CC BY
32
2005
НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Математика и физика
№91(9)
УДК 621.396
АБСОЛЮТНЫЕ НИЛЬ-ИДЕАЛЫ АБЕЛЕВОЙ ГРУППЫ
Е.И. КОМПАНЦЕВА
Статья представлена доктором физико-математических наук, профессором Козловым А.И.
Изучаются подгруппы абелевой группы в, являющиеся ниль- идеалами в любом кольце, аддитивная группа которого равна в.
Кольцом на абелевой группе О называется кольцо, аддитивная группа которого равна О. В [1, проблема 94] поставлена проблема изучения подгрупп, абелевой группы, являющихся ниль-идеалами в любом кольце на ней. Такие подгруппы называются абсолютными ниль-идеалами абелевой группы. В [2] показывается, что если абелева группа содержит ненулевую
делимую подгруппу без кручения, то ее наибольший ниль-идеал равен РрТ(О), где Т(О)-
Р
периодическая часть группы О. В настоящей работе для произвольной абелевой группы определяется ряд ее сервантных вполне характеристических подгрупп ОпП (пе N и О, и изучается поведение этих подгрупп в кольцах на группе О. В частности, показывается, что если группа О не содержит ненулевой делимой подгруппы без кручения, то подгруппы РрОп
р
(пеN и РрО* являются ниль-идеалами в любом кольце на О. Кроме того, доказано, что для
р
любой такой группы О ее первая ульмовская подгруппа О1 в любом кольце на О является нильпотентным идеалом, степень нильпотентности которого не более трех.
В статье рассматриваются только абелевы группы, и слово группа всюду в дальнейшем означает абелева группа. За всеми определениями и обозначениями, если не оговорено противное, мы отсылаем к [1].
Определение. Пусть Р - некоторое множество простых чисел. Группу О будем называть Р - делимой, если онар - делима для всех р е Р. Подгруппу А группы О назовем Р-сервантной, если она является р-сервантной для каждого р е Р.
Для произвольной группы О обозначим Л(О) = {р|Тр (О) * 0},
= {£ е в | (Ур е Л(О)) Ир ^) =
О = О / О1, ОЛ = О / ОЛ.
Пусть М - класс всех редуцированных групп, имеющих делимую факторгруппу по периодической части; Ь - класс всех редуцированных групп О, имеющих Л(О) - делимую факторгруппу по периодической части; К - класс всех групп О, обладающих следующим свойством: любое умножение на периодической части группы О продолжается, притом однозначно, до умножения на всей группе О.
Очевидно, М еЬ. В [4] показано, что К еЬ.
В дальнейшем существенно используется следующее определение и теорема из [3]. Определение ([3]). Пусть й - действительное число, О - группа. Мы говорим, что элемент gе О удовлетворяет условию (*) для й и простого числа р, если существует неубывающая неограниченная функция (ННФ) /:М0^М0 такая, что
(у е No) Ир(р^) > ё(г + /(/)).
Теорема [3]. Пусть GеL. $ - максимальное линейно независимое множество элементов бесконечного порядка из G. Тогда следующие условия эквивалентны:
п
1) группа 0 о расщепляется;
2) для любого gе $ существует целое число к такое, что к ^ 0 и kg удовлетворяет
п
условию (*) для------ и любого ре Л^).
п -1
Далее везде, если не оговорено противное, й обозначает некоторое действительное
число.
Пусть G - группа. Для каждого натурального п>2 определим подмножества О|п) и О(п) группы G следующим образом:
п
О(П = {я е О | (3* е I \ {0}) kg удовлетворяет условию (*) для ----- и любогор еЛ^)},
п
О(п) = {я е О | (3* е I \ {0}) kg удовлетворяет условию (*) для--- и любого простогор}.
п-1 п п -1
Нетрудно видеть, что в произвольной группе G подмножества ОЛп) и О(п) (п=2, 3,...) являются подгруппами. Очевидно, эти подгруппы образуют возрастающие цепочки:
О(2) е О(3) е е О(п) е
'“'Л := '“'л := ••• := '“'Л ;=•••>
О(2) е О(3) е ... е О(п) е ...,
Определим теперь подмножества О*А и О * группы G:
О,; = (я е О (3* е I \{0|)(3ё > 1) kg удовлетворяет условию (*) для й и любого ре Л^)},
О'* = (я е О (3* е I \{0})(3ё
> 1) kg удовлетворяет условию (*) для й и любого
простого р}.
ад ад
Легко видеть, что О*А = 0 О|п) , О * = 0 О(п), О * е О*А, и подмножества О*А , О * являются
п=2 п=2
подгруппами группы G.
Укажем некоторые свойства подмножеств О|п), О(п) (п =2, 3, ...), о; , о *.
Теорема 1. Пусть G - группа. Тогда
1) подмножества О*, О(п) (п =2, 3,...), О*, О * являются сервантными вполне
характеристическими подгруппами группы G. Каждая из этих подгрупп содержит Т^) и максимальную делимую подгруппу группы G;
2) факторгруппы О / О|и), О / О(п) (п =2, 3,.), О / ОЛ*, О / О * - группы без кручения;
3) если G - группа без кручения, то подгруппы G(n) (п =2, 3,.) и G совпадают с максимально делимой подгруппой группы G.
4) если О = А Ф В, то О * = А* Ф В * и для любого натурального п>2 О(п) = А(п) Ф В(п).
Доказательство. Условия 1) и 2) доказываются непосредственной проверкой. Покажем, что выполняется условие 3). Пусть G - группа без кручения и Б - ее максимально делимая подгруппа. Пусть я е О *, т.е. kg удовлетворяет условию (*) для некоторого действительного числа й>1 и для любого простого числа р. Тогда Ир (*§■) = Ир (ргкя) -г > (ё -1)/ для любого р и для любого г е N 0, откуда Ир (*§■) = ад для всех р, т.е. я е .О . Следовательно, О(п) е О * е -О (п
=2, 3, ...). Легко видеть, что при всех натуральных п>2 подгруппа Б содержится в G(n\ значит G(n)= G*= Б.
Докажем условие 4). Пусть О = А Ф В . Нетрудно видеть, что элемент а еА удовлетворяет условию (*) для некоторого действительного числа й>1 и простого числа р тогда и только тогда, когда а удовлетворяет условию (*) для этих же чисел й ир в группе А. Поэтому
О * р А =А* О(п) р А =А(п) и для любого натурального п > 2 . Так как G и О(п) (п=2, 3, ...) -
вполне характеристические подгруппы группы G, то О * = (О * р А) Ф (О * р В) = А * Ф В *,
О(п) = (О(п)р А) Ф (О(п)рВ) = А(п) Ф В(п) [1, лемма 9.3]. Теорема доказана.
Пример 1. Подгруппа G группы G в общем случае может быть гораздо шире, чем подгруппа Т(б). Рассмотрим группу G, которая является р-адическим пополнением группы В = Ф < ек > , где о(ек) = рк, и докажем, что факторгруппа б /Т(б) имеет несчетный ранг. В
kеN
[4] показано, что в группе б для любого целого п>2 существует элемент g бесконечного порядка такой, что при некотором целом шфО элемент mg удовлетворяет условию (*) для р и
п и при любом целом А^0 элемент кg не удовлетворяет условию (*) для р и п 1
п -1 п - 2
п
Следовательно, по сформулированной выше теореме из [3] подгруппа 0 О * не расщепляется
ни при каком п>1. Так как б является урегулированной копериодической группой, то О * е К (см. теорему 2). По теореме 1 в [4] для смешанной группы А из класса К не более чем счетного
3 *
ранга без кручения группа 0 А расщепляется. Следовательно, ранг факторгруппы б /Т(б) более чем счетный.
Теорема 2. Пусть б - редуцированная копериодическая группа, О = А Ф С, где А -редуцированная алгебраическая компактная группа без кручения, С - урегулированная копериодическая группа. Тогда
1) б =С , и для любого натурального п>1 истинно равенство б(п*= С(п ,
2) подгруппы С, б*, б(п) (п= 2, 3, ... ) принадлежат классам М и К.
Доказательство. 1) по теореме 1 О * = А* Ф С * = С *, О(п) = А( п) Ф С(п) = С(п) (п= 2, 3, ...);
2) группа С/ Т(б) делима [1, лемма 55.1] . Так как подгруппы б и б(п (п= 2, 3, ...) сервантны в С, то б /Т(б) и б(п/Т(б) сервантны в С/ Т(С) [1, лемма 26.1], и, следовательно, эти факторгруппы делимы, т.е. подгруппы С, б , б(п содержатся в М.
Т.к. С = Ех^<2/1, Т(О)), то С е К по теореме 119.5 в [1]. Пусть и - умножение на Т(б)=Т(б*), тогда и может быть продолжено до умножения и на С. Так как б = С - вполне характеристическая подгруппа группы С, то умножение и на С индуцирует умножение на б . Так как О * е М, то по лемме 119.2 в [1] продолжение умножения и на Т(б ) до умножения на б единственно. Следовательно, О * е К . Аналогично, О(п) е К (п= 2, 3, ...).
Лемма 1. Пусть смешанная группа б не содержит ненулевой Л(б)-делимой подгруппы без кручения и факторгруппа б/Т(б) является Л(б)-делимой (в частности, если б -редуцированная группа, то О е Ь ). Тогда в любом кольце на б подгруппы р рОЛп) (п= 2, 3,
реЛ (О)
... ) и ррО*А являются ниль-идеалами (т.е. для любого элемента g из соответствующего
реЛ (О)
идеала существует такое т е N, что ят = 0 при любой расстановке скобок).
Доказательство. Пусть и- произвольное умножение на б и п>2. В силу теоремы 1 факторгруппа О|п) /Т(О) является Л(б)-делимой, и (О|п), и) - идеал кольца (б, и). Поэтому без потери общности будем считать, что О = О|п) и докажем, что р рО - ниль-идеал кольца
реЛ (О)
^ и).
Запишем группу б в виде О = О1 Ф О, где б1 - редуцированная группа, Б-делимая периодическая группа. Тогда, так как О1 0 О и О 0 О - делимые периодические группы [1,
п п
§59.], то 0 О = (0 О1) Ф О1, где Б1 - делимая периодическая группа. Так как по
п
сформулированной выше теореме из [3] группа 0 О1 расщепляется, то расщепляется и группа
п п п п
0О, и факторгруппа (0О)/Т(0О), изоморфная группе 0[О)/Т(О)] [1,теорема 61.5], является Л(б) -делимой группой.
Пусть я е р рО. Обозначим через §п - ую степень элемента g в кольце (б,и) с
реЛ (О)
§
некоторой фиксированной расстановкой скобок; через 0 О - тензорное произведение п
§ п п
экземпляров группы б с той же расстановкой скобок. Так как 0 О = 0 О [1], то 0 О
пп пп
расщепляется, и фактор-группа (0О)/Т(0О) является Л(б)-делимой. Но из условия леммы следует, что максимальная Л(б)-делимая подгруппа группы б является периодической, поэтому §п е Т(О). Следовательно, при любой расстановке скобок. Так как между п сомножителями скобки могут быть яп е Т(О) расставлены лишь конечным числом способов и так как я е ррО, то существует такое натуральное число k, что яп+к = 0 при любой
реЛ(О)
расстановке скобок.
Таким образом, для каждого натурального п>2 подгруппа р рО|п) является ниль-
реЛ (О)
ад
идеалом в любом кольце на б. Следовательно, и подгруппа р р°1 = и( р р°1п)) - ниль-
реЛ(О) п=2 реЛ (О)
идеал в любом кольце на б.
Следствие 4. Если группа б имеет делимую фактогруппу по периодической части и не содержит ненулевой делимой подгруппы без кручения (в частности, если бе М), то подгруппа рр°*А является ниль-идеалом в любом кольце на б.
р
Следующий пример показывает, что условие: группа б не содержит ненулевой Л(б)-делимой подгруппы без кручения, в лемме 1 существенно.
Пример 2. Пусть ж, t - различные простые числа и О = Js Ф Т, где Т - ¿-группа (Js -группа целых ж-адических чисел). Тогда Л(б)=Щ, максимальная Л(б)-делимая подгруппа без кручения группы б равна Js, и ОА = О. Определим ассоциативное и коммутативное умножение и на б следующим образом. Умножение и превращает группу Js в кольцо, изоморфное кольцу О* целых ж-адических чисел, и /и( Js 0 Т) = /и(Т 0 Js) = /и(Т 0 Т) = 0 . Ясно, что подгруппа р р°*А е ррО = sJs Ф ^ не является ниль-идеалом кольца (б, и), так
реЛ (О) реЛ (О)
как в этом кольце ни один элемент из идеала ( Js, и) не является нильпотентным.
Лемма 2. Пусть б - копериодическая группа, не содержащая ненулевой делимой подгруппы без кручения, б=А Ф Е, где А - редуцированная алгебраическая компактная группа без кручения, Е - прямая сумма урегулированной копериодической и делимой периодической групп. Тогда Е - вполне характеристическая подгруппа группы б.
Доказательство. Так как Т(б) - вполне характеристическая подгруппа группы б, то каждый эндоморфизм группы б естественным образом индуцирует эндоморфизм группы
б/Т(б). Нетрудно видеть, что Т(б)=Т(Е) и Е/Т(б) - максимальная делимая подгруппа группы б /Т(б) = А Ф Е /Т(б). Поэтому Е/Т(б) - вполне характеристическая подгруппа группы б/Т(б), откуда следует, что Е - является вполне характеристической подгруппой группы б.
Теорема 3. Пусть б - группа, не содержащая ненулевой делимой подгруппы без кручения. Тогда
1) подгруппа ^ рО * является ниль-идеалом в любом кольце на б.
р
2) в любом кольце на группе б подгруппа б1 является нильпотентным идеалом, индекс нильпотентности которого не больше трех. Если б - редуцированная группа, то в любом кольце на б индекс нильпотентности идеала б1 не больше двух.
Доказательство. Пусть х - произвольное умножение на б. Так как подгруппы ^ рО * и
р
б1 являются вполне характеристическими, то они являются идеалами в кольце (б, х). Покажем, что это соответственно ниль-идеал и нильпотентный идеал.
Пусть сначала б - копериодическая группа, не содержащая ненулевой делимой подгруппы без кручения. Тогда б=А Ф Е, где Е=СФ Б, А - редуцированная алгебраически компактная группа, С - урегулированная копериодическая группа, Б - делимая периодическая группа. Очевидно, факторгруппа Е/Т(Е) делима, и по лемме 5 подгруппа Е является идеалом кольца (б, х ). Из теоремы 1 следует, что б =А Ф Е =Е . Поэтому подгруппа ^ рО * е ^ рЕ *
р р
является ниль-идеалом в кольце (Е, х ) (следствие 4), а значит, и в кольце (О, х ).
Покажем, что б1 - нильпотентный идеал кольца (б, х ). Пусть gе б1, тогда g х
Е=\М х с\се Е} - делимая подгруппа группы О. Следовательно, б1 х б1 еБ. Если б -
редуцированная группа, то б1 х б1 = 0. Если группа б не является редуцированной, то легко видеть, что б1 хБ=Бх б1=0. Следовательно, (Vg1 g2,g3 е О1) ^ х (g2 х g3) = (^ х g2) х g3 = 0
Итак, теорема доказана для коопериодической группы б. Пусть б - произвольная, не
содержащая ненулевой делимой подгруппы без кручения, тогда б= б1 Ф Б, где б1 -
редуцированная, Б - делимая периодическая группа. Рассмотрим копериодическую оболочку Е= Ext(Q/Z, б1) Ф Б группы б. Очевидно, Е также не содержит ненулевой делимой подгруппы без кручения, и если группа б редуцированная, то такой же является группа Е. Умножение х на б продолжается до умножения на Е. Так как имеют место включения ^ рО * е ^ рЕ * и
р р
б1 е Е1, и по доказанному выше идеалы ^ рЕ * и
Е1
являются в кольце (Е, х) соответственно
р
ниль-идеалом ^ рО(п) и нильпотентным идеалом, то такими же (соответственно) будут и
р
идеалы ^ рО * и б1 в кольце (б, х), причем индекс нильпотентности идеала б1 в кольце (б,
р
х ) не превосходит индекса нильпотентности идеала Е1 в кольце (Е, х ). В силу произвольности умножения х на б теорема доказана.
Следствие 7. Пусть группа б не содержит ненулевой делимой подгруппы без кручения, тогда для любого натурального п>2 подгруппа ^ рО(п) является ниль-идеалом в любом кольце
р
на б.
Замечание
1) Теорема 3 неверна для групп, содержащих ненулевую делимую подгруппу без кручения. Для таких групп б наибольшая подгруппа, являющаяся ниль- идеалом в любом
кольце на G, совпадает с подгруппой Q pT(G) , которая может быть значительно меньше, чем
p
Q pG* (см. пример 1)
p
2) Из примера 2 видно, что в утверждении 1) теоремы 3 подгруппу Q pG * нельзя
p
заменить подгруппой Q pG*A .
peh (G)
ЛИТЕРАТУРА
1. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. - М.: Мир, т.1-1972, т.2-1974.
2. Компанцева Е.И. Об абсолютных радикалах абелевых групп // Вестник МГУ, серия 1, Математика. Механика. 1994, №1
3. Tonbassi E.H., Lawver D.A. Height-slope and splitting length of abelian groups. Publs. Math., 20,
1973.
4. Москаленко А.И. О длине расщепления абелевой группы. - Математические заметки, 1978, 34, №6
ABSOLUTE NIL-IDEASL OF AN ABELIAN GROUP
Kompantseva E.I.
The subgroups of abelian group G, that are nil-ideals in any ring whose additive group is equal to G, are studied.
Сведения об авторе
Компанцева Екатерина Игоревна, окончила М111У (1988), кандидат физикоматематических наук, доцент кафедры алгебры МИГУ, автор 25 научных работ, область научных интересов - алгебра, теория абелевых групп.
