Научная статья на тему 'Радикалы колец эндоморфизмов абелевых групп'

Радикалы колец эндоморфизмов абелевых групп Текст научной статьи по специальности «Математика»

124
20
Поделиться

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Крылов Петр Андреевич

Мы рассматриваем характеризации радикала Джекобсона и ниль-радикала колец эндоморфизмов абелевых групп.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Крылов Петр Андреевич

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

The radicals of endomorphism rings of Abelian groups

We consider characterizations of the Jacobson radical and nil-radical of endomorphism rings of Abelian groups.

Текст научной работы на тему «Радикалы колец эндоморфизмов абелевых групп»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2007 Математика и механика № 1

УДК 512.541

П.А. Крылов РАДИКАЛЫ КОЛЕЦ ЭНДОМОРФИЗМОВ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП

Мы рассматриваем характеризации радикала Джекобсона и ниль-радикала колец эндоморфизмов абелевых групп.

Одной из важных задач теории абелевых групп и их колец эндоморфизмов является исследование радикалов колец эндоморфизмов. Естественно, что в силу исключительно важной роли радикала Джекобсона в структурной теории колец, основное внимание уделялось именно этому радикалу. В своей монографии [1] Р.С. Пирс поставил проблему описания элементов из радикала Джекобсона кольца эндоморфизмов абелевой _р-группы в терминах их действия на группе. Он ввел идеал H(G) всех эндоморфизмов абелевой _р-группы G, повышающих высоты элементов порядка р группы G, который оказался очень полезен при решении указанной проблемы. Изучение радикала Джекобсона кольца эндоморфизмов р-группы в последующих статьях других авторов, так или иначе, касается связи между идеалом H(G) и радикалом. Эти статьи освещены в обзорах [2, 3]; укажем только некоторые более поздние работы [4 - 7].

По аналогии с примарным случаем, автор определил в [8] идеал H(G) всех эндоморфизмов абелевой группы без кручения G, повышающих р-высоты ее элементов. С помощью этого идеала в [8] охарактеризован радикал Джекобсона кольца эндоморфизмов группы без кручения конечного ранга, даны критерии его нильпотентности и равенства нулю. В [9] найдены условия совпадения радикала с идеалом H(G) и условия равенства нулю пересечения степеней радикала. В [8, 9] рассматривалось также строение фактор-кольца кольца эндоморфизмов по радикалу. Для групп бесконечного ранга нет оснований надеяться на описание радикала Джекобсона кольца эндоморфизмов в общем случае. В [10] установлено, что радикал Джекобсона кольца эндоморфизмов алгебраически компактной группы без кручения G совпадает с H(G). В [9] выделены довольно обширные классы групп без кручения с нильпотентным радикалом Джекобсона кольца эндоморфизмов.

В настоящей статье вычисляется радикал Джекобсона кольца эндоморфизмов вполне разложимой группы без кручения G (теорема 2.3). Для группы G конечного ранга это сделано в [11].

Помимо периодических групп и групп без кручения третьим основным классом абелевых групп является класс смешанных групп. Согласно определению, смешанная группа содержит как ненулевые элементы конечных порядков, так и элементы бесконечного порядка. Автору неизвестны работы, в которых затрагивались бы радикалы колец эндоморфизмов смешанных групп. В п.3 находится радикал Джекобсона кольца эндоморфизмов группы из одного класса смешанных групп, интенсивно изучающегося в последние годы (теорема 3.2). Рассматривается также фактор-кольцо кольца эндоморфизмов такой группы по радикалу. В частности, выяснено, когда оно регулярно в смысле Неймана (теорема 3.5).

Все встречающиеся в статье группы - абелевы, р обозначает некоторое простое число. Если G - группа, то E(G) - ее кольцо эндоморфизмов (иногда вместо

£(С) пишем Л). Для гомоморфизма а через аА обозначаем сужение а на подгруппе А. /(К) - радикал Джекобсона кольца К, М(К) - ниль-радикал, т.е. сумма всех ниль-идеалов кольца К. Используем без пояснений ряд известных свойств радикала Джекобсона. Групповые термины, примененные к кольцу, как обычно, относятся к его аддитивной группе. ® - знак прямой суммы групп, идеалов или конечного числа колец.

H(G) = |ае Е(G)

1. Вспомогательные результаты

Рангом группы без кручения G называется мощность любой ее максимальной линейно независимой системы элементов. Группа G называется однородной, если все ее ненулевые элементы имеют одинаковый тип [12, § 85]. Пусть n(G) = {p I _pG^G}. Если n(G) - конечное множество, то говорят, что G - почти делимая группа. ^-высоту элемента xeG обозначаем АДх). Базис окрестностей нуля группы G в Z-адической топологии составляют подгруппы nG, neN.

Для группы без кручения G положим

аD = 0, где D - делимая часть группы G; х е G - D, hp (х) < да ^ hp (х) < hp (ах), p е n(G).

Понятно, что H(G) - идеал кольца E(G). Если G - редуцированная группа, то H(G) = {aeE(G)|xeG, АДх)<да ^ АДх) < АД ах), _pen(G)}.

Для удобства чтения и ссылок приведем главные результаты работы [8]. Напомним, что под псевдоцоколем SocG группы без кручения G понимают сервант-ную подгруппу, порожденную семейством всех ее минимальных сервантных вполне характеристических подгрупп.

Предложение 1.1. Пусть G - группа без кручения конечного ранга. Тогда

1. H(G) с J(E(G)) и идеал J(E(G))/H(G) нильпотентен;

2. Радикал J(E(G)) нильпотентен тогда и только тогда, когда G не имеет ненулевых почти делимых квазислагаемых;

3. J(E(G)) = 0 в том и только в том случае, если G = SocG и G не имеет ненулевых почти делимых квазислагаемых.

В общем случае ни один из идеалов J(E(G)) и H(G) не содержится в другом. Рассмотрим некоторые соотношения между этими идеалами.

Предложение 1.2. Пусть G - редуцированная группа без кручения. Включение H(G) с J(E(G)) справедливо тогда и только тогда, когда выполняется следующее условие (*): для любых aeG и aeH(G) существует lim bn (предел в Z-адической топологии), где bn= a+aa+...+an-1a.

Доказательство. Пусть H(G) с J(E(G)). В таком случае элемент 1 - X обратим в E(G) для любого XeH(G), или, что то же, 1 - X - автоморфизм группы G. Если теперь aeG, aeH(G), то выберем элемент beG так, что (1 - a)b = a. Имеем bn = a + aa +...+ an-1a = (1 - a)b + (a - a2)b +...+(an-1 - an)b = (1 - an)b. Откуда b - bn = anb. Поскольку aeH(G), то

anb e ^ pnG .

реп (G )

Следовательно, b = lim bn и (*) выполняется.

Обратно, пусть (*) выполняется. Достаточно показать, что элемент 1 - X обратим в E(G) для всякого XeH(G). Если 0 Ф ieG, то h^(x) < да для некоторого р. Тогда

АДх) < АДХх) и АД(1 - X)x) = АДх - Xx) = АДх) < да. Отсюда (1 - Х)х Ф 0. Возьмем теперь некоторый элемент aeG и положим b = lim bn, где bn=a + Xa +...+ Xn-1a. Имеем (1 - X)b = (1 - X)(lim bn) = lim (1 - X)bn = lim (bn - Xbn) = lim (a - Xna) = = a - lim Xna = a, так как Xna e ^ pnG и, значит, lim Xna = 0. Таким образом,

pen(G)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(1 - X)b = a. Получили, что 1 - X - автоморфизм группы G, т.е. обратимый элемент кольца E(G). Предложение доказано.

Если G - группа без кручения, aeG, aeE(G), то <ana I n>0> и <ana I n>0>* обозначают соответственно подгруппу и сервантную подгруппу, порожденную элементами a, aa, a2a,... .

Следствие 1.3. Пусть L - односторонний идеал кольца эндоморфизмов редуцированной группы без кручения G, состоящий из эндоморфизмов a, таких, что подгруппа <ana|n>0> имеет конечный ранг для любых aeG и aeL. Тогда H(G)flL с J(E(G)).

Из доказательства предложения 1.2 видно, что достаточно проверить выполнение условия (*) для идеала H(G)HL. Пусть aeG, aeH(G)HL. Положим А = <ana I n>0>*. Группа А имеет конечный ранг и a| А eH(A). По предложению 1. 1 Н(А) с J(E(A)). Ввиду предложения 1.2 условие (*) для идеала Н(А) выполняется, т.е. существует lim bn в группе А, где bn= a + aa +...+ an-1a. Значит, существует lim bn в группе G, что и означает выполнимость условия (*) для H(G)HL. Следствие доказано.

Выделим один класс групп, для которых справедливо включение

J(E(G)) с H(G).

Группа без кручения G называется вполне транзитивной, если для любых ее элементов a,b Ф0, таких, что h^(a) < АДЬ) при всех р, существует 9eE(G), переводящий a в b [13].

Предложение 1.4. Если G - однородная вполне транзитивная группа без кручения, то J(E(G)) с H(G).

Доказательство. Группу G можно считать редуцированной. В таком случае Н (G) = П (G). Радикал равен пересечению всех примитивных идеалов

pen(G)

кольца. Поэтому достаточно доказать, что идеал _pE(G) примитивен, т.е. существует точный простой £^)/р£^)-модуль для каждого _pen(G). Зафиксируем некоторое qen(G) и покажем, что точный Д^)/дД^)-модуль G/qG прост. Для произвольных элементов х, y e G - qG найдем такой эндоморфизм 9eE(G), что фх -y e qG. Ввиду однородности группы G существует целое число k Ф 0, такое, что АДх) < A^(ky) для всех _pen(G). При этом можно считать, что (k, q) = 1. Следовательно, ks + qt = 1, где s, t - целые числа. Далее, поскольку АДх) < A^(ksy), _pen(G), то существует фeE(G) со свойством фх = ksy. Теперь имеем фх - y = ksy - у = -qtyeqG и предложение доказано.

Группа без кручения, являющаяся прямой суммой групп ранга 1, называется вполне разложимой. Группа без кручения G называется сепарабельной, если каждое конечное подмножество элементов из G содержится в некотором вполне разложимом прямом слагаемом группы G (теория групп ранга 1, вполне разложимых и сепарабельных групп изложена в [12, §85 - 87]). Однородная сепарабельная группа вполне транзитивна. Поэтому имеет место

Следствие 1.5. Для однородной сепарабельной группы G всегда

/(ВД) с Я(О).

Введем в рассмотрение еще один идеал кольца эндоморфизмов. Эндоморфизм а группы G назовем поэлементно нильпотентным, если для всякого аеG найдется иеN (зависящее от а), такое, что апа = 0. Обозначим через N(0) сумму всех идеалов кольца Дб), состоящих из поэлементно нильпотентных эндоморфизмов группы G. Понятно, что М(Д(С)) с N(6)

Лемма 1.5. #^) с /(Д^)).

Доказательство. Покажем, что каждый идеал Ь кольца Дб) состоящий из поэлементно нильпотентных эндоморфизмов, содержится в /(Д^)). Для этого проверим, что элемент 1-а обратим в Д^) для любого аеЬ. Допустим, что (1 - а)а = 0, где аеG. Положим А = <апа|п>0>. Тогда аА с А и а|А - нильпо-тентный, а 1-а| А - обратимый элементы кольца ДА). Это влечет а = 0. Пусть теперь ЬеG и В = <апЬ|п>0>. Тогда а|В - нильпотентный, а 1-а|В - обратимый элементы кольца ДВ). Откуда (1-а)с = Ь для какого-то сеВ. Следовательно, 1-а -автоморфизм группы G и обратимый элемент кольца Д^).

Лемма 1.6 [9]. Пусть группа G = АФВ, е: G ^ А - проекция, г: А ^ G - вложение. Тогда 1) если /е/(Д^)), то е/ге/ДА)); 2) если gе/(ДA)), то /е/(Д^)), где / совпадает с g на А и аннулирует В.

2. Случай вполне разложимой группы без кручения

Общий тип всех ненулевых элементов однородной группы без кручения А называется типом группы А и обозначается г(А) (см. начало п.1). В частности, это касается группы А ранга 1. Напомним, что вполне разложимые и сепарабельные группы без кручения определены в п.1.

ГО

Лемма 2.1. Пусть группа без кручения G = ® А, где Аi - группа ранга 1

1=1

и г(Аг) < г(Ам), г > 1. Для любого ае/(Д^)) существует такое «еN, что аG с А1®^®АМ.

Доказательство. Предположим, что для некоторого ае/(Д^)) числа т не существует. Положим п0= 1. Пусть индекс к таков, что аЛ) с А1 ®...® Ак , причем к - минимальное число с указанным свойством. Ввиду предположения существуют индексы п1 и к2, для которых п1, к2>к1 и аАп с А1 ®...® Ак , причем к2 -

минимальное число с таким свойством. Продолжая этот процесс, получим последовательность групп Ащ, А, АП1, А^, .... Определим теперь эндоморфизм

феД^), взяв в качестве ф|Ак некоторый ненулевой гомоморфизм Лк, ^ Ап, для

ГО

всех геN и положив фА5= 0 для я Ф кЛ Образуем группу В = ® Ак , и пусть

1=1 1

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

у: В ^ G, е: G ^ В - соответственно вложение и проекция. По лемме 1.6 еаф/е/(ДВ)). Однако элемент 1 - еаф/ необратим в кольце Е(В), чего не может быть. Действительно, для каждого геN ограничение еаф/ на Ак является гомо/+1 I

морфизмом Ак. ^ ® Ак и (еафф) Ак ® Ак . Это означает, что для ненулевого

1 Д=1 “ ' Д=1 “

элемента а е Ак элемент (еаф/)а имеет ненулевую компоненту в Ак ^. Откуда

Ак^ <х. (1 - еаф/)В. Противоречие. Следовательно, число т с требуемым свойством

существует. Лемма доказана.

Для группы без кручения G определим идеал эндоморфизмов конечного ранга, Д(б) = {аеД^) | аG имеет конечный ранг}. По следствию 1.3

Я^ПД^) с /(Д^)).

Следствие 2.2. Пусть G - однородная вполне разложимая группа без кручения. Тогда /(Д^)) = Я^ПД^).

Доказательство. Одно включение, как только что отмечено, верно всегда. Пусть ае/(Д(С)). По следствию 1.5 аеЯ^). Проверим, что аеД^). Допустим, что это неверно. Запишем О = ® Д, где Ai - группы ранга 1. Можно выбрать по-

/еУ

парно различные слагаемые А, А ,... так, что аВ с В, где В = СЕ» А, причем

ранг группы аВ бесконечен. Поскольку а|Ве/(Д(В)) (лемма 1.6), то это невозможно на основании леммы 2.1. Следовательно, аеД^), что завершает доказательство.

Пусть G - вполне разложимая группа без кручения, Т - множество типов всех ее прямых слагаемых ранга 1. Для данного типа геТ обозначим через В, сумму всех слагаемых ранга 1 и типа г в некотором фиксированном разложении группы G в прямую сумму групп ранга 1. Можно записать каноническое разложение О = ® В,. Слагаемые В, однородны и называются однородными компонентами

tеT

группы G. Обозначим через Д^б) левый идеал кольца Д^), образуемый эндоморфизмами а такими, что аВ, имеет конечный ранг для всех г, причем, если компонента В, не почти делима, то аВ, = 0. Идеал Д^б) удовлетворяет условию, сформулированному в следствии 1.3 для идеала Ь. Следовательно, Я^ПД^) с /(Д^)). Кроме того, N(6) с /(Д^)) согласно лемме 1.5.

Теорема 2.3. Пусть G - вполне разложимая группа без кручения. Тогда /(Д^)) = (Я^ПД^)) + N(6).

Доказательство. Осталось доказать, что левая часть содержится в правой. Запишем каноническое разложение О = ® Bt, и пусть е,: G ^В, - проекции. Для

tеT

произвольного эндоморфизма ае/(Д(С)) построим определенные эндоморфизмы р и V группы G так, что а = р + V. Укажем, как р и V действуют на элементах компонент В,. Пусть ЬеВ, и аЬ = 2е5аЬ, где почти все е5аЬ = 0. Полагаем рЬ = е,аЬ, а vb = аЬ - рЬ. Понятно, что р^еД^) и а = р + V. По построению, рВ, с В,, откуда р|В,е/(Д(В,)) в силу леммы 1.6. Значит, р|В,еЯ(В,)ПД(В,) для каждого геТ (следствие 2.2). Отсюда ясно, что реЯ^ПД^б). Ввиду следствия 1.3 ре/(Д(С)). Поэтому также vе/(Д(G)).

Покажем вхождение vеN(G). Достаточно убедиться, что идеал кольца Д^), порожденный V, состоит из поэлементно нильпотентных эндоморфизмов. Любой элемент в этого идеала равен конечной сумме Еф^уй где фг, угеД(С). Заметим, что Ре/(Д(С)). Кроме того, из ед'Ь = 0, где ЬеВ,, следует е,рЬ = 0. Нужно доказать, что для любого элемента aеG существует nеN со свойством Р"а = 0. Это достаточно проверить для элементов а из всех компонент В,. Предложим, напротив, что для некоторого г нашелся элемент аеВ,, такой, что Р"а Ф 0 при любом п > 1.

Построим ориентированный граф со счетным числом вершин. Вершинами будут служить некоторые прямые слагаемые ранга 1 группы G.

Для каждой компоненты В5 фиксируем какое-то ее разложение в прямую сумму групп ранга 1. Пусть А0 - сервантная подгруппа, порожденная элементом а. Считаем, что А0 является одним из прямых слагаемых в только что фиксированном прямом разложении группы В,. Все другие прямые слагаемые ранга 1, появляющиеся дальше, это также некоторые из прямых слагаемых групп Вх в выбранных прямых разложениях этих групп. Группу А0 примем за одну из вершин графа. Пусть рА0с А1®...®Ак, где Аь..., Ак - некоторые прямые слагаемые группы G ранга 1, причем подгруппа РА0 имеет ненулевую проекцию на каждое слагаемое А;. Группы Аь..., Ак также считаем вершинами графа. Соединяем А0 стрелкой с каждой вершиной А;, г = 1,., к. Делаем теперь то же самое со всеми группами

Аь-.., Ак. Более точно. Пусть вЛ с ®...®Л^, где группы ,...,Л^ имеют те же свойства, что и группы Аь..., Ак. Соединяем вершину Ai стрелкой с каждой вершиной Л® (г = 1,., к; у = 1,., т;). Некоторые из вершин Аь..., Ак и

Л1(/),..., Л^ , г = 1,., к, могут совпасть. Однако в силу свойств эндоморфизма Р,

если Ле = , то I Ф г. Могут также совпадать некоторые из вершин Л1(/'>,...,Л^ ^

(г =1,...,к) при различных г. Поступаем далее с каждой вершиной Л^ (г = 1,., к;

у = 1,., т;) аналогичным образом. Продолжая бесконечно этот процесс выделения вершин графа, в итоге получим искомый граф.

Из предположений об эндоморфизме Р вытекает следующее обстоятельство. Если Ау и А„ - две вершины графа, соединенные стрелкой, то г(Ау) < г(А„) и группа рАу обладает ненулевой проекцией на слагаемое А„. Из Р"а Ф 0, nеN, следует, что граф имеет бесконечное число вершин. Выделим теперь из графа некоторый подграф Сь С2,... . Положим С1 = А0. Подграф, начинающийся с какой-то из вершин ..., Ак, имеет бесконечное число вершин. Пусть это будет вершина А, (под-

граф, начинающийся с вершины А, , состоит из всех вершин Ау таких, что существует путь из А, в Ау ). Полагаем С2 = А, . Аналогично, существует номер т с тем свойством, что подграф, начинающийся с вершины , имеет бесконечное число вершин. Пусть С3 = Ат. Далее выбираем подобным образом С4, С5,... . По построению графа сумма всех групп С,, г > 1 является прямой. Обозначим её буквой С. Группа С служит прямым слагаемым для группы G. Кроме того, г(С;) < г(С;+1) и подгруппа РС; имеет ненулевую проекцию на слагаемое С;+1, г>1. Если е - проекция группы G на слагаемое С, то по лемме 1.6 ер| Се/(Д(С)). Затем для всякого г справедливо 0 Ф (еР)С;сС;+1. Но существование такого эндоморфизма из радикала /(Д(С)) невозможно по лемме 2.1. Значит, Р действительно есть поэлементно нильпотентный эндоморфизм. Следовательно, vеN(G). Таким образом, а = р + V, где реЯ^ПД^б), а vеN(G). Этим равенство /(Д^)) = (Я(G)ПД1(G)) + N(6) установлено.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Эндоморфизм р из доказательства теоремы на самом деле лежит в произведении идеалов П J(Е(Б()), где /(Д(В,)) = Я(В,)ПД(В,) согласно следствию 2.2.

¿еТ

Следствие 2.4. Для группы G из теоремы верно равенство

J (Е (С)) = П (H(Bt) П Р (В()) ® N (С) (групповая прямая сумма).

¿еТ

Следствие 2.5. Радикал кольца эндоморфизмов вполне разложимой группы G поэлементно нильпотентен тогда и только тогда, когда G не имеет почти делимых прямых слагаемых ранга 1.

Доказательство. Допустим, что радикал /(Д^)) поэлементно нильпотентен, но группа G обладает разложением G = А®Я, в котором А - почти делимая группа ранга 1. В силу предложения 1.1 и леммы 1.6 эндоморфизм а, действующий как умножение на число р>1..._рк на слагаемом А и аннулирующий Н, принадлежит /(Д^)), где {ръ..., р} = п(А). Такой а не является поэлементно нильпотентным эндоморфизмом.

Обратно. Пусть группа G не имеет почти делимых прямых слагаемых ранга 1. Представим эндоморфизм ае/Д^) как в теореме 2.3: а = р + V. Из доказательства теоремы видно, что V является поэлементно нильпотентным эндоморфизмом. Затем р | В, еЯ(В,)ПД(В,) для каждого геГ. Но Я(В,) = 0, так как В, не почти делимая группа. Таким образом, р = 0, а = V и а - поэлементно нильпотентный эндоморфизм.

Будем говорить, что множество Т типов всех прямых слагаемых ранга 1 сепарабельной (в частности, вполне разложимой) группы без кручения G удовлетворяет условию т-максимальности, где т - фиксированное натуральное число, если длина каждой возрастающей цепи элементов из Т не превосходит т, причем т -минимальное число с таким свойством.

Следствие 2.6. Пусть G - вполне разложимая группа и множество Т удовлетворяет условию т-максимальности. Тогда /(Д^)) = (Я^ПД^)) + ДД^)), причем ДД^))“ = 0, т.е. ДДб)) - нильпотентный идеал.

Доказательство. Сохраняем все обозначения теоремы 2.3. Возьмем некоторый идеал Ь кольца Д(С), состоящий из поэлементно нильпотентных эндоморфизмов, и пусть vеЬ. Можно убедиться, что для любых я, геГ (я Ф г) и аеВг справедливо г(а) < г(е^а) (здесь г(х) обозначает тип элемента xеG). Учитывая условие т-максимальности, получаем Vм = 0. Следовательно, vm(a) = 0 для любого aеG, т.е. Vм = 0. Значит, Ь с ДД^)), Л^) = ^Дб)) и искомое равенство идеалов имеет место. Понятно также, что если v1,...,vmеN(Д(G)), то v1...vm= 0. Это означает ДД^))^ 0.

В [9] показано, что ниль-радикал ДД^)) для сепарабельной группы G ниль-потентен тогда и только тогда, когда Т удовлетворяет условию т-максимальности для некоторого те^ Это же равносильно нильпотентности идеала N(G).

Следствие 2.7 [11]. Если вполне разложимая группа G имеет конечный ранг, то /¡Дб)) = Я(б) + ДД^)).

3. Случай смешанной группы

Если G - группа, то G^, обозначает её ^-компоненту, т.е. наибольшую подгруппу в G, являющуюся _р-группой. Далее, ТТ^) - периодическая часть группы G -совокупность всех её элементов конечного порядка, Т(О) = ® Ор.

р

В последнее время стали детально исследоваться смешанные группы, лежащие между суммой и произведением своих _р-компонент (например [14 - 20]). Дадим точное определение таких групп.

sp-группой называется редуцированная смешанная группа G с бесконечным числом ненулевых ^-компонент, такая, что естественное вложение ® Gр ^ G

р

продолжается до сервантного вложения G ^ П Gp (здесь и далее подразумева-

р

ется, что р пробегает множество всех простых чисел р с G^ 0). Таким образом, для sp-группы G можно считать, что ® Gp с G ç ^ Gp , причем G сервантна в

рр

П Gp (это равносильно делимости фактор-группы G/T(G)).

р

Пусть G - sp-группа. Фиксируем обозначения: V = G/T(G), R = E(G), R^ = E(G^), Rt = Hom(G, T(G)), S = R/Rt. Для каждого р имеем G = G^®Bp где В^ - дополнительное слагаемое (оно определяется однозначно), _рВ^ = В^ и E(G) = E(G^)®E(B^). Затем, V - Q-пространство, а S - Q-алгебра. Если фактор-группа G/T(G) имеет конечный ранг, то V и S конечномерны.

Наибольшее внимание привлекли самомалые sp-группы G, такие, что ранг фактор-группы G/T(G) конечен. Группа G называется самомалой, если образ вся-

ГО

кого гомоморфизма G ^ ® Gi (G; = G, z>1) содержится в сумме конечного числа

i=1

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

слагаемых G;. Различные свойства самомалых групп приведены в [21].

Лемма 3.1 [14, 15]. Если G - самомалая sp-группа с фактор-группой G/T(G) конечного ранга, то Rt = ® Rp и каждая ^-компонента G^ - конечная ^-группа.

р

Напомним определение идеала Пирса H(G). Именно, если G - ^-группа, то H(G)={aeE(G) I h(x)<œ ^ h(x)<h(ax) для всякого элемента х порядка р (h(x) -высота элемента х в G). Всегда J(E(G)) ç H(G) [1].

Введем для sp-группы аналог идеала H(G) для ^-группы или группы без кручения G.

Если G - sp-группа, то положим H(G) = {aeE(G) I a I G^eH(G^) для каждого_p}, где H(G^) - идеал Пирса для ^-группы Gp Поскольку E(G) = E(G^)®E(B^) и J(E(Gp)) ç H(G^), то J(E(G)) ç H(G). Заметим, что если G - самомалая sp-группа с фактор-группой G/T(G) конечного ранга, то G^ - конечная группа (лемма 3.1) и JE(Gp)) = H(Gp) [1].

Теорема 3.2. Если G - самомалая sp-группа, такая, что фактор-группа G/T(G) имеет конечный ранг, то J(E(G)) = N(E(G)) = H(G).

Доказательство. Пусть ae J(R) (используем с этого места краткие обозначения, фиксированные выше). Тогда a + RteJ(S). Поскольку S - конечномерная Q-алгебра, то a eRt для некоторого keN. По лемме 3.1 Rt = ®Rp. Поэтому можно

р

записать G = B®C, где В - прямая сумма конечного числа некоторых _р-компонент Gp, С - дополнительное слагаемое. Причем, akC = 0, а (a I B)ke J(E(B)). Учитывая конечность кольца Е(В), получаем akm = 0, где meN, и a - нильпотентный элемент. Следовательно, J(E(G)) = N(E(G)).

Как замечено недавно, J(E(G)) ç H(G). Чтобы доказать обратное включение, возьмем некоторый aeH(G). Для каждогор имеем a^eH(G^) = JR), где a^ - ограничение a на Gp Откуда 1-a^ - обратимый элемент кольца E(G^) и автоморфизм группы Gp. В таком случае 1 -a - мономорфизм группы G и левый неделитель нуля

в Д^). Обозначим его р. Допустим, что Р8 = 0 для какого-то 8еЛ (черта обозначает смежный класс относительно Л,). Значит, р8еЛ,. Запишем G = В®С, где В -сумма конечного числа _р-компонент Gp С - дополнительное слагаемое и Р8С = 0. Можно выбрать 8 так, что 8В = 0. Тогда Р8 = 0, откуда 8 = 0 и 5 = 0 . Следовательно, 1 -а - левый неделитель нуля в 5 и таким образом - обратимый элемент ввиду конечномерности 5. Существует уеЛ со свойством (1 -а) у = у (1 -а) = 1 в

кольце 5. Можно так подобрать разложение G = В® С ( В - сумма конечного числа некоторых _р-компонент G^ ), что (1-а)у = у(1-а) = 1 на дополнительном слагаемом С. Тогда сужение (1—а) | С является автоморфизмом группы С. Поскольку 1-а^ -автоморфизм группы G^ для любого р, то понятно, что 1-а - автоморфизм группы G и обратимый элемент кольца Д^). Так как Я^) - идеал в Д^), то Я^) с /(Д(G)), что дает и равенство этих идеалов. Теорема доказана.

Пусть А - конечная р-группа. Наименьшее натуральное число т со свойством рмА = 0 называется экспонентой группы А. Обозначение: е(А). В [5] доказано, что индекс нильпотентности (в [5] он называется длиной Леви) идеала /(Д(А)) не превосходит 2е(А)-1. Опираясь на это, из доказательства теоремы можно вывести такой результат.

Следствие 3.3. Радикал /(Д^)) для группы G из теоремы 3.2 нильпотентен тогда и только тогда, когда множество экспонент всех групп G^ имеет точную верхнюю грань.

Получим некоторую информацию о фактор-кольце Д^У/Д^)). Прежде определим два класса колец, связанных с яр-группами.

Как известно, группа, равная прямой сумме циклических групп простых порядков, называется элементарной. яр-группа G называется элементарной яр-группой, если её периодическая часть - элементарная группа [20]. Пусть К - некоторое кольцо. Кольцо К назовем (элементарным) яр-кольцом, если его аддитивная группа является (элементарной) яр-группой (это несколько уже понятия яр-кольца, введенного в [18]). Если К - яр-кольцо, то имеют место сервантные вложения ® Кр с К с ^Кр , где Кр -_р-кольцо (т.е. его аддитивная группа является рр

^-группой). Кольцо Д^) для яр-группы G, у которой порядки всех элементов каждой ^-компоненты G^ ограничены в совокупности, будет яр-кольцом. Если К -редуцированное регулярное кольцо, то К - элементарное яр-кольцо [12, теорема 124.1].

Лемма 3.4. Редуцированное кольцо К является регулярным тогда и только тогда, когда К - элементарное яр-кольцо, фактор-кольцо К/Т(К) и кольца К для всех р регулярны.

Доказательство. Необходимость. Как указано перед леммой, К - элементарное яр-кольцо. Осталось заметить, что фактор-кольцо регулярного кольца всегда регулярно.

Достаточность. Пусть хеК. Найдутся элементы аеК и сеТ(К), такие, что хах = х + с. Пусть К = Ь®М, где М - сумма конечного числа некоторых _р-компо-нент Кр, причем сеМ, Ь - дополнительное слагаемое. Запишем х = х1 + х2, а = а1 + а2, где х1,а1 еЬ, х2, а2еМ. Тогда х1а1х1 = х1 (учесть, что ЬМ = МЬ = 0). Ввиду условия, М - регулярное кольцо, поэтому х2Ьх2 = х2 для какого-то ЬеМ. Теперь легко получить х(а1 + Ь)х = х, что означает регулярность кольца Л и завершает доказательство.

Обозначим через / такой идеал кольца Д^), где G - некоторая яр-группа, что Л, с / и //Л, = /(Л/Л,) = /(5). Понятно, что /(Л) с / и, следовательно, /(Л) + Л, с /.

Теорема 3.5. Пусть G - самомалая яр-группа, такая, что фактор-группа G/7’(G) имеет конечный ранг. Тогда Д^У/Д^)) - элементарное яр-кольцо; оно регулярно в том и только в том случае, если /(Л) + Л, = /.

Доказательство. Для всякого р имеем Л = Л^®Кр, где Л^ - конечное _р-кольцо и _рК^ = Кр Следовательно, /(Л) = /(Л^)®/(Кр) и Л//(Л) = Л^//(Л^)®Кр//(Кр), причем р(Кр//(Кр)) = Кр//(Кр). Из леммы 1.1 статьи [19] вытекает, что Л//(Л) - яр-кольцо. Поскольку рЛ^ с Я(А^) = /(Л^) [1], то ЛД/(Л^) - элементарное _р-кольцо. Следовательно, Л//(Л) - элементарное яр-кольцо.

Прежде чем перейти к вопросу о регулярности, установим равенство Т(Л//(Л)) = (/(Л) + Л,)//(Л). Из Л, = ® Лр (лемма 3.1) заключаем, что правая часть

р

рассматриваемого равенства лежит в левой. Пусть теперь «ае/(Л), где аеЛ, ше^ Существует разложение G = В®С, в котором В - прямая сумма конечного числа некоторых _р-компонент Gу С - дополнительное слагаемое, причем «С = С. Для колец эндоморфизмов получаем Д^) = Д(В)®Д(С). Если а = в + у - представление относительно этого разложения, то 8 = шуе/(Д(С)). Ввиду «С = С имеется эндоморфизм 1/«еД(С). Отсюда у = (1/«)8е/(Д(С)) с /(Л). Итак, а = у + ве/(Л) + Л, и указанное равенство справедливо.

Все кольца Л^ конечны, поэтому кольца Лу/Лр) регулярны. На основании первой части доказательства и леммы 3.4, регулярность кольца Л//(Л) эквивалентна регулярности кольца (Л//(Л))/Т(Л//(Л)). Последнее кольцо, учитывая полученное раньше равенство, изоморфно кольцу Л/(/(Л) + Л,). Это кольцо является конечномерной 2-алгеброй, поэтому его регулярность равносильна его полупростоте. Радикал кольца Л/(/(Л) + Л,) равен //(/(Л) + Л,), и его полупростота равносильна выполнению равенства /(Л) + Л, = /. Теорема доказана.

Полупростота кольца Е(А), где А - ^-группа, равносильна элементарности группы А. Отсюда выводится, что полупростота кольца Д^), где G - яр-группа, равносильна тому, что G - элементарная яр-группа. В [14] (см. также [16]) доказано, что если G - самомалая яр-группа с фактор-группой G/7’(G) конечного ранга, то кольцо Д^) регулярно тогда и только тогда, когда G - элементарная яр-группа и 5 - полупростая алгебра. Теорему 3.5 можно считать обобщением этого результата.

Предложение 3.6. Пусть G - самомалая яр-группа такая, что фактор-группа G/Г(G) имеет конечный ранг. Равенство /(Л) + Л, = / имеет место в каждом из следующих случаев:

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

1) 5 - полупростая алгебра;

2) G - моногенная яр-группа.

Доказательство. В 1) / = Л, , и поэтому /(Л) + Л, = /. Заметим, что здесь 3(Л) = ® 3(Лр). 2) Моногенность группы G означает, что каждая _р-компонента

р

G^ - циклическая группа [18]. Кольцо Л для такой группы коммутативно. Следовательно, радикал /(Л) совпадает с множеством всех нильпотентных элементов кольца Л. Если ае/, то а еЛ, при некотором к. Пусть G = В®С, где В - сумма конечного числа ^-компонент Gу С - дополнительное слагаемое и акеД(В). Запишем а = в + у, где веЕ(В), уеЕ(С). Тогда ук = 0 и уе/(Л). Значит, а = у + ве/(Л) + Л, и / = /(Л) + Л,.

ЛИТЕРАТУРА

1. Pierce R.S. Homomorphisms of primary abelian groups // Topics in Abelian groups. Chicago, 1963. Р. 215 - 310.

2. Михалев А.В. Кольца эндоморфизмов модулей и структуры подмодулей // Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия. 1974. № 12. С. 51 - 76.

3. Марков В.Т., Михалев А.В., Скорняков Л.А., Туганбаев А.А. Кольца эндоморфизмов модулей и структуры подмодулей // Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия. 1983. № 21. С. 183 - 254.

4. Dugas M. On the Jacobson radical of some endomorphism rings // Proc. Amer. Math. Soc. 1988. V. 102. No. 4. P. 823 - 826.

5. Praeger C.E., Schultz P. The Loewy length of the Jacobson radical of a bounded endomorphism ring // Contem. Math. 1992. V. 130. P. 349 - 360.

6. Hausen J., Praeger C.E., Schultz P. Most abelian p-groups are determined by the Jacobson radical of their endomorphism rings // Math. Z. 1994. V. 216. No. 3. P. 431 - 436.

7. Hausen J., Johnson J.A. Determining abelian p-groups by the Jacobson radical of their endomorphism rings // J. Algebra. 1995. V. 174. No. 1. P. 217 - 224.

8. Крылов П.А. Радикалы колец эндоморфизмов абелевых групп без кручения // Матем. сб. 1974. Т. 95. № 2. С. 214 - 228.

9. Крылов П.А. Радикал Джекобсона кольца эндоморфизмов абелевой группы без кручения // Абелевы группы и модули. 1994. № 11, 12. С. 99 - 120.

10. Крылов П.А. Суммы автоморфизмов абелевых групп и радикал Джекобсона кольца эндоморфизмов // Изв. вузов. Математика. 1976. № 4. С. 56 - 66.

11. Mader A., Schultz P. Endomorphism rings and automorphism groups of almost completely decomposable groups // Comm. Algebra. 2000. V. 28. No. 1. P. 51 - 68.

12. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. Т. 2. М.: Мир, 1977.

13. Крылов П.А. Вполне транзитивные абелевы группы без кручения // Алгебра и логика. 1990. Т. 29. № 5. С. 549 - 560.

14. Glaz S., Wickless W. Regular and principal projective endomorphism rings of mixed abelian groups // Comm. Algebra. 1994. V. 22. P. 1161 - 1176.

15. Albrecht U.F., Goeters H.P., Wickless W. The flat dimension of mixed abelian groups as E-modules // Rocky Mountain J. Math. 1995. V. 25. P. 569 - 590.

16. Albrecht U. Mixed abelian groups with artinian quasi-endomorphism ring // Comm. Algebra. 1997. V. 25. P. 3497 - 3511.

17. Fomin A., Wickless W. Self-small mixed abelian groups G with G/T(G) finite rank divisible // Comm. Algebra. 1998. V. 26. P. 3563 - 3580.

18. Крылов ПЛ. Смешанные абелевы группы как модули над своими кольцами эндоморфизмов // Фунд. и прикл. математика. 2000. Т. 6. № 3. С. 793 - 812.

19. Крылов П.А., Пахомова Е.Г., Подберезина Е.И. Об одном классе смешанных абелевых групп // Вестник ТГУ. 2000. № 269. С. 29 - 34.

20. Крылов П.А., Пахомова Е.Г. Абелевы группы и регулярные модули // Матем. заметки. 2001. Т. 69. № 3. С. 402 - 411.

21. Arnold D.M., Murley C.E. Abelian groups A, such that Hom(A,-) preserves direct sums of copies of A // Pacific J. Math. 1975. V. 56. No. 1. P. 7 - 20.

Принята в печать 30.11.07.