ниль-радикалов) всех ассоциативных колец, построенных на О как на аддитивной группе. Проблема описания абсолютных радикалов сформулирована в [1, проблема 94].
В [2] показано, что если абелева группа О содержит ненулевую делимую подгруппу без
кручения, то N (О) = Я (О) = П рТ(О). Пусть М - класс всех абелевых групп, имеющих
р
делимую факторгруппу по периодической части и не содержащих ненулевой делимой подгруппы без кручения. Изучение групп из класса М обусловлено в первую очередь тем фактом, что произвольное кольцо на редуцированной группе О из класса М может быть вложено в качестве подкольца в некоторое кольцо с урегулированной копериодической аддитивной группой [3], все умножения на которой хорошо описываются.
В данной работе для каждой абелевой группы О определяется некоторая ее сервантная, вполне характеристическая подгруппа О * и доказывается, что если О е М, то имеют место включения:
П рО* с N*(О) с Я*(О) с П рО.
р р
Единого описания абсолютных радикалов для всех таких групп нет. Построенные примеры показывают, что указанные включения нельзя заменить равенством ни на каком месте. Если любую пару из указанных включений заменить равенствами, то в М найдется группа, удовлетворяющая полученным условиям. Так, можно показать, что существуют группы О, для
которых N (О) = Я (О) = П РО *ф П РО (этот факт и теоремы 1 и 2 приводятся без
Р Р
доказательств). С другой стороны, в [2] показано, что для урегулированной копериодической группы О, которая, как известно, принадлежит М, верны равенства N (О) = П ро и
р
Я (О) = П рО. Естественно возникает вопрос: для каких групп О е М абсолютные
р
радикалы максимальны, т. е. N (О) = Я (О) = П рО . В теореме 3 дается достаточное
Р
условие для выполнения указанных равенств.
В статье рассматриваются только абелевы группы и слово группа всюду в дальнейшем означает абелева группа. За всеми определениями и обозначениями, если не оговорено противное, мы отсылаем к [1, 3].
Теорема 1. Пусть группа О имеет делимую факторгруппу по периодической части.
Тогда Я (О) с ПрО. п
р
Далее будем использовать следующее определение из [5].
Определение. Пусть d - действительное число, О - группа. Мы говорим, что элемент g из О удовлетворяет условию (*) для d и простого числа р, если существует неубывающая неограниченная функция (н.н.ф.) /: Nо ^ N0 такая, что
(V/ е Nо) П р (р^) > d(/ + /(/)).
Далее везде d обозначает некоторое действительное число. Для произвольной группы О и для каждого натурального числа п > 2 определим подмножество Оп группы О следующим образом:
Оп = ^ е О| (Эк е Z \ {0}) kg удовлетворяет условию (*) для п / п -1 и для любогор}. Рассмотрим теперь подмножество
О* = ^ е О (Эк е 2 \{0}) (3d > 1) kg удовлетворяет условию (*) для d и для
любого р} .
Теорема 2. Пусть О е М . Тогда
(1) подмножества Оп (п = 2, 3,...) и О являются сервантными вполне характеристическими подгруппами группы О;
*
(2) факторгруппа О / О является делимой группой без кручения;
(3) подгруппа П рО является ниль-идеалом в любом ассоциативном кольце на группе
Р
О (и, следовательно, П рО с N*(О) с Я *(в)). □
р
В следующей теореме дается достаточное условие для того, чтобы абсолютный радикал Джекобсона и абсолютный ниль-радикал группы О из класса М совпадал с подгруппой Фраттини группы О . Для доказательства этой теоремы дадим следующее определение:
Определение. Пусть О - группа, g е О, d - действительное число. Будем говорить, что элемент g удовлетворяет условию (**) для d и простого числа р, если существует такое число пр е N и такая неубывающая неограниченная функция /р : N0 ^ N0, что (V/ > пр)
^ р (р^) > d(/ + /р (/)).
*
Теорема 3. Пусть О - такая группа из класса М, что факторгруппа О / О имеет конечный ранг. Тогда подгруппа П рО является ниль-идеалом в любом ассоциативном кольце
р
на группе О и
N*(О) = Я*(О) = ПрО.
р
Доказательство. Рассмотрим сначала группу О, первая ульмовская подгруппа которой нулевая. Пусть Вр базисная подгруппа группы Тр(О), тогда сервантно инъективная оболочка группы О изоморфна 2-одическому пополнению группы В = © Вр, поэтому группу О будем
рассматривать как сервантную подгруппу группы А = ® Лр, где Ap - p-одическое пополнение
Р
группы ВР. Для произвольного элемента a е Л через np(a) будем обозначать проекцию а в группу ЛР.
Определим следующие подгруппы групп Л и G : Л = ПТр(Л), G = Л n G,
P
G = (Л + Л ) n G. Нетрудно видеть, что G - сервантная вполне характеристическая подгруппа группы G .
Можно показать, что G = {g е G| (3d > l) (Эк е Z \{0}) kg удовлетворяет условию (**) для d и любого простого числа p}.
**
Тогда легко видеть, что G — сервантная вполне характеристическая подгруппа группы * * ** *
G, содержащая Т(G) и G . Так как G / G и G / G являются делимыми группами без
*
кручения, и по условию G / G имеет конечный ранг, то факторгруппа G / G = (G / G1) /(G / G1 ) является делимой группой без кручения конечного ранга.
Пусть X - ассоциативное умножение на G, оно продолжается единственным образом до ассоциативного умножения на Л ([1]). Так как G — вполне характеристическая подгруппа группы G, то такой же является и подгруппа П pG, следовательно, П pG — идеал кольца
р р (G,x) . Покажем, что П pG является ниль-идеалом. Пусть g е П pG . Если некоторая степень
рр gk = gX ...X g (к сомножителей) принадлежит Т(G), то gk е П pT(G) и, следовательно,
P
g — нильпотентный элемент кольца (G,x) .
Допустим, никакая степень g не содержится в Т(G). Тогда можно показать, что элементы
g + G , g + G ,..., g + G линейно независимы при любом натуральном m, что
*
противоречит конечности ранга группы G / G . Следовательно, элемент g нильпотентен в кольце (G,x) , т. е. n pG является ниль-идеалом этого кольца.
р
Рассмотрим теперь подгруппу П pG . Она является идеалом кольца (G,x) , так как
P
**
G — сервантная вполне характеристическая подгруппа группы G. Любой элемент g из ** * ~ * * n pG можно представить в виде: g = g + g , где ~ е Л, g е Л . Из доказательства
P
теоремы 3 следует, что существует такое натуральное число n, что (g )п е Т(Л). Так как
Л — идеал кольца (Л,х) , то gn е ЛП G = G . Но gn е П pG , следовательно, элемент g n
P
содержится в подгруппе n pg ■ которая является ниль-идеалом, поэтому для некоторого
р
m е Ж g = 0 . Таким образом, подгруппа n pG является ниль-идеалом кольца (G,x) .
р
Покажем, что идеал П рО кольца (О,х) является ниль-идеалом. Так как О - вполне
р
**
характеристическая подгруппа группы О, то определено факторкольцо (О / О ,х),
аддитивная группа которого является делимой группой без кручения конечного ранга. В силу основной теоремы Веддерберна о сепарабельных конечномерных алгебрах ([3], с.344)
** ** существует разложение О / О = £ © К векторного пространства О / О в прямую сумму пространств. Здесь £ - полупростая подалгебра в алгебре (О / О ,х), К - радикал алгебры
(О / О ** ,х), обязательно нильпотентный.
Покажем, что £ = {0}. Допустим противное, тогда в подалгебре £, а значит, и в алгебре ** **
(О / О ,х) существует ненулевой идемпотентный элемент g + О , т. е. элемент g не
**
принадлежит группе О и:
~ *
gх g = g+g+g , (1)
* * * * где g е А, g е А . Для элемента g е А выполняется следующее условие:
^ > 1) (Эк е 2 \ {0}) ^р) (Э /р : N0 ^ N0- н.н.ф.) (V/ е N0)
*
Й р (р к? ) > d( / + /р ( /)). (2)
**
Так как kg £ О , то существует такое простое число р , что
(V / е N0) )Э / > п) Й р (р1 kg) > d( / + /р ( /)), (3)
Зафиксируем это р . Из (1) следует, что:
*
Пр (к? х g) = Пр (к?) + Пр к) + Пр (к? ).
Так как ~ е А , то существует такое натуральное число п0, что рп Пр (к~) = 0, поэтому для всех / > п0 выполняется
Пр(р1 ^ х g) = Пр(р1 ^) +Пр(р1 ^ *).
Из делимости группы О / Т(О) следует, что существует натуральное число п такое, что для
всех / > ^ Й р (р1 g) > / + 1, т. е. для всех / > ^ существуют такие элементы ? / е О, что
р^ = рг+1 ?/.
Пусть п = тах{п0, п}. Тогда из условий (2) и (3) получаем, что существует такое натуральное число /0 > п , что
Й р (р10 ^ ^ d (/0 + /р (/0)) < й р (р/0 к? Ч
Следовательно, Й р (р1 0 kg) = Й р (pkg) . С другой стороны:
Й р (р/0 ^ 0 g) = Й р (кр10 +1 g/о 0 g) = Й р (р?/0 0 рг 0 а?) > 1 + Й р (рг 0 ^)
Но из (3) следует, что элемент Пр (g) имеет бесконечный порядок, поэтому
й р (р/0 к?) е N и 1 + й р (р/0 а?) > й р (р/0 а?).
Таким образом:
Йр(р/0а?0g) >Йр(р/0а?0g):
что является противоречием. Следовательно, S = {0} и (G / G ,х) — нильпотентная алгебра.
Значит, для любого элемента g из П pG существует такое натуральное число n, что:
p
gn е G* П (П pg )=П pg , но так как П pg — ниль-идеал кольца (G,x), то
P P P
существует такое m е N, что gnm = 0 . Следовательно, П pG является ниль-идеалом кольца
p
(G,x) . Можно показать, что это выполняется и в случае, если G1 Ф {0} .
Таким образом, П pG с N *(G) с R * (G) и в силу теоремы 1
р
N (G) = R (G) = П pG . Теорема 3 доказана.
р
В заключение отметим, что в классе M можно привести пример групп Gj, G2, для которых:
П pG * Ф N * (G ,) с R *(Gj) Ф П pGi (' = 1.2)
P P
и при этом: N (Gj) = R (Gj), а N (G2 ) Ф R (G2 ).
ЛИТЕРАТУРА
1. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. - М.: Мир, 1972, 1974.
2. Компанцева Е. И. Об абсолютных радикалах абелевых групп // Вестник МГУ, серия 1.
Математика. Механика, 1984, № 1.
3. Джекобсон Н. Строение колец. М.: ИЛ, 1961.
4. Toubassi E. H., Lawver D. A. Height-slope and splitting length of abelian groups. Publs. Math.,
20(1973), p. 63.
NIL-IDEALS OF RINGS WITH A MIXED ADDITIVE GROUP Kompantseva E.I.
For an abelian group having a divisible factor-group by a periodic part, its absolute Jacobson radical and absolute nil radical are investigated.
Сведения об авторе
Компанцева Екатерина Игоревна, окончила МИГУ (1988), кандидат физикоматематических наук, доцент кафедры алгебры МИГУ, автор 25 научных работ, область научных интересов - алгебра, теория абелевых групп.
