Научная статья на тему 'Эндоморфные неразложимые абелевы группы без кручения ранга 3'

Эндоморфные неразложимые абелевы группы без кручения ранга 3 Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
152
40
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
КОЛЬЦО КВАЗИЭНДОМОРФИЗМОВ / ОДНОРОДНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ МОДУЛЯ / СИЛЬНО НЕРАЗЛОЖИМАЯ АБЕЛЕВА ГРУППА БЕЗ КРУЧЕНИЯ / QUASI-ENDOMORPHISM RING / HOMOGENEOUS MAP OF A MODULE / STRONGLY INDECOMPOSABLE TORSION-FREE ABELIAN GROUP

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Чистяков Денис Сергеевич

В работе изучается строение кольца квазиэндоморфизмов эндоморфных абелевых групп без кручения ранга 3.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

In this paper, the structure of the quasi-endomorphism ring of endomorphic torsionfree Abelian groups of rank three is studied.

Текст научной работы на тему «Эндоморфные неразложимые абелевы группы без кручения ранга 3»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2011 Математика и механика № 1(13)

УДК 512.541

Д.С. Чистяков

ЭНДОМОРФНЫЕ НЕРАЗЛОЖИМЫЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ БЕЗ КРУЧЕНИЯ РАНГА 3

В работе изучается строение кольца квазиэндоморфизмов эндоморфных абелевых групп без кручения ранга 3.

Ключевые слова: кольцо квазиэндоморфизмов, однородное отображение модуля, сильно неразложимая абелева группа без кручения.

Пусть R - ассоциативное кольцо с единицей и V - унитарный левый R-модуль.

Множество MR(V) = { f: V ^ V | f (гх) = г/(х), rеR, xeV} является почтиколь-цом относительно операций сложения и композиции отображений. Элементы множества Мц(У) называются R-однородными отображениями. Очевидно, что множество Мц(У) содержит кольцо Ец(У) всех эндоморфизмов R-модуля V.

R-модуль Vназывается эндоморфным, если М^(У) = Е^У) ([1]).

Абелеву группу О будем называть эндоморфной, если она является эндоморфным модулем над своим кольцом эндоморфизмов Е(О). В этом случае МЕ(О)(О) = 2(Е(О)), где 2(Е(О)) - центр кольца Е(О).

Множество А называется сильно R-замкнутым, если для любых reR, аеА справедливо таеА. Непустое подмножество А левого R-модуля V называется сильно R-сервантным, если 0 Ф гуеА влечет уеА для всех rеR, уе V([1]).

Приведем определения, связанные с квазиразложением абелевой группы и кольцом квазиэндоморфизмов.

Пусть А и В - абелевы группы без кручения. Говорят, что А квазисодержится в В, если пА<^В для некоторого натурального числа п. Говорят, что А квазиравна В (А&В), если А квазисодержится в В и В квазисодержится в А. Квазиравенство А&Ф^Аь где I - конечное множество, называется квазиразложением или квазипрямым разложением группы А. Подгруппы А, называются квазислагаемыми группы А. Группа А называется сильно неразложимой, если она не обладает нетривиальными квазиразложениями.

Абелеву группу без кручения А можно естественным образом вложить в 2-пространство 2®А, которое является делимой оболочкой группы А. Естественный образ вложения подразумевает отождествление элемента ае А с элементом 1®ае2®А. Каждый эндоморфизм аеЕ(А) единственным образом продолжается до линейного преобразования 1®а ^-пространства 2®А. Кольцо Е(А) содержится в Епёд(0®А).

Таким образом, Е(А)={аеЕпёд(0®А)1 аАсА}. 2-алгебра 2®Е(А) называется кольцом квазиэндоморфизмов группы А .

Псевдоцоколем абелевой группы без кручения А называется сервантная подгруппа, порожденная всеми ее минимальными сервантными вполне характеристическими подгруппами (р/г-подгруппами) (обозначим ее 8ос А).

Неопределяемые нами понятия можно найти в книгах [2 - 4].

Лемма 1. Пусть О - абелева группа без кручения конечного ранга п и ^\£2, ..., gn} - максимальная линейно независимая система элементов группы О. Если

существуют такие ф- еЕ(О), что ф/а^ + а2g2 + ... +аngn) = фа-- для всех а,е^ г, - = 1,2,. ,п, и ф1+ф2+... +фп=ф - мономорфизм, то группа О эндоморфна.

Доказательство. Пусть/еМЕ(О)(О). Тогда

ф-Ла^1 + а^ + ... +аngn) = Дф/а^ + а^ + ... +аngn)) =

=f(фajgj)= ф/{а&), -=1,2,... ,п.

Сложим полученные равенства:

(ф1+ф2+~ +фn)f(algl + a2g2 + ... +а,^п) = ф( f(algl)+Да^)+... + Да,^)). Используя инъективность ф, получаем

/ (а^а^- +angn) = / (а1&)+/^2)+...+/'^п).

Поскольку каждый элемент О может быть записан в виде линейной комбинации элементов *1*2,...*п, то мы делаем вывод, что для любых х,уе О выполняется равенство

/ (х+у) = / (т)+/(у).

Таким образом, / е 1 (Е(О)). Лемма доказана.

В некоторых случаях удается непосредственно указать существование эндоморфизмов ф- из леммы 1 (см. доказательства теорем 2, 4); это можно сделать и для ряда классов групп, «насыщенных» эндоморфизмами (класс вполне транзитивных групп и др.), см. статью [5].

Для кольца квазиэндоморфизмов абелевой группы О фиксируем обозначение &

Теорема 2. Пусть О - сильно неразложимая абелева группа без кручения ранга

3, такая, что ОфБос О. Группа О не является эндоморфной тогда и только тогда, когда ёт2 Б=2.

Доказательство. Достаточность. Пусть ^^^з} - максимальная линейно независимая система элементов группы О и кольцо & имеет вид ([6])

& = ■

0

Тогда Бос О=<§1^2> . При этом <^1>* = (ag/aеN0, gе О)* - сервантная оболочка следа NО в группе О, где N0 = ./(Е(О)) п Е(О). Таким образом, группа А=<2> является сильно Е(О)-сервантной и сильно Е(О)-замкнутой подгруппой в О. Построим Е(О)-однородное отображение/: О ^ О по следующему правилу:

§, g е А; (0, g е о \ А.

Пусть 0 Ф хеА,уеО\А. Тогда/(х+у) = 0 Ф х = /(х)+/(у).

Аналогично проводится доказательство для случаев, когда

/ {* >={0

({ Т

Б = ■

5 0^

0 г 0

0 0 г

г, 5 е Q [■, Б = -

Т, 5 е Q [■ .

Необходимость. Предположим ёт2 Б Ф 2. Тогда кольцо Б изоморфно одному из следующих колец ([6]):

К =

у

х

0

X, у, г е Q |

17

К 2 =■

х у 2

0 х ку

0 0 х

Л

х, у, 2 є Q,0 Ф к є Q, к = сош!!

17

К ='

л

X У 2

0 х ґ

ч0 0 ху

X, у, 2, ґ є Q }

В каждом случае найдутся эндоморфизмы фь ф2, ф3, феЕ(О), удовлетворяющие условию леммы 1.

1) Если Б = Кь то

Г г -г -г ^ Г 0 г 0 > Г 0 0 г ^ Г г 0 0 >

Фі = 0 г 0 , Ф2 = 0 0 0 , Фз = 0 0 0 , ф = 0 г 0 о є

0 0 г V 10 0 0 V 10 0 0 V 10 0 г)

для некоторого гєQ. 2) Если Б = К2, то

Г г -г кг - г ^ Г 0 г -кг ^ г 0 0 г ^ Г г 0 0 >

фі = 0 г -кг , ф2 = 0 0 кг , фз = 0 0 0 , ф = 0 г 0 є Е(О),

0 0 г V 0 0 0 V 10 0 0 V 10 0 гV

для некоторого гєQ. 3) Если Б = К3, то

Г г -г -г ^ Г 0 г 0 > Г 0 0 г ^ Г г 0 0 >

фі = 0 г 0 , ф2 = 0 0 0 , фз = 0 0 0 , ф = 0 г 0 є Е(О),

0 0 г V 10 0 0 V 10 0 0 V 10 0 гV

для некоторого гєQ.

Для кольца К1 покажем, что отображения фі, ф2, ф3, ф являются эндоморфизмами группы О. В других случаях рассуждения те же.

Пусть Б = К1. Рассмотрим идеалы

Г 0

Б =■

0 0 0 0 0 0

\Ч є Q\, Б2 =■

Г0 0 0 0 0 0 0 0

7^\

\ч є Q N

Аддитивная группа кольца Б есть делимая оболочка аддитивной группы кольца Е(О) и Е(О) п Б{ ^0, I = 1,2. Следовательно, найдется такое рациональное число г, что ф1, ф2, ф3, ф е Е(О). Таким образом, dimQ Б/2. Теорема доказана.

Интересно проследить взаимосвязь между свойствами эндоморфности и чистоты модуля.

Пусть Я - ассоциативное кольцо с единицей, М - левый Я-модуль. Подмодуль А модуля М называется чистым, если всякая конечная система уравнений вида

П

Ъ'иХ = а1 СИ,-,т)

i=1

с коэффициентами г^-еЯ и правыми частями а^еА, имеющая решение в М, имеет решение и в А.

Модуль называется чисто простым, если он не содержит в себе собственных чистых подмодулей, и чисто полупростым, если он изоморфен прямой сумме чисто простых модулей.

Вполне характеристическая подгруппа А абелевой группы О такая, что модуль А является чистым подмодулем левого Е(О)-модуля О, называется эндочистым подмодулем группы О.

Подгруппа А группы О называется сервантным подмодулем в левом Е(О)-модуле О, если всякое уравнение вида фх=а, где феЕ(О), аеА, имеющее решение в О, имеет решение и в А .

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Понятно, что любой эндочистый подмодуль абелевой группы О является сер-вантным.

Чистота в абелевых группах изучалась в работах [7, 8]. Следствием результатов этих публикаций и доказанной теоремы является следующее утверждение.

Следствие 3. Сильно неразложимая абелева группа без кручения ранга 3, не совпадающая со своим псевдоцоколем, эндоморфна тогда и только тогда, когда она не содержит сервантных подмодулей.

Абелева группа называется жесткой, если ее кольцо эндоморфизмов является подкольцом поля О.

Теорема 4. Пусть О =А®В, где А - абелева группа без кручения ранга 1, В -жесткая сильно неразложимая абелева группа без кручения ранга 2. Группа О не является эндоморфной тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих условий:

1. г(Нот (А, В))=1, Нот (В, А) = 0,

2. Нот (В, А) = Нот (А, В) =0.

Доказательство. Необходимость. Рассмотрим следующие четыре случая:

1) г(Нот (А, В)) = 2 и Нот (В, А) = 0;

2) г(Нот (В, А)) = 2 и Нот (А, В) = 0;

3) г(Нот (В, А)) = 1 и Нот (А, В) = 0;

4) г(Нот (В, А)) = г(Нот (А, В)) = 1.

Они в совокупности с равенствами из заключения теоремы полностью исчерпывают возможные значения рангов групп Нот (А , В) и Нот (В, А).

1) г(Нот (А, В)) = 2 и Нот (В, А) = 0.

Подгруппа А является порождающим множеством Е(О)-модуля О. Тогда для любых ЬьЬ2е В существуют ф, ф е Е(О), а1, а2еА, такие, что Ь1=фа1, Ь2=фа2. Учитывая, что та\=па2, для некоторых т, пеZ,/еМЕ(О)(О) имеем

т/(Ь]+Ь2) = /(тЬ\+тЬ2) = /(тфа!+тфа2) = /(фта1+тфа2) = /(фпа2+тфа2)=

=/((фп+тф)а2) = (фп+тф)/(а2) = фп/(а2)+тф/(а2) = /(фпа2)+т/(фа2) = т/(Ьх)+т/(Ь2). Откуда / (Ьх+Ь2) = /(Ь:)+/(Ь2).

Пусть а е А, Ье В и еА: О ^ А, еВ: О^ В - проекции, соответствующие прямому разложению группы О. Тогда для любого /е МЕ(О)(О) имеем /(а+Ь) = (еА+еВ) /(а+Ь) = еА/(а+Ь)+ ев/(а+Ь) = /(еА(а+Ь)) + /(ец^а+Ь)) = /(а)+/(Ь).

Если а1, а2 е А, то найдутся и,vеZ, такие, что иа1=уа2. Тогда для любого /е МЕ(О)(О) получаем

и/ (а!+а2) = /(иа1+иа2) = /(уа2+иа2)=^+и) /(а2) = V/(а2)+и/(а2) =

=/^а2)+и/(а2) = и/(а!)+ и/(а2).

Следовательно, / (а!+а2) = / (ах)+/(а2).

В ситуациях 2) - 4) группа О эндоморфна. Мы укажем лишь эндоморфизмы Фь ф2, фз, ф, удовлетворяющие условию леммы 1.

2) г(Нот (В, А))=2 и Нот (А, В) = 0.

Кольцо квазиэндоморфизмов Б группы О изоморфно кольцу ([9, теорема 2.2.3])

((X у V А

0 у 0 0

Б = ■

0

У.

\х, у, и, w є д }>.

Тогда эндоморфизмы ф1, ф2, ф3, ф имеют вид

' г 0 0 > ' 0 0 -г ^ ' 0 0 г ^ ' г 0 0 >

Ф1 = 0 0 0 , Ф2 = 0 0 0 , Фз = 0 0 0 , Ф = 0 г 0 є Е (О),

0 0 0 .у 10 0 0 у 10 0 0 .у 10 0 гу

для некоторого г£^.

3) г(Нот (В, А))=1 и Нот (А, В) = 0.

Из работы [9, доказательство теоремы 2.2.3] следует, что

Б = -

|х,у,и,£ Q [

В качестве ф1, ф2, ф3, ф возьмем эндоморфизмы

' г 0 0 > ' 0 г 0 > ' 0 -г 0 > ' г 0 0 >

Фі = 0 0 0 , Ф2 = 0 0 0 , Фз = 0 г 0 , Ф = 0 г 0 є Е(О),

0 0 0 у 10 0 0 у 10 0 г у 10 0 г у

для некоторого г£^.

4) г(Нот (В, А)) = г(Нот (А,В)) = 1. Кольцо Б имеет вид ([9, теорема 2.2.3]):

17 х и 0 А

Б = ■

|х, у, и, w є д !

Тогда в качестве искомых эндоморфизмов достаточно взять следующие:

' г 0 0 > ' 0 0 0 > ' 0 0 0 > ' г 0 0 >

Ф1 = 0 0 0 , Ф2 = 0 г 0 , Фз = 0 0 0 , Ф = 0 г 0 є Е(О), для не

0 0 0 у 10 0 0 у 10 0 г у 10 0 г у

которого reQ.

Достаточность. 1) Пусть г(Нот (А, В))=1, Нот (В, А) = 0.

Рассмотрим В' = ^ аА - след А в В. Тогда В' - сервантная подгруппа в

а£Нот( А,В)

группе В ранга 1. Пусть В' = (Ъ')* и элементы Ъ' , Ь" образуют максимальную линейно независимую систему элементов в В. Тогда подгруппа В'' = (Ь' )* является сильно £(О)-замкнутым и сильно £(О)-сервантн^1м подмножеством.

Построим £(О)-однородное отображение/О^-О по следующему правилу:

/ (g) = («, g £ В'’

(0, g £ О \ В ".

Пусть 0фх£В'', у£О\ В''. Тогда/(х+у)=0^ х=/(х)+/(у). Группа О не эндоморфна.

2) Пусть Нот (В, А)=Нот (А, В) = 0.

В этом случае Q®E(A®B)= Q®E(A)®Q®E(B). Принимая во внимание изоморфизмы Q®E(A)=Q и Q®E(B)=Q, заключаем, что Б^0®0. Так как Нот(В, А) = = Нот (А,В) = 0, то О разлагается в прямую сумму модулей А и В. Пусть Н - сер-вантная подгруппа ранга 1 группы В, ф £ E(G), h£Н. Предположим, что

k

ф^) = -Jh для некоторых к, l£Z. Отсюда 1ф(Н)=кк, ф (h)£H. Предположим, что

k

ф(х) = у для некоторых у£Н, х£О. Можем записать -JX = у. Тогда кх =1у, х£ Н.

Следовательно, подгруппа Н является сильно E(G)-замкнутым и сильно Е(О)-сер-вантным подмножеством в G. Построим E(О)-однородное отображение /: О^О по следующему правилу:

\Н; (0, g £ О \ Н.

f (g >={0

Пусть 0 Ф хєН, уєG\H. Тогда f (x+у) = 0 Ф x = f (x)+f (У).Таким образом, группа G не является эндоморфной. Теорема доказана.

Автор благодарен доценту Любимцеву О.В. за постановку задачи и профессору Чехлову А.Р. за ценные замечания по доказательству теорем, а также кафедре алгебры Томского государственного университета за внимание к работе автора.

ЛИТЕРАТУРА

1. Hausen J. and Johnson J.A. Centralizer near-rings that are rings // J. Austr. Math. Soc. 1995. V. 59. P. 173-183.

2. Крылов П.А., Михалев А.В., Туганбаев А.А. Связи абелевых групп и их колец эндоморфизмов. Томск: ТГУ, 2002.

3. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. Т. 1. М.: Мир, 1974.

4. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. Т. 2. М.: Мир, 1977.

5. Крылов П.А., Чехлов А.Р. Абелевы группы без кручения с большим числом эндоморфизмов // Труды Института математики и механики. 2001. Т. 7. № 2. С. 194-207.

6. Чередникова А.В. Кольца квазиэндоморфизмов сильно неразложимых абелевых групп без кручения ранга 3 // Матем. заметки. 1998. Т. 63. № 5. С. 763-773.

7. Турманов М.А. Эндочистые подмодули абелевых групп без кручения ранга 2 // Абелевы группы и модули. Томск: ТГУ, 1990. С. 119-124.

8. Турманов М.А. О чистоте в абелевых группах // Фундамент. и прикл. математика. 2004. Т. 10. № 2. С. 225-238.

9. Чередникова А.В. Кольца квазиэндоморфизмов абелевых групп без кручения ранга 3: дис. ... к.ф.-м.п. М.: МПГУ, 1999.

Статья принята в печать 24.12.2010г.

Chistyakov D.S. ENDOMORPHIC INDECOMPOSABLE TORSION-FREE ABELIAN GROUPS OF RANK 3. In this paper, the structure of the quasi-endomorphism ring of endomorphic torsion-free Abelian groups of rank three is studied.

Keywords: quasi-endomorphism ring, homogeneous map of a module, strongly indecomposable torsion-free Abelian group

CHISTYAKOV Denis Sergeevich (Nizhny Novgorod Commercial Institute) E-mail: chistyakovds@yandex.ru

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.