Classically semi-simple rings of quasiendomorphisms of strongly indecomposable Abelian groups without prime rank torsion Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.541.7

Чередникова Алла Викторовна

кандидат физико-математических наук, доцент Костромской государственный университет им. Н.А. Некрасова

[email protected]

КЛАССИЧЕСКИ ПОЛУПРОСТЫЕ КОЛЬЦА КВАЗИЭНДОМОРФИЗМОВ СИЛЬНО НЕРАЗЛОЖИМЫХ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП БЕЗ КРУЧЕНИЯ ПРОСТОГО РАНГА

Получено описание классически полупростых колец квазиэндоморфизмов сильно неразложимых абелевых групп без кручения простого ранга.

Ключевые слова: классически полупростое кольцо, квазиэндоморфизм, абелева группа, группа без кручения, сильно неразложимая группа.

В статье рассматриваются только абелевы группы без кручения конечного ранга.

Пусть G - группа, а Q - поле рациональных чисел. Делимую оболочку Q ® G группы G можно рассматривать как векторное пространство над Q, размерность которого совпадает с рангом группы G и аддитивная группа которого содержит G в качестве подгруппы.

Кольцом квазиэндоморфизмов 8 (О) группы G называется кольцо всех линейных преобразований /пространства Q ® G, таких, что п/ ^) с G для некоторых ненулевых целых чисел п. Другими словами, квазиэндоморфизмы - это обычные эндоморфизмы, формально поделенные на ненулевые целые числа.

Выявленные Рейдом [1], а затем углубленные П.А. Крыловым [2, 3] связи между сервантными вполне характеристическими подгруппами группы G и свойствами 8 (О) актуализируют исследование колец квазиэндоморфизмов абелевой группы без кручения конечного ранга.

В статье дается описание классически полупрос-тых колец квазиэндоморфизмов сильно неразложимых абелевых групп без кручения простого ранга.

Напомним необходимые в дальнейшем некоторые определения.

Кольцо называется классически полупрос-тым, если оно изоморфно прямой сумме конечного числа полных матричных колец над телами.

Говорят, что группа G квазиравна группе Н ^ = Н), если G э пН э mG для некоторых ненулевых целых чисел п и т.

Под квазиразложением группы G понимается семейство ненулевых подгрупп G. (I е I) делимой оболочки Q ® G группы G, таких, что G = ®.е{G. При этом каждая из групп G. называется квазислагаемым группы G.

Группа G называется сильно неразложимой, если она не обладает нетривиальными квазиразложениями.

Псевдоцоколем группы G называется серван-тная оболочка суммы всех минимальных серван-тных вполне характеристических подгрупп группы G (обозначается через Soc G). Из [1, лемма 5.3] и артиновости справа кольца квазиэндоморфизмов абелевых групп без кручения конечного ранга следует, что псевдоцоколь группы без кручения конечного ранга всегда отличен от нуля.

Группа называется неприводимой, если она не имеет нетривиальных сервантных вполне характеристических подгрупп.

Определения, факты и обозначения можно найти в [4; 5].

Теорема 1. Пусть G - сильно неразложимая абелева группа без кручения простого ранга p. Кольцо квазиэндоморфизмов £ (G) группы G классически полупросто тогда и только тогда, когда оно является алгеброй над Q размерности 1 или p. При этом

1) £ (G) = Q тогда и только тогда, когда G содержит вполне характеристическую подгруппу ранга 1;

2) £ (G) - поле алгебраических чисел степени p тогда и только тогда, когда G неприводима.

Доказательство. Известно [4], что для кольца R с единицей следующие условия эквивалентны:

(1) R классически полупросто; (2) R артиново справа, и его радикал Джекобсона равен нулю. Кольца квазиэндоморфизмов абелевых групп без кручения конечного ранга артиновы справа. Кроме того, П.А. Крылов [2, теорема 1.4] доказал, что для группы G с артиновым справа кольцом £ (G) следующие условия эквивалентны: (1) J(£ (G)) = 0 (J(£ (G) - радикал Джекобсона кольца £ (G));

(2) G = Soc G. Следовательно, кольцо квазиэндо-

© Чередникова А.В., 2010

Вестник КГУ им. Н.А. Некрасова ♦ № 2, 2010

21

морфизмов абелевой группы без кручения конечного ранга классически полупросто тогда и только тогда, когда группа совпадает со своим псевдоцоколем. Воспользуемся следующей теоремой.

Теорема А [3]. Пусть G - группа без кручения конечного ранга. Следующие условия эквивалентны:

1) £ (G) - тело;

2) G = Soc G и группа G сильно неразложима;

3) dim Q E (G) = rankP, где P - некоторая (равносильно любая) минимальная сервантная вполне характеристическая подгруппа группы G.

По условию доказываемой теоремы G является сильно неразложимой и G = Soc G. Это по теореме A равносильно тому, что £ (G) - тело. Делимая оболочка Q ® G группы G является £ ^)-модулем. Тогда Q ® G можно рассматривать как векторное пространство над телом £ (G). В свою очередь, £ (G) является векторным пространством над Q. При этом dim Q £ (G) <p2. Тогда dim q (Q ® G) = dim £ (G) (Q ® G) • dim Q (£ (G)).

Пусть dim £ g (Q ® G) = t, а dim Q (£ (G)) = 5. Отсюда t • s = p. Следовательно, s принимает значения либо 1, либо p.

Предположим, что dim Q (£ (G)) = 1. Это равносильно тому, что £ (G) = Q. Отсюда по теореме А £ (G) = Q тогда и только тогда, когда G содержит вполне характеристическую подгруппу ранга 1.

Пусть dim q (£ (G)) = p. Тогда по теореме А это равносильно тому, что группа G содержит минимальную сервантную вполне характеристическую подгруппу ранга p, то есть группа G не имеет собственных сервантных вполне характеристических подгрупп. Значит, группа G является неприводимой.

Теперь покажем, что тело размерности p над Q является полем. Рассмотрим центр Z(£ (G)) тела £ (G).

Q ç Z(£ (G)) œ £ (G).

Ранг алгебры с делением над ее центром всегда является квадратом натурального числа [6]. Отсюда dim Q (£ (G)) = dim Z(£(G)) (£ (G)) • dim Q (Z(£ (G))).

Обозначим dim Q (Z(£ (G))) = s, а dim Z(£ g (£ (G)) = k2. Следовательно, k2 • s=p. Зна-

чит, k = 1 и k = 1. Получили, что £ (G) = Z(£ (G)) -поле. Итак, мы доказали, что G неприводима тогда и только тогда, когда £ (G) - поле алгебраических чисел степени p.

Замечание. Каждое поле алгебраических чисел степени p над полем рациональных чисел Q реализуется в качестве алгебры квазиэндоморфизмов сильно неразложимой абелевой группы без кручения ранга p.

Действительно, пусть K - поле алгебраических чисел степени p над Q. Тогда существует полное подкольцо А поля алгебраических чисел K, такое, что аддитивная группа A+ кольца A является сильно неразложимой [7, теорема 8.4].

Очевидно, что группа A + имеет ранг p. Р Пирс [8] доказал, что в этом случае £ (A+) является изоморфным (как рациональная алгебра) полному матричному кольцу M (F), где F - подполе поля K, такое, что [K : F] = т. Более того, в той же работе доказано, что A+сильно неразложима тогда и только тогда, когда F = K. Следовательно, в нашем случае £ (A+) = K, что и требовалось доказать.

Библиографический список

1. Reid J.D. On the rings of quasiendomorphism of torsion free Abelian groups // Topics in Abelian Groups. - 1963. - P. 51-68.

2. Крылов П.А. Радикалы колец эндоморфизмов абелевых групп без кручения // Матем. сб. -1974. - Т. 95. - №>10. - С. 214-228.

3. Крылов П.А. Абелевы группы без кручения и их кольца эндоморфизмов // Извещения вузов. Математика. - 1979. - .№11. - С. 26-33.

4. Мельников О.В. Общая алгебра. Т. 1 / О.В. Мельников, В.Н. Ремесленников, В.А. Ро-маньков и др. / под ред. Л.А. Скорнякова. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990.

5. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. В 2 т. - М.: Мир, 1974, 1977.

6. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. - М.: Наука, 1979.

7. BeaumontR.A., PierceR.S. Torsion free rings // Illinois J. Math. - 1961. - V. 5. - P 61-98.

8. Pierce R.S. Subrings of simple algebras // Michigan Math. J. - 1960. - V 7. - P 241-243.

22

Вестник КГУ им. Н.А. Некрасова ♦ № 2, 2010