Кольца, в которых любой идеал является абсолютным Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2012. Вып. 2. С. 93-113

= Математика =

УДК 512.541

Кольца, в которых любой идеал является абсолютным

Тхи Тху Тхюи Фам

Аннотация. Кольцом на абелевой группе G называется любое кольцо, аддитивная группа которого изоморфна G. Подгруппа A абелевой группы G называется ее абсолютным идеалом, если A является идеалом в любом кольце на группе G. Абелева группа называется RAI -группой, если на ней сущестует кольцо, в котором любой идеал является абсолютным. В работе изучаются RAI-группы ранга без кручения 1 из некоторого класса смешанных абелевых групп.

Ключевые слова: абелева группа, аддитивная группа кольца, абсолютный идеал, RAI -группа.

Введение

Под умножением на абелевой группе G понимается любой гомоморфизм ц : G ® G -— G. Это умножение будем часто обозначать знаком х, то есть g1 х g2 = ^{g1 ® g2) для всех g1,g2 £ G. Абелева группа G с заданным на ней умножением х называется кольцом на группе G, которое обозначается (G, х). Подгруппа A абелевой группы G называется ее абсолютным идеалом, если A является идеалом в любом кольце на G. Кольцо (G, х) на группе G, в котором любой идеал является абсолютным называется AI-кольцом. Абелева группа, на которой существует AI-кольцо называется RAI-группой.

Пусть Г — подмножество множества всех простых чисел P. Абелева группа G называется Г-делимой, если G является р-делимой для всех р £ Г. Обозначим через L класс редуцированных абелевых групп G таких, что факторгруппа G/T(G) по периодической части T(G) является Л^)-делимой и р-компонента Tp(G) является неограниченной сепарабельной для всех простых чисел р £ Л^), где Л^) = {р £ P | Tp(G) = 0}. В работе описаны RAI -группы ранга без кручения 1 из класса L.

Все группы, рассматриваемые в данной работе, — абелевы, и слово «группа» везде в дальнейшем означает «абелева группа».

Через Q, Z, No, N обозначаются множества рациональных, целых, целых неотрицательных и натуральных чисел соответственно. Через Qp обозначается кольцо целых р-адических чисел. Если ni,...,nk — целые числа,

то (ni,...,nk) — их наибольший общий делитель. Запись n | g означает n делит элемент g. Через II| обозначается мощность множества I.

Если g — элемент группы G, то o(g) — его порядок, h* (g) — его обобщенная p-высота, Hp(g) — его р-индикатор и H(g) - его высотная матрица. Через (g) обозначается циклическая подгруппа группы G, порожденная элементом g и (g)x — идеал кольца (G, х), порожденный элементом g.

Через Hom (A, B) обозначается группа гомоморфизмов из группы A в группу B. Для произвольной группы G будем использовать следующие обозначения: E (G) — кольцо эндоморфизмов группы G, End G — группа эндоморфизмов группы G, rp(G) — р-ранг группы G. Если р Е A(G),

то Bp = 0 (e(p)) — p-базисная подгруппа группы T(G), o(e(p')) = р^,

I[p) = (i Е I(p) I s(p) = k), mk = 11{р)1, B{p = 0 (e(p)). Обозначим B =

= 0 Bp — базисная подгруппа группы T(G). Если M — и х w-матрица

p€A(G)

из порядковых чисел и символов то, где и — наименьшее бесконечное порядковое число, то G(M) = {g е G | H(g) ^ M}. Если G — р-примарная группа и и — строго возрастающая последовательность порядковых чисел и символов то, то G(u) = {g е G | Hp(g) ^ и}.

Если не оговорено противное, то все определения и обозначения соответствуют [1].

1. Основной результат

Пусть G — группа, g Е G. Минимальный абсолютный идеал, содержащий элемент g группы G называется главным абсолютным идеалом группы G, порожденным элементом g, и обозначается (g)Ai.

В [2] рассматривается подгруппа M (G) = (<p(g) | g Е G, р Е Е Hom (G, End G)) и доказывается, что M (G) является идеалом кольца эндоморфизмов группы G. Нетрудно видеть, что M (G)(g) = (g х a | а Е G, х — умножение на G). Подгруппа A является абсолютным идеалом группы G тогда и только тогда, когда M (G)(A) С A [2].

Лемма 1. Пусть G — группа. Тогда 1- (g)Ai = (g) + M(G)(g) для любого элемента g Е G.

2. Кольцо (G, х) является AI-кольцо тогда и только тогда, когда (g)x = = (g)Ai для каждого элемента g Е G.

Доказательство. 1. Пусть g е G и A = (g) + M (G)(g). Так как M (G) является идеалом кольца эндоморфизмов E (G) группы G, то нетрудно видеть, что M (G)(A) С A. Поэтому A является абсолютным идеалом группы G. Следовательно, (g)Ai С A. С другой стороны, так как (g)Ai — абсолютный

идеал группы С и д Е (д)л1, то М (С)(д) С (д)л1. Следовательно А = (д) + + М (С)(д) С (д)л1. Таким образом, (д)л1 = (д) + М (С)(д).

2. Пусть (С, х) — А1 -кольцо, д Е С. Тогда (д)х является абсолютным идеалом группы С и поэтому (д)л1 С (д)х. Так как обратное включение очевидно, то (д)х = (д)л1. Пусть теперь (д)х = (д)л1 для любого элемента д Е С. Пусть А — идеал кольца (С, х). Тогда М (С)(А) С ^2 М (С)(д) С

дел

С ^2 (д)л1 = ^2 (д)х = А. Следовательно, А является абсолютным идеалом дел дел

группы С.

Лемма 2. Пусть С — группа, е — р-базисный элемент группы С, о(е) = = рв < ж. Тогда (е)л1 = С[рв].

Доказательство. Так как (е) является ограниченной сервантной подгруппой группы С, то С = (е) ® А для некоторой подгруппы А группы С [1, теорема 27.5]. Пусть д Е С[р3]. Определим умножение х на С, задав е х е = д, е х А = А х е = А х А = 0. Тогда д = е х е Е (е)л1. Следовательно, С[ря] С (е)л1. С другой стороны, так как С[ря] — абсолютный идеал группы С, содержащий е, то (е)л1 С Ср]. Следовательно, (е)л1 = С[ря].

Лемма 3. Пусть С — группа, Т = Т(С). Пусть р Е Л(С), п Е N. Тогда С[рп] = В[рп] ® (Т/В)[рп].

Доказательство. Докажем, что В[рп] сервантна в группе С[рп]. Пусть Ь Е С[рп] С Т, 0 = ркЬ Е В[рп]. Так как подгруппа В сервантна в Т, то существует элемент Ь1 Е В такой, что ркЬ1 = ркЬ. Так как ркЬ = 0, то к < п. Тогда рпЬ1 = рп-к(ркЬ1) = рп-к(ркЬ) = рпЬ = 0. Следовательно, Ь1 Е В[рп]. Значит, подгруппа В[рп] сервантна в группе С[рп]. Так как В[рп] ограничена, то по [1, теорема 27.5] В[рп] выделяется прямым слагаемым в С[рп], то есть

С[рп] ^ В[рп] ® С[рп]/В[рп] = В[рп] ® Т[рп]/В[рп]. (1)

Рассмотрим гомоморфизм р : Т[рп] (Т/В)[рп], при котором р(Ь) =

= Ь + В. Легко видеть, что Кегр = В[рп]. Докажем, что 1тр = (Т/В)[рп]. Пусть Ь + В Е (Т/В)[рп]. Тогда рпЬ Е В. Так как В сервантна в группе Т, то существует элемент Ь Е В такой, что рпЬ = рпЬ. Тогда рп(Ь — Ь) = 0. Пусть а = Ь — Ь, тогда а Е Т[рп] и р(а) = а + В = Ь + В. Следовательно, 1тр = (Т/В)[рп]. Таким образом,

Т[рп]/В[рп]^ (Т/В)[рп]. (2)

Из (1) и (2) следует, что С[рп] = В[рп] ® (Т/В)[рп].

Следствие 1. Пусть С — группа, Т = Т(С) — неограниченная группа. Пусть р Е Л(С), п Е N. Тогда \рп-1 (С[рп])\ = ^ шк + гр(Т/В).

к=п

Доказательство. Из леммы 3 следует, что рп 1(С[рп]) = ф (рп 1В<£')) ®

к^п

рп-1((Т/В)[рп}). Так как Т/В — делимая периодическая группа, то

ГО

тр(рп-1((Т/В)[рп})) = тр(Т/В). Следовательно, тр(рп-1(С[рп})) = Шк +

к=п

+ гр(Т/В) ^ «0, так как множество I(р бесконечно. Тогда рп-1(С[рп])

ГО

— бесконечная ограниченная группа и поэтому \рп-1(С[рп})\ = ^ Шк +

к=п

+ тр(Т/В).

Лемма 4. Пусть С — группа, Т = Т(С), ТР(С) неограничена и гр(Т/В) ^ ^ шкр) для каждого р Е Л(С), п Е N. Пусть 2(р\ г Е I(р) —

к=п

конечные подмножества множества I(р. Тогда существуют семейства попарно непересекающихся подмножеств {J(p \ г Е I(р)} таких, что для каждого г Е I(р) выполняется С I(р) и J(pP П 2(рр = 0. При этом для каждого г Е ^ существует эпиморфизм р(р : ф (е>рр) ^ С[рп].

зе4Р)

Доказательство. Пусть Тр = Тр(С). По [1, §32] существуют подгруппы А^, п Е N группы Тр такие, что для каждого п Е N

Тр = в1р) ©... © В{р)_1 © а{р), (3)

где Ап = Впр © Ап+1. Ясно, что

(Уп Е N Вр С Ар [рп]. (4)

Из (3) нетрудно проверить, что ф В^рР — базисная подгруппа группы АР,

к^-п

( ) ( )

при этом Ап'/( ф В к') = Тр/Вр — делимая группа. По лемме 3 имеем

к=п

А(Ш)[рп] = ( ф В{рР[рп]) © (А{Ш)/( ф В{рР)[рп] = ( ф В{рР[рп]) © (Тр/Вр)[рп] ^

к=п к=п к=п

(ф В{р)[рп]) © (Т/В)[рп]. Так как Гр(Т/В) < £ шкр) и шкр) ^ «о в силу

к=п к=п

неограниченности группы Тр, то

ГО ГО

(Уп Е N) \АЩ)[рп\\ = Гр(Т/В) + ¿2 Шр = £ ш“ (5)

к=п к=п

Для каждого п Е N обозначим I^ = {г Е I(рР \ 8(рР ^ п}, где р^ = о(е(рР)

_( ) ОО ( )

(г Е I(р')) . Так как \ = ^ шк ^ «о для всех п Е N то индукцией по

к=п

n можно доказать, что существуют семейство попарно непересекающихся множеств Х[р) (n £ N) таких, что Х[р) Q II = I^l = £ и

k=n

I(p) \ х(p)| = I(p) I = ^ m(p)

И n+1 \Xn 1 = II n+11 = Z_^ mk .

k=n+1

Пусть n £ N. Так как X^l = £ Е m?)2 = l^l £ m(p), то

k=n k=n k=n

(p) (p)

можно разделить Xn на попарно непересекающиеся подмножества Yn , i £

£ Iтакие, что lY^I = £ mkp) ^ N0. Для каждого i £ I0>'> пусть

k=n

n = Yní)\Z¡p). (6)

(p) (p)

Так как Yni бесконечно и Z- конечно, то

ГО

(yn £ N)(Vi £ l^) Jh = ¿m{p). (7)

k=n

Пусть i £ I(p). Из (5) и (7) следует, что для каждого n ^ s(p существуют биекции рЩ : j l j £ J¡p} — AІp)[pn]. Тогда так как .7{рг] Q Х{р) Q I^, то

(yn < s(p))(yj £ j(m]) o(<p£)(ef))) < рп < о(е{р)). (8)

Пусть J(pp = U J^i . Из (3) и (4) следует, что G^^] = ^[р^ ] =

n^s(p

= 0 bP ® A^ [р^] Q Y1 аП\рп]. Так как обратное очевидно, то

n<s(p s n^.s(p

г г

G^? ] = £ аП>')[рп]. Поэтому из (8) следует, что отображения рШ , n ^

n^s(p

( p ) ( p)

^ si можно единственным образом продолжить до эпиморфизма р\ :

0 (е^) = 0 0 (е^) — £ Арр] = G^i^]. Кроме того, из (6)

jJP> n^s(p> jeJ(p> n^s(p>

следует, что J-^ n Zif) = ( U Jai^ n Z^ = 0.

n^s(p'>

Лемма 5. Пусть G — группа из класса L и T = T(G). Если G является

го ( )

RAI-группой, то rp(T/B) ^ mp для всех р £ Л^),п £ N.

k=n

Доказательство. Пусть G является RAI-группой, тогда существует

AI-кольцо (G, х) на группе G. Пусть р £ Л(G), n £ N. Так как Tp(G)

неограничена, то в ней существует р-базисный элемент е = е^ такой, что

в = вР > п. По предложению 2 имеем (е)л1 = О[ря]. Так как (О, х) является А1 -кольцом, то (е)х = (е) А1. Следовательно,

ОИ = (е)х- (9)

Имеем (е)х = (Пе 9г | 9г £ О), где Пе дI — конечное произведение элементов д1 группы О, среди которых есть е, с некоторой расстановкой скобок. Так как Т/Вр является р-делимой группой, то для произвольного элемента д £ О существуют элементы д\ £ О, Ь £ Вр такие, что д = р3д\ + Ь, поэтому е х д = е х Ь £ Вр х Вр. Следовательно, (е)х = (Пе еР | 2 £ I(р)), где Пе е? (2 £ I(р)) — конечное произведение р-базисных элементов е(р') группы О, среди которых есть е, с некоторой расстановкой скобок. Поэтому нетрудно видеть, что (ря-1е)х = (р5-1Пе еР I в(р ^ в). Так как подгруппа Тр(О) неограничена, то множество I(р) бесконечно, и поэтому 1(рЯ-1е)х I = Кр^Пе ер |

в(р ^ в)| ^ { £ I(р) I вР ^ в}| = £ ш{р). С другой стороны, из (9)

к=в

го ( )

следует, что (рв-1е)х = рв-1(О[р3]). Следовательно, |р8-1(О[р8])| ^ £ шкр).

к=в

го ( )

По следствию 1 имеем |рв-1(О[р5])| = Гр(Т/В) + £ шк , поэтому

к=в

ОО / \ ОО / \ ОО / \ ОО / \

]Г шкр) + Гр(Т/В) ^ £ шкр). Следовательно, Гр(Т/В) ^ £ шкр) ^ £ шкр),

к=в к=в к=в к=п

так как п ^ в.

В [3] для каждого элемента д смешанной группы О определяется и х х и-высотная матрица Н(д) = [арк]реР, кен0 такая, что арк = Щ,(ркд) — обобщенная высота элемента ркд в группе О. Строку, соответствующую простому числу р будем называть р-строкой матрицы Н(д). Ясно, что р-строка матрицы Н(д) есть р-индикатор Нр(д) элемента д в группе О [1]. Будем говорить, что между арк и ар,к+1 существует скачок, если ар,к+1 > > &рк + 1.

Согласно [3] две и х и-матрицы [арк]реР, кен0 и [трк]реР, кен0 называются эквивалентными, если р-строки обеих матриц совпадают для почти всех простых р, а для каждого из оставшихся р найдутся такие неотрицательные целые числа I, т (зависящие от р), что выполняется условие ирк+г = = тр,к+з для всех к £ N0. Если ранг без кручения группы О равен 1, то любые два элемента а, Ь бесконечного порядка линейно зависимы, и поэтому их высотные матрицы эквивалентны. Следовательно, группе О ранга без кручения 1 можно сопоставить однозначно определенный класс эквивалентности матриц, который обозначается через Н(О).

Лемма 6. Пусть G — группа из класса L, p G Л(С). Пусть g G G и Hp(g) = (apk)keN0■ Тогда {apk — k}keN0 — неубывающая неограниченная последовательность.

Доказательство. Пусть n G N. Так как G — группа из класса L, то группа G/Tp(G) является p-делимой. Поэтому pn | g + tp для некоторого элемента tp G Tp(G). Тогда pm+n | pmg, где pm = o(t). Следовательно, h*(pmg) = apm ^ m + n. Поэтому, apm — m > n. В силу произвольности числа n последовательность {apk — k}keN0 неограничена.

Для любого k G No имеем ap,k+1 = hp(pk+1g) ^ hp(pkg) + 1 = apk + + 1, поэтому ap,k+1 — (k + 1) ^ apk — k. Следовательно, последовательность Wpk — k}keNo не убывает.

Будем использовать следующие результаты из [4]

Лемма 7 [4]. Пусть G — редуцированная смешанная группа ранга без кручения 1, G/T(G) является Л^)-делимой. Пусть H(G) = [apk]peP,keN0■

n

Группа 0G расщепляется тогда и только тогда, когда H(G) удовлетворяет следующим условиям:

n

1) для почти всех p G Л(G) выполняется неравенство apk-------^ k > 0 при

всех k G N0;

2) lim (apk — nni k) = о для всех p G Л(G).

Для произвольной группы G обозначим Tr(G) = ф Tp(G). Аналогично

p^r

теореме 61.3 в [1] можно доказать, что для групп A, C и множества простых чисел Г имеем

Tr(A 0 C) ^ [Tr(A) 0 Tr(C)] ® [Tr(A) 0 A/Tr(A)] ® [C/Tr(C)] 0 Tr(C);

(A 0 C)/Tr(A 0 C) = (A/Tr(A)) 0 (C/Tr(C)).

Индукцией по n нетрудно доказать следующую лемму:

Лемма 8. Пусть G — редуцированная смешанная группа, G/T(G)

nn

является Л^)-делимой. Для n G N имеем Tr(ÇÇ) G) = 0) Tr(G) и

n n n

(® G)/Tr(® G) ^ 0(G/Tr(G)).

Лемма 9. Пусть G — редуцированная смешанная группа ранга без кручения 1, G/T(G) является Л^)-делимой. Если существует простое число p G Л(G) такое, что Hp(G) не содержит о, то G х G С T(G) для любого умножения х на группе G.

Доказательство. Пусть p G Л(G) и Hp(G) не содержит о. Допустим, что G х G ^ T(G). Тогда существует элементы a,b G G\T(G) такие, что

с = a х b G T (G). (10)

Так как G — группа ранга без кручения 1, то существуют x,y,z Е Z такие, что xa = yb = zc. Из (10) следует, что xyz2c = (zxa) х (zyb) = z2c х z2c. Пусть g = z2c и xy = upr, (u,p) = 1, r Е No. Тогда

g х g = xyg = uprg. (11)

Пусть Hp(g) = (opk)keN0. Так как G — группа из класса L, то из леммы 6 следует, что существует r Е N такое, что apk — к ^ r + 1. Пусть n = к + r + 1, тогда

apk ^ n. (12)

Пусть i > n — 1 = к + r. Имеем pi-n+lg х pkg = pi-(k+r')g х pkg = pi-r(g х х g) = p%-r(uprg) = up%g в силу (11). Так как (u,p) = 1, то отсюда следует, что api ^ ap,i-n+l + apk ^ ap,i-(n-i) + n в силу (12). Индукцией по s получим, что api ^ ap,i-s(n-l) + sn для всех s ^ . Тогда при s = [щЬ[]

имеем api ^ ap—_£_](n-l) + [n-J\n ^ [n-l\n > (n-l — 1)n. Следовательно,

^pi — n+ i> (n—i — 1)n — n+i = n—)i — n—i. Так как ¡m( n—)i —

— n-i ) = ^ то n + 1

lim (api-i) = <x. (13)

in

Пусть G = С/ТА(С)\{р}(С), где ТА(С)\{р}(С) = ® Тд(С). Легко видеть,

__ _ д=р

что Т(С) = Тр(С) и Нр(С) = Нр(С) = (&р1)^п0. Поэтому из (13) следует,

П __

что группа 0 С расщепляется в силу теоремы 7. С другой стороны,

п п п п п

(£)С = (0 С)/® (ТА{с)\{р}(С)) = (0 С)/ТА{с)\{р} (0 С) в силу леммы 8.

п п

Следовательно, группа (0 С)/ТА(с)\{р}(§§ С) расщепляется, то есть

п п п п

(® С)/ТМОЫр}(® С)= Т(® С)/ТА(С)\{р}(® С) ф А (14)

_ п п

для некоторой подгруппы без кручения А группы (0 С)/ТА(С)\{р}(§§ С).

п п п п

Так как Т(0 С) = ТА(С)\{р}(&) С) ф Тр(&) С), то из (14) следует, что 0 С =

п п _

= Тр(&) С) + А и кроме того, Тр(&) С) П А = 0, где А — прообраз группы А при естественном эпиморфизме. Значит

пп

(2) С = Тр(0 С) ф А, (15)

п п п

где А = (0 С)/Тр(§§ С) = &)(С/Тр(С)) — р-делимая группа.

п

Рассмотрим гомоморфизм ц : 0 С ^ С, где ц(д\ 0 ... 0 дп) = ((д\ х д2) х х д3) х ...) х дп для всех д\,...,дп Е С. Так как Нр(С) не содержит ж, то максимальная р-делимая подгруппа группы С не содержит элементов

бесконечного порядка. Так как А является p-делимой группой, то ¡л.(А) является p-делимой подгруппой группы G. Следовательно, Ц.(А) Q T(G).

n n

Очевидно, ii(Tp(ÇQ G)) Q T (G). Поэтому из (15) следует, что /J.(&) G) Q T (G). Следовательно, gn = ((g x g) x g)... x g G T (G). В силу (11) имеем gn = = (xy)ng, значит g G T (G), что противоречит выбору элемента g. Таким образом, G x G Q T (G) для любого умножения x на группе G.

Лемма 10. Пусть G — смешанная группа ранга без кручения 1 и H(G) = = [apk]PeP ,fceNo • Пусть существует бесконечно много простых чисел p, для каждого из которых существует np G No такое, что np < apnp G Z. Тогда G x G Q T (G) для любого умножения x на группе G.

Доказательство. Пусть (G, x) — кольцо на G. Допустим, что G x G ^ T (G). Тогда существуют элементы a,b G G\T (G) такие, что a x b G T (G). Так как G — группа ранга без кручения 1, то существуют x,y G Z такие, что xa = yb. Пусть g = xa = yb. Тогда g G T(G) и g x g = xa x yb = xy(a x b) G G T (G).

Пусть H(g) = [apn]pep, neN0 и X — множество всех простых чисел p, для которого существует np G N0 такое, что np < apnp G Z. По условию множество X бесконечно. Пусть p G X. Так как h*(pnpg) = apnp G Z, то существует элемент a G G такой, что pnpg = jfpnp a. Тогда pnp (g — jfpnp-npa) = 0. Пусть t = g — jfpnp-npa, тогда g = t + pfpnp-npa и pnpt = 0. Откуда pnpg x x g = pnp (t + pfpnp-npa) x (t + pfpnp-npa) = p2apnp-npa x a. Следовательно, h*(pnpg x g) > 2apnp — np = apnp + (apnp — np) > apnp, так как apnp G Z. Значит, h*(pnpg x g) > hp(pnpg). Следовательно, Hp(g x g) = Hp(g) для всех

p G X. Так как множество X бесконечно, то матрицы H(g x g) и H(g) не эквивалентны, что противоречит тому, что G — группа ранга без кручения 1. Таким образом, G x G Q T(G) для любого умножения x на группе G.

Будем говорить, что матрица H(g) = (apn)pep,nen удовлетворяет условию (**), если apn = n или apn = œ для всех p G P, n G N0. Ясно, что в этом случае, каждая строка матрицы H(g) имеет один из трех видов (0 12 ... n œ ... ), (0123 ... ), ( œ œ ... ). Пусть G —

смешанная группа ранга без кручения 1. Будем говорить, что матрица H(G) удовлетворяет условию (**), если существует g G G такой, что H(g) удовлетворяет условию (**).

Лемма 11. Пусть G — редуцированная смешанная группа и G/T(G) является A(G)-делимой. Если матрица H(G) не удовлетворяет условию (**), то G x G Q T (G) для любого умножения x на группе G.

Доказательство. Нетрудно проверить, что если матрица H(G) не удовлетворяет условию (**), то выполняется по крайней мере одно из следующих условий:

i) существует p-строка, содержащая бесконечные элементы, но не содержащая œ,

п) существует р-строка, содержащая только целые числа и бесконечно много скачков,

ш) существует бесконечно много р-строк, для каждой из которых существует целое число орпр > пр такое, что орпр Е ^.

Если выполняется условие 1) или п), то р Е Л(С) [4, лемма 1] и р-строка не содержит ж. В силу лемм 9 и 10 имеем С х С С Т(С) для любого умножения х на группе С.

Известно, что редуцированная алгебраически компактная группа С однозначно представима в виде С = Ср, где для каждого простого р

р

группа С является редуцированной р-адической алгебраически компактной группой. Более того, в любом кольце на группе С разложение С = П Ср

р

является также разложением данного кольца в прямое произведение идеалов [6]. Поэтому любое кольцо на С полностью определяется умножениями на ее р-адических компонентах Ср.

Пусть С — редуцированная р-адическая алгебраически компактная группа. Набор элементов {дг}г^2 группы С называется почти конечным, если не более, чем счетное число дг (г Е I) отлично от нуля и для любого натурального числа п почти все дг делятся на рп. Если {дг}ге1

— почти конечный набор элементов группы С и {дгк }кен — все ненулевые элементы этого набора, то последовательность частичных сумм

п

£ дгк является последовательностью Коши в р-адической топологии к= 1

на группе С, эта последовательность имеет предел в группе С [1],

который обозначается £ ге1 дг. Известно, что редуцированная р-адическая алгебраически компактная группа С является регулярной прямой суммой

^2ге1Орег циклических р-адических модулей, то есть подгруппой прямого

произведения Л Орег, состоящей из элементов д = £ игег ({щвг}г^1 — почти ге1 ге1

конечный набор элементов в группе ПО^) [5].

ге1

Лемма 12. Пусть С = £ ^рО^е^ — р-адическая алгебраически компактная группа и Т = Т(С). Пусть д = £^(р)и(ре(р Е С. Тогда

Т(Нр(д)) С £ и[р)С\р-','Л\.

ге1(р)

Доказательство. Пусть 0 = г Е Т(Нр(д)). Пусть Нр(д) = (орк)к&0 и

Нр(г) (трк)кеНо. Тогда

(Ук Е N0) Трк ^ орк. (16)

Более того, так как группа Т сепарабельна, то Нр(г) имеет вид

Нр(г) = (Тр0 Тр 1 ... Трп ж ... )

где п Е N Тр0 ,Тр1, ...,Трп Е ^. Поэтому нетрудно видеть, что Нр(г) =

п

= Р| шг, где шг = (Трг — г Трг — г + 1 ... Трг ж ... ) и П означает

Г=0

п

покомпонентное взятие минимума. Поэтому Т(Нр(г)) = £ Т(шг) [1, §67].

г=0

п

Так как г Е Т(Нр(г)), то г = £ гг, где Нр(гг) ^ шг, 0 ^ г ^ п. Из (16) следует,

г=0

что шг ^ ( орг — г орг — г + 1 ... орг ж ... ), 0 ^ г ^ п. Поэтому

(У0 ^ г ^ п) Нр(гг) ^ ( орг — г орг — г + 1 ... орг ж ... ). (17)

Пусть 0 ^ г ^ п. Так как ргд = £ ^(р)рг, то существует гг Е I(р)

такой, что

К (рГ и(р) 4р)) = К (рГ д) = орг. (18)

Следовательно, ^(и^е^) = орг — г. Поэтому

иГ = рарг-Г *, (г,р) = 1. (19)

Из (17) следует, что рарг-г | гг. Поэтому из (19) следует, что ир | гг, то есть

гг = и^Хг = рарг-г гхг (20)

Ар)

для некоторого элемента хг Е Т. Покажем, что о(хг) ^ р . Так как орг =

= ж, то из (18) и (19) следует, что 0 = рги(р)е(р) = рг(р°рг-гг)е(р) = р°ртге(р). Значит,

р8* = о(е(р)) ^ раРг+1. (21)

Из (20) следует, что рг+1Ьг = рарг+1гхг. Следовательно, Нр(рарг+1хг) = = К(рг+Чг) = ж в силу (17). Следовательно, рарг+1хг = 0, так как группа

3(р)

Т редуцирована. Поэтому из (21) следует, что р хг = 0, значит,

хг Е С\рз(г ]. (22)

( ) (р) п

Из (20) и (22) следует, что гг Е и?)(С\рЭ1г ]). Поэтому, г = £ гг Е

Г г=0

Е £ и(р)(Ср^]) С £ и(р)(С[[/()]). Следовательно, Т(Нр(д)) С

г=0 (р)

С £ иС>{С\р‘,.р']).

ге1(р)

В теоремах 13 и 16 через Вр = ф (е^) (р Е Р) обозначается р-базисная

ге1 (р)

подгруппа группы С. Отметим, что если С — группа из класса Ь, то для всех

p G A(G) группа G/T (G) является p-делимой, и поэтому нетрудно проверить, что p-базисные под для всех p G MG).

что p-базисные подгруппы групп G и T (G) совпадают. Очевидно, o(efP) = ж

Лемма 13. Пусть G — смешанная группа ранга без кручения 1 из класса L, матрица H(G) которой не удовлетворяет условию (**), T = T(G). Если

го ( )

rp(T/B) ^ для всех p £ A(G), n £ N, то G является RAI-группой.

k=n

Доказательство. Группу G будем рассматривать как сервантную подгруппу своей сервантно-инъективной оболочки G*. Имеем G* = D ® G, где D — делимая оболочка группы G1 и G = П Bp, где Bp — пополнение

р&р

группы Bp в p-адической топологии [1, §41]. Пусть S = D ® Bp и

р£Л (G)

C = П Bp. Тогда

реЛ(О)

G* = S © C. (23)

Любой элемент g £ G* представляется в виде g = a + с, где a £ S, c =

= (cp)p€Л(G), Cp = Y1 iei(p)£ Bp, k(p') £ Qp. Фиксируем произвольный элемент go £ G\T. Пусть

go = ao + co = ao + (^ ш p k(¡p)e(p) )p^(G), (24)

где a0 £ A, Co = (¿ i£i(p)k(p)e¡p))p^(G) £ C. Пусть I(p)(co) = {i £ I(p) | k(p')e(p') = 0}, тогда II(p)(co)l ^ Щ для каждого p £ A(G).

—(p)

Для каждого i £ I обозначим

Z(p) = {j £ I(p)(co) I hp je'?) < ^e?) + S,(p)}. (25)

Так как {kjpp}jei(P) (c0) — почти конечный набор целых p-адических чисел, то Z(p — конечное множество для всех i £ I(p). Поэтому по лемме 4 существует семейство {J(p I i £ I(p)} попарно непересекающихся подмножеств J(pp С С I(p) таких, что J(pp П Z(p = 0, причем для каждого i £ I(p) существует эпиморфизм : 0 {ejp)) ^ Gp^]. Поэтому, из (25) следует, что

(Уj £ j(p) П I(p)(co)) h*p(kf e<f]) > hp(k(p)e(p)) + s(¡p). (26)

Так как р(Р — эпиморфизм, то о(р(рР(е^рР)) ^ о(е^рР) для всех і є ■1(?Р. Согласно [1, теорема 120.1] можно определить умножение х на Т(О), задав произведения р-базисных элементов таким образом:

Это умножение однозначно продолжается до умножения на C = T [1, теорема 119.3]. Положив S х C = C х S = S х S = 0, получим умножение на G*.

Докажем, что G является подкольцом кольца (G*, х). Пусть gi,g2 G G. Покажем, что g1 х g2 G T. Рассмотрим случай, когда g1 G T, o(g1) = n. Так как G/T — p-делима для всех p G A(G), то n | g2 — t2 для некоторого элемента t2 G T, откуда g1 х (g2 —12) = 0. Следовательно, g1 х g2 = g1 х t2 G T х T =

= B х B Q G по построению умножения х. Аналогично, если g2 G T, то

g1 х g2 G G. Таким образом,

T х G, G х T Q G. (27)

Пусть теперь g1,g2 G G\T(G) и

g1 = a1 + c1 = a1 + (up)peA( G) = a1 + (^2 iei(p)u(PPе(рР)р£Л( G), (28)

g2 = a2 + C2 = a2 + (vp)p^A ( G) = a-2 + (^ iei(p) v(ip)eipP)pçA ( g), (29)

где a1,a2 G A, Up = E шюu(pPe(pP G Bp и Vp = E ш(p)v^ e(P G Bip. Так как G

— группа ранга без кручения 1, то существуют целые числа n1,n2,n0 такие, что n1g1 = n2g2 = n0g0. Тогда из (24), (28) и (29) следует

(ip G A(G)) (ii G I(рР) n1u(pPe(pP = n2v(pPe(pP = nok(pPe(pP. (30)

Для каждого p G A(G) пусть

Xp = {i G I(p)(co) I nok(pPe^P = 0}. (31)

Представим c1,c2 в виде c1 = x1 + t1, c2 = x2 + t2, где x1 = (E ~ ieXpU^p) e(P))pШA(G), t1 = (E i?Xp u(P)e(P))pШA(G), x2 = (E ieXp v(P) 4^)pïA(G), t2 = (E i?Xpv((P)e<lP))peA(G). Тогда

g1 х g2 = c1 х c2 = t1 х t2 + x1 х t2 + h х x2 + x1 х x2. (32)

В силу (30) и (31) имеем n1u(pPe(pP = n2v(pPe(pP = nok(pPe(pP = 0 для всех i G

G Xp. Поэтому, n1t1 = n2t2 = 0. Поэтому в силу (27) имеем

t1 х x2 + x1 х t2 + t1 х t2 G T. (33)

e(p) e(p) = I Vi(e-j), если j Є jipP

1 3 |0, если j Є j(p)

Покажем, что х1 х х2 = 0. Имеем х1 х х2 = (Е г,зеХри^у^ е(р х

х е^р))реА(с). Пусть %,2 Е Хр С I(р(С0).

1) Если ] Е ^р\ то е(р х е^ = 0.

п) Пусть ] Е ■1(рр. Так как г,] Е Хр, то из (30) имеем

п2у(р)е(р) = п0к(р')е(р') = 0 и п2у(}') е^ = щк^е^ = 0. (34)

г г ьь' 3 3 3 3 у/

Если п0 = рГ0ш0, п2 = рГ2ш2, где (ш0,р) = (ш2,р) = 1 и т0,т2 Е N0 то

из (34) следует, что ^(ь^е^) + Г2 = ^(к^еП) + Г0 и ЬрУ^в^) + Г2 =

= Нр(к(ре^) + Г0, откуда Нр(у(р') е^^) = Нр(к(ре^) + Г0 — Г2 = Нр(к(р')е('р')) +

+ НрУ^е^) — Нр(к^е^) и поэтому

Так как ] Е 4р) П Хр С ^р) П I(р)(с0), то по (26) имеем Н*р(к(р)е(р)) ^ ^ Нр(к(р')е(р) + в(рр. Из этого и (35) следует, что Нр(ьЗ-^ еЗ)) ^ .

Следовательно, и^у^е(р х еЗ^ = 0.

Таким образом, Щр\(ре^ х еЗр) = 0 для всех г,] Е Хр, откуда

х1 х х2 = 0. (36)

Из (32) (33) и (36) следует, что д1 х д2 Е Т(С). Таким образом, С х С С Т(С), значит С является подкольцом кольцо (Ср, х).

Покажем, что (С, х) — AI-кольцо. Пусть д = а + (ср)рел(с) = а + (52

~геКр)и(р)е(р))рел(с), где а Е А, Ср = £ ге1.Р)и(р)е(р) Е Вр. Пусть г Е Т(Н(д)), причем г = Ё г р, г р Е Тр(С). Пусть р Е Л(С). Тогда Нр(гр) ^ Нр(ср). По рел(с)

лемме 12 имеем гр Е 52 и(р"1С\р8^ ], то есть ге1 (р)

п

гр = 2 и(г )хг (37)

г=0

(р) п ( )

для некоторых гг Е I(р\ хг Е С\рЯ1г ]. Пусть х = ^2 (р(Р )-1(хг) (под

г=0 Г

(р(р)-1(хг) понимается любой элемент ез (] Е ■У(рр) такой, что

^(р)(ез) = хг). Тогда д х х = ср х х = Е \и(р)е(р) х (^(р))-1(хг)] =

г=0

= Е 1 (Хг))] = П uf^xr = tp в силу (37). Следовательно,

r=0 r=0

tp G g x G. Поэтому t = E tp G g x G. Таким образом,

рел (G)

T(H(g)) С g x G C(g)x. (38)

С другой стороны, так как H(G) не удовлетворяет условию (**), то из леммы 11 следует, что M (G)(g) С T(H(g)). Следовательно, (g)Ai = (g) + + T(H(G)) С (g)x в силу (38). Так как обратное включение очевидно, то (g)x С (g)Ai. Следовательно, (G, х) является AI-кольцом по предложению 1. Таким образом, G является RAI -группой.

Лемма 14. Пусть G — смешанная группа ранга без кручения 1 из класса L, матрица H(G) которой удовлетворяет условию (**). Пусть p G A(G). Тогда G = Tp(G) ® G(р), где G(р) — максимальная p-делимая подгруппа группы G.

Доказательство. Так как H(G) удовлетворяет условию (**), то найдется элемент a G G\T(G) с высотной матрицей H(a) = [apn]pep, neN0 такой, что apn = n или apn = ж для всех p G P, n G No. Пусть p G Л. Допустим, что apn = n для всех n G N0, тогда последовательность

i&pn, — n}neN0 ограничена, что противоречит лемме 6. Следовательно, Hp(a) содержит ж. Более того, так как G является группой ранга без кручения

1, то Hp(g) содержит ж для всех g G G\T(G). Очевидно Hp(t) содержит ж для всех t G T(G). Поэтому, Hp(g) содержит ж для всех g G G.

Пусть g G G. Тогда h*(png) = ж для некоторого n G N0. Поэтому существует элемент c G Gp такой, что pnc = png. Следовательно, pn(g —

— c) = 0. Тогда g = t + c, где t = g — c G Tp(G). Поэтому, g G Tp(G) + G(p\ значит G = Tp(G) + G(p. Более того, так как группа Tp(G) редуцирована, то G(p') П Tp(G) = 0. Следовательно, G = Tp(G) ® G(p\

Лемма 15. Пусть G — смешанная группа ранга без кручения 1. Если p <G Л(G) и h*(g) = ж для некоторого элемента g G G\T(G), то группа G является p-делимой.

Доказательство. Пусть p G Л(G) и a G G. Если a G T(G), то (p, o(a)) = = 1, поэтому p | a. Если a G T(G), то существуют ненулевые целые числа m, n такие, что ma = ng. Поэтому hp(ma) = hp(ng) = ж. Пусть m = pru, r G G N0, (u,p) = 1. Тогда hp(pra) = ж и поэтому pr+1 | pra. Следовательно, pra = pr+1x для некоторого элемента x G G, откуда pr(a — px) = 0. Так как Tp(G) = 0, то a = px. Таким образом, p | a для любого элемента a G G, значит группа G является p-делимой.

Лемма 16. Пусть G — смешанная группа ранга без кручения 1 из класса L, матрица H(G) которой удовлетворяет условию (**), T = T(G). Если

го ( )

rp(T/B) ^ Е m для всех p G Л^),п G N, то G является RAI-группой.

k=n

Доказательство. Группу С будем рассматривать как сервантную подгруппу своей сервантно-инъективной оболочки С*. Имеем С* = В ® С, где В — делимая оболочка группы С1 и С — пополнение группы С в своей

р-адической топологии [1, теорема 41.9]. Имеем С = П Вр [1, §§ 39, 40].

рёР

Так как Н(С) удовлетворяет условию (**), то найдется элемент а € С\Т(С) такой, что каждый р-индикатор имеет вид Нр(а) = = (012 ... пр ж ...) или Нр(а) = (0 1 2 3 4 ...) или

Нр(а) = (ж ж ...).

Пусть а = йо + (ар)реР (йо € В, ар € Вр). Пусть Ра = {р € Р \ ар = 0}. Пусть р € Ра. Так как группа С = П Вр редуцирована, то Ь,р(ар) = ж,

р

поэтому, Нр(ар) = Нр(а) = (0 1 2 ... пр ж ...) или Нр(ар) = Нр(а) =

= (0 1 2 3 4 ...). Тогда нетрудно видеть, что из рк \ рпар следует,

что к ^ п или рпар = 0, значит система, состоящая из одного элемента ар, является р-независимой [1]. Следовательно, существует р-базис {е(р^}^1(Р) группы С такой, что ар = для некоторого гр € I(р) [1]. В этих р-базисах

(р € Р) элемент а имеет вид

а = йо + (е(р) )р^ра . (39)

ГО ( )

Так как гр(Т/В) ^ Е шк для всех р € Л(С) и п € М, то по

к=п

лемме 4 существует семейство {Т-р \ г € I(р)} попарно непересекающихся подмножеств .1(рр С I(р) такие, что гр € , причем для каждого г € I(р)

существует эпиморфизмы : 0 (е^) — С[рп].

(р) ^

Известно, что если т— элементы группы Вр такие, что о(т^) ^ ш.т(о(еП),о(еП)), то существует единственное умножение х на С, при котором е(р') х е^ = т(рр [6]. Так как , г € I(р) — эпиморфизмы, то о(рр (е^)) ^ о(е(р')) для всех 3 € ■1(рр. Поэтому можно определить умножение х на группе С, положив

{е>р'), если р € Ра и г = 3 = гр;

^Р)(е{р)), если р € Л(С) и 3 € 4р);

0, в остальных случаях.

Это умножение продолжим на группу С* = В ф С следующим образом:

1) если йо = 0, то положим В х В = В х С = С х В = 0,

п) если йо = 0, то так как С — группа ранга без кручения 1 и первая

ульмовская подгруппа (Т(С))1 = 0, то В = Qdо. Положим т1йо х т2йо =

= rlr2d0 для rl,r2 G Q и D х G = G х D = 0.

Нетрудно проверить, что в любом случае имеем d0 х d0 = d0.

Покажем, что G — подкольцо кольца (G*, х). Из построения умножения х ясно, что T х T = B х B Q G. Так как G/T является p-делимой для всех p G Л, то

G х T = T х G = T х T Q T. (40)

Пусть gl,g2 G G\T(G). Так как G — группа ранга без кручения 1, то

существуют ненулевые целые числа Ui,U2, mi, m2 такие, что

nlgl = mla и n2g2 = m2a, (41)

причем так как Tp(G) = 0 для всех p G Л(G), то nl,ml и n2,m2 можно

выбрать так, чтобы

(Ур G Л(С)) p f (nl,ml) и p f (n2,m2). (42)

Пусть Г = {p G Л(G) | p | nln2}. Так как множество Г конечно, то из

леммы 14 следует, что

G = Tr(G) ф G(r\ (43)

где Tr(G) = е Tp(G) и G(r) — максимальная Г-делимая подгруппа группы

per

G. Ясно, что Tr(G) Q 0 Bp и так как D ® ^ Bp — максимальная Г-делимая per per

подгруппа группы G*, то G(r) Q D ® П Bp. Поэтому разложение (43) также

per

является разложением группы G как подгруппы группы G* в разложении

G* = (® Bp) ® (D ф П Bp). (44)

per per

Пусть gl = tl + Cl, g2 = t2 + C2, где tl, t2 G Tr(G) Q 0 Bip, Cl,C2 G G(r Q

per

Q D ф П Bp. Так как 0 Bp и D ф П Bp — вполне характеристические

per per per

подгруппы группы G, то

gl х g2 = tl х t2 + Cl х C2. (45)

Из (40) следует, что

tl х t2 G G. (46)

Покажем, что Cl х c2 G G. Пусть a = t0 + co, где t0 G Tr(G), co G G(T'). Так как Co также является проекцией элемента a на D ф ^ Bp в разложении (44),

per

поэтому с0 = d0 + (e-jpl)pepa\r. Нетрудно проверить, что с0 х с0 = с0. Из (41)

следует, что п1 с1 = т1со и п2с2 = т2со. Поэтому п1п2(с1 х с2) = (п1с1) х

х (п2с2) = (т1со) х (т2со) = т1т2(со х со) = т1т2со. Следовательно,

пп(с1 х с2) € С(г). (47)

Покажем, что группа С(г является р-делимой для всех р \ щп2. Не теряя общности можно считать, что р \ щ. Возможны два случая:

1) Если р € Л(С), то р € Г и поэтому С(г) — р-делимая группа. п) Пусть р € Л(С). Так как р \ п1, то р | т1 в силу (42). Следовательно, Нр(а) = Н*(т1 а) = Нр(п1д1) > 0 в силу (41). Так как Н(а) удовлетворяет условию (**), то Нр(а) = ж. Поэтому С является р-делимой по лемме 15. Следовательно, С(г — р-делимая группа.

Таким образом, группа С(г является р-делимой для всех р \ щп2. Поэтому из (47) следует, что п1п2(с1 х с2) = п1п2 х для некоторого х € С(г\ Тогда

п1 п2с х с2 — х) = 0. (48)

Так как с1}с2, х € С(г) С В ф П Вр, то с1 х с2 — х € В ф П Вр. Так как

р£Г р^г

Тр(В ф П Вр) = 0 для всех р € Г = {р € Л \ р \ пп}, то Тр(В ф П Вр) = 0 р^г р^г

для всех р \ п1п2. Поэтому из (48) следует, что с1 х с2 — х = 0. Значит,

с1 х с2 = х € С(г) С С. (49)

Из (45), (46) и (49) следует, что д1 х д2 € С.

Покажем, что (С, х) является AI-кольцом. Пусть д € С, Н € С(Н(д)). Так как С — смешанная группа ранга без кручения 1, то существуют целые числа п1, п2, по такие, что

п1д = п2Н = поа, (50)

причем п1, п2, по можно выбрать так, чтобы

(Ур € Л) р I (п1,п2,по). (51)

Пусть Г = {р € Л(С) \ р \ п2}. Пусть р € Г. Из леммы 14 следует, что С =

= Тг(С) ф С(г), где С(г) — максимальная Г-делимая подгруппа группы С.

Пусть

д = ^ др + с1’

рег

Н = ^2 Нр + с2,

рег

где др,Нр € Тр(С), р € Г и с1,с2 € С(г>. Пусть р € Г. Так как Н(Н) ^ Н(д), то Нр(Нр) ^ Нр(др). Пусть др = 52^1(р)и^е^. По лемме 12 имеем Нр € € 52 и(рС[р3(Р)], то есть существуют го, ...,гп € ^ такие, что

п

,(р>х(р>

нр = ^ к4р) (52)

г=0

( (Р) (

для некоторых х?> € С[рв*т ]. Пусть хр = 52 (фТг))-1(хт)). Тогда

г=0

д х хр = др х хр = 52 [и(р)е(р) х (Р(рУ)-1(хГ}))} = 52 [и(р)Р(р\(Р(рУ)-1(хГУ))} =

г=0 г=0

п ( > ( >

= 52 и^х? > = Нр в силу (52). Следовательно,

г=0 Т

(Ур € Г) Нр = д х хр € д х С. (53)

Пусть а =52 ар + со, где ар € Тр(С), со € С(г>. Из (50) следует, что рег

пс = п2с2 = посо. (54)

Так как со также является проекцией элемента а на В ф ^ Вр в разложении

рег

С* = (® Вр) ф (В ф П Вр), то со = йо + (е^)рера\г. Нетрудно проверить, ег ег

что со х со = со. Поэтому из (54) следует, что

с1 х (щсо) = (пс) х со = посо х со = посо = п2с2. (55)

Покажем, что С(г> является р-делимой для всех р \ щ. Пусть р \ щ. Возможны два случая:

1) Если р € Л(С), то р € Г. Поэтому С(г> является р-делимой группой. п) Пусть р € Л(С). Так как р \ п2, то р | п1 или р | по в силу (51). Если р | по, то Н*(а) = Н*(поа) = Н*(п2Н) > 0 в силу (50). Так как Н(а) удовлетворяет условию (**), то Н*(а) = ж. Следовательно, С(г является р-делимой группой по лемме 15. Если р | п1, то Н*(п1д) = Н*(д), поэтому Н*(рН) ^ Н*(п2Н) = Н*(п1д) = Н*(д) ^ Н*(Н) в силу (50). Следовательно, Н*(Н) = ж. Следовательно, С(г является р-делимой группой по лемме 15. Таким образом, С(г — р-делимая группа для всех р \ п2. Так как со € С(г\ то п2 \ п1со в С(г\ значит существует элемент у € С(г такой, что п2у = п1 со. Поэтому из (55) следует, что п2(с1 х у) = с1 х (пс) = п2с2. Значит,

п2(с1 х у — с2) =0. (56)

^е1р

Так как с1,y,c2 Е G(r Q D ® П Bp, то с1 х y — с2 Е D ® П Bp. Так как

р#Г р#Г

Tp(D ф П Bp) = 0 для всех р Е Г = {р Е A(G) | p | и2}, то TP(D ф П Bp) = 0

р^Г р^Г

для всех р I n2. Поэтому из (56) следует, что с1 х y — c2 = 0. Следовательно,

g х y = (ci + ^ gp) х y = ci х y = С2. (57)

р€Г

Из (53) и (57) следует, что g х (Е ХР + y) = hp + с2 = h. Следовательно,

р£.Г р£.Г

h Е g х G. Значит G(H(g)) Q g х G Q {g)x. Так как G(H(g)) является абсолютным идеалом группы G, содержащим g, то {g)Ai Q G(H(g)). Следовательно, {g)Ai Q {g)x. Так как обратное включение очевидно, то {g)x = {g)Ai. Следовательно, (G, х) — AI-кольцо по предложению 1 и поэтому G является RAI-группа.

Таким образом, из лемм 5, 13 и 16 получим критерий того, что смешанная группа ранга без кручения 1 класса L является RAI-группой.

Теорема 1. Пусть G — смешанная группа 'ранга без кручения 1 из

класса L. Пусть A(G) = {р Е P | Tp(G) = 0}, Bp = ф {efp) — р-базисная

ieip

подгруппа группы T = T(G), П = {i Е I(р) | o(e(p^) = pn}, тП = Iln^I, n Е N. Группа G является RAI-группой тогда и только тогда, когда

ОО

rp(T/B) ^52 miP) для всех p Е A(G),n Е N.

k=n

Список литературы

1. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. Т.1. М.: Мир, 1974. 335 с.; Т.1. М.: Мир, 1977. 417 с.

2. Fried E. On the subgroups of abelian groups that are ideals in every ring // Proc. Colloq. Abelian Groups. Budapest, 1964. P.51-54.

3. Megibben C. On subgroups of primary abelian groups // Publ. Math. Debrecen. 1965. V.12. P.293-294.

4. Фам Тхи Тху Тхюи Длина расщепления смешанной абелевой группы ранга без кручения 1 // Фундам. и прикл. математика. 2008. Т.14, №7. С.209--221.

5. Куликов Л.Я. Обобщенные примарные группы // I. Труды Московского математического общества. 1952. Т.1. С.247--326, II. Труды Московского математического общества. 1953. Т.2. С.85--167.

6. Компанцева Е.И. Кольца без кручения // Фундаментальная и прикладная математика. 2009. Т.15, №8. С.95-143.

Фам Тхи Тху Тхюи ([email protected]), аспирант, кафедра алгебры, Московский педагогический государственный университет.

Rings, whose every ideals are absolute

Thi Thu Thuy Pham

Abstract. A ring on an abelian group G is a ring, whose additive group is isomorphic to G. A subgroup A of an abelian group G is called its absolute ideal, if A is an ideal in every ring on G. An abelian group is called a RAI-group, if there exists a ring on it, whose every ideal is absolute. In this work, RAI-groups of torsion free rank 1 from some class of mixed groups are studied.

Keywords: abelian group, additive group of a ring, absolute ideal, RAI-group.

Pham Thi Thu Thuy ([email protected]), postgraduate student, department of algebra, Moscow State Pedagogical University.

Поступила 02.06.2012