Периодические абелевы afi-группы Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2011 Математика и механика № 4(16)

УДК 512.541

Фам Тхи Тху Тхюи ПЕРИОДИЧЕСКИЕ АБЕЛЕВЫ /-ГРУППЫ

Подгруппа А абелевой группы G называется ее абсолютным идеалом, если А является идеалом в любом кольце на группе G. Назовем абелевую группу afi-группой, если любой ее абсолютный идеал является вполне характеристической подгруппой. В настоящей работе описаны а/?-группы в классе вполне транзитивных периодических групп (в частности, сепарабельных периодических групп) и делимых периодических групп.

Ключевые слова: абелева группа, кольцо на группе, абсолютный идеал, вполне характеристическая подгруппа, а/ї-группа.

Настоящая работа посвящена изучению абелевых а/ї-групп. Все рассматриваемые группы абелевы, и слово «группа» всюду в дальнейшем означает «абелева группа». Под умножением на абелевой группе О понимается любой гомоморфизм д: О ® О ^ О. Это умножение будем часто обозначать знаком х, то есть g1 х g2 = ц(£ь g2), где gl, g2 Є О. Абелева группа О с заданным на ней умножением х называется кольцом на группе О, которое обозначается (О, х). Подгруппа А абелевой группы О называется ее абсолютным идеалом, если А является идеалом в любом кольце на О. Абсолютные идеалы изучались, например, в работах [1 - 3]. Так как любое умножение на группе О индуцирует некоторый эндоморфизм на ней, то всякая вполне характеристическая подгруппа группы О является ее абсолютным идеалом. Но обратное неверно, в качестве примера рассматривается любая циклическая подгруппа (а) группы О без кручения ранга 1 неидемпотентного типа КО) = (да, 1, 1, 1, ... ). Так как на О может быть определено только нулевое умножение, то любая ее подгруппа является абсолютным идеалом, в частности, подгруппа (а) - абсолютный идеал группы О. Но (а) не является вполне характеристической подгруппой группы О, так как ф(а) £ (а), если ф(д) = (1//>1) g, g Є О.

В связи с этим возникает вопрос, в каких группах любой абсолютный идеал является вполне характеристической подгруппой. Такие группы называются а/?-группами.

В настоящей работе описаны а/?-группы в классе вполне транзитивных периодических групп (в частности, сепарабельных периодических групп) и делимых периодических групп. Терминология и обозначения соответствуют [1].

В [2] рассматривается подгруппа І(О) = (ф(О) | ф Є Нот(О, Е(О))), которая является идеалом кольца Е(О) и доказывается следующая теорема:

Теорема 1 [2]. Подгруппа А группы О является ее абсолютным идеалом тогда и только тогда, когда д(А) Є А для всех гомоморфизм д Є І(О).

Нетрудно видеть, что сумма и пересечение абсолютных идеалов группы О также являются ее абсолютными идеалами. Наименьший абсолютный идеал группы О, содержащий элемент g называется абсолютным идеалом, порожденным элементом g в группе О и обозначается через (¿)А1. Этот идеал существует, а именно, он равен пересечению всех абсолютных идеалов группы О, содержащих элемент g.

Нетрудно доказать следующее предложение

Предложение 2. Группа G является a/i-группой тогда и только тогда, когда ф(?) 6 (?Ь/ для любого g 6 G и любого ф 6 E(G).

В классе периодических групп проблема описания a/i-групп легко сводится к случаю p-примарных групп.

Предложение 3. Периодическая группа G является a/i-группой тогда и только тогда, когда каждая ее p-компонента Gp является a/i-группой.

Доказательство.

Пусть G - a/i-группа, p - простое число и Ap - произвольный абсолютный идеал группы Gp. Легко проверить, что Ap - абсолютный идеал группы G и поэтому является вполне характеристической подгруппой группы G. Следовательно, Ap является вполне характеристической подгруппой группы Gp и, значит, группа Gp является о/г-группой.

Пусть, наоборот, Gp является afi-группой для каждого простого числа p. Пусть A = ©р Ap - произвольный абсолютный идеал группы G и ф 6 E(G). Нетрудно доказать, что Ap - абсолютный идеал группы Gp и поэтому является ее вполне характеристической подгруппой для каждого p. Тогда ф^) = ©р ф^) = ©р ф^^) 6 ©р Ap = A, где фр - суждение ф на Gp. Следовательно, группа G является afi-группой. ■

В дальнейшем, будем рассматривать только p-группы.

Теорема 4. Делимая p-группа G является a/i-группой тогда и только тогда, когда G = 0 или G = Z(p“).

Доказательство. Очевидно, 0 является afi-труппой. Так как любой эндоморфизм группы Z(p“) является умножением на некоторое p-адическое число [1], то ф(д) 6 (g) с (g)AI для любого элемента g 6 1(pm) и эндоморфизма ф 6 E(Z(p“)). Следовательно, Z(p“) является a/i-группой по предложению 2.

Пусть G - делимая p-группа, G Ф 0 и G ^ Z(p“). Тогда G = ©г 61 Gl, Gl = 2(р“), |I| > 1. Тогда Gl не является вполне характеристической подгруппой группы G, так

как Ф^) = Gj ^ Gi (i Ф j) при эндоморфизме Ф = ф-п, ф - изоморфизм Gl на Gj, п -

проекция группы G на Gi. Но Gi является абсолютным идеалом группы G, так как на делимой p-группе можно задать только нулевое умножение. Следовательно, G не является a/i-группой ■

Пусть g — произвольный элемент p-группы G. Индикатором, или ульмовской последовательностью элемента g в группе G, называется последовательность H(g) = (с0 с1 ... си ... ), где си = h (png) - обобщенная p-высота элемента png в группе G. Напомним, что редуцированная p-группа G называется вполне транзитивной, если для любых двух элементов a, b 6 G из H(a) < H(b) следует, что существует эндоморфизм ф группы G, такой, что ф(о) = b.

Лемма 5. Пусть G - редуцированная вполне транзитивная p-группа, B - p-базисная подгруппа группы G. Пусть a, g 6 G, b 6 B такие, что H(g) < H(b) < H(a). Тогда a 6 (g)AI.

Доказательство. Так как G — вполне транзитивная группа, то существуют гомоморфизмы ф, у группы G, такие, что ф(д) = b и y(b) = a. Пусть B = ©г 6 : (ei). Известно [1, теорема 120.1], что умножение на p-группе полностью определяется произведениями базисных элементов. Определим умножение х на G, положив

Г 0, если i Ф j;

e х е,- = 1 .

1 j [е}-, если I = j.

20

Фам Тхи Тху Тхюи

Пусть Ь = ^е\ + ••• + ^п (kI■ 6 Ъ), тогда легко проверить, что Ь х (el + ••• + en) = Ь.

Определим гомоморфизм д, положив д(д) = g х (el +--------------+ en). Так как

о(д) < o(el +--+ en), то д имеет конечный порядок, поэтому д 6 1(0) [1, предло-

жение 117.3]. Так как 1(0) - идеал кольца Е(О) [2], то п = УД'Ф 6 1(0). Легко проверить, что п(?) = а. Так как (¿>А1 - абсолютный идеал группы О, то п(?) 6 (¿>А1 по теореме 1. Следовательно, а 6 (¿>А1. ■

В частности, если а = Ь, то из леммы 5 получается следующее следствие:

Следствие 6. Пусть О - редуцированная вполне транзитивная р-группа, В -р-базисная подгруппа группы О. Пусть g 6 О, Ь 6 В такие, что И(д) < Н(Ь). Тогда Ь 6 <g>A1. ■

Теорема 7. Редуцированная вполне транзитивная р-группа О является а/г-группой тогда и только тогда, когда ее первая ульмовская подгруппа О1 является циклической группой.

Доказательство. Пусть редуцированная вполне транзитивная р-группа О является а/г-группой. Допустим, что группа О1 не является циклической, тогда О1 Ф 0. Докажем, что группа О не является а/г-группой. Так как группа О редуцированна, то подгруппа О1 не является делимой. Поэтому существует элемент а 6 О1, имеющий нулевую высоту в О1. Так как О1 не является циклической группой, то существует элемент Ь 6 О1 такой, что Ь £ (а>. Пусть С = (а> П (Ь>. Так как подгруппа циклической группы также является циклической, то С = (р1са> = (р1Ь> для некоторых ^ I 6 Ъ. При этом I > 1, так как иначе Ь 6 (а>, что противоречит выбору элемента Ь. Также k > 1, так как иначе а 6 {р1Ь>, что противоречит тому, что И ! (а) = 0 . Рассмотрим элементы х = pk-1a и у = р1-1Ь. Нетрудно видеть, что

х £ (у> и у £ (х>, (1)

так как в противном случае, pk-1a = х 6 (а> П (Ь> = С = (р1са> или р1-1Ь = у 6 (а> П (Ь> = С = (р1Ь>. С другой стороны, рх = pka, ру = р1Ь - порождающие циклической группы С. Следовательно, рх = г(ру) для некоторого целого числа г, где (г, р) = 1. Откуда И (рпх) = И (рпу) для любого натурального числа п > 1. Докажем, что либо (х>, либо (у) не являются вполне характеристической подгруппой группы

0. Не теряя общности, можно считать, что И (х) < И (у). Тогда Н(х) < И(у), и поэтому из вполне транзитивности группы О следует, что у = ф(х) для некоторого гомоморфизма ф 6 ЕМО. Следовательно, из (1) следует, что (х> не является вполне характеристической подгруппой группы О. С другой стороны, так как х 6 О1, то (х> х О = О х (х> при любом умножении х на О. Следовательно, (х> - абсолютный идеал группы О. Следовательно, группа О не является а/г-группой.

Пусть теперь подгруппа О1 является циклической группой. Пусть g 6 О и ф 6 ЕМО. Докажем, что ф(д) 6 (¿>А1. Рассмотрим 2 случая:

1) g 6 О1. Поскольку О1 является вполне характеристической подгруппой группы О, то ф индуцирует некоторый эндоморфизм на О1. Так как О1 - циклическая группа, то ф(д) = kg для некоторого целого числа ^ Следовательно, ф(?) 6 (Я>а1.

2) g £ О1. Пусть И(д) = (с,),- 6 м, при этом с0, ..., оп-1 6 Ъ и сп > ю. Так как группа О/В делима, то существует элемент Ь 6 В такой, что

р°п-1_ ь . (2)

При этом, если Ь = X, 6 IЬ е,, где I - некоторое конечное подмножество множества

1, то элемент Ь можно выбрать таким образом, чтобы р°п_1 +11 k для всех , 61.

Докажем, что H(b) = (с0 ... cn-1 œ ... ). Пусть 5 < n. Тогда cn-1 + 5 > cn-1 > cs. Из (2) следует, что p°n-1+5+1 | psg - psb , то есть h*(psg - psb) > cn-1 + s. Следовательно, h*(psg - psb) > cs = h*(psg). Так как psb = psg - (psg - psb), то

h*(psb) = cs для каждого s < n. (3)

Из (2) следует, что p°n-1+n+1 | png - pnkiei. Следовательно, p°n-1+n+1 | pnkiei, так как h (png) = cn > œ. Так как система (ei | i £ J} является p-независимой, то либо pnki e, = 0, либо p°n-1+n+1 | pnki для каждого i £ J. Если p°n-1+n+1 | pnk, для некоторого i £ J, то p°n-1 +1 | ki, что противоречит выбору элемента b. Следовательно, pnkei = 0 для всех i £ J. Поэтому,

pnb = i, £ J pnk,e, = 0, (4)

откуда h (psb) = œ для всех s > n. Из этого и из (3) следует, что H(b) = (с0 ... cn-1 œ ... ). Следовательно, H(g) < H(b) < И(ф(Ь)). Так как G - вполне транзитивная группа и b £ B, то в силу леммы 5 имеем

Ф(Ь) £ (ghi, (5)

и в силу следствия 6

b £ (g)ai, (6)

Обозначим a = g - b. Тогда из (4) следует, что pna = png. Поэтому h (pna) = h(png) = Cn > œ, то есть pna £ G1. Так как G1 является циклической группой, то ф^а) = kpna для некоторого целого числа k. Следовательно, pn ^(a) - ka) = 0. Положим

c = ф^) - ka. (7)

Тогда h*(pnc) = h(0) = œ. Кроме того, из (7) следует, что h*(c) > h*(a) = = h (g - b) > Cn-1 в силу (2). Отсюда h (p'c) > cn _ 1 > c, для каждого i < n. Таким образом,

H(c) > (C0 ... Cn-1 œ ... ) = H(b) > H(g). (8)

Следовательно, c £ (g)AI по лемме 5. Кроме того, из (6) следует, что ka = k(g - b) £ (g)AI. Из этого и из (7) получаем, что

ф^) = c + ka £ (g)ai. (9)

Так как ф(д) = ф^) + ф(Ь), то из (5) и (9) следует, что ф(д) £ (g)AI.

В силу произвольности элемента g и эндоморфизма ф группа G является afi-группой по предложению 2 ■

Следствие 8. Любая сепарабельная p-группа является afi-группой. Доказательство. Это выполняется, так как любая сепарабельная p-группа вполне транзитивна и ее первая ульмовская подгруппа нулевая. ■

ЛИТЕРАТУРА

1. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. Т. 1, 2. М.: Мир, 1977.

2. FriedE. On the subgroups of abelian groups that are ideals in every ring // Proc. Colloq. Abelian Groups. Budapest, 1964. Р. 51-55.

3. Чехлов А.Р. Об абелевых группах, все подгруппы которых являются идеалами // Вестник Томского государственного университетата. Математика и механика. 2009. № 3. С. 64-67.

Статья поступила 13.05.2011 г.

22

0aM Txu Txy Txmu

Pham Thi Thu Thuy. TORSION ABELIAN a/i-GROUPS. A subgroup A of an abelian group G is called its absolute ideal if A is an ideal of any ring on G. An abelian group is called an afi-group if every its absolute ideal is a fully invariant subgroup. In this paper descriptions of afi-groups in the class of fully-transitive torsion groups (particularly, separable torsion groups) and divisible torsion groups are given.

Keywords: abelian group, ring on a group, absolute ideal, fully invariant subgroup, afi-group.

PHAM Thi Thu Thuy (Moscow State Pedagogical University)

E-mail: [email protected]