Радикалы, порождаемые или копорождаемые бимодулями' Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2010 Математика и механика № 3(11)

УДК 512.553+512.541

Е.А. Тимошенко РАДИКАЛЫ, ПОРОЖДАЕМЫЕ ИЛИ КОПОРОЖДАЕМЫЕ БИМОДУЛЯМИ1’2

Получены критерии, которые позволяют определять, можно ли представить радикал категории модулей как порождённый или копорождённый классом бимодулей. Для произвольного модуля описаны бимодули, в определённом смысле служащие «аппроксимацией» этого модуля.

Ключевые слова: модуль, бимодуль, радикал, гомоморфизм.

В статье [1] изучались связи между двумя близкими по свойствам классами идемпотентных радикалов, задаваемых при помощи функтора Нот. Прежде чем дать нужные определения, приведём основные обозначения и договорённости.

Все группы предполагаем абелевыми, кольца - ассоциативными с единицей, модули - унитарными (по умолчанию правыми). Через и ® будем обозначать соответственно тензорное произведение над £ и над кольцом целых чисел; через Нотд и Нот обозначаем группу модульных гомоморфизмов правых £-модулей и группу аддитивных гомоморфизмов.

Напомним некоторые факты теории радикалов [2, 3]. Скажем, что в категории правых £-модулей то^£ задан идемпотентный радикал р, если всякому правому £-модулю А сопоставлен его подмодуль р(А) и при этом справедливы следующие условия:

- для всякого ^-гомоморфизма ф: А ^ В выполнено ф(р(А)) с р(В);

- р(р(А)) = р(А) для любого £-модуля А;

- р(А/р(А)) = 0 для любого £-модуля А.

Пусть р - идемпотентный радикал (далее слово «идемпотентный» часто будет опускаться). Назовём р-радикальным класс всех модулей А£ , таких, что р(А) = А. Двойственным образом равенство р(А) = 0 задаёт р-полупростой класс. Заметим, что р однозначно определён как своим полупростым, так и своим радикальным классом (будем обозначать эти классы Рр и Яр соответственно).

Всякий радикальный класс является замкнутым относительно гомоморфных образов, прямых сумм и расширений; всякий полупростой класс - относительно подмодулей, прямых произведений и расширений. Радикалы можно упорядочить (частично), полагая р < ст тогда и только тогда, когда р(А) с ст(А) для любого А£ . При этом большему радикалу ст соответствует больший радикальный и меньший полупростой класс.

Напомним теперь основные понятия из работы [1]. Зафиксируем модуль Для всякого Ад пересечение всех подмодулей В из А, таких, что Нот^ (У, А/В) = 0, мы обозначим через Ну (А) и назовём Е(У)-радикалом модуля А. Полученный

1 Работа выполнена при поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009 - 2013 годы». Государственный контракт П937 от 20 августа 2009 г.

2 Работа частично профинансирована Федеральным агентством по науке и инновациям России по контракту № 02.740.11.0238.

функтор Ир есть радикал категории то^£. Его полупростой класс Л(У ) содержит модуль А£ тогда и только тогда, когда Иот (V, А) = 0.

Пусть Я - ещё одно кольцо, и пусть е: £ ^ Я - некоторый гомоморфизм колец. В такой ситуации правый Я-модуль А можно рассматривать как притягивающий правый £-модуль, полагая ая = ае(я) для а е А и 5 е £. Для бимодуля £ (Я/е(£ ))£ введём обозначение Я0. Через Л обозначим класс всех правых модулей СЯ , таких, что Иот (Я, С) = ИотЯ(Я, С). Пересечение всех подмодулей ВЯ с АЯ , таких, что выполнено А/В е Л, назовём Е-радикалом модуля А и обозначим через И(А). Это понятие служит обобщением Е-радикала, который был введён в статье [4].

Включение АЯ е Л выполнено тогда и только тогда, когда Иот (Я0 , А) = 0 [5]; следовательно, Е-радикал есть сужение Е(Я0)-радикала, действующего в то^£, на категорию то^Я [1]. Поэтому естественно с самого начала считать Е-радикал действующим в то^£, отождествив его с Е(Я0)-радикалом. В [1] отмечалось, что для любых кольца £ и бимодуля £ р можно выбрать кольцо Я и гомоморфизм е так, чтобы Я/е(£ ) = £ р. При этом можно добиться, чтобы произвольный правый модуль А£ получался как притягивающий из некоторого Я-модуля; тогда Ир и И представляют собой фактически один и тот же радикал.

С этой позиции Е-радикал есть частный случай Е(У )-радикала. Естественно поставить и обратный вопрос: каждый ли радикал Ир категории то^£ возможно представить в виде Е-радикала (а точнее, в виде Ир, где £ является бимодулем)? Статья посвящена задачам, возникающим в связи с этим вопросом. Основными результатами являются теоремы 3 и 5, которые устанавливают эквивалентность ряда условий, налагаемых на кольцо £. Главными из этих условий можно назвать следующие:

- для всяких У5 , А£ иX = Иот (V, А) из Иот(£, X ) = 0 следуетX = 0;

- для всякого Ф 0 выполнено Иот(£, ЕМ ) Ф 0;

- всякий идемпотентный радикал категории то^£ порождается некоторым классом £-£-бимодулей;

- всякий идемпотентный радикал категории то^£ копорождается некоторым классом £-£-бимодулей.

1. Радикалы, порождаемые бимодулями

Рассмотрим естественное обобщение Е(У )-радикала. Пусть Г есть непустой класс правых £-модулей. Через ИГ мы обозначим наименьший из идемпотентных радикалов р, обладающих свойством Г с Яр (такой радикал всегда существует). Нетрудно видеть, что ИГ -полупростой класс совпадает с классом Л(Г) модулей А, для которых выполнено Иот (V, А) = 0 при всех V е Г. Мы будем говорить, что идемпотентный радикал ИГ порождается классом Г. С этой точки зрения будет логично называть Е^ )-радикалы однопорождёнными радикалами.

Очевидно, что всякий радикал р можно представить в виде ИГ (достаточно взять Г = Яр). Иными словами, всякий радикал порождается подходящим классом модулей. Заметим, что более широкому классу модулей Г соответствует больший радикал ИГ.

Сначала получим ответ на вопрос, поставленный в конце введения: при каких условиях заданный однопорождённый радикал будет однопорождён подходящим £-£-бимодулем? Отметим, что в работах [6, 7] получен исчерпывающий ответ на аналогичный вопрос о радикалах, «однопорождённых» при помощи функтора ®.

Ниже мы увидим, что «наиболее подходящим» является бимодуль £ = £ XV

(£-£-бимодульная структура на Р задаётся естественным образом).

Лемма 1. Пусть V - правый £-модуль, а В - некоторый £-£-бимодуль. Тогда из равенства Иощ (£ XV, В) = 0 следует Иощ (V, В) = 0.

Доказательство. В соответствии с условием леммы имеем

Иот(£, Иощ(V, В)) = Иощ (£ XV, В) = 0.

Но В - £-£-бимодуль; поэтому группа Иощ (V, В) является левым модулем над кольцом £ и, значит, гомоморфным образом суммы копий аддитивной группы данного кольца. Это возможно лишь в случае Иощ (V, В) = 0. Лемма доказана. ■

Теорема 2. Пусть VS - модуль. Следующие условия эквивалентны:

1) Существует £-£-бимодуль и, такой, что Ии = И^

2) Ия (XIV = И .

3) И XV (V ) = V.

4) Радикал И порождается некоторым классом £-£-бимодулей.

5) Для любого А£ иX = Иощ (V, А) из Иот(£, X) = 0 следуетX = 0.

Доказательство. Импликации 2) ^ 1) ^ 4) очевидны.

3) ^ 2). Из равенства И£ ^(V) = V сразу получаем И£ ^ > И . Пусть теперь выполнено А е Л^ ), тогда

Иощ (£ XV, А) = Иот(£, Иощ (V, А)) = Иот(£, 0) = 0, т.е. А е Л(£ XV). Из Л^) с Л(£ XV ) следует И£ ®V < ИV , что и требовалось.

5) ^ 2). Из эквивалентности равенств Иот(£, X ) = 0 и X = 0 и сопряжённости функторов X и Иот мы заключаем, что условие Иощ (£ XV, А) = 0 равносильно условию Иощ (V, А) = 0. Таким образом, полупростые классы радикалов И£ ®V и И совпадают; следовательно, совпадают и сами радикалы.

2) ^ 5). Достаточно провести в обратном порядке рассуждения, приведённые в доказательстве импликации 5) ^ 2).

4) ^ 3). Пусть И|/ = Ид, где Д есть некоторый класс £-£-бимодулей. Тогда для всякого модуля В е Д выполнено неравенство ИВ < И , т.е. ^ (В) = В. Введём обозначение С = И£ ^ (В). Из определения идемпотентного радикала получаем, что подмодуль С вполне инвариантен в В£ и, в частности, является подбимодулем в £ В£. Имеем равенство И£ ^ (В/С ) = 0; применяя теперь лемму 1 к £-£-бимодулю В/С, находим И (В/С ) = 0.

С другой стороны, из замкнутости радикальных классов относительно гомоморфных образов следует И,/ (В/С ) = В/С. Получаем С = В и И£ ^ (В) = В. Таким образом, Ид < И£ ^ , т.е. И < И£ ^ . Из последнего неравенства непосредственно следует И XV (V ) = V. ■

Через ЕМ VS будем обозначать кольцо эндоморфизмов модуля VS .

Теорема 3. Пусть £ - кольцо. Следующие условия эквивалентны:

1) Для всякого У1; существует £-£-бимодуль и, такой, что Ии = И .

2) Для всякого VS выполнено И£ ^ = И .

3) Для всякого VS выполнено И£ ^(V) = V.

4) Для всякого радикал И порождён некоторым классом £-£-бимодулей.

5) Для всяких VS , А£ иX = Иощ (V, А) из Иот(£, X ) = 0 следуетX = 0.

6) Всякий идемпотентный радикал категории то^£ порождается некоторым классом £-£-бимодулей.

7) Для всякого VS Ф 0 выполнено Иот(£, End VS ) Ф 0.

Доказательство. Эквивалентность первых пяти условий немедленно следует из теоремы 2; импликация 6) ^ 4) очевидна.

2) ^ 6). Зафиксируем произвольный радикал Нг категории mod-S (здесь Г есть некоторый класс правых S-модулей). Через Д обозначим класс, состоящий из всех бимодулей S®V, где V е Г. Тогда НГ (НД) - наименьший из всех радикалов р, для которых неравенство HV < р (соответственно HS ®V < р) выполнено для любого модуля V е Г. Для всякого VS имеем HS ®V = HV ; отсюда НД = НГ.

5) ^ 7). Положим AS = VS Ф 0, тогда X = End VS Ф 0. Отсюда уже немедленно получаем неравенство Hom(S, X ) Ф 0.

7) ^ 3). Пусть W = V/HS®V (V), тогда имеем HS ®V (W) = 0. Модуль S®W есть гомоморфный образ модуля S ®V, поэтому из Homs (S ®V, W ) = 0 следует 0 = HomS (S ®W, W) = Hom(S, HomS (W, W)) = Hom(S, End WS), что возможно лишь при W = 0. Следовательно, HS ®V (V) = V. ■

Всякое кольцо, удовлетворяющее эквивалентным условиям теоремы 3, будем называть правым br-кольцом (от слов «бимодуль» и «радикал»).

2. Радикалы, копорождаемые бимодулями

Естественно будет поставить вопросы, двойственные по отношению к ранее рассмотренным (см. теоремы 2 и 3). Пусть Г - некоторый непустой класс правых S-модулей. Через КГ обозначим наибольший из всех радикалов р, для которых справедливо Г с Рр. Тогда КГ -радикальный класс совпадёт с классом Ф(Г) всех модулей V, таких, что HomS (V, A) = 0 для всякого A е Г. Мы будем говорить, что радикал КГ копорождается классом Г. Если класс Г состоит из единственного модуля A, то пишем просто КА и Ф(А).

Произвольный радикал р можно представить в виде КГ (для этого достаточно положить Г = Рр), т.е. всякий радикал копорождён подходящим классом модулей. При этом более широкому классу Г соответствует меньший радикал КГ.

Пусть A - правый S-модуль. Через PA обозначим прямое произведение всех фактормодулей BC = (S ®С )/К^ ®С ), где С - это произвольный подмодуль из A. Модуль S ®С обладает S-S-бимодульной структурой; тогда, как уже отмечалось в доказательстве теоремы 2, подмодуль ^(S ®С ) является подбимодулем. Итак, всякому модулю A мы определённым образом сопоставили S-S-бимодуль PA.

Теорема 4. Пусть AS - модуль. Следующие условия эквивалентны:

1) Существует S-S-бимодуль B, такой, что Кв = К^

2) К^ = ^.

3) Для всякого ненулевого подмодуля С из A выполнено HomS (S ®С, A) Ф 0.

4) Радикал К копорождается некоторым классом S-S-бимодулей.

5) Для любого VS иX = HomS (V, A) из Hom(S, X) = 0 следуетX = 0.

Доказательство. Импликации 2) ^ 1) ^ 4) очевидны.

4) ^ 5). Пусть К = КД, где Д есть некоторый класс S-S-бимодулей. Допустим, что выполнено Hom(S, X ) = 0. Из сопряжённости функторов ® и Hom получаем равенство HomS (S ®V, A) = 0. Далее, из условия Ф^) = Ф(Д) сразу находим, что HomS (S ®V, B) = 0 для всех B е Д. Учитывая лемму 1, можем заключить, что для всех B е Д выполнено равенство HomS (V, B) = 0. Это приводит нас к включению V е Ф(Д) = Ф^), т.е. X = HomS (V, A) = 0.

5) ^ 3). Для ненулевого подмодуля С из A имеемX = HomS (С, A) Ф 0. Отсюда HomS(S®С, A) = Hom(S, HomS (С, A)) = Hom(S, X) Ф 0.

3) ^ 2). Для произвольного подмодуля С из A бимодуль BC будет содержаться в Ктполупростом классе, а следовательно, бимодуль PA также входит в этот класс. Из равенства ^(PA) = 0 следует К < К^.

Пусть V g Ф(4), т.е. имеется ненулевой S-гомоморфизм ф: V^A. Обозначим образ этого гомоморфизма через С. Из неравенства HomS (S ®С, A) Ф 0 получаем, что ^(S ®С ) Ф S®С; следовательно, Be; Ф 0. Пусть s ® c + ^(S ®С ) - ненулевой элемент из BC . Нетрудно убедиться, что отображение, действующее по правилу v ^ s ® ф(у) + KA(S ®С ), задаёт ненулевой S-модульный гомоморфизм из V в BC . Тогда имеем HomS (V, pA) Ф 0, отсюда V g Ф(PA). Итак, мы доказали включение Ф(PA) с Ф(A), эквивалентное неравенству К > KPA. ■

Замечание. Теорема была бы справедлива и в том случае, если бы через PA мы обозначили не прямое произведение бимодулей BC , а их прямую сумму.

Некоторая двойственность, связывающая теоремы 2 и 4, ведёт к интересному результату. Оказывается, что теорема 3 и двойственная ей теорема 5 описывают один и тот же класс колец: в самом деле, условия 5) этих теорем совпадают.

Теорема 5. Пусть S - кольцо. Следующие условия эквивалентны:

1) Для всякого AS существует S-S-бимодуль B, такой, что К = К^

2) Для всякого AS выполнено К^ = К^

3) Для всяких ненулевых CS с AS выполнено HomS (S ®С, A) Ф 0.

4) Для всякого AS радикал К копорождён некоторым классом S-S-бимодулей.

5) Для всяких VS , AS иX = HomS (V, A) из Hom(S, X ) = 0 следуетX = 0.

6) Всякий идемпотентный радикал категории mod-S копорождён некоторым классом S-S-бимодулей.

Доказательство. Эквивалентность первых пяти условий немедленно следует из теоремы 4; импликация 6) ^ 4) очевидна.

2) ^ 6). Зафиксируем произвольный радикал КГ категории mod-S (здесь Г есть некоторый класс правых S-модулей). Далее, символом Д мы обозначим класс всех бимодулей pA, где A е Г. Тогда КГ (КД) - наибольший из всех радикалов р, таких, что К > р (соответственно К^ > р) при всех A е Г. Так как для любого A имеем К^ = К^ приходим к равенству КД = КГ. ■

Добавим к эквивалентным условиям теорем 3 и 5 ещё одно.

Теорема 6. Пусть S - кольцо. Следующие условия эквивалентны:

1) S - правое br-кольцо.

2) Если радикал категории mod-S порождается классом S-S-бимодулей, то он копорождается некоторым классом S-S-бимодулей.

Доказательство. Импликация 1) ^ 2) сразу следует из теорем 3 и 5.

2) ^ 1). Пусть S не является правым br-кольцом. Тогда существует ненулевой модуль VS , опровергающий условие 7) из теоремы 3. Для него будет справедливо равенство HomS (S ®V, V ) = 0, так что для радикала р = HS ®V , который порождён бимодулем, выполнено V е Рр. Имеем равенство р = КД, где Д есть некоторый класс S-S-бимодулей.

Из Д с Рр следует, что HomS (S ®V, B) = 0 для всех B е Д. Применяя теперь лемму 1, мы получаем HomS (V, B) = 0 для всех B е Д. Поэтому ^(V ) = V, а это противоречит условию V е Рр. Теорема доказана. ■

Следует ли из условия «если радикал категории mod-S копорождается классом S-S-бимодулей, то он порождается некоторым классом S-S-бимодулей», что S -правое br-кольцо, пока остаётся неясным. Неизвестно также, можно ли заменить бимодуль pA, используемый в теоремах 4 и З, бимодулем более простого вида.

ЛИТЕРАТУРА

1. Тимошенко Е.А. T-радикалы и E-радикалы в категории модулей // Сиб. матем. журн. 2004. Т. 4З. № 1. С. 201 - 210.

2. КашуА.И. Радикалы и кручения в модулях. Кишинёв: Штиинца, 198З.

3. Мишина А.П., СкорняковЛ.А. Абелевы группы и модули. М.: Наука, 1969.

4. Pierce R.S. E-modules // Abelian Group Theory. Providence: Amer. Math. Soc., 1989. P. 221

- 240. (Contemp. Math., Vol. 87).

З. Крылов П.А., Приходовский М.А. Обобщённые T-модули и E-модули // Универсальная алгебра и её приложения. Волгоград: Перемена, 2000. С. 1ЗЗ - 1б9.

6. Тимошенко Е.А. T-радикалы, порождаемые бимодулями // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2009. № 8(74). С. 88 - 9З.

7. Тимошенко Е.А. О порождаемости T-радикалов бимодулями // Вестник Томского гос-университета. Математика и механика. 2010. № 2(10). С. 16 - 19.

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ:

ТИМОШЕНКО Егор Александрович - кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры общей математики механико-математического факультета Томского государственного университета. E-mail: [email protected]

Статья принята в печать 16.06.2010 г.