Кольца на смешанных абелевых группах ранга без кручения 1 Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2012. Вып. 2. С. 64-71 = Математика

УДК 512.541

Кольца на смешанных абелевых группах ранга без кручения 1

Е. И. Компанцева

Аннотация. Кольцом на абелевой группе О называется любое кольцо, аддитивная группа которого изоморфна О. Под абсолютным радикалом Джекобсона (абсолютным ниль-радикалом) абелевой группы О понимается пересечение J *(О) (Ж *(О)) радикалов

Джекобсона (верхних ниль-радикалов) всех ассоциативных колец на О. В работе описаны абсолютные радикалы Джекобсона и абсолютные ниль-радикалы смешанных абелевых групп ранга без кручения 1.

Ключевые слова: кольцо на группе, смешанная абелева группа ранга без кручения 1, радикал кольца, абсолютный радикал абелевой группы.

Введение

Умножением на абелевой группе называется любой гомоморфизм у : О ® О ^ О. Абелева группа О с заданным на ней умножением у называется кольцом на группе О, это кольцо обозначим (О, у). Под абсолютным радикалом Джекобсона (абсолютным ниль-радикалом) абелевой группы О понимается пересечение J*(О) (Ж*(О)) радикалов Джекобсона J (О, у) (верхних ниль-радикалов N (О, у)) всех ассоциативных колец (О, у) на О. В [1] сформулирована проблема описания абсолютных радикалов абелевой группы [проблема 94]. Там же доказано, что если О — периодическая абелева группа, то N*(О) = Я* (О) = П рО. В [4] изучаются

р

абсолютные радикалы абелевых групп без кручения, при этом проблема описания абсолютных радикалов сводится к случаю редуцированных абелевых групп. В работе описаны абсолютные радикалы смешанных абелевых групп ранга без кручения 1.

В работе рассматриваются только абелевы группы и ассоциативные кольца и слова «группа», «кольцо» и «умножение» в дальнейшем соответственно означают «абелева группа», «ассоциативное кольцо» и «ассоциативное умножение».

Через N, Z, No обозначаются множества натуральных, целых и целых неотрицательных чисел соответственно. Для элемента g группы G через hp(g) и h*(g) будем обозначать р-высоты и обобщенную р-высоту элемента g. Если g — элемент бесконечного порядка, то t(g) — его тип. Если G

— группа без кручения ранга 1, то она с точностью до изоморфизма определяется своим типом t(G) [1]. Для произвольной группы G будем использовать следующие обозначения: T(G) — периодическая часть группы G, Tp(G) — р-примарная компонента группы G, Л^) = {р — простое | Tp(G) = 0}, G1 — первая ульмовская подгруппа группы G, G^ = {g £ G | (Ур £ Л(G)) hp(g) = ю}, СА = G/G\.

Пусть S — произвольное множество простых чисел. Группа G называется S-делимой, если она p-делима для всех р £ S; подгруппа A группы G называется S-сервантной, если она р-сервантна для всех р £ S. Обозначим через L класс редуцированных групп, имеющих Л^)-делимую факторгруппу G/T(G).

За всеми определениями и обозначениями, если не оговорено противное, мы отсылаем к [1].

1. Основной результат

Лемма 1. Пусть G £ L, Е — копериодическая оболочка группы G, B — базисная подгруппа группы T(G). Тогда:

1) группа Ga изоморфна некоторой Л^)-сервантной подгруппе группы Ел;

2) группа Ел изоморфна Z-адическому пополнению группы B.

Доказательство. 1. Так как G сервантна в Е [1], то факторгруппа (G + ЕЛ)/Е\, изоморфная группе Gл, является Л^)-сервантной в Ел.

2. Е = A ® C, где A ^ ЕхЩ/Ж^^(G)), C ^ ЕхЩ/Ж^(G)) — урегулированная копериодическая группа. Следовательно, A является Л^)-делимой группой, а C — р-делимой для всех р £ Л(С) [1, §52]. Поэтому ЕЛ = A ® C1, и группа Ел = Е/(A ® C1) изоморфна группе C/C1, которая изоморфна Z-адическому пополнению группы B.

Замечание 1. Пусть G £ L (в частности, группа G может быть периодической). Для каждого р £ Л(G) базисную подгруппу группы Tp(G) будем записывать в виде Bp = 0 (е^); B = 0 Bp — базисная

aE.Jp pEЛ(G)

подгруппа группы T(G); B = Bp — Z-адическое пополнение группы B.

p _______________

В силу леммы 1 везде в дальнейшем группу Gл будем отождествлять с Л^)-сервантной подгруппой группы B. Группа B в свою очередь везде далее рассматривается как сервантная подгруппа группы V = П П (ea"),

pEЛ(G) aEJp

то есть элемент a £ V записывается в виде a = (ka,pе^^^л^), aEJp, где

ka,p £ Z.

Лемма 2. Пусть О € Ь. Тогда для любого элемента д € О\( Р| рО)

реЛ(С)

существует ассоциативное и коммутативное умножение у : О 0 О —

— Т(О) такое, что д не принадлежит Я(О,у).

Доказательство. Группу Ол рассматриваем как Л(О)-сервантную

подгруппу группы V = П П (е0р)) (см. замечание). Пусть д €

рЕЛ(О) а£1р

€ О\( П рО) и д = д + ОЛ = (ка,ре(р))р^л(о),а^1р € О Л. Тогда существуют

рЕЛ(С)

р0 € Л(О) и а0 € 1Р0 такие, что р0 не делит као,р0. Определим гомоморфизм П : V 0 V — Т (О), положив п(в 0 т) = вО0Р0 та0,Р0 ва0 для любых элементов

8 = (За,ресрР)р£Л(0),а£1р и т = (та,ресР^)р£Л(С),а€1р из V.

Пусть ф : О — Ол — естественный эпиморфизм. Тогда отображение у = П\сА0ОА(ф ® ф) : О 0 О — Т(О) является ассоциативным и

коммутативным умножением на О, причем подгруппа (вО0) — идеал кольца (О, у) с единичным элементом вод .

Допустим, д € J(О, у). Тогда у(д 0 вО^) = ка0,р0вО0о) € J(О, у) и значит, вО0 € J(О, у), так как р0 не делит каоРо. Следовательно, (вО^) = J(О, у) П П (вО0) = J((вао^), у), что противоречит тому, что в^ — единичный элемент кольца ((вО0),у). Значит, д € J(О, у).

Лемма 3. Пусть О — редуцированная смешанная группа ранга без кручения 1. Пусть группа О расщепляется. Тогда для любого элемента д € € О\( рО) существует ассоциативное и коммутативное умножение

рЕЛ(С)

у : О 0 О — Т(О), при котором д не принадлежит J(О, у).

Доказательство. Так как группа О расщепляется, то О = А ® Т, где А — редуцированная группа без кручения ранга 1; Т = Т(О). Если В =

= 0 0 (ва )) — базисная подгруппа группы Т и V = П П (ва )), то

р£Л(С) аЕ1р рЕЛ(О) аЕ1р

существует гомоморфзия ф : Т — V, сохраняющий высоты элементов.

Пусть д = а + г € П рО (а € А, г € Т) и ф(г) = (кО)вО>))рел(о),ае1р •

рЕЛ(С)

Тогда существует р0 € Л(О), не делящее элемент д.

Случай 1. Элемент г € Т не делится на ро. Тогда существует такой индекс а0 € 1р0, что р0 не делит кО0. Определим теперь гомоморфизм ф\ : (А ф V) 0 (А ф V) — Т, положив ф\(А 0 V) = 0 А) = ф\(А 0 А) = 0

и фх(в 0 т) = вО0т^в^ для любых элементов в = (вО)вО^ОвЛ^)^^ и

т = (тОваpP)аeЛ(G),аeI из V. Это отображение индуцирует ассоциативное и коммутативное умножение у\ = Ф\[1а ф ф 0 (1а Ф ф)] : О 0 О —— Т.

Предположим, что д € 1 (О,у\), тогда у\(д 0 вОО) = кООвОО € 1 (О,у{) и, значит, вОО € 1 (О,у\), так как р0 не делит кОО).

(р)

Случай 2. Элемент г делится на р0. Тогда р0 не делит а, и р0 делит кО при любом а € 1Р0. Зафиксируем индекс а0 € 1Р0 и определим гомоморфизм

ф2 : (А ф V) 0 (А ф V) — Т, положив ф2(в 0 т) = вООО^тО^вО0, ф2(а 0 а) = вО00), ф2(а 0 в) = ф2(в 0 а) = вО^вО0 для произвольных элементов

в = (вОр)в(ср))рел(о),ав1р и т = (тОвОр))реЛ(0),ае1р из V. Эти соотношения полностью определяют действие ф2 на подгруппах А 0 А, А 0 V, V 0 А. Определим теперь ассоциативное и коммутативное умножение у2 на О следующим образом: у2 = Ф2[(1а ф ф) 0 (1а ф ф)] : О 0 О — Т.

Предположим, что д € 1 (О, у2), тогда у2(д 0 ва°) = у2(а 0 вао^) + у2(г 0 ва°) = (1 + kаp00))ваp00) € 1 (О,у2) и, значит, ва° € 1 (О, у2), так как р0 не делит 1 + кО0.

В каждом случае из предположения, что элемент д принадлежит радикалу Джекобсона построенного кольца, следует, что при некотором а0 € 1Р0 подгруппа (вО0) является идеалом соответствующего кольца, содержащимся в его радикале. Отсюда имеем вО0 € (вО0) = 1 (О,у\) П П (вО0) = 1 ((вО^),у1) или аналогично, вО0 € 1 ((вО^),у2). Это противоречит тому, что вО0 — единичный элемент идеала (ва°).

Далее умножение у на группе О часто будем обозначать знаком х, то есть у(д\ 0 д2) = д\ х д2 для д\,д2 € О.

Теорема 1. Пусть О — смешанная редуцированная группа ранга без кручения 1. Пусть группа О расщепляется. Тогда:

1) если г(О/Т(О)) — неидемпотентный тип, то Ы*(О) = 1 *(О) =

= П рО,

рЕА(0)

2) если г(О/Т(О)) — идемпотентный тип, то N*(О) = ПрТ(О),

1*(О) = П рО.

р

Доказательство. Пусть О = А ф Т, где А — редуцированная группа без кручения ранга 1, Т = Т(О). Если г(А) — неидемпотентный тип, то при любом умножении у на О факторкольцо О/Т(О) является кольцом с пулевым умножением, то есть у(О 0 О) С Т. Следовательно, подгруппа рО является ниль-идеалом в любом кольце на О и, значит, содержится

рЕЛ(0)

в N*(О). Так как по лемме 3 имеем 1 *(О) С П рО, то N*(О) = 1 *(О) =

р£Л(0)

= П рО.

реЛ(О)

Пусть Ь(Л) — идемпотентный тип. Тогда, так как N*(А) = 0, 3*(А) = = Р| рА и абсолютные радикалы прямой суммы содержатся в прямой сумме р

радикалов [4], то N *(О) С N * (А) © N *(Т) = П рТ, 3 *(О) С 3 *(А) ® 3 *(Т) =

р

= Р| рО. Так как подгруппа Р| рТ является ниль-идеалом в любом кольце на р р О, то N*(О) = П рТ.

р

Покажем, что П рО С 3*(О). Пусть х — произвольное умножение на О.

р

Тогда определено факторкольцо (О/Т(О), х), для которого Пр(О/Т(О)) С

р

С 3(О/Т(О), х). Следовательно, для любого элемента д € ПрО существует

р

такой элемент д1 € О, что д + д1 — д х д1 = £ € Т(О). Так как д € ПрО, то

р

существует такое натуральное число к, что дк х £ = 0, где дк = д х ... х д (к сомножителей). Легко видеть, что элемент д имеем квазиобратный элемент д\ — £ — д х £ — д2 х £ — ... — дк-1 х £ в кольце (О, х), и, следовательно, ПрО С 3(О, х). В силу произвольности умножения х на О имеем Р|рО С рр С 3*(О).

Для смешанной группы О ранга без кручения 1 рассмотрим однозначно определенный класс эквивалентности Н(О) высотных матриц, содержащих матрицу Н (д) = (апк), где д — произвольный элемент бесконечного порядка группы О и апк = Ь,*п (рПд) [2]. Согласно [2] мы говорим, что между апк и &п,к+1 имеется скачок, если апк + 1 < &п,к+1.

Лемма 4. Пусть О — смешанная группа ранга без кручения 1. Группа О расщепляется тогда и только тогда, когда почти каждая строка высотной матрицы Н(О) не имеет скачков, никакая строка не имеет бесконечного числа скачков, и строка, содержащая не только целые числа, содержит и символ ж.

Доказательство. Необходимость условий леммы очевидна. Для доказательства их достаточности заметим, что из результатов [3] легко следует, что группа О расщепляется тогда и только тогда, когда для любого элемента д € О\Т(О) существует такое целое число т = 0, что для любого простого числа р обобщенная р-высота элемента тд в группе О совпадает с обобщенной р-высотой элемента тд + Т (О) в группе О/Т (О). Это условие выполняется, если ни в одной строке матрицы Ш(тд) нет скачков и нет бесконечных порядковых чисел. Если Н(д) удовлетворяет условиям леммы, то нетрудно видеть, что необходимое число т существует.

Теорема 2. Пусть О — смешанная редуцированная группа рднга без кручения 1 и пусть О не расщепляется. Тогда N*(О) = 3*(О) = П рО.

реЛ(С)

Доказательство. Докажем включение Р| рО С N*(О). Заметим

р^Л(С)

сначала, что если в группе О существует элемент бесконечного порядка, который не делится ни на одно простое число из некоторого бесконечного

подмножества множества Л(О), то П рО = П рТ(О) = П рТ(О) С

реЛ(С) рЕЛ(С) р

С N *(О), так как Р| рТ (О) является ниль-идеалом в любом кольце на группе

р

О. Поэтому далее будем считать, что в группе О нет элементов с указанным свойством.

Пусть теперь х — произвольное умножение на О. Покажем, что О х х О С Т(О). Допустим, что существуют такие элементы а,Ь € О, что а х х Ь € Т(О). Очевидно, в этом случае элементы а, Ь принадлежат О\Т(О), и существуют такие целые числа т, п, что тЬ = па. Имеем т(Ь х а) = п(а х а), и следовательно, а х а € Т(О), то есть а х а = д € О\Т(О).

Так как группа О не расщепляется, то возможны следующие случаи: Случай 1. В Н(О) имеется бесконечное число строк, имеющих скачки. В этом случае Ь*(а) = ж для бесконечного множества чисел р € Л(О). В силу замечания, сделанного в начале доказательства, Ьр(а) = 0 почти для всех таких чисел р. Следовательно, «обобщенный» тип Ь*(а) = (Ьр1 (а),..., (а),...) не является идемпотентным типом и, значит,

а х а € Т(О), что противоречит предположению.

Случай 2. В некоторой строке Н(О) имеется бесконечное число скачков или содержатся бесконечнвые порядковые числа, но нет символа ж. В этом случае факторгруппа О/Т (О) является р-делимой для некоторого р € Л(О). Для элементов а и д возможны следующие соотношения:

1) (Зг1 € М)(3к € М)(Уг > г1) Ь*р(рга) = Ь*р(рг+ка).

Тогда для всех натуральных чисел г > г1 будем иметь Ь*(рга 0 а) ^ ^ Ь*(рга) = Ьр(рг+кд) ^ Ь*(ргд) + к > Ьр(ргд), так как Ьр(ргд) = ж.

2) (Бг1 € М)(3к € М0)(Уг > г1) Ьр(ргд) = Нр(рг+ка).

Так как О/Т (О) является р-делимой, то найдется такое г2 € М, что для всех г > %2 существуют элементы аг € О, для которых рга = рг+к+1аг. Полагая г0 = тах^[г1,г2}, для всех г > г0 будем иметь Ьр(рга 0 а) = Н*(рг+к+1аг 0 а) = = Ьр(раг 0 рг+ка) ^ 1 + Ьр(рг+ка) = 1 + Ь*(ргд) > Ь*(ргд), так как Нр(ргд) = = ж.

Но Ьр(рга х а) = Нр[рг(а х а)] = Ьр(ргд) при всех г € М0. Из полученного противоречия следует, что О х О С Т(О). Значит Р| рО является ниль-

рЕЛ(С)

идеалом кольца (О, х), откуда П рО С N (О, х). Из произвольности

рЕЛ(С)

умножения х на О следует включение Р| рО С N*(О).

р^Л(О)

Докажем, что J*(G) Q П pG. Пусть g £ П pG. Тогда существует

реЛ(С) реЛ(С)

такое p £ A(G), что g £ pG.

Допустим, Tp(G) выделяется в G прямым слагаемым, то есть G = G\ ® Tp(G). Пусть группа Gi = G/Tp(G) является p-делимой группой, тогда g = gi +1, где g\ £ G\, t £ Tp(G) и t £ pTp(G). Однако J*(G) Q J*(Gi) ® J*(Tp(G)) = J*(G{) ® pTp(G) [4] и следовательно, g £ J*(G).

Если же Tp(G) не выделяется в G прямым слагаемым или G/Tp(G) не является p-делимой группой, то запишем группу T (G) в виде T(G) = Ti ® Tp(G) и рассмотрим факторгруппу G/Ti. Она является смешанной редуцированной группой ранга без кручения 1 с периодической частью, изоморфной Tp(G) при изоморфизме р : T(G/Ti) ^ Tp(G). Если группа G/Ti не расщепляется, то в группе G подгруппа Tp(G) не выделяется прямым слагаемым. Тогда в строке матрицы H(G), соответствующей числу p, либо имеется бесконечное множество скачков, либо есть бесконечные порядковые числа, но нет символа ж. Следовательно, факторгруппа G/T(G) = (G/Ti)/T(G/Ti)) является p-делимой, и следовательно, группа G/Ti содержится в классе L.

Итак, группа G/Ti удовлетворяет условию леммы 2 или условию леммы 3. Поэтому, так как g + Ti £ p(G/Ti), то существует ассоциативное и коммутативное умножение fii : (G/Ti) 0 (G/Ti) ^ T(G/Ti), при котором g + Ti £ J (G/Ti ,yi).

Пусть ф : G ^ G/Ti — естественный эпиморфизм. Тогда гомоморфизм ц = ^^(ф 0 ф) : G 0 G ^ Tp(G) является ассоциативным и коммутативным умножением на G, причем отображение ф является эпиморфизмом кольца (G,y) на (G/Ti,yi). Из включения ф[J(G,y)] Q J(G/Ti,yi) [5, §7] следует, что g £ J(G,y) и следовательно, g £ J*(G), откуда J*(G) Q П pG.

p£A.(G)

Теорема доказана.

Список литературы

1. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. Т.1. М.: Мир, 1974. 335 с.; Т.1. М.: Мир, 1977. 417 с.

2. Megibben C.K. On mixed groups of torsion-free rank one // 111. J. Math. 1967. V.11. P.133-144.

3. Bican L. Mixed abelian groups of torsion-free rank one // Czech. Math. J. 1970. V.20(95). P.232-242.

4. Компанцева Е.И. Кольца без кручения // Фундаментальная и прикладная математика, 2009. Т.15, №8. С.95-143.

5. Jacobson N. Structure of rings // Amer. Math. Soc. Colloquium Publications. 1956. V.37.

Компанцева Екатерина Игоревна ([email protected]), д.т.н., профессор, Высшая школа экономики - национальный исследовательский университет, Москва.

Rings on mixed abelian groups of torsion free rank 1

E. I. Kompantseva

Abstract. A ring on an abelian group G is a ring, whose additive group is isomorphic to G. The absolute Jacobson radical (absolute nil-radical) of an abelian group G is the intersection J*(G) (N*(G)) of Jacobson radicals (upper nil-radicals) of all associative rings on G. In this work descriptions of absolute Jacobson radicals and absolute nil-radicals of mixed abelian groups of torsion free rank 1 are given.

Keywords: mixed abelian group of rank 1, ring on group, radical of ring, absolute radical of abelain group.

Kompantseva Ekaterina ([email protected]), doctor of technical sciences, professor, Higher School of Economics - National Research University, Moscow.

Поступила 02.06.2012