CC BY
13
ЕСТЕСТВОЗНАНИЕ
А. В. Чередникова, А. В. Ерастова
Таблица 2
Биомасса особей разных видов в популяционном локусе луговика дернистого
Виды Биомасса, г/0,25 м2
1. Луговик дернистый 27,25
2. Полевица тонкая 2,25
3. Одуванчик лекарственный 0,51
4. Манжетка обыкновенная 0,27
5. Фиалка собачья 0,06
6. Василек луговой 0,053
7. Ястребинка дернистая 0,015
Всего: 30,858
кой жизненной формы: рыхло- и плотнокусто-вой. Щучка характеризуется более выраженными признаками К-стратега, чем молиния. Она оказывает значительное влияние на экотоп, формируя его микронеоднородность. Вследствие этого мозаики щучки бедны по флористическому и количественному составу. Формирование фитогенных мозаик обоих типов осуществляется исключительно с помощью семенного размножения. Мозаичность сообщества - важнейший фактор его стабильности. Она способствует наиболее эффективному использованию ресурсов среды и поддержанию биоразнообразия.
Библиографический список
1. Восточноевропейские широколиственные леса / Под ред. О.В. Смирновой. - М.: Наука, 1994.
2. Диагнозы и ключи возрастных состояний злаков. Методические разработки для студентов биологических специальностей / Под ред. А.Г. Еленевского. - М.: Прометей, 1997.
3 Жукова Л.А. Влияние географических и антропогенных факторов на возрастной состав цено-популяций луговика дернистого // Бюлл. МОИП. Отд. биологии. - 1990. - №1. - С. 87-100.
4. ЖуковаЛ.А., Ведерникава О.П., Лебедев В.П. Ценотическая роль и структура ценопопуляций луговика дернистого и щавеля малого // Влияние мелиорации на состав и свойства торфянистых почв. - Петрозаводск, 1985. - С. 157-170.
5. Ипатов В.С., Кирикова Л.А. Фитоценология. - СПб., 1997.
6. Лебедев В.П. Динамика ценопопуляций сорных растений в искусственном молодняке ели // Лесоведение. - 1995. - №1. - С. 66-72.
7. Персикова З.И. Большой жизненный цикл щучки // Вопросы биологии растений. Уч. зап. МГПИ им. В.П. Потемкина. - М., 1959. - С. 111-149.
8. Смирнова О.В., Заугольнова Л.Б., Попа-дюк Р. В. Популяционная концепция в биогеографии // Общая биология. - 1993. - №3. -С.438-448.
А. В. Чередникова, А. В. Ерастова
О РАДИКАЛАХ ДЖЕКОБСОНА КОЛЕЦ КВАЗИЭНДОМОРФИЗМОВ СИЛЬНО НЕРАЗЛОЖИМЫХ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП БЕЗ КРУЧЕНИЯ РАНГА 4
Преамбула. Получено описание минимальных рациональных алгебр, подалгебрами которых с точностью до изоморфизма являются радикалы Джекобсона колец квазиэндоморфизмов сильно неразложимых абелевых групп без кручения ранга 4, отличных от своих псевдоцоколей.
Все рассматриваемые в статье группы -абелевы без кручения конечного ранга. Через Q обозначим поле рациональных чисел.
Если в тексте отсутствуют какие-либо определения или не объясняются обозначения, то, значит, они общеприняты, и их также можно найти в [4; 5; 6].
На пути решения задачи классификации колец квазиэндоморфизмов абелевых групп без
кручения конечного ранга наиболее интересным и сложным с научной точки зрения является случай сильно неразложимых групп.
Группа называется сильно неразложимой, если она не обладает нетривиальными квазиразложениями.
Методика исследования колец квазиэндоморфизмов сильно неразложимых групп ранга 3, представленная в работе [7], носит общий харак-
20
Вестник КГУ им. Н.А. Некрасова ♦ № 2, 2006
© А. В. Чередникова, А. В. Ерастова, 2006
О радикалах Джекобсона колец квазиэндоморфизмов...
тер и может быть использована в случае сильно неразложимых групп ранга 4.
Первоначальным этапом решения задачи является описание минимальных рациональных алгебр, подалгебрами которых с точностью до изоморфизма являются радикалы Джекобсона колец квазиэндоморфизмов сильно неразложимых групп ранга 4, отличных от своих псевдоцоколей, которое дается в данной статье.
Напомним, что радикалом Джекобсона J(R) кольца R называется пересечение всех максимальных правых (левых) идеалов кольца R.
Псевдоцоколем группы G называется серван-тная оболочка суммы всех минимальных серван-тных вполне характеристических подгрупп группы G (обозначается через Soc G). Если G*Soc G,
то J(E(G)) * 0, где E(G) - кольцо квазиэндоморфизмов группы G [2].
Лемма. Пусть G - сильно неразложимая абе-левая группа без кручения ранга 4, тогда кольцо
квазиэндоморфизмов E (G) изоморфно подалгебре полной матричной алгебры M(Q) порядка 4.
Доказательство. Зафиксируем линейно независимые элементы x1, x2, x3, x4 e G. Положим R1= <x>„ R2= <x>„ R3= <x3>4 R4= <x>„ где <x>* - наименьшая сервантная подгруппа группы G, содержащая элемент x.. Обозначим через ik: Rk ^ G и л: G ^ Q ® Rk возникающие здесь гомоморфизмы вложения и квазиэндоморфизмы проекции. Тогда i(x), i2(x2), i(x) i/xj, образуют максимальную линейно независимую систему группы G.
Всякий квазиэндоморфизм ф: G ^ G вполне определяется элементами pi(x), pi2(xj, q>i(x), q>i4(xj, которые могут быть записаны в следующем виде:
^i(x) = n1^i1(x)+n2^i1(x)+n3^i1(x)+n4^i1(x), Pi2(xJ = ^pi/xj+^pi/xj+^pi/xj+n^i/xj, (1) çi/xj = пф 3(x)+n2qi 3(x)+n3qi (x)+n4qi (x),
pi4(x4) = ^1^4(x4) + n2^4(x4) + n3^4(x4) + n4^4(x4).
Таким образом, с каждым элементом q>e E (G) ассоциируется (4x4) -матрица:
(
f-Р^
ж2щ
ад
Ж1Щ2
ж2ф12
Ж4ф12
Ж2<$3
ад'з
ж4ф3
ж^4
Ж2ф14
ж3ф4
л
С другой стороны, ф1](Х]), ф12(х2), р3(х), фЛ4(х) могут быть записаны в следующем виде:
Pi1(x!) =a11x1+a21x2 + a31x3 + a41x4' Pl2(x2) =a12x1+a22x2 + a32x3 + a42x4, (2)
Pi3(xJ =a1x1+a2x2 + aix+a4x4,
Pi4(xJ =a14x1+a24x2 + a34x3 + a44x4,
где a., e Q. Пусть задано отображение
( ж1щ nlq>i2 Mlqi3 жlqi4 ^
ж2($1 ж2(р12 ж2($3 ж2дя4
ж3^11 ж3дя2 ж3ця3 ж3ця4
ж^ ж4ф2 ж4ця3 ж4ця4
(
^41 ^42 ^43
\
42
43
Тогда отображение gf будет изоморфизмом E (G ) и подалгебры полной матричной алгебры M4(Q) порядка 4 [5]. Лемма доказана.
Пусть G - сильно неразложимая абелева группа без кручения ранга 4 и Soc G * G.
Рассмотрим сначала случай, когда Soc G имеет ранг 3. Пусть линейно независимые элементы x1, x2, x3, группы G принадлежат Soc G. Возьмем элемент x4 e Soc G \ G. Так как подгруппа Soc G сервантна в G, элементы x1, x2, x3, x4 линейно независимы и, следовательно, образуют максимальную линейно независимую систему группы G.
Так как из определения псевдоцоколя следует, что Soc G является сервантной вполне характеристической подгруппой группы G, равенства (1) леммы примут вид:
^i(x) = n1^i1(x)+n2^i1(x)+n3^i1(x)1, (pi2(x) = K^i/xJ + K^i/xJ + K^i/xJ, pi/xj = пф 3(x)+n2qi 3(x)+n3qi (x),
P'4(xJ = n1Pi4(x) + n2Pi4(x) + n3Pi4(xJ + n4Pi4(xJ. Тогда равенства (2) леммы примут следующий вид:
Pi1(x1) =a11x1+a21x2 + a31x3, Pi2(xJ =a12x1+a22x2 + a32x3, P'3(xJ =a13x1+a23x2 + a33x3, P'4(xJ =a14x1+a24x2 + a34x3 + a44x4.
Отсюда по лемме
E (G) ç
«11 «12 «13 «14 "
«21 «22 «23 «24
«31 «32 «33 «34
0 0 0 «44 ,
«« e Q
= K.
g
Вестник КГУ им. Н.А. Некрасова ♦ № 2, 2006
21
ЕСТЕСТВОЗНАНИЕ
Н. М. Пухов, В. Н. Марков, П. П. Исаев
Так как Е(О) является артиновым, радикал
Джекобсона J(Е(О)) кольца Е(О) нильпотентен [1].
Найдём максимальный нильпотентный идеал I кольца К. Напомним, идеал I называется нильпотентным, если 1п=0 для некоторого натурального п.
Замечание. Легко видеть, что если Л=||аа|| -квадратная матрица порядка п с рациональными элементами, и а.^-О, а.^0, то матрица А не является нильпотентной.
Из замечания следует, что если для некоторого натурального п
(
«11 «12 «13 «14 4
«21 «22 «23 «24
«31 «32 «33 «34
0 0 0 «44 ,
= 0,
то ап = а22 = а33 = а44 = 0 .
Из замечания также следует, что элементы матриц кольца I, симметричные относительно главной диагонали не должны быть одновременно отличны от нуля. Вычисления показывают, что среди матриц кольца К, удовлетворяющих указанным выше условиям, нильпотентны-ми являются следующие матрицы с рациональными элементами:
К1 =
(0 а 12 «13 а ^ 14 (0 «12 «13 а ^ «14
0 0 «23 «24 ; К = 0 0 0 «24
0 0 0 «34 2 0 «32 0 «34
.0 0 0 0 ,0 0 0 0
К =
(0 «12 «13 «14
0 0 «23 «24
0 0 0 «34
. 0 0 0 0
«« 6 Q
Известно [3], что если группа О сильно неразложима, кольцо Е(О) артиново справа и
тп^О/БосО) < да, то ЩЁ(О)) = Апп(БосО), где
М(Е(О)) - ниль-радикал кольца Е(О) (состоит из нильпотентных элементов), а Апп(БосО) =
={ре E(О)| (р(х)=0, хеБосО}. Так как J (Е(О)) нильпотентен, он является ниль-идеалом [3].
Следовательно, Л (Е (О)) (БосО) = 0.
Возьмём произвольный элемент g 6 БосО и
произвольный элемент ф 6 Л(Е(О)) с К. Элемент g представим в виде g=n1x1+n2x2+n3x3, где п^. Тогда ф(g) = ф(n1x1+n2x2+n3xJ=n1ф(x1) + +п2ф(х2)+п3ф(х3). Находим, что ср(х1) = 0, (р(х2)=а12х1, (р(х)= а13х1+а23х2. Так как х1, х2, х3 6 БосО, ^>(х})=^(х2)=^>(х3)=0. Получили, что а12х1=0, а1х1+а2х2=0. Из первого равенства следует, что а =0. Так как элементы х1, х2 линейно независимы, из второго равенства следует, что а13=а23=0. Если р(х1)=^(х2)=^(х3)=0, то р^)=0 для любого g 6 БосО. Таким образом,
Л (Е (О)) с
(0 0 0 а14 ^
0 0 0 а24
0 0 0 а34
0 0 0 0
аи 6 Q
= А..
К =
0 «12 0 а ^ «14 (0 0 «13 а ^ 14
0 0 0 «24 ; Кл = «21 0 «23 «24
«31 «32 0 «34 ' 4 0 0 0 «34
0 0 0 0 > .0 0 0 0
0 0 0 а ^ «14 (0 0 0 а \ 14
«21 0 «23 «24 ; к = «21 0 0 «24
0 0 0
«31 «34 ' 6 «31 «32 «34
0 0 0 0 1 0 0 0 0
К =
Легко показать, что кольца матриц вида К2, К3, К, К, К6 изоморфны кольцу матриц вида К.
Следовательно, Л(Е(О)) является с точностью до изоморфизма подкольцом кольца, имеющего вид
Аналогично исследуются случаи, когда БосО имеет ранг 2 и 1. Результаты проведенного исследования можно сформулировать в виде следующих трех теорем и следствий из них.
Теорема 1. Радикал Джекобсона кольца квазиэндоморфизмов сильно неразложимой абеле-вой группы без кручения ранга 4, псевдоцоколь которой имеет ранг 3, является с точностью до изоморфизма подалгеброй алгебры А., где
А =
(0 0 0 «14
0 0 0 «24
0 0 0 «34
. 0 0 0 0
аа 6 Q
22
Вестник КГУ им. Н.А. Некрасова ♦ № 2, 2006
Закон движения релятивистских частиц..,
Следствие. Если О - сильно неразложимая абелева группа без кручения ранга 4, псевдоцоколь
которой имеет ранг 3, то 1< dimQ Л(Е(О))< 3.
Теорема 2. Радикал Джекобсона кольца квазиэндоморфизмов сильно неразложимой абеле-вой группы без кручения ранга 4, псевдоцоколь которой имеет ранг 2, является с точностью до изоморфизма подалгеброй алгебры А2, где
A =
f 0 0 «13 «14
0 0 «23 «24
0 0 0 «34
. 0 0 0 0
аа 6 Q
Следствие. Если О - сильно неразложимая абелева группа без кручения ранга 4, псевдоцоколь которой имеет ранг 2, то 1< dimQ Л(Е(О)) < 5.
Теорема 3. Радикал Джекобсона кольца квазиэндоморфизмов сильно неразложимой абеле-вой группы без кручения ранга 4, псевдоцоколь которой имеет ранг 1, является с точностью до изоморфизма подалгеброй алгебры А3, где
A3 =
f0 «12 «13 «14
0 0 «23 «24
0 0 0 «34
. 0 0 0 0
«« 6 Q
Следствие. Если G - сильно неразложимая абелева группа без кручения ранга 4, псевдоцоколь которой имеет ранг 1, то 1< dimQ/ (E(G)) < 6.
Библиографический список
1. Каш Ф. Модули и кольца. - М.: Мир, 1981.
2. Крылов П.А. Абелевы группы без кручения и их кольца эндоморфизмов // Извещения вузов. Математика. - 1979. - №11. - С. 26-33.
3. Крылов П.А. Радикалы колец эндоморфизмов абелевых групп без кручения // Матем. сб. -1974. - Т. 95. - № 10. - С. 214-228.
4. Мельников О.В. Общая алгебра. Т. 1. / О.В. Мельников, В.Н. Ремесленников, В.А. Ро-маньков и др. / Под ред. Л.А. Скорнякова. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990.
5. Пирс Р. Ассоциативные алгебры. - М.: Мир, 1986.
6. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. В 2 т. - М.: Мир, 1974, 1977.
7. Чередникова А.В. Кольца квазиэндоморфизмов сильно неразложимых абелевых групп без кручения ранга 3 // Математические заметки. - 1998. - Т. 63. - Вып. 5. - С. 763-773.
Н. М. Пухов, В. Н. Марков, П. П. Исаев
ЗАКОН ДВИЖЕНИЯ РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЧАСТИЦ КАК СЛЕДСТВИЕ ПРОЯВЛЕНИЯ И ДЕЙСТВИЯ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ ФИЗИЧЕСКИХ СИММЕТРИЙ ВАКУУМА
Современная квантово-релятивистская физика пришла к выводу, что в основаниях всех явлений и процессов объективной физической реальности лежит такой ее компонент как физический вакуум. Развернутое изложение современной концепции физического вакуума с ее новейшими достижениями квалифицированно представлено в [1]. Поэтому, не затрагивая далеко идущие проблемы физики и онтологии вакуума, далее просто будем полагать, что физический вакуум как особая «универсальная квантово-релятивистская среда, обладающая определенными физическими свойствами» [2], существует. Это утверждение будем понимать как некий экзистенциалистский постулат, утверждающий существование
физического вакуума. В этой статье, опираясь на данный факт (и не обсуждая содержательные аспекты физики вакуума), мы хотели высказать свои соображения и показать, как можно по-новому развернуть методику постижения и изучения основ релятивистской физики.
Определяющими «началами» современной релятивистской физики являются фундаментальные физические симметрии вакуума. Ограниченные объемом статьи, мы не даем здесь развернутого онтологического определения этих сим-метрий. Итак, полагаем, что физический вакуум пространственно однороден (Л1), пространственно изотропен (А2), временно однороден (А3), а также обладает кинематической симметрией, которая выражается в том, что все состояния
© Н. М. Пухов, В. Н. Марков, П. П. Исаев, 2006
Вестник КГУ им. Н.А. Некрасова ♦ № 2, 2006
23
