CC BY
40
рН * . аш +1 ш + 2 /ч ш + 2 . .т +1 П
^и,т +2 0 Ар-1,а ,а = 0, -1,а + а = 0,
А^а - 41а = 0, А2^-1,а + 4Р^ = 0 (36)
Здесь индексы p и q изменяются по закону (9) причем p<q.
Из дифференциальных уравнений [1. Ур. (7)] и (11) с учетом (10), (32), (35) и (36) замечаем, что на т-поверхностях SIщmU и S,,mmn выполняются следующие дифференциальные уравнения
Б1 ?:ю2-р-1 —ф2р7 = 0,ю2р, +ю2р-1 = 0 о
бш,2+2 : 2+1 2 + 2 0 2 +1 2 + 2 0
,.2+1 „2 + ^ Л ,,М+^ + 2 _ Г\.
0 Ю2_р—1 ®2_р = 0>Ю2_р + ®2р — 1 = 0 (37)
б:ш+2: <;-1 —«2;+2=о,<;[+<—21 = о о
О 0)Ц:11 — аЦ = 0,ю22Р—1 + ю *—1 = 0. (38)
Из (37) и (38) следует, что т-поверхность Sm,m+2 является частным случай т-поверхности Sm,m+2.
3.2. В общем случае для т-поверхности Sm в Еп предполагается, что числа т и п удовлетворяют неравенствам [1. Ур. (5)] и п-т>2. В соответствии с (31) заметим, что все результаты, изложенные в пункте 3.1 в случае п=т+2, справедливы и для случая п>т+2. Следовательно, имеет место следующая теорема.
Теорема 3.1. Многомерные поверхности Ко-ши-Римана Sm,m+2 и Sm,m+2 существуют.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ивлев Е.Т, Лучинин А.А., Молдованова Е.А. Отображения Ко-ши-Римана двумерных площадок касательного и нормального расслоений многомерной поверхности в евклидовом пространстве // Известия Томского политехнического университета. - 2012. - Т. 320. - № 2. - С. 5-8.
2. Остиану Н.М. О канонизации подвижного репера погруженного многообразия // Rev. math. pures et appl. - 1962. - № 2. -С. 231-240.
3. Акивис М.А. Фокальные образы поверхности ранга r// Известия вузов. Математика. - 1957. - № 1. - С. 9-19.
Поступила 02.12.2011 г.
УДК 514.76
СВОЙСТВА ПОВЕРХНОСТЕЙ КОШИ-РИМАНА В МНОГОМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Е.Т. Ивлев, А.А. Лучинин, Е.А. Молдованова
Томский политехнический университет E-mal: [email protected]
Изучаются геометрические свойства многомерных поверхностей Коши~Римана в евклидовом пространстве. С этой целью привлекаются, в частности, индуцированные связности в касательных и нормальных расслоениях указанных поверхностей.
Ключевые слова:
Многомерные евклидовы пространства, многомерные поверхности, характеристики, связности.
Key words:
Multidimensional Euclidean spaces, multidimensional surfaces, characteristics, connectivity.
Введение
В статье [1] были изучены частные классы т-поверхностей Sm,m+2 и Smm+2 в п-мерном евклидовом пространстве Еп. Данная статья является продолжением статей [1, 2] и посвящена изучению некоторых геометрических свойств этих поверхностей. Рассматриваются некоторые поля геометрических образов поверхности SmcEn, которые позволяют выявить дополнительные геометрические свойства поверхностей Smm+2 и S,mm+2. В случае четномерной т-поверхности Sm,m+2cEm+2 изучаются индуцированные связности на SmcEn. На т-поверхностях Sm,m+2 и Sm,m+2 в случае п>т+2 (см. [1. Ур. (37), (38)]) выполняются дифференциальные уравнения:
0-1 . ,лШ +1 ,.ш +2 л га +1 га + 2 л
Б -> : Ю 1 — Ю = 0, Ю +Ю , = 0.
бш,ш+2 2р — 1 2р °’ ^2р 2р — 1
гчЛ . ,лш +1 ,.лш +2 ,.лш + 1 . ,.лш + 2 г\.
Б -, : Ю 1 — Ю = 0, Ю +Ю , = 0;
бш,ш +2 : ^-'2р — 1 2р 0,^2р 2р — 1 0;
®221—1 — = 0,Ю2Р—1 + ©* = 0, (р < р). (1)
Все обозначения и терминология, а также значения индексов соответствуют принятым [1-6].
1. Поля некоторых инвариантных
геометрических образов
Для выяснения свойств т-поверхностей Sm,m+2 и Sm,m+2 рассмотрим в случаях 1) и 2) на т-поверхно-сти ^т поля некоторых инвариантных геометрических образов.
1) Каждой точке AeSm^En поставим в соответствие гиперплоскость Гп-1зХт, определяемую уравнением х^=0. Тогда в соответствии с [3] получаем, что множество Ф1 1 всех касательных (фокальных) к Sm^En гиперплоскостей Гп-1, проходящих вдоль направления [2. Ур. (9)] через Ьт и бесконечно близкую к Ьт первого порядка, определяется в тангенциальных координатах ха ортонормального репера Я уравнением
Ф"
”ХЛ,-Х, = 0, (а, " й" = т +1, и).
Здесь симметрические величины Ф“1“2 '“- определяются по формулам и удовлетворяют дифференциальным уравнениям
а^2 ...а^
1 (а а, а*,)
1 1 Лй,,2 Л ...
т! й1 лй 2 л ... лй *
= — А(а1 А"2 А
.^[111! ^12|2...А т!
ат ) .
‘т]т ;
+ Ф
аа2 ...аж ,, а.
©а+ф'
“‘..""-а й“т = Фа ^ 2"“
■йг, (2)
причем явный вид величин Фг“1“2 '“- для нас несущественен'
Замечание 1.1. Из (7) и (8) ив соответствии с [3. С. 1318], [6] заключаем, что в случае —-поверхности ¿-сЕ-+2 гиперконус Ф —-1 вырождается в общем случае в множество Ф—, состоящее из — касательных гиперплоскостей Гп-1зХ—.
2) Поскольку в случае п=—+2 в соответствии [2. Ур. (19)] на —-поверхности 8—сЕ—+2 каждая касательная —-плоскость Ь— вточке расщепляется на двумерные площадки Ь—=(Л,ё2-1,ё2р), то в касательном расслоении (£— ,Ьт) определены распределения
л",2 : А ^ ¿2 . (3)
Следовательно, интегральные кривые на —-поверхности 5— с текущей точкой Л распределений (3) определяются следующими в общем случае не вполне интегрируемыми дифференциальными уравнениями
Лт,2: й“ = 0, а Ф 2^-1,2р (4)
Каждой точке ЛeS—сЕ—+2 в плоскости Р21 сопоставим точку с радиус-вектором Х=Л +л?-г. Из [2. Ур. (8), (9)] следует, что множество Тр всех точек ХеР2, отвечающих точке ЛeS—сЕ—+2, которые вдоль интегральных кривых (4) описывают линии с касательными, принадлежащими соответствующим (п-2)-плоскостям Гр-2, проходящим через Р21 и все двумерные площадки Ь2,=(Л,ё2р-ьё2д), кроме Ь2=(Л ,е2р-1,е 2р), (рФЦ), определяются уравнениями
(р)
А .Ь х"хь + 2 А.г Ха + 2 = 0, ха = 0,
(5)
где при каждомр (см. [2. Ур. (19)]) симметрические
( р )
величины А.. определяются по формулам и удо-
а Ь
влетворяют соответствующим дифференциальным уравнениям
(А= А2Р-1 А2р - А2р А2р-1-
аЬ (а|2р-1| Ь)2р (а|2р-1| Ь)2 р ’
йА.а - А сЬ йс - А. . йС = А.а й7,
аЬ а ас Ь аЬу
(р)
Здесь явный вид величин А.. для нас не суще
а Ьу
ственен.
Из (1) заключаем, что множество Тр в плоскости Р21, отвечающей точке ЛeS—сЕ—+2, является коникой (кривой второго порядка).
Имеют место следующие теоремы.
Теорема 1.1. Все — касательных гиперплоскостей множества Фп-1 поверхности Sm-+2 в случае —=2.5 (д - положительное целое число) являются мнимыми. В случае же —=2.5+1 множество Фп-1 содержит одну вещественную касательную гиперплоскость к ^—+2, а все остальные мнимые. При этом предполагается, что S——+2 не является тангенциально вырожденной в смысле М.А. Акивиса [4]. Если —-поверхность ^—1—+2 является тангенциально вырожденной в смысле [4], то при любых — (четных или нечетных) касательные гиперплоскости из множества Фп-1 к поверхности S——+2 являются неопределенными.
Доказательство. Из (2) и [1. Ур. (35), (36)] заключаем, что все касательные к S——+2 гиперплоскости из Фп-1 определяются соответственно из уравнений
[(Хт+1)25 + (Хт+1)5 (Хт+ 2)* + (Х„+ 2^*] '&*[ А £*] = 0,
(т = 2*),
(Хт+1)2* + (Хт+1)* (Хт+ 2)* + (Хт+ 2^* ' Х"б" = 0,
(т = 2* +1). (7)
Здесь величины О“ определяются по формулам и удовлетворяют дифференциальным уравнениям
а"+1 А11 а"+1 А12 ... А т + 1 А 1,т-1 А"" А 1т
с" = а"+1 ^21 а"+1 ^22 ... А т+1 А 2,т-1 А"" А 2т
а"+1 Ат1 а"+1 А 2 ... А т + 1 т т -1 А"" тт
а . /-’гЬ’ Ла + С й. Ь Г^а , Л а = й .
(8)
Здесь явный вид величин О'“ для нас несущественен.
В соответствии с (7) и [1. Ур. (36), (37)] ниже рассматриваются следующие случаи:
1) det[Л-+1]=0^йm+1=|ай—+2, —=2д; (9)
2) О“=0^й^+1=/ай;~+2, й^+^йТ1, —=2,5+1; (10)
3) det[Лm/+1]ф0, —=2д;
4) О“ - одновременно не равны нулю, —=2,5+1.
Из (9) и (10) замечаем, что в каждом из рассматриваемых случаев 1) и 2) каждой точке ЛeS——+2 отвечает направление =Л,ёа)бЬ—, определяемое системой
¿“А";1 = 0, = 0 ^ А"а Г = 0.
(11)
Вдоль этого направления касательная —-плоскость Ь— вточке Л 6 Sm-+2 является постоянной во всех точках прямой /типа (11). Это означает, что в рассматриваемых случаях —-поверхность S——+2 является тангенциально вырожденной ранга 1 в смысле М.А. Акивиса [4].
Из (7)-(11) заключаем, что в случаях 1 и 2 касательные гиперплоскости из множества Фп-1 являются неопределенными.
Так как в случаях 3 и 4 —-поверхность S,m —+;с£— -2 не является тангенциально вырожденной ранга 1, то из (14) в этих случаях вытекает справедливость теоремы 1.2.
Теорема 1.2. Коника Т в нормальной плоскости Р1 точки Л&8‘щтП при каждом фиксированномр является окружностью с центром в точке Л и радиуса * = , 1
' а»+-,2„-1)2+(дт^1,2,-1)2
Здесьр - фиксировано и изменяется по закону (6).
Доказательство. Из [1. Ур. (28)] с учетом (3) получаем следующие соотношения на т-поверхности:
А.2 р-1 = - А.2 р АЗ -р-1 = А2 р .
а ,2 /р-1 .а ,2 а ,2 р а ,2 /т-1
Отсюда в силу (6) получаем
О) (р)
Ат+1,т+1 = Ат+2,1»+2 = -2{( А»+1,2 р-1 ) + (4т + 1,2р-1 ) },
(Р) (р )
А»+1,»+2 — А» + 2,т + 1 — 0,
что и доказывает справедливость теоремы 1.2.
Аналогично доказываются следующие теоремы.
Теорема 1.3. Полярой точки Ле^т>т+2 относительно коники й2в случае четного является несобственная прямая нормальной плоскости Р21 к ¿т,т+2 в точке Л, т. е. точка является центром коники 02.
Теорема 1.4. В случае т=2д+1 характеристика СЪОтН(Ыт) гиперплоскости От+1=Ьт_1иР1, отвечающей точке ЛеЗ'тМ2, вдоль кривой на т-поверхно-сти с касательной Х1И=(Л,ёт)сЬт пересекает нормальную 2-плоскость Р21 (п=т+2) по прямой, параллельной прямой Г1, о которой идет речь в теореме 1.3.
Замечание 1.2. Поскольку т-поверхность ^т+2 является частным случаем т-поверхности ¿т,т+2, то и для т-поверхности SIl¡¡m+2 с учетом [1. Ур. (35)] и (1) имеют место теоремы 1.1-1.4.
В этом пункте рассматриваются некоторые распределения линейных подпространств, которые будут использованы в следующем разделе. При этом все рассуждения проводятся для случая т-по-верхности Smím+2, (т - четное, т. е. т=28).
Определим следующие величины, которые с учетом [1. Ур. (10), (11)] удовлетворяют соответствующим дифференциальным уравнениям
(1)
Л = - АРр Ар .
Ааг АР-1,арАвр ;
< + < *2 - А;< — Я,*7 •
(13)
Распределение А»,2, интегральные линии которого на т-поверхности Smlm+2сEm—2, описываемые точкой Л, определяются дифференциальными уравнениями
(1)р - (5) -
Ар с-у. /-ч а у. /-ч
»,2 о а2р-1 — 0 ^а2р — 0. (12)
Здесь йр, Др^2р, 2р—1; р=1,5; т=2д, р - фиксировано.
Рассмотрим (см. [1. Ур. (10), (11)]) матрицу [Л^-цз], (р — фиксировано) и будем предполагать, что ее ранг равен т-2. Для определенности отличным от нуля минором порядка т-2 будем считать
Ам.,рвг—4;-1л А?* а * вР* £ * ^ -1,2р
р - фиксировано).
~ Тогда можно ввести в рассмотрение величины Б-г по формулам
А2р-1,}?р В/-^ — А2р-1,Др 4-^ > (®р > Д> > Тр ^ -1>
р - фиксировано).
Здесь явный вид величин для нас несущественен. р
Заметим с учетом (12), (13), [1. Ур. (10), (11)] и
(1)
[2. Ур. (1)] что А» ,2: А ^ ¿2 с Д, где двумерная
площадка Гр в соответствии [2. Ур. (7)—(11)] определяется уравнениями х“р=Л“рх“р, х“=0, причем дифференциальные уравнения в (13) являются диффе-
(1)
ренциальными уравнениями распределения А»,2 • (2)
Распределение А»,»-2, интегральные линии на т-поверхности SI,¡¡¡m+2сEm_2 которого определяются дифференциальными уравнениями (2) - -А»,2 о ®„+1 — 0^*т+2 — 0-Рассмотрим симметрические величины С~р, определяемые по формулам Лтг+1,~ С/~р=5^~р, де^Лт^г^, что позволяет ввести в рассмотрение величины СО'р, удовлетворяющие дифференциальным уравнениям
С; — - с“;.
СС^ + сО* ш“-' - С“"' ш/р — С^'Ш7 • (14)
С учетом (14) замечаем, что каждой точке ЛeSm распределение Арт2 сопоставляет двумерную площадку Гр, т. е.
(2) - -
А»,2: А ^ Г2 с Д, I-2 о хт* — Ст* хт*, X1 — 0.
2 » 2 ; р (3)„
Распределение А »,»-2, интегральные кривые которого на т-поверхности S,,¡lm+гсEn определяются дифференциальными уравнениями
(3)
Ар
-2: о!р-1 — о;2!-1 — 0 ^ о2 — 0.
а (15)
Как и выше показывается, что распределение (15) определяется (т-2)-мерной площадкой
*
Г»-2 о Аа^ _1 ха — 0, хь — 0, ортогональной с учетом (15) и двумерной площадке ~р. Из [2. Ур. (4)] замечаем, что дифференциальные уравнения распределения (15) имеют вид
СА.2р-1 - А.2^- V - А.^-1о/ + А2р ю* -1 — А?; Оо р.
аа Ьа а ар а аа 2Р аар
Выясним геометрический смысл распределений:
(1) , (2) (3) * р
А»,2:А^¿2; А»^:А^Г'; А»»-2:А»-2,
определенных на т-поверхности Sm,m+2сEm+2 (т -четное).
Рассмотрим линейное подпространство
гр — ^ , и Р; Д <ггр,
» »-2 2; 2 ^ » ’
(Р2 - нормальная плоскость, р - фиксировано), (16)
проходящее через точку ЛeSmm+2сEm+2 (т=2д) и параллельное всем векторам е;еЕт+2, кроме векторов ё2р-1, е2р-1. Каждой точке ЛеSI¿m+2 поставим в соответствие точки ХеЬт и УеГр с радиус-векторами
X — А + х еа,
7 — А + + _уаёа, (ар ф 2р -
р - фиксировано). (17)
Из (16), (17) в соответствии с [1. Ур. (10), (12)], [2. Ур. (7)-(9)], получаем, что точки ХеЬт и Те Г,р являются текущими точками характеристик СЬ(Хт) и СЬ(Гтр) вдоль некоторой кривой к(/) на т-поверх-ности S^m+2сE’+2 тогда и только тогда, когда ха и уа удовлетворяют уравнениям:
СЬ(Д) о хаА/р— 0, ^ — 0;
СЬ(Г») о /гр+ 7"' А/р — 0,
уар — 0, (а Ф 2 р -1,2 р р - фиксировано).
2. Индуцированные связности
В соответствии с [5] на т-поверхности определим следующие связности.
Связность С1 в касательном расслоении ^т,Ьт) с базой Sm и слоями Ьт, которая отображает соседнюю (бесконечно-близкую первого порядка) т-плоскость Ь'т на исходную Ьт в точке ЛеSm в направлении нормальной (п-т)-плоскости Рп_т, т. е.
С : д —» > Д.
С1 : » ».
1-формами связности С1 являются оа, о/, которые в силу [2. Ур. (1)] удовлетворяют структурным уравнениям
О“^Боа-ор АО/ — 0,
° = Я* - < А* — °а Аов — А О. (18)
Здесь с учетом (18) кручение равно нулю, а компоненты ЯР1а тензора кривизны связности С1 определяются по формулам и удовлетворяют соответствующим дифференциальным уравнениям:
С- — 2 Аг А.]. + Д.® -
- - яТ®- С — ;
1
точке ЛеSIlmn сопоставим при каждом фиксированном р следующие линейные подпространства
О4 — Д и Р2 — (А, е2р-1, е2р , е»+1, е»+2 );
Ьр , : Д* , и Д —Д , Д , П Д — А,Д , 1Д. (21)
»-2 : »-2 ч-/ 2 » ’ »- 2 1 1 2 ’ - 2 2 . ' '
Подпространство Ьгт_г проходит через точку ЛеSmIm+2сEm+2 параллельно векторам -а, кроме векторов -2р-1 и -2р. Тогда на т-поверхности Smm+2сEm+2 (т=2д) каждому фиксированному р=— отвечает связность
Ср : (^4’ )г—^1 > , р - фиксировано.
В силу [1. Ур. (10)-(15)], (1) и (21) 1-формы связности Ср: *1^=-ю|- и юаа =-*1р удовлетворяют следующим структурным уравнениям, определяющим соответствующие 2-формы кривизны:
К™ — 2«^ ] + Аа^ Аа. т). (19)
На т-поверхности SmIm+2сEm+2 (т - четное)
2-формы кривизны О/ в силу (1) принимают вид
О2?-1 — О2? • О2? — -0:2?-1 •
О2_р-1 О2р ; О2р-1 О2р ;
02 р /-ч_» +1 ___» +2
2р-1 — 2^°2_р-1 А °2_р-1 ;
02?-1 _ ^-л»+1 А ^2?-1 I ,-,»+ 2 А ж-л2? .
2 _р-1 — °2_р-1 АО»1 + 1 +°2р-1 АО»+ 2.
02? _»+1 _»+2 ____»+ 2 .»+ 1 . / „ - „\ /лл\
2_р-1 — °2р-1 АО2?-1 - °2_р-1 А2?-1; (-Р Ф ?). (20)
В соответствии с [1. Ур. (9)-(12)], [2. Ур. (6)] при т=2д в евклидовом пространстве Em+2 каждой
о 2 £-1 — -о2Г — -о2ар-1 ай?р —
а р 2 р — °2^-1 АО/ .
(ар — 1,»; ф 2^ -1,2^; ^ — 1,5, » — 2«;
^ - фиксировано);
у^» + 1 _ /^»+2 _ 7~\ ,.»+1 2 р
02 р-1 — 02 р — -0°2;,-1 О2 ^_1 А
Л ,л»+1 „»+2 »+ 1 _ ,л2р +1 . + 1 . + 2 л АО2р °2р-1 А О»+2 ~°2р-\ АО2р + 1 +°2^-1 А
л ,,»+1 . . ,л»-1 л ,,»+1 . л ,л»+1. АО2р+2 + ... + °2р-1 А °»г-1 + °;2р-1 А О» ;
Лт+Х _ Л»+2 _ ^л2Р+1 к ,л»+1 , ..2р+1 л
02р °2р-1 ®2^-1 А °Цр-1 + ®2^?-1 А
л „»+1 . , . ,-.»+1 л +1
АО2_р + ... + °2_р-1 АО»1 О2_р-1 -1 ,
(^ — 1,5; » — 25; ^ - фиксировано);
(22)
(23)
„»+2 _ Г1»+^ п »+2 ар » + 2 _
0»+1 — 0»+2 — ^^^^»г+1 О» + 1 А °ар —
,.(ар »+2 _ /,.»+1 ,.»+К . »+ 1 +1\.
О»+1 АОар — 1(О2^’-1 АО2р + ... + **3 - 1 А °» );
(ар — 2^ -1,2р Ф 2^ -1,2 ,р; сор — 1,»;
^ - фиксировано). (24)
В соответствии с [6. Ур. (2)] каждой паре линейно независимых направлений
V — (А,ёа К е .
^ — (А, е/)w|i е Д»; Rang
V1 V2
V
мгт
или каждой двумерной площадке [у,т}=уУ'м отвечает в точке ЛеSm с учетом (19) аффинное преобразование слоя Ьт касательного расслоения ^т,Ьт) со связностью С1:
R(v, ^) — {Я. V. wY}. (25)
Зададим на т-поверхности распределение Ату. Л>Ип (г<т), где г-плоскость ИгсЬт определяется уравнениями х^/^х;“2, х“=0.
Здесь величины /^ удовлетворяют дифференциальным уравнениям
СГ1 + /'Ао^1 - //“О +ос‘1 + /р11 Л®//! — /о7,
с а,2 ¡У а2 р 2 а 2 а 2 ^ р 2 ¡У а 2 р ^ а 2У ,
которые являются дифференциальными уравнениями распределения Атг Заметим в соответствии [5], что интегральные кривые распределения Ат,г на т-поверхности 8т определяются дифференциальными уравнениями ащ=/^а А, вполне интегрируемыми тогда и только тогда, когда
Ра2 _ П- Ра2 _ 2 + /®2
[г1в1] ; а1в1 /г1в1 /г1в 2 в1 *
Обозначим С1(Ат,г) - ограничение связности С1 на распределение Атг Тогда из (25) и Ба^т^лю® следует, что в точке Л&8т<^Е„ определяется аффинное преобразование
(1)„
(26)
(3)
спределение Ap
(i)
3. Cp (Am,2) - ограничение соответствующей
(1)
связности O на распределение Am,2;
(2) p "'P i A P
4. Cp (A,„,2) - ограничение соответствующей
(3)
(3)
C1( A m -2) о R
1 Яв; 2'
= —ftpp Aap Aa Ae
u" p„e A”+1.[x',, ^„+1^'p
(3) - 1 я - я
p ap _ 1 Spp Aap Лa App
(R fp^p 2 ApA+1,b-pA|m+1Fp
(28)
(1)
Cp (A”,2) о R“p _
_ —(Aap Aap Ayp + Aap A“ p V
- ^^[2p-1 A a Y | ^2; + A2p-1 ^ci'Pp ]Л
(1)
у _1 (A'p + A"2p
(29)
Здесь тензоры кручения Дцд и кривизны связности С1(Ат,г) определяются по формулам:
*
ЯГГ1 _ ЯГ^ + ^1 /*2 + ЯГ/ /в , (I = °> т), ^ог^1в1 = о, яге=
Отсюда следует, в соответствии с [5], что распределение Ат,г голономно тогда и только тогда, когда кручение связности С1(Ат,г) равно нулю.
Обозначим в случае т-поверхности ^т1т+2сЕт+2 (т=2д):
(2) р
1. С1(Ат,2) - ограничение связности С1нара-
(2)
спределение А т,2;
(3) Р
2. С1(Ат,т-2) - ограничение связности С1нара-
(2) (2) ср ( а т,2) о яГр_
Г’ар дГр Г’Ур ^г^р и®р V 2 (С[2р-1 АГ^|С2р] + С[2р-1 Аар|2р ] );
(2) 1 _
ЯГ = 2Цг-1,2р] + АГ2^Р-1,| вГр I О- (30)
Значения компонент тензоров кривизны соответствующих связностей мы не выписываем, а ограничимся их соответствующими 2-формами кривизны в виде следующей таблицы.
Таблица 1. Формы кривизны связностей
Связность 2-формы кривизны
(2>; C1( A ”,2) о2Г-1 _ 0, Q2q-1 _ 0, Q 2P-1ф 0
(3); C1( A m ,m-2) q2 P-1 _ 0, Q2p:1 _ 0, Q2P-1 _ 0
(1); cp (a m,2) fiip-1 _ 0, q”;1 _ 0, of;-! _ 0, ц„+2 ^ 0
(2); cp ( a m,2) Qm;-1 _ 0, q”;+1 _ 0, Q2P-1 _ 0, 0+2 _ 0
(2)р
связности О на распределение А т,2.
Тогда с учетом (13)—(15), (22)—(24), (26) замечаем, что тензоры кручения каждой из указанных связностей определяются по формулам:
(2) (2)
С1(АР,2) о Я Гр _
(Р)
_ дгр ^1>р + лГр свр г^р V 2 (Авр [2рС^-1] + АвГр С[2?-1С^]);
(2) _ 1 _ _ _
(Я) “р _ 2(4и,] +АигрС;])- (27)
Здесь мы не выписываем те 2-формы кривизны, которые равны указанным в таблице в соответствии с формулами (20), (22)—(24). Заметим, что
(1); (2); (3); в общем случае распределения A” ,2, A” ,2 и A”,m-2 являются неголономными на т-поверхности S“m+2^Em+2- Поэтому в общем случае на этой m-поверхности кручение (29, 30) соответствующих связностей ненулевое.
Из (26)—(30) вытекает справедливость следующих утверждений:
1. Каждая плоскость L2p, отвечающая точке AeSmim+2cEm+2, m=2s, при соответствующем аффинном отображение кривизны связности
(2)p
C1(A„,2) переходит в параллельную двумерную площадку.
2. Образами двумерной площадки Lip в каждой точке AeSmm^cEm«, при (m=2s) при всех аффинных
’ (3)
отображениях связности C1(Am,m-2) вдоль любой пары линейно независимых направлений, касательных к интегральным кривым распреде-
(3)p
ления C1(Am,”-2) в точке A, является одна
и та же точка. Если кручение этой связности равно нулю, то эта связность локально плоская.
3. Нормальная площадка Р2 в точке A6Smim+2cEm+2, m=2s, при аффинном отображении кривизны
соответствующей связности С1(АР,2) переходит в параллельную двумерную площадку.
4. Образы площадки Ь2р в точке Ле ^т1т+2сЕт+2, т=2д, при соответствующих аффинных отображениях
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ивлев Е.Т., Лучинин А.А., Молдованова Е.А. Классификация Коши-Римана многомерной поверхности в евклидовом пространстве // Известия Томского политехнического университета. - 2012. - Т. 321. - № 2. - С. 5-9.
2. Ивлев Е.Т., Лучинин А.А., Молдованова Е.А. Отображения Коши-Римана двумерных площадок касательного и нормального расслоений многомерной поверхности в евклидовом пространстве // Известия Томского политехнического университета. - 2012. - Т. 320. - № 2. - С. 5-8.
3. Ивлев Е.Т. О многообразии в n-мерном проективном пространстве Pn (m>2; n<m(m+1)) // Сибирский математический журнал. - 1967. - Т. 8. - № 6.- С. 1307-1320.
связности Ср (А Р,2) при каждом р=1^, т=2д, переходят в соответствующие точки. Если при фик-
(2) Р
сированном р кручение связности Ср (А т,2) равно нулю, то эта связность локально плоская.
4. Акивис М.А. Об одном классе тангенциально вырожденных поверхностей // Доклады АН СССР. - 1962. - Т. 146. - № 3. -С. 515-518.
5. Евтушек Л.Е., Лумисте Ю.Г, Остиану Н.М., Широков А.П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Итоги науки. Сер. Проблемы геометрии. - М.: ВИНИТИ АН СССР, 1979. - Т. 9. - С. 3-246.
6. Ивлев Е.Т. О тангенциально-вырожденных расслоениях Ртп // Дифференциальная геометрия многообразия фигур: Межвуз. темат. сб. научн. трудов. - Калининград: Калининградский унт, 1982. - Вып. 15.- С. 32-37.
Поступила 02.12.2011 г.
УДК 517.956
НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧА С ИНТЕГРАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
У.Д. Молдояров
Ошский государственный университет, Кыргызстан E-mail: [email protected]
Методом интегральных уравнений и сжимающих отображений доказана однозначная разрешимость нелокальной задачи с интегральными условиями для нелинейного уравнения в частных производных третьего порядка.
Ключевые слова:
Нелокальная задача, интегральные условия, интегро-дифференциальное уравнение, сжимающее отображение, неподвижная точка, однозначная разрешимость Key words:
Non-local problem, the integral conditions, integro-differential equation, a contraction mapping, fixed point, a unique solution, the Riemann function, the norm of the operator.
1. Постановка задачи. Нелокальные задачи с интегральными условиями возникают при исследовании физических явлений в случае, когда граница области протекания недоступна для непосредственных измерений. Например, математическое моделирование процессов распространения тепла [1, 2], процессы влагопереноса в капиллярно-пористых средах [3] приводятся к таким задачам. Нелокальные задачи с интегральными условиями для уравнений с частными производными изучены в работах [4-6].
Рассмотрим уравнение
Цху _ Р(X У «х . «у . Цх . ) (1)
в области Б={(х, у): 0<х</, 0<у<Н}, где /- заданная функция.
Уравнение (1) представляет собой канонический вид уравнения в частных производных
третьего порядка относительно старших производных по классификации работы [7], когда уравнение характеристик имеет один двукратный и один простой действительные характеристики.
Пусть Оп+" (Б) означает класс функций, имеющих непрерывные производные
Задач_а 1. Требуется найти решение u (x,y)eC(D)nC1+1(D) ур. (1), удовлетворяющее условиям
и(0, у) =^(>0, 0 < у < й, (2)
£
и*(0,у) + JTi(X,у)и(х, у) dx = ф2(у), 0 < j < h, (3)
0
