CC BY
35
МАТЕМАТИКА
Вестн. Ом. ун-та. 2016. № 1. С. 6-13. УДК 512.552.13
Л.М. Мартынов, Т.В. Павлова
О МИНИМАЛЬНО ПОЛНЫХ АССОЦИАТИВНЫХ КОЛЬЦАХ*
Изучается понятие полноты для ассоциативных колец. Охарактеризованы минимально полные ассоциативные нильпотентные кольца, простые кольца с единицей и конечные кольца.
Ключевые слова: ассоциативное кольцо; минимально полное кольцо; конечное кольцо; простое кольцо; нильпотентное кольцо.
В настоящей статье исследуется задача описания минимально полных (универсальных) алгебр ([1], проблема 10) для ассоциативных колец. Напомним, что ассоциативное кольцо называется полным, если оно не имеет гомоморфизмов на ненулевые кольца из атомов решетки Ь(Лб) подмногообразий многообразия Лб всех ассоциативных колец. Если ассоциативное кольцо не имеет ненулевых полных подколец, то оно называется редуцированным.. Заметим, что нулевое кольцо является одновременно полным и редуцированным. Понятно, что любое кольцо, принадлежащее какому-либо атому решетки Ь(Лб), является редуцированным. Ненулевое полное ассоциативное кольцо называется минимально полным, если любое его собственное ненулевое подкольцо не является полным (равносильно, является редуцированным).
Основной целью работы является получение характеризации минимально полных ассоциативных нильпотентных колец, простых колец с единицей и конечных колец. Формулировке и окончательному доказательству основных результатов (они будут приведены в конце статьи) предпошлем несколько вспомогательных утверждений, некоторые из них будут охватывать не только упомянутые классы ассоциативных колец и представлять самостоятельный интерес. Но прежде приведем некоторые определения, обозначения и факты для ассоциативных колец.
Условимся в дальнейшем, ради краткости, под кольцом понимать ассоциативное кольцо, а под идеалом кольца - его двусторонний идеал. Для обозначения прямой суммы колец будем использовать знак © . Этот же знак будет использоваться и для обозначения прямой суммы аддитивных групп. Но при этом из контекста всегда будет ясно, о чем идет речь. Нулевое подкольцо кольца будем обозначать буквой О . Буквы к, т, п всегда будем употреблять, зачастую без оговорок, для обозначения (ненулевых) натуральных чисел, а букву р - для обозначения простых чисел. Кольцо
всех квадратных матриц порядка п над кольцом Я мы обозначаем через
М (Я).
Ненулевое кольцо нам удобно называть простым, если оно не имеет нетривиальных идеалов, т. е. отличных от нулевого и самого кольца (для колец, не являющихся кольцами с нулевым умножением, это понятие совпадает с общепринятым понятием простого кольца). Через Я + будем обозначать аддитивную группу кольца Я . Условимся кольцо, полученное из аддитивной абелевой группы А введением нулевого умножения или заменой умножения кольца А на нулевое умножение, обозначать через А0 . Кольцо вычетов целых чисел по модулю п будем обозначать через Хп,
* Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации (задание № 2014/336).
© Л.М. Мартынов, Т.В. Павлова, 2016
а конечное поле из q элементов - посредством GF(q) или Fq. Напомним, что порядками конечных полей могут быть только числа вида q = pn . Поле называется минимальным, если оно не имеет собственных подполей. Минимальные поля исчерпываются полем Q рациональных чисел и конечными полями Fp по всем p . Посредством
C ^ для любого p обозначается аддитивная
p
квазициклическая группа типа p™ .
Для системы £ кольцевых тождеств посредством var£ обозначается многообразие всех ассоциативных колец, определяемое системой £. Хорошо известно, что атомы решетки L(As) исчерпываются многообразиями F = var {px = 0, xp = x} и
Zp = var{px = 0, xy =0} по всем простым p. Очевидно, что многообразия Fp и Z порождаются соответственно кольцами Fp и Z°p .
Для многообразия V колец через V(R)
обозначается V-вербал кольца R, т. е. наименьший идеал в множестве всех идеалов кольца R, факторкольца по которым принадлежат V . Для многообразий Z p , Fp
и произвольного кольца R можно указать явные формулы для вычисления соответствующих вербалов: Z (R)= pR + R2,
Fp (R) = pR + Rp, где Rp - идеал, порожденный элементами вида xp — x для всех x из R. Несложно понять, что кольцо будет полным тогда и только тогда, когда Zp (R) = R и
Fp (R) = R для всех простых p . Из формул для нахождения Fp - и Z -вербалов немедленно следует, что если аддитивная группа R + кольца R полна (делима), то кольцо R является полным. Кроме того, известно [2], что многообразие As является трасвербаль-ным (этот термин заимствован из [3]) по атомам решетки L. Это означает, что для любых кольца R, его идеала I и атома A решетки L(As), A -вербал A(I) идеала I является идеалом кольца R .
В силу основного результата работы [2] в любом кольце R существует наибольшее полное подкольцо C(R) , которое является идеалом кольца R, а факторкольцо R/C(R) редуцировано. Кроме того, согласно утверждениям 1 и 2 работы [1] класс R всех полных колец замкнут относительно гомоморфных образов и расширений, а согласно утвержде-
нию 5 той же работы класс 8 всех редуцированных колец замкнут относительно взятия подколец, прямых (декартовых) произведений (в частности, прямых сумм) и относительно расширений. Кроме того, идеал С (Я)
содержит любое полное подкольцо кольца Я. Все сказанное означает, что в многообразии Аб определен строгий радикал (в смысле Ку-роша[4]), где И - радикальный класс, а 8 -полупростой класс. Идеал С (Я) кольца Я будем называть в дальнейшем полным радикалом кольца Я.
Заметим, что полный радикал кольца в некотором смысле является антиподом радикалу Джекобсона. Так, например, нильпо-тентное кольцо с редуцированной аддитивной группой есть редуцированное кольцо (т. е. оно полупростое в смысле полного радикала), но оно же радикально в смысле Джекобсона. С другой стороны, любое поле, отличное от конечного минимально, как легко понять, является полным (т. е. радикальным в смысле полного радикала), но в то же время оно полупросто по Джекобсону.
Для кольца Я через ^(Я) обозначается его радикал Джекобсона. Термин полупростое кольцо будет использоваться всюду в дальнейшем в смысле полупростое по Дже-кобсону кольцо, т. е. кольцо с нулевым радикалом Джекобсона.
Напомним, что кольцо называется арти-новъм (слева), если оно удовлетворяет условию минимальности для левых идеалов. Общеизвестен факт, что радикал Джекобсона артинова кольца нильпотентен (см., напр., [5, с. 63], теорема 1) и содержит любой односторонний нильидеал (см. там же, следствие 1). Кроме того, полупростое артиново кольцо по теореме Веддербёрна-Артина (см., напр., [5, с. 65]) есть конечная прямая сумма колец матриц над подходящими телами. Эти факты будут использоваться в дальнейшем без ссылок на источники.
Перейдем к формулировке утверждений. При этом условимся знаком □ обозначать окончание доказательства соответствующего утверждения.
Лемма 1. Минимально полные нильпо-тентные кольца исчерпываются кольцом О0
и кольцами С по всем простым р .
р
Доказательство. Пусть Я - минимально полное нильпотентное кольцо, и предположим, что Я2 Ф О . По лемме 1 из [6] Я2 - полное кольцо. Поскольку Я2 Ф О , делаем вывод о том, что Я2 - ненулевое собственное полное подкольцо кольца Я, что противоречит минимальной полноте кольца Я . Таким образом, Я обязано быть кольцом с нулевым умножением. Легко понять, что кольцо с нулевым умножением является минимально
полным тогда и только тогда, когда его аддитивная группа является минимально полной. Учитывая хорошо известный факт (см., напр., [7, с. 141]), что любая полная аддитивная абелева группа является прямой суммой
групп типа и типа С ^ , легко получаем,
что минимальные абелевы группы с точностью до изоморфизма исчерпываются группами и С ^ по всем простым р . Отсюда
и из сказанного выше вытекает требуемое. □
Лемма 2. Простое кольцо является либо полным и при этом не принадлежит ни одному из атомов решетки Ь(Ав), либо редуцированным и при этом изоморфно одному из колец вида Ер или 2йр для некоторого простого числа р .
Доказательство. В самом деле, очевидно, что если простое кольцо Я не принадлежит ни одному из атомов решетки Ь(Лб), то у него нет гомоморфизмов на ненулевые кольца из этих атомов, так как любой ненулевой гомоморфизм простого кольца инъек-тивен. Пусть теперь простое кольцо Я принадлежит одному из атомов решетки Ь(Лб). В силу известных результатов кольца многообразий Е и Z при любом р являются под-
прямыми произведениями изоморфных копий колец Ер и 2° соответственно. Ввиду
подпрямой неразложимости кольца Я делаем вывод об изоморфизме Я одному из простых колец вида Ер или 2° для некоторого простого числа р . □
Лемма 3. Тело К нулевой характеристики является минимально полным тогда и только тогда, когда оно изоморфно полю Q рациональных чисел.
Доказательство. Пусть К - тело нулевой характеристики. Тогда К содержит в качестве подполя поле, изоморфное полю Q рациональных чисел. В силу минимальной полноты тела К и полноты по лемме 2 поля Q тело К обязано быть изоморфным полю Q.
Докажем обратное утверждение. Полнота поля Q уже отмечалась. Необходимо показать, что любое ненулевое собственное подкольцо А поля Q не является полным. Напомним, что аддитивная группа Q+ является локально циклической, т. е. в ней любая конечно порожденная подгруппа является циклической (см., напр., [8, с. 216]). На самом деле группа Q+ и любая ее ненулевая подгруппа являются локально свободными, т. е. в них всякая ненулевая конечно порожденная подгруппа является свободной (в силу коммутативности Q+ и отсутствия кручения, бесконечной циклической группой) (см., напр., [7, с. 239]). Будучи счетными локально свободными группами, они являются объ-
единениями возрастающей последовательности бесконечных циклических групп (см. там же). Понятно, что объединение любой такой бесконечной строго возрастающей последовательности является полной группой и поэтому совпадает с Q+ в силу того, что Q+- минимально полная группа. Следовательно,
подгруппа АА является бесконечной циклической группой. Но тогда рА Ф А для любого простого числа р. Рассмотрим фактор-
кольцо А = А/рА . Его аддитивная группа является циклической простого порядка и поэтому А не имеет нетривиальных подколец. Нетрудно понять (см. также лемму 8 в [9]),
что кольцо А изоморфно либо кольцу 2 0р ,
либо полю Ер, принадлежащим соответственно атомам Z и решетки Ь(Лб). Следовательно, кольцо А не является полным. Таким образом, поле Q рациональных чисел является минимально полным кольцом. □
Лемма 4. Тело К простой характеристики р является минимально полным тогда и только тогда, когда оно изоморфно конечному полю ОЕ(рч) для некоторого простого числа Ч.
Доказательство. Пусть К - минимально полное тело простой характеристики р . Тогда К содержит поле Ер , которое, очевидно,
лежит в центре тела К . Если в К имеется алгебраическое число а степени п >1 относительно поля Ер, то К содержит конечное
поле Ер (а) = ОЕ(р" ) , состоящее из всевозможных значений /(а) в К всех многочленов /(х) из кольца Ер [х]. По лемме 2 поле
ОЕ(рп) является полным. Ввиду минимальной полноты К отсюда получаем равенство К = ОЕ(рп) . Но при составном п >1 поле ОЕ(рп ) содержит полное подполе ОЕ(рт ), где т - нетривиальный делитель п , что противоречит минимальной полноте тела К . Таким образом, п - простое число.
Рассмотрим теперь случай, когда все элементы тела К , не принадлежащие полю Ер ,
являются трансцендентными над Ер . Выберем один из них 9 и рассмотрим в К подполе Ер (9) значений частных / (9)/g (9) всевозможных многочленов /(х), g (х) е Ер [х] (g(х) Ф 0) от 9. По лемме 2 поле Ер (9) является полным, и поэтому в силу минимальной полноты тела К получаем равенство
K — Fp (в). Рассмотрим эндоморфизм р Фробениуса поля Fp (в), определенный по правилу p(a) — ap для любого элемента a из Fp (в) . Он будет инъективным, так как поле Fp (в) не содержит ненулевых нильпотент-ных элементов. Причем Imp. В самом деле, если бы р( f (в)/g (в)) — в, то f (в) p /g (в) p — в. Отсюда f (ßp )/g (вp ) — в или f (в ) — 6g(в ) . Последнее равенство означает, что элемент в является корнем ненулевого многочлена f(xp) — xg(xp) из кольца Fp [x] . Таким образом, полное тело K
содержит собственное полное подполе Imp = Fp (в), т. е. минимально полным не является. Полученное противоречие показывает, что этот случай невозможен.
Обратно, поле GF( pn) для некоторых простых p и n содержит единственное ненулевое подкольцо, а именно редуцированное поле Fp , а поэтому является минимально полным. □
Лемма 5. Кольцо Mn (K) квадратных
матриц порядка n над телом K является минимально полным тогда и только тогда, когда оно изоморфно либо ncrnK>Q рациональных чисел, либо конечному полю GF(pq ) для некоторых простых чисел p и q, либо кольцу M2(Fp) для некоторого простого p .
Доказательство. Пусть Mn (K) - минимально полное кольцо матриц порядка n над телом K. Будучи полным, кольцо Mn (K) не принадлежит ни одному из атомов решетки L(As), так как кольца последних являются редуцированными. Пусть n — 1. В этом случае кольцо M1( K) изоморфно телу K . В случае
нулевой характеристики тело K по лемме 3 изоморфно полю Q рациональных чисел. Если характеристика K равна простому числу p, то тело K по лемме 4 изоморфно
конечному полю GF( pq) для некоторого простого числа q .
Пусть теперь n > 1 . Кольцо Mn (K) в этом случае содержит в качестве собственного подкольца тело K . В силу минимальности кольца Mn (K ) тело K должно быть редуцированным. По лемме 2 K обязано быть изоморфным простому полю Fp для некоторого
простого p . Очевидно, что кольцо Mn (F )
Fp содержит в качестве собственного под-
кольца кольцо, изоморфное полному кольцу M2(Fp) , и поэтому не является минимально
полным. Следовательно, n = 2 . Покажем, что кольцо M2(Fp) является минимально полным. Рассмотрим любое собственное ненулевое подкольцо A кольца M2(Fp) . Будучи конечным, а потому артиновым, полупростое факторкольцо A/J(A) в силу теоремы Вед-дербёрна-Артина является прямой суммой конечного числа матричных колец над подходящими телами. Ясно, что в нашем случае эти тела обязаны быть конечными полями, изоморфными полю Fp . Но тогда порядки
матриц, входящих в разложение кольца A/J(A) , обязаны быть равны 1. Будучи прямой суммой редуцированных полей, кольцо A/J( A) также обязано быть редуцированным. Но тогда понятно, что подкольцо A не является полным. Таким образом, кольцо M2(Fp) не имеет собственных ненулевых
полных подколец и потому является минимально полным кольцом. □
Лемма 6. Минимально полное кольцо R с ненулевым умножением совпадает со своим квадратом.
В самом деле, пусть R - минимально полное кольцо и R2 Ф O . По лемме 1 из [6] из полноты кольца R следует полнота кольца R2 . Поэтому для минимально полного кольца возможны только два случая: либо R2 = R , либо R2 = O . При выполнимости условий леммы 6 возможен только первый случай. □
Лемма 7. Произвольное артиново кольцо R есть прямая сумма своих идеалов I и J таких, что I + - полная группа и J + -ограниченная группа, т. е. mJ + = O для некоторого m .
Доказательство. Пусть R - артиново кольцо. Среди идеалов этого кольца вида nR существует минимальный идеал I = mR для некоторого m . Для идеала I ввиду его минимальности выполняется nI = I для всех n, т. е. I + - полная группа. Как полная группа I + выделяется в группе R+ прямым слагаемым: R + = I + © J + . Так как mR + = mI + © mJ+ = I + , то mJ + = O . Ясно, что множество r элементов подгруппы J+ со свойством mr = 0 также является идеалом в кольце R . □
Лемма 8. Любое кольцо R со свойством mR = O, где m = pa ■ pО2 ■... ■ pa„", есть прямая
квадратных матриц порядка
n > 3
над полем
сумма идеалов Р. этого кольца, таких что = О (' = 1, 2,..., п), т. е. Я = ©^ Р . Доказательство. Пусть выполнены условия леммы. Аддитивная группа кольца Я+ со свойством тЯ = О является абелевой периодической и, следовательно, разлагается в прямую сумму своих примарных компонент Р+ (/ = 1,2,..., п ), т. е. максимальных подгрупп Р+ со свойством р^'Р/ + = О . Любая
подгруппа аддитивной группы кольца Я с таким свойством будет в нем идеалом. Отсюда получаем заключение леммы 8. □
Лемма 9. Артиново кольцо Я с нулевым умножением и условием рЯ = О для некоторого простого числа р редуцировано и конечно.
В самом деле, все идеалы кольца Я - это подгруппы аддитивной группы Я+ кольца Я, для которой рЯ+ = О , так как Я+ - абе-лева группа простой экспоненты р . Но тогда
Я+ разлагается в прямую сумму циклических подгрупп порядка р , причем число слагаемых в этом разложении должно быть конечным, так как кольцо Я артиново. Кольцо
Я , будучи прямой суммой конечного числа 70
экземпляров колец 2р , принадлежит многообразию Z и поэтому является редуцированным. □
Следствие 1. Артиново кольцо Я с нулевым умножением и условием ркЯ = О для некоторых р и к редуцировано и конечно.
Доказательство. Рассмотрим конечную убывающую цепочку идеалов кольца
Я 3 рЯ 3 р2Я 3 ... 3 ркЯ = О . Для всех 1 < т < к кольца ртЯ будут артиновыми, как идеалы артинова кольца Я с нулевым умножением, а факторкольца Ят = (рт1-1 Я)/(ртЯ) удовлетворяют условию леммы 9 и, следовательно, являются конечными и редуцированными. Кольцо рк-2Я конечно, так как является расширением конечного кольца рк-1 Я = Якч с помощью конечного кольца
Як-2 и редуцировано, например, по лемме 18 из [10] как расширение редуцированного кольца с помощью редуцированного. Аналогично, конечно и редуцировано кольцо
рк-3Я и т. д. На некотором шаге получим редуцированность и конечность кольца Я . □ Следствие 2. Нильпотентное артиново
кольцо Я с условием ркЯ = О для некоторых р и к редуцировано и конечно.
Доказательство. Для нильпотентного артинова кольца Я убывающая цепочка идеалов кольца Я 3 Я2 3 Я4 3... на конечном шаге п достигнет нулевого идеала О , причем для всех 1 < т < п факторкольца
2т-1 2т
Я 2 /Я2 удовлетворяют условиям следствия 1 и, следовательно, являются конечными. Тогда кольцо Я будет конечным и редуцированным, так как получено с помощью конечного числа расширений конечных редуцированных колец с помощью конечных редуцированных колец. □
Следствие 3. Идеал рЯ конечного
кольца Я с условием ркЯ = О для некоторых простого числа р и натурального к является редуцированным кольцом.
Действительно, идеал рЯ нильпотентен,
так как (рЯ)к = ркЯк с ркЯ = О, а поэтому является редуцированным кольцом по следствию 2. □
Лемма 10. Для артинова нильпотентного кольца Я следующие условия эквивалентный
1) Я - редуцированное кольцо;
2) тЯ = О для некоторого т ;
3) Я - конечное кольцо.
Доказательство. (1 ^ 2) Пусть Я - редуцированное кольцо. Из леммы 7 следует, что любое артиново кольцо есть прямая сумма идеалов I и J , таких что I - полное кольцо, mJ = О для некоторого т . Кольцо Я не содержит ненулевых полных колец и поэтому I = О . Но тогда Я = J и, следовательно, тЯ = О.
(2 ^ 1, 2 ^ 3) Пусть тЯ = О для некоторого т = р"1 ' р"2 '...' ра . Из леммы 8 следует, что кольцо Я есть прямая конечная сумма Я = ©п=1 Р колец Р. со свойством
р"Р = О . Каждое кольцо Р. удовлетворяет условию следствия 2 из леммы 9, поэтому конечно и редуцировано. Тогда конечным и редуцированным является кольцо Я.
(3 ^ 2) Пусть Я - конечное кольцо. Тогда порядки всех элементов аддитивной группы кольца Я ограничены в совокупности, т. е. найдется число т такое, что тЯ = О. □
Лемма 11. Если любая убывающая цепочка идеалов кольца Я , содержащихся в идеале I этого кольца, стабилизируется на некотором конечном шаге, то из редуцированности кольца Я следует редуцированность кольца ЯЛ.
Доказательство. Заметим сначала, что если факторкольцо ЯЛ редуцированного
кольца R по некоторому идеалу I имеет ненулевой полный радикал C(R) , то прообраз C последнего при естественном гомоморфизме <J :R ^ R/I будет редуцированным кольцом, как подкольцо редуцированного кольца R. Поэтому достаточно показать, что при выполнимости условий леммы факторкольцо R/I не может быть полным кольцом.
Предположим, что R/I - ненулевое полное кольцо. В силу редуцированности R найдется такой атом Al решётки L(As) подмногообразий многообразия As, что для A -вербала A (R) = T кольца R имеет место строгое включение Tl С R. Из равенств A (R/I) = (A (R) +1)/I = R/I вытекает равен-
Тогда In+l= T+l П/ = / , т. е. / С T+l.
ство
R = I + T .
Введем обозначение
I — IПТ1. По свойствам гомоморфизмов колец имеем Я/11 = (I + Тг)1(1 П Т1) = III, © ТД, где второе слагаемое ввиду изоморфизмов
VI = (т1и1 ©ищшо = (ян1)/(т1)=ЯН является полным по предположению. При этом
I < Т, иначе из IП Т1— I следовало бы, что (Я/Т) = (ЯП) / (Т1/I); последнее противоречиво, так как гомоморфный образ полного кольца ЯП является одновременно полным и редуцированным (изоморфным кольцу Я/Т из атома А1 решётки Ь(Аб)) ненулевым кольцом.
Проведя аналогичные рассуждения для редуцированного кольца Т1 , имеющего полный гомоморфный образ Т1П1, изоморфный ЯЛ , получим, что для некоторого атома А решетки Ь(Аб) имеет место Т2— А2(Т1) СТ1 и
Т/ Т2 £ А2. Заметим, что в силу трансвербаль-ности многообразия Аб [2] по атомам решётки Ь(Аб) Т2 будет также идеалом и в кольце Я . Точно так же для идеала ^— IП Т2 имеем Т2И2 = Т1И1 = Я I и I1 < Т2, ибо в противном случае из равенства
II П Т2 — Т , изоморфизмов (Т /Т2) = (Т И^ /
/(Т2 И^ и Т1И1 = ЯП снова получили бы противоречие с тем, что ненулевой гомоморфный образ полного кольца Т1П1 является одновременно полным и редуцированным. И так далее. Убывающая цепочка идеалов
кольца Я : I 3 ^ 3 ^ 3... по условию леммы стабилизируется на некотором шаге п:
1: зI з^ з...з^ — т+1—.....
Учитывая изоморфизм колец Tn/Tn+1 и (Tn/In )/(Tn+1 /In), делаем вывод о том, что последнее кольцо является ненулевым и принадлежит некоторому атому An+1 решетки L(As), а поэтому является редуцированным. С другой стороны, ввиду изоморфизма
Tn/In = R/I это же кольцо является ненулевым полным кольцом. Полученное противоречие доказывает лемму 11. □
Следствие 4. Любой гомоморфный образ артинова редуцированного кольца является редуцированным кольцом □
Замечание 1. В общем случае следствие 4 не верно. В качестве примера можно взять кольцо многочленов Fp [x] над конечным полем Fp . Это кольцо является редуцированным при любом простом p. В самом деле, для этого достаточно показать, что любое ненулевое подкольцо H кольца Fp [ x] не является
полным. Пусть к - минимальная степень ненулевых многочленов из H. При к = 0 имеем включение Fp с H , а отображение,
ставящее любому многочлену из H его свободный член, является гомоморфизмом H на Fp. Следовательно, в этом случае подкольцо H не является полным. Если же к > 0, то H2 ф H и H/H2 является ненулевым кольцом с нулевым умножением. При этом аддитивная группа факторкольца H/H2 имеет простую экспоненту p и поэтому является прямой суммой циклических групп порядка p . Но тогда очевидно, что
кольцо H/H2 является прямой суммой колец, изоморфных кольцу Z0p . Таким образом,
в этом случае подкольцо H гомоморфно отображается на кольцо Z0p и поэтому не является полным. Итак, Fp [x] - редуцированное кольцо. С другой стороны, среди гомоморфных образов кольца Fp [ x] содержатся
все конечные поля характеристики p . Напомним, что поле GF( pn ) является полным
кольцом при n > 1 .
Лемма 12. Полупростое артиново кольцо R является минимально полным тогда и только тогда, когда оно изоморфно либо полю Q рациональных чисел, либо конечному полю GF(pq) для некоторых про-стъх чисел р и q, либо кольцу M2 (Fp ) для некоторого простого р.
Доказательство. Действительно, полупростое артиново кольцо Я по теореме Вед-дербёрна-Артина есть конечная прямая сумма колец матриц над подходящими телами. Поскольку прямая сумма колец есть полное кольцо тогда и только тогда, когда каждое из слагаемых - полное кольцо, в силу минимальной полноты Я кольцо Я изоморфно кольцу матриц Мп (К) для некоторого тела
К и натурального числа п . По лемме 5 кольцо Я является минимально полным тогда и только тогда, когда оно изоморфно либо полю Q рациональных чисел, либо конечному
полю ОЕ(рч ) , либо кольцу М2(Ер ) для некоторых простых чисел р и д. □
Лемма 13. Гомоморфный образ Я минимально полного конечного кольца Я является минимально полным кольцом.
В самом деле, гомоморфный образ полного кольца есть полное кольцо (см., напр., [9], лемма 3). Поскольку любое собственное подкольцо кольца Я есть конечное редуцированное кольцо, соответствующий ему гомоморфный образ в кольце Я по лемме 11 будет редуцированным кольцом. □
Лемма 14. Минимально полное конечное кольцо Я с условием рЯ = О для некоторого простого числа р является полупростыш.
Доказательство. Кольцо Я , удовлетворяющее условиям леммы, является алгеброй
конечной размерности над полем Ер . Кольцо Я//(Я) - минимально полное по лемме 13. Следовательно, по лемме 12 Я// (Я) является либо полем Галуа ОЕ(рч) , либо кольцом матриц М2(Ер ) для некоторых простых чисел р и ч , т. е. центральной простой алгеброй. В любом случае получаем, что алгебра Я// (Я) есть сепарабельная алгебра над полем Ер .
Поле Ер совершенно, следовательно, по теореме Веддербёрна-Мальцева (см., напр., теорему 13.18 в [11, с. 575]) Я = £ © /(Я) , где £ - подалгебра Я, изоморфная Я//(Я). Так как кольцо Я//(Я) - полное, а Я - минимально полное, то £ = Я , т. е. Я - полупростое кольцо. □
Следствие 5. В минимально полном конечном кольце Я с условием ркЯ = О для некоторых р и к имеет место равенство /(Я) = рЯ.
Действительно, по следствию 3 из леммы 9 в кольце Я идеал рЯ нильпотентен и по-
этому рЯ с /(Я) . С другой стороны, минимально полное по лемме 13 кольцо Я/рЯ полупросто по лемме 14. Следовательно, /(Я) с рЯ , т. е. /(Я) = рЯ. □
Лемма 15. Конечное кольцо Я с условиями Я2 = Я , ркЯ = О для некоторых р и к является минимально полным тогда и только тогда, когда Я/рЯ - минимально полное кольцо.
Доказательство. По следствию 5 из леммы 14 имеем /(Я) = рЯ. По теореме 2 из
[6] кольцо Я, удовлетворяющее условиям леммы, полно тогда и только тогда, когда Я/рЯ - полное кольцо. При этом если кольцо
Я - минимально полное, то кольцо Я/рЯ будет также минимально полным по лемме 13.
Обратно, пусть Я = Я/рЯ - минимально полное кольцо и С - полное подкольцо кольца Я . Тогда соответствующий ему гомоморфный образ С в кольце Я будет полным кольцом. В силу минимальной полноты Я кольцо С является либо нулевым подколь-цом в Я , либо С = Я .
Если С = О , то С с /(Я) . Но кольцо /(Я) - конечное нильпотентное, следовательно, редуцированное по лемме 10. Таким образом, в этом случае С = О .
Если С = Я , то (С + рЯ)/рЯ = Я/рЯ . Отсюда С + рЯ = Я . Над кольцом целых чисел кольцо Я является модулем конечной размерности, и любая подгруппа группы Я +, в частности, С + и рЯ + будут его подмодулями. Радикал гаё Я кольца как модуля есть
пересечение подмодулей А таких, что модуль Я/А прост. Из условий, накладываемых леммой 15 на Я, следует, что р(Я/А) = О , т. е. рЯ с А , а значит, рЯ с гаё Я . Тогда по лемме Накаямы для модулей (см., напр., [12, с. 78]) из условия С + рЯ = Я следует, что
Я = С . Таким образом, полное кольцо Я не содержит собственных полных подколец, т. е. является минимально полным кольцом. □
Основные результаты статьи содержатся в следующем утверждении.
Теорема. 1) Минимально полные нильпо-тентные кольца исчерпываются кольцом Q0
и кольцами С0^ по всем простым р, где Q -
р
поле рациональных чисел, а С ^ - аддитивная квазициклическая группа типа р°°.
2) Простое кольцо с единицей является минимально полным тогда и только тогда,
когда оно изоморфно либо полю Q рациональных чисел, либо конечному полю ОЕ(рч), либо кольцу М2(Ер ) для некоторых простых
чисел р и ч .
3) Конечное кольцо Я является минимально полным тогда и только тогда, когда оно совпадает со своим квадратом, т. е. Я2 = Я , его аддитивная группа Я + является р-группой для некоторого простого числа р,
/(Я) = рЯ и либо Я/рЯ £ ОЕ(рч ) для некоторого простого числа ч, либо Я/рЯ £ М 2(Ер ) .
Доказательство. 1) Это утверждение теоремы является содержанием леммы 1.
2) Пусть простое кольцо ^с единицей является минимально полным. Тогда оно является артиновым (см., напр., следствие 4 в [13, с. 196]). Но простое артиново кольцо изоморфно кольцу матрицМп (К) для некоторого тела К и натурального числа п (см., напр., теорема 1 в [5, с. 64]). Остальное следует из леммы 5.
3) В силу леммы 1 минимально полное конечное кольцо Я не может быть кольцом с нулевым умножением. Следовательно, по лемме 6 Я2 = Я . Из конечности Я вытекает ограниченность аддитивной группы кольца Я +. Но тогда из леммы 8 и очевидного факта о том, что конечная прямая сумма колец будет полным кольцом только в случае, когда все его слагаемые суть полные кольца, следует, что р к Я = О для некоторого простого р и натурального к .
Равенство /(Я) = рЯ справедливо теперь в силу следствия 5 из леммы 14. По лемме 15 кольцо Я минимально полно тогда и только тогда, когда факторкольцо Я/рЯ - минимально полное кольцо. Будучи полупростым артиновым, в силу леммы 12 кольцо Я/рЯ изоморфно либо полю ОЕ(рч) , либо кольцу матриц М2 (Ер), где ч - простое число.
Обратно, из лемм 12 и 15 следует, что если Я/рЯ £ ОЕ (рч) и Я рЯ £ М2(Ер), то
кольцо Я минимально полным не является. □
Замечание 2. В качестве примера для условия 3 теоремы можно предложить кольца матриц М 2(2 п) над кольцами вычетов 2 п целых чисел для любых простого
числа р и натурального числа п . При п > 1 эти кольца не являются полупростыми, поскольку/(М2(2 п)) = М2(/(2 п)), а поэтому /(М 2(2 ^)) = М 2(р2 п ) = рМ 2 (2 ^) . При этом они являются минимально полными, так как М2 (2 рп М2 (р2рп) £
£ М2 (2рп / р2рП) £ М2 (2р).
ЛИТЕРАТУРА
[1] Мартынов Л. М. О понятиях примарности, полноты, редуцированности и чистоты для произвольных алгебр // Универсальная алгебра и ее приложения: тр. междунар. семинара, посвящ. памяти Скорнякова Л.А., Волгоград, 6-11 сент. 1999 г. / [редкол.: Михалев А.В. и др.]. Волгоград : Перемена. 2000. С. 179-190.
[2] Мартынов Л. М. Об одном радикале алгебр со свойством трансвербальности по минимальным многообразиям // Вест. Ом. ун-та. 2004. № 3. С. 19-21.
[3] Мальцев А. И. Об умножении классов алгебраических систем // Сиб. матем. журн. 1967. Т. 8. С. 346-365.
[4] Курош А. Г. Радикалы в теории групп // Сиб. матем. журн. 1962. Т. 3. С. 912-931.
[5] Джекобсон Н. Строение колец. М.: ИИЛ, 1961. 392 с.
[6] Павлова Т. В. Полные ассоциативные артиновы кольца // Вест. Ом. ун-та. 2005. № 1. С. 17-19.
[7] Курош А. Г. Теория групп. М.: Наука, 1967. 648 с.
[8] Холл М. Теория групп. М.: Мир, 1962. 468 с.
[9] Мартынов Л. М. Наследственно чистые ассоциативные алгебры над дедекиндовым кольцом, максимальные идеалы которого имеют конечные индексы // Алгебра и логика. 2011. Т. 50. С. 781-801.
[10] Мартынов Л. М. О примарных и редуцированных многообразиях моноассоциативных алгебр // Сиб. матем. журн. 2001. Т. 42. № 1. С. 103112.
[11] Фейс К. Алгебра: кольца, модули и категории. Т. 1. М. : Мир, 1977. 688 с.
[12] Пирс Р. Ассоциативные алгебры : пер. с англ. М. : Мир, 1986. 543 с.
[13] Бурбаки Н. Алгебра. Модули, кольца, формы. М. : Мир, 1966. 554 с.
