Закон движения релятивистских частиц как следствие проявления и действия фундаментальных физических симметрий вакуума Текст научной статьи по специальности «Математика»

Следствие. Если G - сильно неразложимая абелева группа без кручения ранга 4, псевдоцоколь

которой имеет ранг 3, то 1< J(Ё(О))< 3.

Теорема 2. Радикал Джекобсона кольца квазиэндоморфизмов сильно неразложимой абеле-вой группы без кручения ранга 4, псевдоцоколь которой имеет ранг 2, является с точностью до изоморфизма подалгеброй алгебры А, где

А =

( 0 0 «13 «14

0 0 «23 «24

0 0 0 «34

. 0 0 0 0

««6 Q

Следствие. Если G - сильно неразложимая абелева группа без кручения ранга 4, псевдоцоколь которой имеет ранг 2, то 1< dim^ J(Ё(О)) < 5.

Теорема 3. Радикал Джекобсона кольца квазиэндоморфизмов сильно неразложимой абеле-вой группы без кручения ранга 4, псевдоцоколь которой имеет ранг 1, является с точностью до изоморфизма подалгеброй алгебры А3, где

А3 =

( 0 «12 «13 «14

0 0 «23 «24

0 0 0 «34

.0 0 0 0

^а 6 6

Следствие. Если G - сильно неразложимая абелева группа без кручения ранга 4, псевдоцоколь которой имеет ранг 1, то 1< dim6 J (Ё(О)) < 6.

Библиографический список

1. Каш Ф. Модули и кольца. - М.: Мир, 1981.

2. Крылов П.А. Абелевы группы без кручения и их кольца эндоморфизмов // Извещения вузов. Математика. - 1979. - №11. - С. 26-33.

3. Крылов П.А . Радикалы колец эндоморфизмов абелевых групп без кручения // Матем. сб. -1974. - Т. 95. - № 10. - С. 214-228.

4. Мельников О.В. Общая алгебра. Т. 1. / О.В. Мельников, В.Н. Ремесленников, В.А. Ро-маньков и др. / Под ред. Л.А. Скорнякова. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990.

5. Пирс Р. Ассоциативные алгебры. - М.: Мир, 1986.

6. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. В 2 т. - М.: Мир, 1974, 1977.

7. Чередникова А.В. Кольца квазиэндоморфизмов сильно неразложимых абелевых групп без кручения ранга 3 // Математические заметки. - 1998. - Т. 63. - Вып. 5. - С. 763-773.

Н. М. Пухов, В. Н. Марков, П. П. Исаев

ЗАКОН ДВИЖЕНИЯ РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЧАСТИЦ КАК СЛЕДСТВИЕ ПРОЯВЛЕНИЯ И ДЕЙСТВИЯ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ ФИЗИЧЕСКИХ СИММЕТРИЙ ВАКУУМА

Современная квантово-релятивистская физика пришла к выводу, что в основаниях всех явлений и процессов объективной физической реальности лежит такой ее компонент как физический вакуум. Развернутое изложение современной концепции физического вакуума с ее новейшими достижениями квалифицированно представлено в [1]. Поэтому, не затрагивая далеко идущие проблемы физики и онтологии вакуума, далее просто будем полагать, что физический вакуум как особая «универсальная квантово-релятивистская среда, обладающая определенными физическими свойствами» [2], существует. Это утверждение будем понимать как некий экзистенциалистский постулат, утверждающий существование

физического вакуума. В этой статье, опираясь на данный факт (и не обсуждая содержательные аспекты физики вакуума), мы хотели высказать свои соображения и показать, как можно по-новому развернуть методику постижения и изучения основ релятивистской физики.

Определяющими «началами» современной релятивистской физики являются фундаментальные физические симметрии вакуума. Ограниченные объемом статьи, мы не даем здесь развернутого онтологического определения этих сим-метрий. Итак, полагаем, что физический вакуум пространственно однороден (А1), пространственно изотропен (А2), временно однороден (А3), а также обладает кинематической симметрией, которая выражается в том, что все состояния

© Н. М. Пухов, В. Н. Марков, П. П. Исаев, 2006

Вестник КГУ им. Н.А. Некрасова ♦ № 2, 2006

23

ЕСТЕСТВОЗНАНИЕ

Н. М. Пухов, В. Н. Марков, П. П. Исаев

прямолинейного и равномерного движения материальных объектов в вакууме физически эквивалентны (симметричны) (А4).

Симметрийный постулат А4 определяет и уточняет содержание физического принципа относительности механического движения в рамках концепции физического вакуума. Объединим все вышеназванные фундаментальные физические симметрии вакуума в единую систему, обозначив ее символом

а = {А, 4, Л, Л). (1)

Нас далее будет интересовать задача получения (вывода) основного закона релятивистской кинематики - релятивистского закона преобразования скоростей из первых принципов релятивистской физики, т.е. из системы постулатов

А. Решение поставленной задачи можно существенно упростить, если воспользоваться физической симметрией вакуума А . В силу действия этой симметрии нетривиальные релятивистские эффекты наблюдаются при сопоставлении параллельных (коллинеарных) движений. Переход к общему случаю, когда появляются так называемые поперечные составляющие движений, не привносит ничего принципиально нового по сравнению с первым случаем.

Рассмотрим множество материальных объектов К = {Ка }, которые совершают коллинеар-ные движения вдоль пространственного направления п физическом вакууме. Все материальные объекты из множества К движутся друг относительно друга вдоль пространственного направления п с реляционными скоростями Vaf!. Символ Vaf! означает, что это скорость относительного движения частицы с номером а относительно частицы с номером р. Объединим все такие скорости в пространство V. и назовем его пространством реляционных скоростей.

Выделим из множества К три произвольных материальных объекта К1, К2, К3. Предположим, что нам известны реляционные скорости V и ¥23. Естественно, что 1-й объект как-то движется и относительно 3-го объекта с некоторой скоростью V и эта скорость каким-то образом должна зависеть от скоростей V и ¥23. В классической физике в этом случае произвольно полагалось

Уп = ^ + ¥23. (2)

Последнее соотношение принято называть классическим законом сложения скоростей.

Однако «по факту» этот закон выполняется только асимптотически при условии, когда | ¥12| или

| У23\ много меньше «скорости света» с. Существование и действие физического вакуума в общем случае приводит к тому, что правильный релятивистский закон преобразования скоростей при переходе от инерциальной системы отсчета (ИСО) К2 к ИСО К3 существенно отличается от классического закона сложения скоростей (2). Итак, будем полагать, что в релятивистском случае

Кз = / (^2, ^23), где / (Уа, ¥23)* V + ^23). (2а)

С формально-математической точки зрения поставленная нами выше задача заключается в нахождении (определении) явного вида функции

/ (•, •), представляющей действие искомого релятивистского закона преобразования скоростей.

Имеет место следующий интересный теоретический факт. Оказывается, системы первых принципов релятивистской физики, то есть системы А (1), вполне достаточно для нахождения (вывода) явного вида функции / (•, •), определяющей релятивистский закон преобразования скоростей во множестве коллинеарных движений V..

п

По техническим соображениям удобно для реляционных скоростей Уар из (2а) использовать следующие обозначения:

¥13 = 2 , = X , ¥23 = У .

(3)

В этой системе обозначений формула, определяющая действие релятивистского закона преобразования скоростей при переходе К2 ^ К3, будет представляться соотношением

2 = / (х, У). (3а)

Исходя из общих физических соображений можно полагать, что функция / (х, у) является непрерывной и дифференцируемой функцией своих независимых аргументов х и у. Соотношение (3 а) мы будем понимать и интерпретировать в дальнейшем как закон преобразования скорости х в скорость 2 при переходах от ИСО К2 к ИСО К3. Для того чтобы соотношение (3 а) представляло реально действующий релятивистский закон преобразования скоростей необходимо, чтобы функция / (х, у) удовлетворяла всем требованиям, вытекающим из системы фундаментальных физических симметрий А.

Несложно показать, что это возможно только тогда, когда искомая функция / (х, у) будет

удовлетворять следующей системе определяющих тождеств:

(А):

(B):

f (x, f (y, z)) = f (f (x, y), z) , f (0, x) = f (x,0) = x, f (- x, x) = f (x, - x) = 0,

f {-x -y)=-f Uy), f (x, y) = f (y, x),

f (x, y ) = (x + y),

I x I ^ 0,1 y I ^ 0,

(4)-(6)

(7) - (9)

где все скорости, обозначенные символами х, у, z, принадлежат пространству VII.

Совокупность (А) определяющих тождеств (4), (5), (6) фиксирует то обстоятельство, что рассматриваемые преобразования

Г (•, у) : х ^ 7 (36)

образуют однопараметрическую топологическую группу преобразований /,: V- ^V¡¡. Далее эту группу мы будем называть группой коллине-арных бустов и обозначать символом В.

Совокупность (В) определяет специальные (особые) свойства группы В. Асимптотическое равенство (9), вообще говоря, не является следствием системы фундаментальных физических симметрий А, а представляет собой эмпирический факт, который наблюдается в реальной физической действительности.

Однако этот факт является существенным, поскольку он показывает, что группа В вблизи «единицы» этой группы имеет евклидову структуру. Отсюда, в силу известной теоремы Глисо-на - Монтгомери - Зиппина [3], получается, что она является группой Ли.

Группа Ли обладает особой аналитической структурой. В группах подобного типа функция / (х, у), определяющая (задающая) групповой закон композиции, представляется сходящимся степенным рядом по совокупности независимых переменных х и у. В этом случае из системы (А) + (В) определяющих тождеств следует, что соответствующий ряд, аппроксимирующий функцию / (х, у), имеет вид

г (х, у) = (х + у)-(1 + г (х,у)), (10)

где релятивистский фактор г (х, у) представляется в виде

г (х, у) = Т гчху>, (10а)

а коэффициенты г.. в (10а) должны удовлетворять условиям г.. = г.; г.. ф 0, если (/ + а) четно; г.. = 0, если ( I + а) нечетно.

Условие (8) фиксирует то, что В является абелевой группой. В совокупности с теоремой Глисона - Монтгомери - Зипнина это приводит к факту существования локального изоморфизма между группой В и аддитивной группой действительных чисел R

р: В ^ R. (11)

Наличие изоморфизма (11) означает, что существует взаимно однозначное отображение р: V ^ R, обладающее следующими свойствами:

Ф(/ (х у)) = Ф(x)+Ф(y),

q>(-V ) = -p(v), р(0) = 0.

(11а)

Если подобное отображение нами построено, то по нему искомая функция f (x, y) восстанавливается по правилу

f (x, y) = q- (p(x) + q(y)), (12)

где р_1( • ) - функция обратная к q>.

Покажем, что в нашем случае отображение р: V ^ R существует, и построим его в явном виде. Для этого потребуются две так называемые структурные функции группы B. Они определяются по правилу

b (x, y^^^iA, b (x).b (x, y=0). (13) dy

Далее возьмем тождество (4) и продифференцируем его по параметру z, а затем в полученном равенстве положим z = 0. С учетом структурных свойств функции f (x, y) после этого получим следующее уравнение:

b (f (x, y)) = b (x, y)b (y). (14) Зафиксируем в (14) значение параметра x (т.е. положим x = const) и введем обозначение f (x = const, y) = f '(y), тогда уравнение (14) трансформируется к виду df'(y) _ dy b (f' (y)) = b (y), x = c0nst. (14а)

Учитывая, что f (x, y) = f (y, x), аналогично получаем

df'( x)

dx

, y = const.

b (f' (x)) b (x); Введем «новую» функцию

dx

b ( x )

(146)

(15)

ЕСТЕСТВОЗНАНИЕ

0

K

К

C

K

L

Рис. Схема мысленного эксперимента с релятивистскими частицами в космическом корабле

Суть эксперимента заключается в том, что от «задней стенки» А корабля в направлении п

(15а)

Произведя интегрирование уравнений (14а) и (146), для нее получим следующую систему определяющих уравнений:

{р (f (x, y)) = p(y)+C (x), x = const V (f (y, x)) = Ф (x) + C (y), y = const Откуда с учетом того, что f (x, y) = f (y, x), следует:

y(f (x, y)) = y(x)+V(y). (156) Поскольку функция qix) определяется соотношением (15), то для ее вычисления надо знать структурную функцию b(x). С учетом определения b(x) и соотношений (10) и (10а) функция b(x) легко вычисляется. Она оказывается равной

b (x) = 1 + k1 • x2 + k2 • x4 + к3 • x6 + — (16)

и, в частности, является четной функцией параметра x.

Ниже мы покажем, что в разложении (16) отличным от нуля может быть только единственный коэффициент k1 = k ^ 0, т.е.

b (x) = 1 + к • x2

(16а)

Для доказательства последнего равенства воспользуемся физическими аргументами. Для этого рассмотрим следующий физический эксперимент. Хотя его изложение здесь представляет некий умозрительный вариант, тем не менее этот верификационный эксперимент со всеми необходимыми измерительными нюансами можно поставить в любой земной лаборатории. Физическая сущность рассматриваемых явлений состоит в следующем. Пусть имеется космический корабль (Земля тоже является, в известном смысле, космическим кораблем), с которым свяжем ИСО К1. Допустим, корабль движется в направлении п относительно другой ИСО К2. На рисунке изображены и обозначены геометрические факторы и параметры корабля, а также кинематика соответствующих процессов движения.

в один и тот же момент времени t = 0 (и из одного и того же «места» хл = 0) «стартуют» две

частицы со скоростями ¥1 и ¥2 (относительно

ИСО К1). Пусть | V | < | ¥21. Более быстрая (вторая) частица долетает до стенки В, упруго отражается от нее и начинает двигаться (относительно К1) в противоположном направлении со скоростью ¥3. При этом | ¥31 = | ¥2|. Спрашивается,

в каком «месте» С внутри корабля (по курсу движения корабля) надо установить детектор частиц, чтобы он зарегистрировал факт встречи (инвариантное событие) в точке С первой и второй частиц. Если, например, первая частица -позитрон, а вторая - электрон, то, встретившись в точке С, они проаннигилируют; вследствие аннигиляции частиц возникнет «вспышка света». Сам факт реализации такого события не зависит от выбора какой-либо системы отсчета. Кроме того, из физического содержания рассмотренного события относительное расположение «места» С, где находится детектор, фиксирующий это событие, по отношению к точкам А и В, например, величина

I (С, В)

Г (A, C,B) =-

(17)

L (Л, В)

также будет не зависеть от выбора системы отсчета. Коэффициент «места встречи» Г из (17), выраженный через величины относительных скоростей (относительно ИСО К1) будет иметь следующее представление:

Гт = - =

l_ = (x1 - x3) • (x2 - x4)

L (x2 -x3)• (x1 - x4)

(17а)

где x1 = V1,

l

2 - K = 0, x3 - V2

x4 - V3.

x

Тот же коэффициент можно определить, перейдя к ИСО К2 (т.е. совершив переход К1 ^ К 2). Вычисления показывают, что

Г - Г_= (X, -X3)• (X2 -X4)

(2) L (X2 -X3)• (X1 -X4)'

(176)

где Xi - f (xi; V), i = 1, 2, 3, 4 - суть скорости всех «участников» этого эксперимента, отнесенные к ИСО K2.

Так как факт встречи первой и второй частиц в точке С не зависит от выбора ИСО K и K2 (по отношению к которым мы описывали все эти процессы), то очевидно должно иметь место равенство Г(1) = Г(2). Из последнего факта следует, что величина Г (x1, x2, x3, x4), построенная по правилу

^^ (, ^2, x , ^4 ) -

- (f (x, V) - f (*3, V)) • (f (x, V) - f (x4, V)) (18)

(f (x, V) - f (*3, V)) • (f (x, V) - f (*4, V)) должна быть релятивистским инвариантом. Это весьма не тривиальный кинематический инвариант.

Если вспомнить, что x1 - V1, x2 - 0, x3 - V2, x4 - -V2, и f (0, V) = V, то получается, что величина

(f V V) - f (V2,V ))-(V - f (-V2, V)) -(V - f (V2, V)) • (f (V1, V) - f (-V2, V)) V2)

является релятивистским инвариантом, а следовательно, не зависит от реляционной скорости V21 - V.

Далее возьмем натуральный логарифм от величины Г (V, V2), а затем вычислим от него производную по параметру V. В силу сформулированных выше физических условий, очевидно, получим

d[ln Г V V2)] V=0 = 0. (19)

Последнее уравнение интересно тем, что в него естественно входит структурная функция b(V). Разрешая уравнение (19) относительно b(V) получаем b (V) = 1 + к•V2, (19а)

где константный коэффициент к в общем случае должен быть отличным от нуля. Тем самым мы действительно физически обосновали соотношение (16а).

Проанализируем теперь структурное условие

b (x) = 1 +к• x2, (20)

определяющее структуру группы B. Если в (20) a priori сразу положить к - 0, то автоматически

(18а)

в этом случае получим лишь классический закон «сложения» скоростей, который, как известно, оказывается неадекватным реальному положению в релятивистской физике. Формально остаются два варианта к > 0 и к < 0. Случай к > 0, как показывает анализ, не согласуется с некоторыми факторами нашей макроскопической физической интуиции и поэтому его отбрасывают как «не физический». Таким образом, остается единственный вариант к < 0. Не трудно понять,

что константа | к | = const является некоторой универсальной мировой константой, влияющей на характер движения релятивистских частиц в физическом вакууме. Удобно переопределить

релятивистскую константу | к | и вместо нее начать рассматривать физический фактор

1

(21)

В этом случае структурная функция b(x) определится как

b (x) = 1 - V

(21а)

Поскольку Ь(х) должна быть безразмерной величиной, а величина х иметь размерность скорости, то и универсальная (мировая) релятивистская постоянная с в (21а) должна иметь размерность скорости. При сопоставлении физической ситуации, полученной теоретически, с различными явлениями и «эффектами» релятивистской физики необходимо «по факту» признать, что численное значение (в системе СИ) релятивистской постоянной с из (21а) совпадает с величиной «скорости света» в физическом вакууме с = 299792458м/с \

Подставив представление функции Ь(х) из (21а) в (15) и произведя интегрирование (при выполнении граничного условия у(х = 0) = 0), получим, что интересующая нас «фазовая функция» (быстрота) как функция релятивистской скорости движения х, имеет следующий вид:

q>(x) = c • ln

1 +-

1

(22)

Построенная таким образом функция <р(х) из (22) удовлетворяет всем необходимым условиям (11а), которые определяют изоморфизм (11).

c

ЕСТЕСТВОЗНАНИЕ

Ю. Е. Карсакова, Н. Н. Тятенкова, О. В. Хлякина

Поэтому

f (x, y) = Ф (<Р(x) y)), и окончательно получаем

x + y

f (x, y ) = ^

(23)

1 x • y

Формула (23) и определяет искомый релятивистский закон преобразования скоростей для коллинеарных бустов.

Релятивистский закон преобразования скоростей элементарно обобщается на случай, когда

векторы у12 и у23 не коллинеарны. В этом случае

вектор скорости у можно разложить на «продольную» и «поперечную» составляющие

4 = У2 + ^ , (24)

где к!2 - составляющая коллинеарная вектору

У23, а у12 - ортогональная к нему. Из физической симметрии А2 следует, что «поперечное» перемещение д/^ не изменяется при переходе К2 ^ К3. Учитывая это обстоятельство, несложно показать, что в общем случае релятивистский закон преобразования скоростей будет представляться следующим правилом:

= V12 + V23 +АУ Vl3 = 1 - - : 1 + -2 V12 • V?3 c

(25)

где с - универсальная (мировая) релятивистская постоянная, У12 У23 - скалярное произведение двух трехмерных пространственных векторов, а ду - релятивистская поправка, равная

AV = V,

1 " £ ^ " 1

(25а)

Методический и методологический смысл проделанной нами работы заключается в том, что релятивистский закон преобразования скоростей

(25), определяющий свойства движения релятивистских частиц в реальном физическом вакууме, однозначно определяется фундаментальными симметриями Л вакуума, а также тем эмпирическим фактом, что

V ф V + V

' 13 ^ ' 12 т ' 23 •

Обратим также внимание на то, что для получения (вывода) релятивистского закона преобразования скоростей (25) мы не использовали никаких произвольных теоретических или каких иных априорных аргументов. В нашем случае этот закон был получен без использования априорного постулата о «постоянстве скорости света». Релятивистский закон преобразования скоростей, полученный в рамках той методологии, которой мы руководствовались в данной статье, обладает рядом и других достоинств. Можно показать, что релятивистский закон преобразования скоростей (25) является теоретическим ядром всей релятивистской кинематики и динамики, а следовательно, и всей релятивистской физики.

Примечание

1 Обратим внимание на следующее онтологически значимое обстоятельство. Релятивистская постоянная c при выбранном нами способе получения релятивистского закона преобразования скоростей появляется как естественное следствие некоторых структурных свойств физического вакуума, и apriori отнюдь не является «скоростью света».

Библиографический список

1. Латыпов Н.Н., Бейлин В.А., ВерешковГ.М. Вакуум, элементарные частицы, Вселенная. -М.: Изд-во МГУ, 2001.

2. Эйнштейн А. Собрание научных трудов. -Т. 1. - М.: Наука, 1965.

3. Капланский И. Алгебры Ли и локально компактные группы. - М.: Мир, 1974.

с