CC BY
21
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 18 Выпуск 2
УДК УДК 512.541 Б01 10.22405/2226-8383-2017-18-2-235-244
^-КОЛЬЦА МАЛЫХ РАНГОВ
А. В. Царев (г. Москва)
Аннотация
Ассоциативное кольцо Д называется ^-кольцом, если все эндоморфизмы его аддитивной группы Д+ являются левыми умножениями, то есть для любого а € Епё Д+ найдется г € Д, такой что а(х) = х ■ г для всех х € Д. ^-кольца были введены в 1973 году Ф. Щульт-цем. Им посвящено большое количество работ, однако, в большинстве из них рассматриваются ^-кольца без кручения. В данной работе рассматриваются ^-кольца, в том числе и смешанные, ранги которых не превосходят 2. Хорошо известно, что ^-кольца ранга О — это в точности кольца классов вычетов. Доказано, что ^-кольца ранга 1 совпадают с бесконечными Т-кольцамн (с кольцами Rx)■ Основным результатом статьи является описание ^-колец ранга 2. А именно, доказано, что ^-кольцо Д ранга 2 либо раскладывается в прямую сумму колец ранга 1, либо имеет вид Zm ф Т, где J — то-делимое Е-кольцо
без кручения, либо кольцо Д 5-сервантно вкладывается в кольцо П tp(R). Кроме того,
рев
получены некоторые результаты о нильрадикале смешанного ^-кольца.
Ключевые слова: ^-кольцо, ^-группа, абелева группа, Т-кольцо, факторно делимая группа.
Библиография: 15 названий.
BRINGS OF LOW RANKS
A. V. Tsarev (Moscow) Abstract
An associative ring R is called an .E-ring if all endomorphisms of its additive group R+ are left multiplications, that is, for any a G End R+ there is r G R such that a(x) = x ■ r for all x G fl. S-rings were introduced in 1973 by P. Schultz. A lot of articles are devoted to .E-rings. But most of them are considered torsion free .E-rings. In this work we consider E-frngs (including mixed rings) whose ranks do not exceed 2. It is well known that an E-frng of rank 0 is exactly a ring classes of residues. It is proved that E-frngs of rank 1 coincide with infinite T-ring (with rings The main result of the paper is the description of E-frngs of rank 2. Namely, it is proved that an S-ring R of rank 2 or decomposes into a direct sum of E-frngs of rank 1, or R = Zm © J, where J is an rn-divisible torsion free S-ring, or ring R is ¿"-pure
embedded in the ring tp(R). In addition, we obtain some results about nilradical of a mixed
pes
E-fmg.
Keywords: S-ring, S-group, abelian group, T-ring, quotient divisible group. Bibliography: 15 titles.
1. Введение
Понятие ^-кольца появилось в работах Шультца [1, 2] в связи с рассмотрением проблемы 45 из книги Фукса [3]. Эта проблема формулируется следующим образом: «Описать кольца К, для которых имеет место изоморфизм Д = Е(Д+)». Здесь Д+ — аддитивная группа кольца Д, а Е(Д+) — ее кольцо эндоморфизмов. Щультц обратил внимание на то, что изучение таких колец разбивается на два принципиально разных случая, в зависимости от того — коммутативны они или нет. Коммутативные кольца с условием Д = Е(Д+) Шультц назвал ^-кольцами и их систематическому исследованию посвятил работы [2, 4]. Отметим, что вопрос о существовании некоммутативных колец с условием Д = Е(Д+) оставался открытым в течении 30 лет. Лишь в 2003 г. примеры таких колец были построены Гёбелем, Шелахом и Штрюнгманном в [5].
Коммутативность кольца Д и условие Д = Е(Д+) равносильны тому, что имеет место канонический изоморфизм Д ^ Е(Д+), действующий по правилу а ^ Аа, где Ха — оператор левого умножения на а (Ха(х) = ах для любого х € К). В связи с этим, для определения ^-колец можно использовать функциональное уравнение Коши
/ (х + у) = / (х) + / (у). (*)
Если рассматривать функциональное уравнение (*) над произвольным кольцом Д, то множество его решений над Д — это в точности множество Е(Д+). Следовательно, кольцо Д является ^-кольцом в том и только том случае, когда уравнение (*) имеет над Д только линейные однородные решения. Еще Коши знал, что всякое решение уравнения (*) над кольцом целых чисел Ъ или над полем рациональных чисел ^ ^^^ет в ид / (х) = / (1)ж, т. е. Ъ и являются ^-кольцами.
^-кольца не попали в классическую монографию Фукса [6] (второй том которой вышел в 1973 г.), однако, почти во всех более поздних книгах по теории абелевых групп ^-кольцам посвящены параграфы или главы. Кроме того, в 2002 г. Винсонхалер опубликовал солидный обзор по ^-кольцам и близким к ним алгебраическим структурам [7].
Тривиально описываются периодические и делимые ^-кольца. Первые — это в точности кольца классов вычетов Ът. Ко вторым относится только поле рациональных чисел 0>. Кроме того, Боушелом и Шультцем в [4] с помощью структурных теорем Бьюмонта-Пирса описаны ^-кольца без кручения конечного ранга. Там же выделены и рассмотрены два интересных класса ^-колец — Т-кольца и ^-кольца с редуцированными копериодическими аддитивными группами.
В нашей работе продолжается изучение Е-колец методами, разработанными Шультцем и Боушелом в [2, 4] с привлечением техники, предложенной Селе и Сендреем в [8] для изучения абелевых групп с коммутативными кольцами эндоморфизмов. Нас прежде всего будут интересовать .Е-кольца малых рангов 2). Описание таких колец у нас сводится к случаю Е-колец без кручения или к случаю 5-сервантных подколец колец Ъх (о кольцах Ъх см. ниже).
Всюду далее под кольцом мы будем понимать ассоциативное кольцо, а под группой — абе-леву группу, записанную аддитивно. Групповая терминология, применяемая в работе к кольТ
факторно дел,им,ого кольца Д», следует понимать как «Т — подкольцо кольца Д и группа Т+ является сервант,ной подгруппой факторно делим,ой, группы Д+». Через N будем обозначать множество натуральных чисел, а через Р — множество всех простых чисел. Если 5 — подмножество Д-модуля М, то через (5) и (5)д будем обозначать соответственно подгруппу и подмодуль, порожденные множеством а чееез (5) — сервантную оболочку множества
состоящую из всех таких г € М, что пг € (5) при некотором натуральном п. Элементы а\, а,2, ..., а,п группы А будем называть линейно независимыми (над Ъ), если равенство
т,\а\ + т2а2 + ... + тпап = 0 влечет т,\ = т2 = ... = тп = 0. Бесконечное множество называется линейно независимым, если линейно независимо любое его конечное подмножество. Рангом группы А называется мощность максимального линейно независимого подмножества в А (обозначается г (А)), р-рангом группы А называется размер ность Zp-пространства А/рА (обозначается гр(А)). Через t(A) и tp(A) будем обозначать периодическую и р-примарную части группы А. Кольцо и группу эндоморфизмов группы А будем обозначать Е(А) и End А соответственно. Если R — кольцо, то через R+ будем обозначать его аддитивную группу.
Другие используемые определения и понятия стандартны и соответствуют монографии [6].
2. Основные результаты о Е-кольцах
Познакомимся с основными техническими результатами теории ^-колец. При этом, мы в основном, будем следовать работе [2].
Определение 1. Кольцо с единицей R называется Е-кольцом, если всякий эндоморфизм ее аддитивной группы является левым умножением, т. е. для любого р £ Е(Д+) существует а £ Д, такой что р(х) = Ха(х) = ах для всех х £ R.
Лемма 1. Любое Е-кольцо коммутативно.
Доказательство. Пусть R — .Е-кольцо. Для произвольного элемента а £ R рассмотрим эндоморфизм ра £ Е(Д+), являющийся правым умножением на а, т. е. ра(х) = ха для каждого х £ Д. Тогда из определения .Е-кольца следует, что существует элемент b £ R, такой что ра = Хь- Отсюд а ра(1) = А&(1), т.е. а = Ь. Таким образом, ра = Ха для любо го а £ R. Тогда получаем
ху = Хх(у) = рх (у) = ух для любых х, у £ R, т.е. R — коммутативное кольцо. □
Лемма 2. Для кольца R следующие утверждения равносильны:
1. д — Е-кольцо;
2. Е(Д+) — коммутативное кольцо;
3. Если <р £ Е(R+) и <р(1) =0, то = 0.
Доказательство. 1 ^ 2 — очевидно.
2 ^ 3. Пусть ^>(1) = 0 тогд а р(а) = ^(Аа(1)) = Ха( ^>(1)) = 0 для любо го а £ R, т.е. <р = 0.
3 ^ 1. Пусть ip £ Е(Д+) и ^>(1) = а. Рассмотрим эндоморфизм (р — \а) £ Е(Д+). Поскольку (р — Аа)(1) = 0, то р — Ха = 0 и р = Ха- Таким образом, R — .Е-кольцо. □
Лемма 3. Если для аддитивной группы Е-кольца, R им еет м ест о разложение R+ = АфВ, то Нош(Д В) = 0 и Нош(Б, А) = 0.
Доказательство. По предыдущей лемме группа R+ имеет коммутативное кольцо эндоморфизмов. Тогда все ее прямые слагаемые вполне характеристичны, а значит, Нош(Д В) = 0 и Нош(Б, А) = 0. □
Напомним, что группы без кручения А и В называются квазиравными, если тА с В т тВ с В для некоторого т £ N. Если А и В квазиравны, то будем писать А = В.
Предложение 4. Справедливы следующие утверждения:
1. Если К — кольцо с единицей, являющееся подкольцом конечного индекса, Е-кольца, R, то К Е-кольцо;
2. Если R и К — квазиравные ассоциативные кольца без кручения с единицей и R — Е-кольцо, то К — тоже Е-кольцо;
3. Нильрадикал Е-кольца без кручения конечного ранга равен нулю.
Доказательство. 1. Во-первых, заметим, что если tp(R) = 0, то
R = tp(R) ф Rp, где tp(R) = Zpfcp и pR'p = R'p.
Это вытекает из коммутативности кольца E(R+) (подробнее см., например, в [9, §19]). Пусть IR С K,l G N, и I = р™1 .. .p™s — каноническое разложение числа I. Рассмотрим разложение К = tPl (К) ф tP2 (К) ф ... ф tPn (К) ф L. Здесь L — кольцо с единицей (возможно 1l = 1r)-Пусть р^ = \tPi (Д)\, Vi = шах{щ, ki] для каждого г = 1, 2, ..., s и т = р11 рг22 .. .рг/. Тогда I делит m и mR С L.
Рассмотрим произвольный эндоморфизм (р g Е(L+) и построим эндоморфизм а = p — тогда а(1ь) = 0. С другой стороны mp G E(R+), следовательно, тр = где к = mp(1i) G L. Отсюда та = тр — m\^(iL) = — m\^(iL) = 0. Так как L не имеет то и E(L+)
не имеет m-кручения. Тогда из та = 0 вытекает, что а = 0 и р = Таким образом, L —
^-кольцо, а значит, и К — ^-кольцо.
2. Является следствием утверждения из п. 1.
3. Пусть R — ^-кольцо без кручения конечного ранга. Тогда по первой теореме Бьюмонта-Пирса К = S ф N, где S — полупервичное кольцо, а N — нильрадикал кольца R. По доказанному выше, Т = S ф N тоже является ^-кольцом. Предположим, что N = 0. Так как группа Т+ имеет коммутативное кольцо эндоморфизмов, то всякое ее прямое слагаемое является вполне характеристической подгруппой. Следовательно, S является идеалом кольца Т, а значит, T/S — нильпотентное кольцо с единицей. Получили противоречие. □
Определение 2. Группа А называется Е-группой, если на А можно задать умножение, превращающее ее в ^-кольцо.
^-группы — это аддитивные группы .Е-колец. Следовательно, для произвольной ^-группы А имеет место изоморфизм А = End А и, при этом, кольцо Е(А) коммутативное.
Теорема 5. Пусть А — произвольная Е-группа, тогда
1. Если (А, ■) ассоциативное кольцо с единицей, то для всякого умножения * G Mult А найдется элемент a G А, такой что х * у = а ■ х ■ у для всех х, у G А;
2. На группе А существует единственное (с точностью до изоморфизма) ассоциативное кольцо с единицей.
Доказательство. 1. Пусть 1 — единица кольца (А, ■) и 1 * 1 = а, тогда ж * у = Х*х(ру(1)) = ру(Х*х(1)) = (х * 1)у = (р*(рх(1)))у =
= (Рх(Р*1(1)))У = (1 * 1)ху = аху.
2. Пусть изоморфизм А = End А индуцирует на группе А структуру ассоциативного кольца с единицей (А, ■). Тогда из леммы 1.3 следует, что (А, ■) — коммутативное кольцо. Рассмотрим на группе А произвольна мультипликативную операцию * такую, что (А, *) — ассоциативное кольцо с единицей. В соответствии с п. 1, найдется элемент a G А, такой что х * у = а ■ х ■ у для всех х, у G А. Обозначим через 1 и 1' единицы колец (А, ■) и (А, *) соответственно. Тогда из равенства 1' * 1 = 1 вытекает равенство а ■ 1' ■ 1 = а ■ 1' = 1, а значит, элемент а обратим в кольце
(А, •). Покажем, что отображение /: (А, ■) ^ (А, *), действующее по закону /(х) = а 1 ■ х, является изоморфизмом колец:
f (х + у) = а-1(х + у) = а-1х + а-1у = f (х) + / (у),
/* /(у) = (а-1ж) * (а-1у) = а ■ а-1 ■ ж ■ а-1 ■ у = а-1(х ■ у) = /(ж ■ у).
Наконец, поскольку а-1 * х = а ■ а-1 ■ х = х для любого х € ^о а"1 = 1', и следовательно, / (1) = а-1 = 1'. * □
В заключении параграфа отметим интересный факт об эндоморфных образах Е-групп.
Лемма 6. Эндоморфный образ Е-группы является Е-группой, в частности прямое слагаемое Е-группы является Е-группой.
Доказательство. Пусть А — Е-группа и (А, ■) — Е-кольцо. Тогда эндоморфный образ группы А имеет вид аА. Определим умножение * на группе аА по закону ах * ау = аху. Тогда (аА, *) — коммутативное кольцо с единицей а. Если р € Е(аА), то \ар € Е(Л), и значит, для любого ах € аА
<р(ах) = (Ха<р)(х) = А(Ао¥,)(1)(ж) = <р(а)х = аух,
где ау = р(а) € аА. Следовательно, р(ах) = ау * ах, т. е. р является умножением на элемент ау. Таким образом, (аА, *) — Е-кольцо и, значит, аА — Е-группа. □
3. Смешанные Е-кольца
При работе со смешанными Е-кольцами мы воспользуемся техникой, разработанной еще
Селе и Сендреем [8] для изучения групп с коммутативными кольцами эндоморфизмов.
Множество 8ирр(А) = {р € Р | ^(А) = 0} называется носителем, группы А Пусть Д —
произвольное Е-кольцо и 5 = 8ирр(Д), тогда из коммутативности кольца Е(Д+) для любого
р € Б получаем разложение Д+ = ¿р(Д) ф Др, где ¿р(Д) = Zpp и цр р-делимая группа без р-
кручения (подробнее об этом см., например, в [9, § 19]). Группы ¿р(Д) и К'р, очевидно, являются
идеалами кольца Д, т. е. приведенное выше групповое разложение является кольцевым. Для
произвольного элемента а € Д и всякого р € 5 рассмотрим равенство а = ар+а'р, где ар € ¿р(Д)
и а'р € В!р. Построим отображение £: Д ^ П ¿Р(К), действующее по закону ((а) = (ар)рея.
рея
Отображение очевидно, является гомоморфизмом колец, причем
кег£ = В!р = {а € Д | Нр(а) = те при всех р € Б}, рея
здесь Нр(а) — р-высота элемента а. Обозначим идеал кег£ через Р Нетрудно видеть, что ■] — кольцо без кручения, более того оно р-делимо при любом р € Б. Множество ■] будем далее рассматривать и как идеал, и как кольцо (возможно без единицы).
Идеал ■] содержит единицу кольца К в том и только том случае, когда ■] = К — кольцо без кручения. Кольцо ■] содержит единичный элемент в том и только том случае, если .] выделяется в К прямым слагаемым. В [4] показано, что последнее равносильно тому, что ■] само является ^-кольцом. Далее рассмотрим нильрадикал N(7) кольца ■].
Предложение 7. Пусть К — Е-кольцо конечного ранга, и ■] = П В!р, тогда (N(7))2 = 0.
рея
Доказательство. Пусть а € N( J). Рассмотрим идеал аК кольца Д. Поскольку а — ниль-потентный элемент, то аК — нильпотентный идеал кольца Д.
Группа аК является эпиморфным образом группы следовательно, аК — ^-группа (см. лемму 6). Пусть (аК, *) — ^-кольцо, тогда по теореме 5 существует элемент г € аК, такой что ху = г * х * у для любых х, у € аК. Так как аК — нильпотентный идеал кольца К, то для любого элемента х € аК найдется число в € М, такое что
0 = х • х • ^ .. • х = гя-1 * х * х .. * х.
з раз я раз
Тогда (г * х) * (г * х) * ... * (г * х) = 0 и, значит, (г * х) € NаК, *). Но аК С 3, следовательно,
4-V-'
я раз
(аК, *) — ^-кольцо без кручения конечного ранга. Тогда по предложению 4 получаем, что NаК, *) = 0 и г * х = Таким образом, г * аК = 0, откуд а г = 0. Следовательно, для любых х, у € аК верно равенство ху = г * х * у = 0, в частности, а2 = аа = 0.
Наконец, пусть а,Ъ — произвольные элементы из N(7). Тогда по доказанном у выше а2 = 0,
! а2
□
Ъ2 = 0 и (а + Ъ)2 = 0. Отсюдa а2 + 2ab + Ъ2 = 0 и, значит, ab = 0. Таким образом, (N(J))2 = 0.
Пример. Нильрадикал Е-кольца R в общем случае отличен от N(J), хотя бы потому, что N(R) может содержать еще и нильпотентные элементы конечного порядка, т. е. имеет место включение
J) ® 0KU R)) С R).
pes
Обратного включения может и не быть. Проиллюстрируем это на следующем примере. Напомним, что характеристика % = (mp) — это некоторая последовательность целых неотрицательных чисел и символов те, занумерованная простыми индексами. Рассмотрим кольцо
Zx = Л Kp, где Kp = ZpmP при mp = те и Kp = Zp — кольцо целых р-адических чисел при peP
mp = те. Хорошо известно, что все кольца Zx и все их сервантные подкольца с единицей являются Е-кольцами. Рассмотрим характеристику % = (2, 2, 2, ...). Обозначим через ep единицу кольца Zp2 (и ее образ при естественном вложении Zp2 ^ Zx). Разобьем множество простых чисел на два бесконечных подмножества Р = Р\ U Р^. Рассмотрим элемент а £ Zx, такой что
(ep, р £ Pi
ар = \ , л
р [ Р£р + £р, Р £ Р2,
и построим группу R = (ап \ п £ N)* С Zx. Нетрудно видеть, что R — подкольцо кольца Zx.
Далее, поскольку (а — 1)2 = а2 — 2а + 1 = 0, то 1 = 2а - а2 £ R и R = (1, а)* С Zx. Таким
образом, R — сервантное подкольцо с единицей ранга 2 кольца Zx- Следовательно, R — Е-
кольцо. В силу построения J = 0, но N(R) = ф tp(R)) = ф pZp2, поскольку а — 1 £ N(R)
pes peP
( а — 1) = те
Далее естественно рассмотреть случай, когда J = 0.
Предложение 8. Если R — Е-кольцо, такое что J = Р| R'p = 0, то R вкладывается
pes
S-сервантно в кольцо П tp(R).
pes
Доказательство. Поскольку J = 0, то гомоморфизм R ^ П tp(R) является вложе-
pes
Rp £ S
R/t(R) = [R/tp(R)]/[t(R)/tp(R)] - R'p/[t(R)/tp(R)],
получаем, что факторгруппа R/t(R) р-делима при любом р Е S. Из этого следует, что im£ —
р-сервантная подгрупп а в П tp (R) для любого р Е S. Действительно, отождествим группы
pes
R+ и im£ и рассмотрим равенство а = рт Ь, где а Е R, b Е Л tp(R), р Е S и m Е N. В силу
pe s
р-делимости группы R/t(R) имеем а = ртс + t, где с Е R и t Е t(R). Откуда ртЪ = ртс + t и рт(Ь — с) = t Е t(R). Отсюда следует, что Ъ — с лежит в t(R), а элемент b лежит в£ □
Отметим, что доказанное предложение фактически является следствием известной теоремы Селе-Сендрея [8, теорема 2] (см. также [9, теорема 19.4]). Далее рассмотрим еще один крайний случай, когда r(J) = r(R) < те.
Предложение 9. Пусть А — смешанная группа конечного ранга с коммутативным кольцом эндоморфизмов, у которой подгруппа
J = {а Е R | hp(a) = те при всex р Е S}
А А
Доказательство. В силу коммутативности кольца Е(А) для любого р е S = supp(A) имеет место разложение А = ip(A) ф Ap, где ip(A) = zj^ А^ р-делимая группа без р-кручения. Для произвольных а Е А и р Е S рассмотрим равенство а = ap + а'р, где ap Е tp(A) и
a'p Е Ар. Тогда отображение £: А ^ П ip(А), действующее по закону £(а) = ((ip)pes является p p pe s
гомоморфизмом, причем, очевидно, ker£ = J. Поскольку г(А) = r(J), то im£ = ф ¿Р(А) —
pe s
прямая сумма циклических групп.
J А А/ J
Л ip( А), то А/J не имеет элементов порядка р при любом р Е S. Следовательно, J — р-
pe s
сервантная подгруппа в А при любом простом р Е S. Кроме того, J — р-делимая группа при любом р Е S, а значит, J — р-сервантная подгруппа в А и при любом простом р Е S. Таким J А
J А А/ J = p( А)
pe s
J А А □
Пусть % = (mp) — произвольная характеристика. Если % содержит символы те или содержит бесконечно много ненулевых элементов, то в кольце Zx рассмотрим подкольцо Rx, сервантно порожденное единицей кольца, Rx = (1)* С Zx. Если характеристика % содержит лишь конечное число конечных элементов, то Zx = Z,™ для некоторого m Е N. В этом случае постоим кольцо Rx = Q ф Кольцa Rx — это в точности факторно делимые кольца ранга 1 (см. [10], [11] и [12]). Отметим также, что в [13] и [14] показано, что факторно делимые кольца ранга 1 совпадают с бесконечными Т-кольцами.
В силу построения все кольца Rx являются Е-кольцами ранга 1. Оказывается, что верно и обратное, кольцами Rx исчерпываются все Е-кольца ранга 1.
Теорема 10. Если R — Е-колъцо ранга 1, mo R = Rx при некоторой
Доказательство. Рассмотрим короткую сервантно точную последовательность
0 ^ t(R) ^ R ^ R/t(R) ^ 0.
Она индуцирует короткую последовательность
0 ^ t(R) ^R ^ R/t(R) ^ 0,
Где — функтор взятия Z-адического пополнения. Хорошо известно (см., например, [6, теорема 39.8]), что вторая последовательность точна и расщепляется, т.е. R = t(R) ®R/t(R). При
этом, t(R) = П ¿piR),а поскольkv R/t(R) — кольцо без кручения ранга 1, то R/t(R) = П Zp,
pes " рет
где Т = {р Е Р | p(R/t(R)) = R/t(R)}. Учитывая, что кольцо R/t(R) р-делимо при любом р Е S, получаем, что S П Т = 0 и, значит, R = Zx для некоторой характеристики х-
Пусть ß: R ^ R — естественный гомоморфизм, тогда ß(R) — сервантная подгруппа в
R = Zx, причем ker ß = П nR. Если ker ß = 0, то ker ß — делимое кольцо без кручения ранга
nez
1, т.е. kerß = Q. А тогда im ß — Zm и, таким образом, R = Q ф Zm. Если же ker ß — 0, то R сервантно вкладывается в Zx, причем, отождествляя R с imß, можно считать, что 1zx = 1r и t(Zx) = t(R). Следовательно, R совпадает с группой Rx = (1)* С Zx. □
Отметим еще, что Е-кольца ранга 0 — это в точности периодические Е-кольца, т. е. кольца классов вычетов Zm. Рассмотрим теперь ситуацию с Е-кольцами ранга 2. Для доказательства основной теоремы нам понадобится теорема Бьюмонта-Пирса.
Теорема 11 [15]. Пусть R — кольцо без кручения конечного ранга, S = Q ® R — конечномерная Q-алгебра. Запишем, S = Р ®N,zde Р ^ полупримитивная алгебра и N — радикал, алгебры S. Положим Т = Р П R, тогда Т — полупервичное кольцо, N(R) = N П R и Т ®N(R) R
Заметим, что если R — кольцо с единицей, то Т ф N(R) — подкольцо с 1 в R.
Теорема 12. Пусть R — Е-кольцо ранга 2 и J = Р| R'p, тогда
pes
1. Если r(J) = 2, тпо R — Zm ф J и J — т-делимое Е-кольцо без кручения;
2. Если r(J) = 0, то R вкладывается S-сервантно в кольцо П tp(R);
pes
3. Если r(J) = 1, то R = Rx ф RK, где характеристики х и к несравнимые и хР < ж, кр < ж влечет хРкР = 0.
Доказательство. 1. Если r(R) = r(J) = 2, то образ гомоморфизма R ^ п tP(R) яв~
pes
ляется периодическим кольцом с единицей. Следовательно, tp(R) = 0 почти при всех простых р. Поэтому im{ = t( R) = Zm при некотором т Е N Таким образом, R = Zm ф J, причем J — Е Е т J = J
2. Вытекает из предложения 8.
3. Так как r(J) = 1, то J — кольцо без кручения ранга 1. Хорошо известно, что в этом случае группа J + либо является Е-группой (когда тип группы J идемпотентен), либо J+ допускает только структуру кольца с нулевым умножением.
1-й случай: J + — Е-груипа. Тогда гомоморфизм £ расщепляется (доказано Шульцем —
R = im ф ker im ker Е
im£ = Rx и ker£ = RK (по теореме 10). Дополнительные условия п. 3 на характеристики х и к вытекают из леммы 3.
2-й случай: J2 = 0. Рассмотрим фактор кольцо R = R/t (R). По теореме Бьюмонта-Пирса кольцо R/t(R) содержит подкольцо конечного индекса Т ф^ где Т — полупервичное кольцо, а N = N(R) — нильрадикал кольца R. Так как J2 = 0 и r( J) = 1, то r(N) ^ 1. При r(N) = 2 получаем, что R = N — нильпотентное кольцо с 1. Следовательно, r(N) = г(Т) = 1.
Далее, пусть Т и N — прообразы Т и N при естественном гомоморфизме R ^ R/t(R). Тогда Т+N — подкольцо с единицей конечного индекса в кольце R. По предложению 4 кольцо
Т + N является Е-кольцом. Нетрудно видеть, что J С N. Заметим, что J — сервантная подгруппа группы R+, а значит, и группы N + (по построению J — пересечение прямых слагаемых группы R+). Так как r(N) = r(N) = 1 = r(J), то для любого а Е N найдутся m Е N и b Е J,
m а = . J N J m =
Тогда т(а — Ь') = 0 и а — b' = tE t(R). Таким образом, а = b' +1, а значит, N = J + t(R). По J N = J ф ( R)
Учитывая также, что Т (IN = i(R), получаем равенство Т + N = Т ф J. Тогда J — Е-кольцо,
Е J
□
4. Заключение
Е
выше гомоморфизм £: R ^ П tp(R) расщепляется или квазирасщепляется. Шультцем в [4]
pe s
Е
Е
ранга ^ 2 эта проблема решается отрицательно.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Schultz P. Periodic homomorphism sequences of abelian groups // Arch. Math. 1970. Vol. 21. P. 132-135.
2. Schultz P. The endomorphism ring of the additive group of a ring // J. Austral. Math. Soc. 1973. Vol. 15. P. 60-69.
3. Fuchs L. Abelian groups. Publ. House of the Hungar. Acad. Sci. Budapest, 1958.
4. Bowshell R. A., Schultz P. Unital rings whose additive endomorphisms commute // Math. Ann. 1977. Vol. 228, №3. P. 197-214.
Е
6. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. I, II. М.: Мир, 1973, 1977. Е
Math. Apl. Kluwer, Dordrecht. 2002. Vol. 520. P. 387-402.
8. Szele Т., Szendrei J. On abelian groups with commutative endomorphism ring // Acta Mathematica Hungarica. 1951. Vol. 2, №3. P. 309-324.
9. Крылов П. А., Михалев А. В., Туганбаев А. А. Абелевы группы и их кольца эндоморфизмов. М.: Факториал Пресс, 2006.
10. Фомин А. А. К теории факторно делимых групп. I // Фундамент, и прикл. матем. 2012. Том 17, №8. С. 153-167.
11. Фомин А. А. К теории факторно делимых групп. II // Фундамент, и прикл. матем. 2015. Том 20, №5. С. 157-196.
12. Давыдова О. И. Факторно делимые группы ранга 1 // Фундамент, и прикл. матем. 2007. Том 13, №3. С. 25-33.
Т
Матем. и мех. 2013. №4(24). С. 50-53. Т
15. Beaumont R., Pierce R. Torsion free rings // 111. J. Math. 1961. Vol. 5. P. 6-98. REFERENCES
1. Schultz, P. 1970, "Periodic homomorphism sequences of abelian groups Arch. Math., vol. 21, pp. 132-135.
2. Schultz, P. 1973, "The endomorphism ring of the additive group of a ring J. Austral. Math. Soc., vol. 15., pp. 60-69.
3. Fuchs, L. 1958, "Abelian groups Publ. House of the Hungar. Acad. Sci. Budapest.
4. Bowshell, R. A. k, Schultz, P. 1977, "Unital rings whose additive endomorphisms commute Math. Ann., vol. 228, no. 3, pp. 197-214.
Е
6. Fuchs, L. 1970, 1973, "Infinite abelian groups vol. 1, 2, Academic press.
Е
8. Szele, Т., Szendrei, J. 1951, "On abelian groups with commutative endomorphism ring Acta Mathematica Hungarica, vol. 2, no. 3, pp. 309-324.
9. Krvlov, P. A., Mikhalev, A.V. k, Tuganbaev, A. A. 2013, "Endomorphism rings of Abelian groups vol. 2, Springer Science k, Business Media.
10. Fomin, A. A. 2014, "To Quotient Divisible Group Theory. I Journal of Mathematical Sciences (New York), vol. 197, no. 5, pp. 688-697
11. Fomin, A. A. 2015, "To Quotient Divisible Group Theory. II Fundamentalnaya i prikladnaya matematika (russian translation), vol. 20, no. 5, pp. 157-196.
12. Davvdova O.I. 2008, "Rank-1 quotient divisible groups J. Math. Sci., vol. 154, no. 3, pp. 295300.
Т
translation), no. 4(24), pp. 50-53.
Т
vol. 20, no. 5, pp. 203-207. 15. Beaumont, R., Pierce, R. 1961, "Torsion free rings III. J. Math., vol. 5, pp. 6-98.
Московский педагогический государственный университет Получено 14.03.2017 г. Принято в печать 12.06.2017 г.
