Эндоморфные неразложимые абелевы группы без кручения ранга 3 Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2011 Математика и механика № 1(13)

УДК 512.541

Д.С. Чистяков

ЭНДОМОРФНЫЕ НЕРАЗЛОЖИМЫЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ БЕЗ КРУЧЕНИЯ РАНГА 3

В работе изучается строение кольца квазиэндоморфизмов эндоморфных абелевых групп без кручения ранга 3.

Ключевые слова: кольцо квазиэндоморфизмов, однородное отображение модуля, сильно неразложимая абелева группа без кручения.

Пусть R - ассоциативное кольцо с единицей и V - унитарный левый R-модуль.

Множество MR(V) = { f: V ^ V | f (гх) = г/(х), rеR, xeV} является почтиколь-цом относительно операций сложения и композиции отображений. Элементы множества Мц(У) называются R-однородными отображениями. Очевидно, что множество Мц(У) содержит кольцо Ец(У) всех эндоморфизмов R-модуля V.

R-модуль Vназывается эндоморфным, если М^(У) = Е^У) ([1]).

Абелеву группу О будем называть эндоморфной, если она является эндоморфным модулем над своим кольцом эндоморфизмов Е(О). В этом случае МЕ(О)(О) = 2(Е(О)), где 2(Е(О)) - центр кольца Е(О).

Множество А называется сильно R-замкнутым, если для любых reR, аеА справедливо таеА. Непустое подмножество А левого R-модуля V называется сильно R-сервантным, если 0 Ф гуеА влечет уеА для всех rеR, уе V([1]).

Приведем определения, связанные с квазиразложением абелевой группы и кольцом квазиэндоморфизмов.

Пусть А и В - абелевы группы без кручения. Говорят, что А квазисодержится в В, если пА<^В для некоторого натурального числа п. Говорят, что А квазиравна В (А&В), если А квазисодержится в В и В квазисодержится в А. Квазиравенство А&Ф^Аь где I - конечное множество, называется квазиразложением или квазипрямым разложением группы А. Подгруппы А, называются квазислагаемыми группы А. Группа А называется сильно неразложимой, если она не обладает нетривиальными квазиразложениями.

Абелеву группу без кручения А можно естественным образом вложить в 2-пространство 2®А, которое является делимой оболочкой группы А. Естественный образ вложения подразумевает отождествление элемента ае А с элементом 1®ае2®А. Каждый эндоморфизм аеЕ(А) единственным образом продолжается до линейного преобразования 1®а ^-пространства 2®А. Кольцо Е(А) содержится в Епёд(0®А).

Таким образом, Е(А)={аеЕпёд(0®А)1 аАсА}. 2-алгебра 2®Е(А) называется кольцом квазиэндоморфизмов группы А .

Псевдоцоколем абелевой группы без кручения А называется сервантная подгруппа, порожденная всеми ее минимальными сервантными вполне характеристическими подгруппами (р/г-подгруппами) (обозначим ее 8ос А).

Неопределяемые нами понятия можно найти в книгах [2 - 4].

Лемма 1. Пусть О - абелева группа без кручения конечного ранга п и ^\£2, ..., gn} - максимальная линейно независимая система элементов группы О. Если

существуют такие ф- еЕ(О), что ф/а^ + а2g2 + ... +аngn) = фа-- для всех а,е^ г, - = 1,2,. ,п, и ф1+ф2+... +фп=ф - мономорфизм, то группа О эндоморфна.

Доказательство. Пусть/еМЕ(О)(О). Тогда

ф-Ла^1 + а^ + ... +аngn) = Дф/а^ + а^ + ... +аngn)) =

=f(фajgj)= ф/{а&), -=1,2,... ,п.

Сложим полученные равенства:

(ф1+ф2+~ +фn)f(algl + a2g2 + ... +а,^п) = ф( f(algl)+Да^)+... + Да,^)). Используя инъективность ф, получаем

/ (а^а^- +angn) = / (а1&)+/^2)+...+/'^п).

Поскольку каждый элемент О может быть записан в виде линейной комбинации элементов *1*2,...*п, то мы делаем вывод, что для любых х,уе О выполняется равенство

/ (х+у) = / (т)+/(у).

Таким образом, / е 1 (Е(О)). Лемма доказана.

В некоторых случаях удается непосредственно указать существование эндоморфизмов ф- из леммы 1 (см. доказательства теорем 2, 4); это можно сделать и для ряда классов групп, «насыщенных» эндоморфизмами (класс вполне транзитивных групп и др.), см. статью [5].

Для кольца квазиэндоморфизмов абелевой группы О фиксируем обозначение &

Теорема 2. Пусть О - сильно неразложимая абелева группа без кручения ранга

3, такая, что ОфБос О. Группа О не является эндоморфной тогда и только тогда, когда ёт2 Б=2.

Доказательство. Достаточность. Пусть ^^^з} - максимальная линейно независимая система элементов группы О и кольцо & имеет вид ([6])

& = ■

0

Тогда Бос О=<§1^2> . При этом <^1>* = (ag/aеN0, gе О)* - сервантная оболочка следа NО в группе О, где N0 = ./(Е(О)) п Е(О). Таким образом, группа А=<2> является сильно Е(О)-сервантной и сильно Е(О)-замкнутой подгруппой в О. Построим Е(О)-однородное отображение/: О ^ О по следующему правилу:

§, g е А; (0, g е о \ А.

Пусть 0 Ф хеА,уеО\А. Тогда/(х+у) = 0 Ф х = /(х)+/(у).

Аналогично проводится доказательство для случаев, когда

/ {* >={0

({ Т

Б = ■

5 0^

0 г 0

0 0 г

г, 5 е Q [■, Б = -

Т, 5 е Q [■ .

Необходимость. Предположим ёт2 Б Ф 2. Тогда кольцо Б изоморфно одному из следующих колец ([6]):

К =

у

х

0

X, у, г е Q |

17

К 2 =■

х у 2

0 х ку

0 0 х

Л

х, у, 2 є Q,0 Ф к є Q, к = сош!!

17

К ='

л

X У 2

0 х ґ

ч0 0 ху

X, у, 2, ґ є Q }

В каждом случае найдутся эндоморфизмы фь ф2, ф3, феЕ(О), удовлетворяющие условию леммы 1.

1) Если Б = Кь то

Г г -г -г ^ Г 0 г 0 > Г 0 0 г ^ Г г 0 0 >

Фі = 0 г 0 , Ф2 = 0 0 0 , Фз = 0 0 0 , ф = 0 г 0 о є

0 0 г V 10 0 0 V 10 0 0 V 10 0 г)

для некоторого гєQ. 2) Если Б = К2, то

Г г -г кг - г ^ Г 0 г -кг ^ г 0 0 г ^ Г г 0 0 >

фі = 0 г -кг , ф2 = 0 0 кг , фз = 0 0 0 , ф = 0 г 0 є Е(О),

0 0 г V 0 0 0 V 10 0 0 V 10 0 гV

для некоторого гєQ. 3) Если Б = К3, то

Г г -г -г ^ Г 0 г 0 > Г 0 0 г ^ Г г 0 0 >

фі = 0 г 0 , ф2 = 0 0 0 , фз = 0 0 0 , ф = 0 г 0 є Е(О),

0 0 г V 10 0 0 V 10 0 0 V 10 0 гV

для некоторого гєQ.

Для кольца К1 покажем, что отображения фі, ф2, ф3, ф являются эндоморфизмами группы О. В других случаях рассуждения те же.

Пусть Б = К1. Рассмотрим идеалы

Г 0

Б =■

0 0 0 0 0 0

\Ч є Q\, Б2 =■

Г0 0 0 0 0 0 0 0

7^\

\ч є Q N

Аддитивная группа кольца Б есть делимая оболочка аддитивной группы кольца Е(О) и Е(О) п Б{ ^0, I = 1,2. Следовательно, найдется такое рациональное число г, что ф1, ф2, ф3, ф е Е(О). Таким образом, dimQ Б/2. Теорема доказана.

Интересно проследить взаимосвязь между свойствами эндоморфности и чистоты модуля.

Пусть Я - ассоциативное кольцо с единицей, М - левый Я-модуль. Подмодуль А модуля М называется чистым, если всякая конечная система уравнений вида

П

Ъ'иХ = а1 СИ,-,т)

i=1

с коэффициентами г^-еЯ и правыми частями а^еА, имеющая решение в М, имеет решение и в А.

Модуль называется чисто простым, если он не содержит в себе собственных чистых подмодулей, и чисто полупростым, если он изоморфен прямой сумме чисто простых модулей.

Вполне характеристическая подгруппа А абелевой группы О такая, что модуль А является чистым подмодулем левого Е(О)-модуля О, называется эндочистым подмодулем группы О.

Подгруппа А группы О называется сервантным подмодулем в левом Е(О)-модуле О, если всякое уравнение вида фх=а, где феЕ(О), аеА, имеющее решение в О, имеет решение и в А .

Понятно, что любой эндочистый подмодуль абелевой группы О является сер-вантным.

Чистота в абелевых группах изучалась в работах [7, 8]. Следствием результатов этих публикаций и доказанной теоремы является следующее утверждение.

Следствие 3. Сильно неразложимая абелева группа без кручения ранга 3, не совпадающая со своим псевдоцоколем, эндоморфна тогда и только тогда, когда она не содержит сервантных подмодулей.

Абелева группа называется жесткой, если ее кольцо эндоморфизмов является подкольцом поля О.

Теорема 4. Пусть О =А®В, где А - абелева группа без кручения ранга 1, В -жесткая сильно неразложимая абелева группа без кручения ранга 2. Группа О не является эндоморфной тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих условий:

1. г(Нот (А, В))=1, Нот (В, А) = 0,

2. Нот (В, А) = Нот (А, В) =0.

Доказательство. Необходимость. Рассмотрим следующие четыре случая:

1) г(Нот (А, В)) = 2 и Нот (В, А) = 0;

2) г(Нот (В, А)) = 2 и Нот (А, В) = 0;

3) г(Нот (В, А)) = 1 и Нот (А, В) = 0;

4) г(Нот (В, А)) = г(Нот (А, В)) = 1.

Они в совокупности с равенствами из заключения теоремы полностью исчерпывают возможные значения рангов групп Нот (А , В) и Нот (В, А).

1) г(Нот (А, В)) = 2 и Нот (В, А) = 0.

Подгруппа А является порождающим множеством Е(О)-модуля О. Тогда для любых ЬьЬ2е В существуют ф, ф е Е(О), а1, а2еА, такие, что Ь1=фа1, Ь2=фа2. Учитывая, что та\=па2, для некоторых т, пеZ,/еМЕ(О)(О) имеем

т/(Ь]+Ь2) = /(тЬ\+тЬ2) = /(тфа!+тфа2) = /(фта1+тфа2) = /(фпа2+тфа2)=

=/((фп+тф)а2) = (фп+тф)/(а2) = фп/(а2)+тф/(а2) = /(фпа2)+т/(фа2) = т/(Ьх)+т/(Ь2). Откуда / (Ьх+Ь2) = /(Ь:)+/(Ь2).

Пусть а е А, Ье В и еА: О ^ А, еВ: О^ В - проекции, соответствующие прямому разложению группы О. Тогда для любого /е МЕ(О)(О) имеем /(а+Ь) = (еА+еВ) /(а+Ь) = еА/(а+Ь)+ ев/(а+Ь) = /(еА(а+Ь)) + /(ец^а+Ь)) = /(а)+/(Ь).

Если а1, а2 е А, то найдутся и,vеZ, такие, что иа1=уа2. Тогда для любого /е МЕ(О)(О) получаем

и/ (а!+а2) = /(иа1+иа2) = /(уа2+иа2)=^+и) /(а2) = V/(а2)+и/(а2) =

=/^а2)+и/(а2) = и/(а!)+ и/(а2).

Следовательно, / (а!+а2) = / (ах)+/(а2).

В ситуациях 2) - 4) группа О эндоморфна. Мы укажем лишь эндоморфизмы Фь ф2, фз, ф, удовлетворяющие условию леммы 1.

2) г(Нот (В, А))=2 и Нот (А, В) = 0.

Кольцо квазиэндоморфизмов Б группы О изоморфно кольцу ([9, теорема 2.2.3])

((X у V А

0 у 0 0

Б = ■

0

У.

\х, у, и, w є д }>.

Тогда эндоморфизмы ф1, ф2, ф3, ф имеют вид

' г 0 0 > ' 0 0 -г ^ ' 0 0 г ^ ' г 0 0 >

Ф1 = 0 0 0 , Ф2 = 0 0 0 , Фз = 0 0 0 , Ф = 0 г 0 є Е (О),

0 0 0 .у 10 0 0 у 10 0 0 .у 10 0 гу

для некоторого г£^.

3) г(Нот (В, А))=1 и Нот (А, В) = 0.

Из работы [9, доказательство теоремы 2.2.3] следует, что

Б = -

|х,у,и,£ Q [

В качестве ф1, ф2, ф3, ф возьмем эндоморфизмы

' г 0 0 > ' 0 г 0 > ' 0 -г 0 > ' г 0 0 >

Фі = 0 0 0 , Ф2 = 0 0 0 , Фз = 0 г 0 , Ф = 0 г 0 є Е(О),

0 0 0 у 10 0 0 у 10 0 г у 10 0 г у

для некоторого г£^.

4) г(Нот (В, А)) = г(Нот (А,В)) = 1. Кольцо Б имеет вид ([9, теорема 2.2.3]):

17 х и 0 А

Б = ■

|х, у, и, w є д !

Тогда в качестве искомых эндоморфизмов достаточно взять следующие:

' г 0 0 > ' 0 0 0 > ' 0 0 0 > ' г 0 0 >

Ф1 = 0 0 0 , Ф2 = 0 г 0 , Фз = 0 0 0 , Ф = 0 г 0 є Е(О), для не

0 0 0 у 10 0 0 у 10 0 г у 10 0 г у

которого reQ.

Достаточность. 1) Пусть г(Нот (А, В))=1, Нот (В, А) = 0.

Рассмотрим В' = ^ аА - след А в В. Тогда В' - сервантная подгруппа в

а£Нот( А,В)

группе В ранга 1. Пусть В' = (Ъ')* и элементы Ъ' , Ь" образуют максимальную линейно независимую систему элементов в В. Тогда подгруппа В'' = (Ь' )* является сильно £(О)-замкнутым и сильно £(О)-сервантн^1м подмножеством.

Построим £(О)-однородное отображение/О^-О по следующему правилу:

/ (g) = («, g £ В'’

(0, g £ О \ В ".

Пусть 0фх£В'', у£О\ В''. Тогда/(х+у)=0^ х=/(х)+/(у). Группа О не эндоморфна.

2) Пусть Нот (В, А)=Нот (А, В) = 0.

В этом случае Q®E(A®B)= Q®E(A)®Q®E(B). Принимая во внимание изоморфизмы Q®E(A)=Q и Q®E(B)=Q, заключаем, что Б^0®0. Так как Нот(В, А) = = Нот (А,В) = 0, то О разлагается в прямую сумму модулей А и В. Пусть Н - сер-вантная подгруппа ранга 1 группы В, ф £ E(G), h£Н. Предположим, что

k

ф^) = -Jh для некоторых к, l£Z. Отсюда 1ф(Н)=кк, ф (h)£H. Предположим, что

k

ф(х) = у для некоторых у£Н, х£О. Можем записать -JX = у. Тогда кх =1у, х£ Н.

Следовательно, подгруппа Н является сильно E(G)-замкнутым и сильно Е(О)-сер-вантным подмножеством в G. Построим E(О)-однородное отображение /: О^О по следующему правилу:

\Н; (0, g £ О \ Н.

f (g >={0

Пусть 0 Ф хєН, уєG\H. Тогда f (x+у) = 0 Ф x = f (x)+f (У).Таким образом, группа G не является эндоморфной. Теорема доказана.

Автор благодарен доценту Любимцеву О.В. за постановку задачи и профессору Чехлову А.Р. за ценные замечания по доказательству теорем, а также кафедре алгебры Томского государственного университета за внимание к работе автора.

ЛИТЕРАТУРА

1. Hausen J. and Johnson J.A. Centralizer near-rings that are rings // J. Austr. Math. Soc. 1995. V. 59. P. 173-183.

2. Крылов П.А., Михалев А.В., Туганбаев А.А. Связи абелевых групп и их колец эндоморфизмов. Томск: ТГУ, 2002.

3. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. Т. 1. М.: Мир, 1974.

4. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. Т. 2. М.: Мир, 1977.

5. Крылов П.А., Чехлов А.Р. Абелевы группы без кручения с большим числом эндоморфизмов // Труды Института математики и механики. 2001. Т. 7. № 2. С. 194-207.

6. Чередникова А.В. Кольца квазиэндоморфизмов сильно неразложимых абелевых групп без кручения ранга 3 // Матем. заметки. 1998. Т. 63. № 5. С. 763-773.

7. Турманов М.А. Эндочистые подмодули абелевых групп без кручения ранга 2 // Абелевы группы и модули. Томск: ТГУ, 1990. С. 119-124.

8. Турманов М.А. О чистоте в абелевых группах // Фундамент. и прикл. математика. 2004. Т. 10. № 2. С. 225-238.

9. Чередникова А.В. Кольца квазиэндоморфизмов абелевых групп без кручения ранга 3: дис. ... к.ф.-м.п. М.: МПГУ, 1999.

Статья принята в печать 24.12.2010г.

Chistyakov D.S. ENDOMORPHIC INDECOMPOSABLE TORSION-FREE ABELIAN GROUPS OF RANK 3. In this paper, the structure of the quasi-endomorphism ring of endomorphic torsion-free Abelian groups of rank three is studied.

Keywords: quasi-endomorphism ring, homogeneous map of a module, strongly indecomposable torsion-free Abelian group

CHISTYAKOV Denis Sergeevich (Nizhny Novgorod Commercial Institute) E-mail: [email protected]