Абсолютные идеалы смешанных абелевых групп Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 13 Выпуск 1 (2012)

Труды IX Международной конференции Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения, посвященной 80-летпю профессора Мартина Давидовича Г риндлингера

УДК 512.541

АБСОЛЮТНЫЕ ИДЕАЛЫ СМЕШАННЫХ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП

Фам Тхи Тху Тхюи (г. Москва)

ABSOLUTE IDEALS OF MIXED ABELIAN GROUPS

Pham Tlii Thu Thuy (Moscow)

Аннотация

Кольцом на абелевой группе G называется любое кольцо, аддитивная группа которого изоморфна G. Подгруппа A абелевой группы G называется ее абсолютным идеалом, если A является идеалом в любом кольце на G

абелевых групп, на которых сущестует кольцо, в котором любой идеал является абсолютным. Такие абелевы группы называются RAI-группы. Будем говорить, что группа G принадлежит классу K, если Tp(G) является сепарабельной, неограниченной группой для всех простых чисел p таких, что Tp(G) = 0 и любое умножение на ее периодической части T(G)

G

работе описаны RAI-группы ранга без кручения из класса K.

G

G A G A

G

describing abelian groups, on which there exists a ring structure, whose every ideal is absolute. Such abelian group is call a RAI-group. A group G is a group of class K, if its p-component Tp(G) is a separable and unbounded group for all prime p such that Tp(G) = 0 and every multiplication on the torsion subgroup T(G) G

description of countable RAI-groups of class K is given.

Под умножением на абелевой группе G понимается любой гомоморфизм ц : G ® G ^ G. Это умножение будем часто обозначать знаком х, то есть gi х 92 = ® 92^- Абелева группа G с заданным на ней умножением х

называется кольцом на группе G, которое обозначается (G, х). Подгруппа A абелевой группы G называется ее абсолютным идеалом, если A является идеа-

G (G, х ) G

является абсолютным называется AJ-кольцом. Абелева группа, на которой существует AI-кольцо называется ДА1-группой. Проблема описания ДА1-групп сформулирована Л.Фуксом в [1, проблема 93]. Минимальный абсолютный иде-

gG

группы G, порожденным элементом g, и обозначается (д)л1- Нетрудно доказать, что кольцо (G, х) является AI-кольцом тогда и только тогда, когда (д)х = {д)л1 для любого элемента д Е G.

В связи с тем, что любое умножение на периодической группе полностью определяется умножениями на ее рбазнсных подгруппах [1], при изучении ко-

G

дающих следующим свойством: любое умножение на периодической части T(G)

G

левых групп, обладающих таким свойством была сформулирована в [2]. Класс абелевых групп G с указанным свойством, для которых ^компонента Tp(G) является неограниченной сепарабельной группой для всех простых р Е A(G), обозначим через К, где A(G) = {p Е P | Tp(G) = 0}, P - множество всех простых чисел. В настоящей работе описаны счетные ^AI-rpynnbi из класса К, а также описаны главные абсолютные идеалы счетных групп из этого класса.

Все рассматриваемые группы в данной работе абелевы, и слово «группа» здесь и везде в дальнейшем означает «абелева группа».

Через Q, Z, No, N обозначаются множества рациональных, целых, целых неотрицательных и натуральных чисел соответственно. Через Qp обозначается кольцо целых p-адических чисел. Если n1,nk - целые числа, то (n1, ...,nk) -их наибольший общий делитель. Запись n | д означает n делит элемент д. Через | I| I

П

Запись д = 9ъ означает дi = 0 для почти всех i Е I и д = д^,к, гДе

i£l k=1

дiQ,дi1 ...,дк - все ненулевы элементы из gi

Если д - элемент группы G, то о(д) - его порядок, кр(д) - его обобщенная рвысота, Нр(д) - его р-индикатор и Н(д) - его высотная матрица. Через (д) обозначается циклическая подгруппа группы G, порожденная элементом д и (д)х идеал кольца (G, х), порожденный элементом д.

Через Hom( A, B) обозначается группа гомоморфизмо в из группы A в группу B. Для произвольной группы G будем использовать следующие обозначения: E(G) - кольцо эндоморфизмов группы G, End G - группа эндоморфизмов группы G, rp(G) рранг группы G.

Если р Е A(G), то Bp = ф (е(Р) - рбазнсная подгруппа группы T(G),

i£l(P)

о{е{(Р)) = ра(), I® = {г е I(р) | в{р = к), т = \1{^)\, = 0 (е{(})}.

Обозначим В = ф ВР - базисная подгруппа группы Т(О).

рел(с)

Если не оговорено противное, то все определения и обозначения соответствуют [1].

В [3] рассматривается подгруппа М(О) = (ф(д) \ д е О,ф е Нот(О, Е(О))}. Нетрудно доказать, что для любого элемента д е О

М(О)(д) = (д х а \ а е О, х - умножение на О) (1)

{д}А1 = {д} + М(О)(д)■ (2)

Согласно [4] для каждого элемента д группы О определяется ш х ш-высотная матрица Н(д) = (арк)реР, ке^0, где арк = к*(ркд) - обобщенная высота элемента ркд в группе О. Строку матрицы Н(д), соответсвующую простому числу р будем называть ее рстрокой. Легко видеть, что рстрока есть р-индикатор Нр(д) [1] дО

О(Н(д)) = {а е О \ Н(а) ^ Н(д)}.

Ясно, что О(Н(д)) является вполне характеристической группы О.

Согласно [1] если Тр ргруппа и и строго возрастающиеся последовательности порядковых чисел и символов то, то обозначим

Тр(и) = {г е Тр \ Ир(г) ^ и}.

Из [1, §67] имеем, что если и,ь - строго возрастающиеся последовательности порядковых чисел, то

Тр(и П ь) = Тр(и)+ Тр(ь) (3)

где П означает покомпонентное взятие минимума. Кроме того, не трудно видеть, что в этом случае Тр(Ш(г)) = Тр(Нр(г)) для любого элемента г е Тр.

Лемма 1. Пусть О - редуцированная группа, Т = Т(О). Пусть Ь =

£ кге(р) е Вр. Тогда О(Н(Ь)) = Т(Н(Ь)) = £ к^Ор^]),гдера() = о(е(р)).

ш (р)

Вр

Нр(Ь) содержит только целые числа и знаки то. Пусть Нр(Ь) = (арк)кшп, причем иро, ■■■,арп е Ъ и ар,п+\ = то. Пусть т ^ п. Так как ргЬ = £ ргкге^р = 0, то

рг к, е(р)=о

существует гг е I(р) такой, что

рГ К е^> = 0 (4)

н к*(рТкгге^) = к*(ртЬ) = арг. Следовательно, к*(кгге(р) = арг — т, значит

К = рарг-г иг, (иг ,р) = 1■ (5)

Из (4) и (5) следует, что рагигегг = рг(раг гигегг) = ргкгге^ = 0, значит

ра,г = о(е{(р)) ^ р°т+1^ (6)

Докажем, что О(Н(Ь)) С Т(Н(Ь)). Пусть д е О(Н(Ь)), тогда Нр(д) ^ Нр(Ь) и Нд(д) ^ Нд(Ь) = (то то ■■■ ) для всех q = р. Легко видеть, что к*(рп+1д) = то для вс ех q е Р, поэтому рп+1д = 0 в силу редуцированности группы О. Следовательно, д е Тр = Тр(О), значит д е Т(Н(Ь)). Следовательно,

О(Н(Ь)) С Т(Н(Ь)) (7)

____ (р) _______________________ ___________ _________

Докажем, что Т(Н(Ь)) С £ кг(О[ра, ]). Пусть г е Т(Н(Ь)). Так как Ь е

ге/ (р)

п

Тр(О), то г е Тр(Н р(Ь)). Нетрудно видеть, что Нр(Ь) = П ,шг, где

Г=1

Ы0 = (Ор о то то ■■■ ),

'Ш1 = (о р 1 — 1 Ор 1 то то ■ ■■ ),

Ы = (Ор 2 — 2 Ор 2 — 1 Ор2 то то ■■■ ),

Ып = (Орп — П Орп — П + 1 ■■■ Орп то то ■■■ ).

пп

поэтому в силу (3) имеем Тр(Нр(Ь)) = £ Тр(ыг). Тогда г = £ гг для некоторых

Г=1 Г=1

гг е Тр(иг), 0 ^ т ^ п, то есть

Нр(гг) ^ (орг — т орг — т + 1 ■■■ орг то ■■■ )■ (8)

Следовательно, к*(гг) ^ орг — т. Так ка к (иг ,р) = 1 то кгг = рарт-г иг \ гг в силу (5), значит,

гг = р°рг-гиг аг = кг аг (9)

для некоторого элемента аг е Тр. Тогда (рарг+1иг)аг = рт+1(рарг-гигаг) = рт+1гг.

Поэтому из (8) следует, что к*(рарг+1аг) = к*(рг+1гг) = то. В силу редуцирован-

(р)

ности группы Тр имеем рат+1аг = 0 и поэтому из (6) следует, что ра,г аг = 0, (р) (р)

значит аг е О[ра,г ]. Поэтому го (9) получаем, что гг е кгг(О[ра,г ]). Следова-

(р)

тельно, г = £ гг е £ к1(О[ра^- ]). Таким образом,

ге/(р' Ш (р)

Т(ЩЬ)) С £ к^Ср?'])■ (10)

г&1(р)

Пусть теперь д е £ кг(О[ра,Р)]^. Тогда д = £ кгдг, где ра(Р'дг = 0. Слеге/ (р' ге/(р'

довательно, Нр(дг) ^ (0 12 ■■■ — 1 то ■■■) = Нр(е(р'1), и поэтому,

Нр(кгдг) ^ Нр(кге(р'1) ^ Нр(Ь) для каждого г е I(р). Следовательно, Нр(д) ^

Hp(b). Кроме того, так как д Е £ ki(G[pSi]) С Tp, то Hq(д) = (ж то ... ) =

i£l(P)

Hq(b) для всех q = p. Следовательно, H(g) ^ H(b), значит д Е G(H(b)). Таким образом,

Y, ki&pf']) С G(H(b)). (11)

i£l(P)

_ (p)

Из (7), (10) и (11) следует, что G(H(b)) = T(H(b)) = £ ki(G[pSi ]). □

i£l(P)

Лемма 2. Пусть G - группа из класса К, p Е A(G). Пусть д Е G и Hp(9) = (&pk)km0- Тогда {apk — k}keNo - неубывающая неограниченная, последовательность.

Доказательство. Пусть n е N. Так как G/Tp(G) является pдeлимoй [5], то pn I д + tp для некоторого эле мента tp Е Tp(G). Тогда pm+n | pmg, где pm =

o(t). Следовательно, h*(pmд) = apm ^ m + n. Поэтому, apm — m > n. В силу произвольности числа n последовательность {apk — k}k&Na неограничена.

Для любого k Е N0 имеем ap,k+1 = h*(pk+1g) ^ hp(pkд) + 1 = apk + 1, поэтому &p,k+1 — (k + 1) ^ &pk — k. Следовательно, последовательность {apk — k}keNa не

□

G К G х G С T(G)

для любого умножения х на G.

Доказательство. Известно из [5], что группа G0 G расщепляется, то есть

G 0 G = T(G 0 G) 0 (G 0 G)/(T(G 0 G)) (12)

Из [1, §61] имеем

(G 0 G)/(T(G 0 G)) = (G/T(G)) 0 (G/T(G)) (13)

и кроме того, T(G 0 G) = G/T(G) 0 T(G) 0 T(G) 0 G/T(G) 0 T(G) 0 T(G). Так как G/T(G) является для всех простых чисел p Е A(G) [5], то

G/T(G) 0 T(G) = T(G) 0 G/T(G) = 0

T(G 0 G) = T(G) 0 T(G) (14)

Из (12), (13) и (14) следует, что

G 0 G ^ T(G) 0 T(G) 0 G/T(G) 0 G/T(G) (15)

Умножение х соответствует гомоморфизму ц : G 0 G ^ G, где ц(д1 0 д2) = д1 хд2 для вс ех д1,д2 Е G. Определим умножение х1 на груп пе G таким образом: д1 х' д2 = Vп(91 0 д2~)■, где п """""" проекция группы G 0 G на T(G) 0 T(G). Тогда

G х1 G С n(T(G) 0 T(G)) С T(G). (16)

Кроме того, t1 х112 = f^n(t1 012) = n(t1 012) = t1 х t2 для вс ex t]_,t2 Е T (G). Так

как G - группа из класса К, то умножения х и х1 совпадают. Поэтому из (16)

следует, что G х G С T(G). □

Лемма 4. Пусть О - группа, р е Л(О), О/Т (О) является р-делимой, д е О и Нр(д) = (орк)кеп0- Пусть п,т е N такие, что т > п, орп е Ъ и орт > орп — п + т. Тогда существует элемент Ь = £ кге(р') е Вр такой, что

ге/(р'

1) р°р«-п+т \ д — Ь,

2) для, каждого т е М0, 0 ^ т ^ п, существует гг е Iтакой, что К(рГ кгг е?) = Орги о(е{р ) ^ р"рг-п+т.

Доказательство. Так как О/Т (О) в Т (О)/Вр - р-делимые группы, то нетрудно доказать, что О/Вр р-делимая группа, и поэтому

рарП-п+ш \ д — Ь_ (17)

для некоторого элемента Ь = £ кге(р е Вр. Пусть 0 ^ т ^ п. Из (17) следует,

ге/(р'

что рарп-п+т+г \ ргд — ргь_ Поэтому, хак как последовательность {орк — к}кещ0 неубывает в силу леммы 2, то к*(ргд — ргЬ) ^ орп — п + т + т ^ орг — т + т — т =

орг + т > орг = к*(ргд). Так как ргЬ = ргд — (ргд — ргЬ), то отсюда следует

(Ут ^ п) к*р(ргЬ) = к*р(ргд) = орг (18)

Так как prb = £ prkieip\ то го (18) следует, что существует ir Е Ip такой,

i£l(P)

ЧТО

h*p(pr kir et*) = °pr. (!9)

Следовательно, h*(kiref1"1) = apr — r и поэтому

p ir ir pr

kir = papr-r Ur, (ur ,p) = 1. (20)

Из (17) следует, ЧТО papn n+2m | pmg — pmb. Поэтому, papn n+m+1 I pmg — pmb , так как m ^ n + 1 ^ 1. По условию, hp(pmg) = apm > apn — n + m, значит

p(rpn-n+m+1 | pmg_ Следовательно, pan-n+m+1 | pmb = £ pmkie(f \ Следователь-

i£l(P)

HO, pfvn-n+m+1 | pmkire{p = pm+°pr-rUre(p" в силу (20). Так как (ur,p) = 1, то

pO'p„-n+m+1 | pm+apr-r(p) (21)

Так как r ^ n, to apr — r ^ apn — n и поэтому m + apr — r < apn — n + m +1. Так как e^ p6a3HCHbift элемент группы G, то го (21) следует, что papr-r+me(fp = 0. Таким образом, o(e(p')) ^ papr-r+m ^ papn-n+m_ jj3 этого и (17), (19) получим

□

Лемма 5. Пусть G - счетная группа из класса, К, T = T(G) и д Е G. Тогда M(G)(g) = T(H(g)).

Доказательство. Пусть Н(д) = (арк)р£Р,к£п0• Докажем, что Т(Н(д)) с М(С)(д). Пусть Ь Е Т(Н(д)), причем Ь = £ Ьр, Ьр Е Тр(С). Пусть р Е Р и о(1р) =

р

рп+\ Тогда кр(рп+Чр) = ж. Так как Нр(Ьр) = Нр(Ь) ^ Нр(д), то кр(ргЬр) ^ арг

для всех г Е N0. Следовательно,

Нр(Ьр) ^ (ар0 ар1 ■■■ арп ж ж ••• )■ (22)

Так как Тр(С) - сепарабельная группа и рпЬр = 0, то кр(рп1р) Е Ъ. Поэтому арп Е Ъ в силу (22). Так как С - группа из класса К, то по лемме 2 существует натуральное число га такое, что т > п и арт > арп — п + т. По лемме 4 существует элемент Ь = £ кге^ Е Вр такой, что

Ш (Р)

рОрп-п+т | д — Ь■ (23)

(№ < п)(3г, € Iш) кр(ргкге*>) = о.р,ъ о{е{р) « р°рп-п+т, (24)

Не теряя общности можно считать, что гг, 0 ^ г ^ п попарно различны. Пусть

п ( ) ( )

Ь0 = £ кгг ер . Из (24) следует, что кр(рг Ь0) ^ к*(рг кгг е^) = арг для всех г ^ п.

г=0

Следовательно, Нр(Ь0) ^ (а^ ар\ ■■■ арп ж ■■■ ). Поэтому из (22) следует,

что Нр(Ьр) ^ Нр(Ь0). Для всех q = р имеем Нд(Ьр) = Нд(Ь) = (ж ж ■■■ ),

п^ (р)

поэтому 1р Е Т(Н(Ь0)) = £ кгг(С[р3^ ]) в силу леммы 1. Следовательно,

г=0

п

Ьр = ^2 кггЬрг, где Ьрг Е С[р3£ }■ (25)

г=0

Тогда согласно [1, теорема 120.1] можно определить умножение х на С, задав рТ

зом:

(р) (р) \ іг, если І ^ Іг;

Є г X Єл — \

10, если І — І^и і — Іг.

п п п

Из (23) и (24) следует, что (д — Ь) X £ є^) — 0. Откуда д X £ є^) — Ь X £ є^) —

г=0 г=0 г=0

п ( ) ( ) п

Е кг ЄР) х є Г)) — £ кігірг — ір в силу (25). Следовательно, ір Є д X С. Поэтому

г=0 г=$

і — £ ір Є д X С С М(С)(д^^ ^^^^^тательно, Т(Н(д)) С М(С)(д). С другой р

стороны, из леммы 3 следует, что М(С)(д) — {д X а | X - ^^^^^жение на С, а Є С} С Т. ч то Н(д X а) ^ Н(д) для вс ех а Є С Поэтому, М(С)(д) С Т (Н(д)).

Таким образом, М(С)(д) — Т(Н(д)). □

Из леммы 5 и (2) сразу следует теорему 1:

Теорема 1. Пусть С - счетная группа из класса К,Т — Т(С) и д Є С. Тогда {д)лт — д + Т(н(д)) ■

Лемма 6. Пусть С - группа, Т = Т(С). Пусть р е Л(С), п е N. Тогда С[рп] = В[рп] ф (Т/Б)[рп].

Доказательство. Докажем, что В[рп] сервантна в группе С[рп]. Пусть Ь е С[рп] С Т, 0 = ркЬ е В[рп]. Так как подгруппа В сервантна в Т, то существует элемент Ь1 е В такой, что ркЬ1 = ркЬ. Так как ркЬ = 0, то к < п. Тогда рпЬ1 = рп-к(ркЬ1) = рп-к(ркЬ) = рпЬ = 0. Следовательно, Ь1 е В[рп]. Значит, подгруппа В [рп] сервантна в гр уппе С[рп]. Так к ак В [рп] ограничена, то по [1, теорема 27.5] В[рп] выделяется прямым слагаемым в С[рп], то есть

С[рп] = В [рп] ф С[рп] /В [рп] = В [рп] ф Т[рп]/В [рп] (26)

Рассмотрим гомоморфизм ф : Т[рп] ^ (Т/В)[рп], при котором ф(Ь) = Ь + В. Легко видеть, что Кегф = В[рп]. Докажем, что 1тф = (Т/В)[рп]. Пусть Ь + В е (Т/В)[рп]. Тогда рпЬ е В. Так как В сервантна в группе Т, то существует элемент Ь е В такой, что рпЬ = рпЬ. Тогда рп(Ь — Ь) = 0. Пусть а = Ь — Ь, тогда а е Т[рп] и ф(а) = а + В = Ь + В. Следовательно, 1тф = (Т/В)[рп]. Таким образом,

Т [рп]/В [рп] = (Т/В)[рп]. (27)

Из (26) и (27) следует, что Т[рп] = В[рп] ф (Т/В)[рп] □

Следствие 1. Пусть С - группа, Т = Т(С) - неограниченная группа.

го I \

Пусть р е Л(С), п е N. Тогда \рп-1 (С[рп])\ = £ т' + гр(Т/В).

к=п

Доказательство. Из леммы 6 следует, что

^-1(С\рп\) - фрп-1 ЦТ/В)\р"]).

к^п

Т/В

гр (рп-1((Т/В)[рп])) = гр (Т/В).

ГО

Следовательно, гр(рп-1(С[рп])) = £ тк + гр(Т/В) ^ Ко, так как множество I

к=п

бесконечно. Тогда рп-1 (С[рп]) - бесконечная ограниченная группа и поэтому

ГО

\рп-1(С[рп])\ = £ тк + гр (Т/В). □

к=п

Лемма 7. Пусть С - группа, Т = Т(С), Тр(С) неограничена и гр(Т/В) ^

ГО , .

Еткр' для, каждого р е Л(С), п е N. Пусть Я(р), г е I- конечные под-

к=п

множества множества I(р\ Тогда существуют семейства попарно непере-секающихся подмножеств \ г е I(р'} таких, что для каждого г е I(р)

выполняется З' С I(р) и З' П = 0. При этом для каждого г е ^ существует эпиморфизм ф(' : 0 {е(') С[рп].

Мр)

Доказательство. Пусть Тр = Тр(С). По [1, §32] существуют подгруппы Ап'1, п е N группы Тр такие, что для каждого п е N

Тр = В(р) ф ... ф В— ф А', (28)

где Ап' = вп'

ф Ясно, что

(Уп е N вп' С ап'[рп] (29)

Вк ' Ап '

к^п

( ' ''ГО ( ' ( '

этом Ап' / (ф В к') = Тр/Вр делимая группа. По лемме 6 имеем Ап' [рп] =

к=п

(© Б^'р]) ф (А^Ц© Б^'т = (© Б^'р]) ф (Тр/Бр)\р"\ = (© Б^'р']) ф

к=п к=п к=п к=п

1'ГО ( ' ( '

(Т/В )[рп]Лш как Гр (Т/В) ^ Е тк'' и тк'' ^ Ко в силу неограниченности

к=п

Т

ГО

(Уп е N АП'П = Гр(Т/В) + ^2тк' = £ткр'. (30)

к=п к=п

Для каждого п е N обозначим П = {г е I(р' \ з^ ^ п}, где р^ = о(е(р')

_( ' ГО ( ..

(г е I(р'') . Так как \!Пр'\ = Е ткр' ^ Ко для всех п е N то индукцией

к=п

п

ся множеств хП' (п е N такие, что хП' С !П\ \х'П)р\ = = Е т?' и

к=п

№1\х!,р>\ = !Й! = Е т“

к=п +1

Пусть п е N. Так ка к \хппр \ = Е ткр' = (Е ткр ')2 = \!п''\ Е ткр', то можно

к=п к=п к=п

разделить хПр' на попарно ненересекающиеся подмножества У'р', г е п такие, что \уПр'\ = Е т?' ^ Для каждого г е П пусть

к=п

т(р' у (р'\ у(р' /от ч

3пг 1 пг \уг ' /

Так как уПр' бесконечно и конечно, то

к=п

Пусть г е I(р\ Из (30) и (32) следует, что для каждого п ^ существуют биекции фПг : {е^ \ ] е 3'^} ^ АП'1 [рп]. Тогда так как тПг' С хП' С то

Пусть .]<1рр = и '. Из (28) и (29) следует, что Ср^ ] = Тр[р3(Р)] =

п^з(р)

0 вП' ф А'р(Р) [рв(Р)] С Е Ап'[рП]. Так как обратное очевидно, то С[рв(Р)] =

п<з(р') 1 п^з(р')

Е АП' [рп]. Поэтому го (33) следует, что отображения фЩ, п ^ з^ можно

п^з(рР

единственным образом продолжить до эпиморфизма

ф“ : ф е") = ф ф е1*) ^ Е А'р'[рП] = Срз"]■

j&J(^Р) П^3-Р) 3^{р) П<8{р)

<•' ^ г ^ г и иг ^ г

Кроме того, из (31) следует, что 3<1рр П У^рр = (У 3^) П У^рр = 0. □

п^з(р

Теорема 2. Пусть С - счетная группа из класса К, Т = Т(С). Группа

ГО ( '

С является ЯА^группой тогда и только тогда, когда гр(Т/В) ^ Е тк для

любых р е Л(С), п е N.

к=п

Доказательство. Пусть С является ЯА^группой, тогда существует АГ кольцо (С, х) на группе С. Пусть р е Л(С), п е N. Так как Тр(С) неограничена, то в ней существует рбазисный элемент е = е(р такой, что в = з(р > п. Так как е е Тр(С), то го леммы 1 и теоремы 1 следует, что {е)л1 = Т(Н(е)) = С[рз]. Так как (С, х) является А^кольцом, то {е)х = {е)л1- Следовательно,

С[рз] = {е)х (34)

Имеем {е)х = {Пе дг \ дг е С), где Пе 9г ~ конечное произведение элементов дг группы С, среди которых есть е, с некоторой расстановкой скобок. Так как Т/Вр является рделимой группой, то для произвольного элемента д е С существуют элементы д1 е С, Ь е Вр такие, что д = рзд1 + Ь, поэтому е х д = е х Ь е Вр х Вр. Следовательно, {е)х = {Пе е(р \ г е I(р‘'), оде Пе е(р'' (г е I(р'') - конечное произведение рбазисных элементов еП'' группЫ С, среди которых есть е, с некоторой расстановкой скобок. Поэтому нетрудно видеть, что {рз-1е)х = {рз-1 Пе е(р \ з(р ^ з^. Так как подгруппа Тр(С) неограничена, то множество I(р бесконечно,

и поэтому \{рз-1е)х\ = \{рз-1 пе е{р' \ 3{Р' ^ з)\ ^ \{г е ^ \ з(>) ^ з}\ = Е т^'

к=з

з-1 з-1

' х

С другой стороны, из (34) следует, что {рз 1е)х = рз 1(С[рз]). Следовательно, \рз-1(С[рз])\ ^ Е тк^- По следствию 1 имеем \рз-1(С[рз])\ = гр(Т/В) + Е ткр',

к=з к=з

ГО ( ' ГО ( ' ГО ( '

поэтому Еткр' + гр(Т/В) < Е ткр'• Следовательно, гр (Т/В) ^ Е ткр' ^

к=з

го ( '

Е тк , так ка к п ^ з

к' + гр(Т/В) ^ Е тк'■ Следовательно, гр (Т/В) ^ Е т^р'

к=з к=з к=з

ГО

.(р' к

к=п

ГО

Пусть теперь гр(Т/В) ^ Е тк' для всех п е N. По лемме 7 существу-

к=п

ют попарно непересекающиеся подмножества 3<1рр С I(р и эпиморфизмы ф: ф {е^) ^ С[рп]. Определим умножение на С, задав произведения базисных

jJp)

элементов следующим образом:

г j ^ 0, если ] е ■

Докажем, что (С, х) А^кольцо. Пусть д е С, Н(д) = [аркПусть Ь е Т(Н(д)). Тогда

ь = ^2 Ьр. (35)

р

Пусть р е Р и о(Ьр) = рп+1. Тогда кр(рп+1Ьр) = ж. Нетрудно видеть, что Нр(Ьр) = Нр(Ь) ^ Нр(д), поэтому кр(ргЬр) ^ арг для всех г е N0. Значит

Нр(Ьр') ^ (&р0 @р1 ... &рп

ж ... ) (36)

Так как группа Тр(С) сепарабельна, то кр(рпЬр) е Ъ. Так как Нр(д) ^ Нр(Ьр), то арп = кр(рпд) ^ кр(рпЬр), и поэтому арп е Ъ. Так как С/Т р-делимая группа, то по лемме 2 существует т такое, что т > п и арт > арп — п + т. По лемме 4

существует элемент Ьр = Е кге(р е Вр такой, что

ге1(р)

„Гри+т-п

(фг

0,

рГри+т-п \ д — Ьр, (37)

^г ^ п) (Згг е I(рР) к*р(ргкгге(р') = арГш о(е(р') ^ рГри+т-п. (38)

Не теряя общности можно считать, что гг, 0 ^ г ^ п попарно различны.

П ( ' ( '

Пусть Ь0 = Е кггер. Для каждого г ^ п имеем кр(рТЬ0) ^ кр(рткггер) = арг в

г=0

силу (38). Поэтому Н(Ь0) ^ (ар0 ... арп ж ... ) ^ Нр(Ьр) в силу (36). Для всех q =

П (р)

р имеем Ня(Ьр) = Ня(Ь) = (ж ж ... ), поэтому Ьр е Т(Н(Ь0)) = Е кгг(С[р3гг ])

г=0

в силу леммы 1. Значит

п

Ьр = ^2 кггЬрг, где Ьрг е С[р3гг ]. (39)

г=0

Пусть 0 ^ г ^ п и /(р'' = (ф(р) 1(Ьрг). Тогда

е(р) х !(р) = ф%)((ф%))-1(Ьрг)) = Ьрг. (40)

Кроме того, так как множества 3<(рр (г е I(р')) попарно не пересекаются, то

(уг = гг) е(р) х !() = 0 (41)

По определению ф(р') имеем /(р е Тр(С). Пусть

о(№) = рх. (42)

Так как группа С/Вр является р-делимой, то существует элемент

ь’р = Е кг ее' е Вр

г£1 (р)

рГи+т-п+х \ (д — Ьр) — ьр. (43)

Из (37) и (43) следует, что рГри+т-П \ Ь, поэтому рГри+т-П \ к[ге^. Тогда

кр(Кге(р)) ^ арп + т — п ^ арг — г + т > арг — г так как т ^ 1. Из (42)

и (38) следует, что кр(кгге(р)) = арг — г. Следовательно, кр(к[ге(р')) > кр(кгге^),

и поэтому, кр((кгг + к[г)е((р) = кр(кгге(^)), откуда кгге(рр = (кгг + к[г)щге(рр для некоторого (игг ,р) = 1.

Из (43) следует, что (g — bp — bP) х = 0, откуда

-

uirg х fip) = uir (Ьр + bP) х fi1pp) = ^ (ki + ki)uirefP х f(p) =

= (kir + Kr )uire(pp) х ft] = kirх fip) = kirtpr

в силу (40) и (41). Следовательно, kirtpr E (g) x ■ Из (39) следует, что tp =

n

E kirtpr E (g)x и поэтому t = Etp E (g)x- Таким образом, T(H(g)) С (g)x.

r=0 p

Следовательно, (g)Ai = (g) + T(H(g)) С (g)x. Так как обратное включение очевидно, то (g)x = (g)AI для вс ex g E G. Следовательно, G - ДА/-групп а. □

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Фукс Л., Бесконечные абелевы группы //т. 1,2, изд-во Мир, Москва 1977.

[2] Мишина А.П., Скорняков Д.А., Абелевы группы и модули // М.Наука, 1969.

[3] Fried Е., On the subgroups of abelian groups that are ideals in every ring // Proc. Colloq. Abelian Groups, Budapest 1964, P51-55.

[4] Megibben C. On subgroups of primary abelian groups // Publ. Math. Debrecen, 1965, Y. 12. P.293-29 I.

[5] Москаленко А.И. О длине расщепления абелевых групп // Математические заметки, 1978, Т.24, № 6, С.749-761.

Московский педагогический государственный университет Получено 02.05.2012