CC BY
42
Естественные науки
УДК 514.76
О ЦЕНТРИРОВАНИИ СЕМЕЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ ПОДПРОСТРАНСТВ В МНОГОМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Е.Т. Ивлев, Е.А. Молдованова
Томский политехнический университет E-mail: [email protected]
Проводится аналитическое и геометрическое построение двух полей точек (центров) в соответствующих m-плоскостях р-мерно-го многообразия этих плоскостей в n-мерном евклидовом пространстве (1<p<(m+1)(n~m)).
1. Аналитический аппарат
Все функции, встречающиеся в данной статье, предполагаются аналитическими, а рассмотрения носят локальный характер.
Обозначения и терминология соответствуют принятым в [1-7].
1.1. Рассматривается р-мерное дифференцируемое многообразие Mp класса Сю (или С”) с базовыми формами 9“ (а,Ь,с=1,р), удовлетворяющими структурным уравнениям:
В9а = 9Ьл9аь, В9ьа =9са л9ьс +9С л9ьса(1.1)
Как известно [3] (см. теорему 3.2), с каждой точкой (иа) многообразия Мр, где иа - первые интегралы вполне интегрируемой системы форм 9 а, ассоциируется последовательность центроаффинных дифференциально-геометрических групп Д (5=1,2,...) порядка 5. Обозначим Ьг пространство представлений группы Д и внесём в него центроаффинную структуру, т.е. будем его считать центроаффинным пространством, отнесённым к локальному центроаффинному реперу Л=(Дг-|, где
SB = 0,Ssa =(
= 0.
1.2. Рассматривается «-мерное евклидово пространство Еп, отнесённое к подвижному ортонор-мальному реперу Я=[А,—}, (¡¿,к=1,п) с деривационными формулами и структурными уравнениями:
dA = a'e,, de, = a]je,
Dœ' = œ Aœ'k, Dœi =m] aŒj.
(1.2)
Здесь 1-формы œ{ удовлетворяют соотношениям
(1.3)
ю/ + œ'j = 0,
(1.4)
Здесь символом (-;-) обозначается скалярное произведение векторов - и - пространства En.
1.3. Обозначим Qn, где
N=(m+1)(n-m), (1.5)
N-мерное грассманово дифференцируемое многообразие всех m-мерных плоскостей (m-плоскостей)
lm пространства En. К каждой m-плоскости lme Qn присоединим ортонормальный репер R так, чтобы
lm = (Я ïï2,..., ïïm ). (1.6)
Здесь и в дальнейшем символом ^(Х,-,.-,...,.-) обозначается q - плоскость пространства Е„, проходящая через точку Xс радиус-вектором X и параллельная линейно независимым векторам j-,.-,...,.-пространства En. Из (1.6) в силу (12) получаем, что 1-формы аа, a>â(а,р,у,о=1,п% а,Ду =m+1,n) являются базовыми на многообразии Qn, удовлетворяющими структурным уравнениям
Dma =юа аю“ +mp аю“
р -
Drna = юв аю! +ар аю“.
а а в а р
(1.7)
вытекающим из условий ортонормальности репера R
1.4. Обозначим RpN=(Mp,QN) расслоенное пространство с базой Ир и слоем Qn, соответствующим каждой точке B(ua)eMl. Заметим, что 1-формы в“, а “и а а являются базовыми формами (р+А^-мерно-го дифференцируемого многообразия RlN=MpxQN, которые удовлетворяют структурным уравнениям
(1.1) и (1.7). В расслоении RpN зададим гладкое сечение: каждой точке B(u“)eMp поставим в соответствие вполне определённую m-плоскость lme Qn. Тогда в силу (1.1) и (1.7) дифференциальные уравнения этого сечения запишутся в виде:
ю; = A;Oa, ю; = A;Ga =-юа = -Ж в . (1.8)
a ; act ; аа ' '
Здесь величины Ааа и А“ удовлетворяют дифференциальным уравнениям:
A - -Aaaю; + Лвю; = Aabeb, Ab] = 0,
Л -л*„вьа -Аюв + 4c4 = Львь, Лаъ] = 0
(1.9)
Замечание 1.1. Из (1.4), (1.6) и (1.8) следует, что с каждой т-плоскостью ¡те (2т отвечающей точке В(иа)еМр и являющейся векторным линейным евклидовым подпространством пространства Е«, натянутым на т линейно независимые векторы —,—,...,—, ассоциируется ортонормальное (п-т)-мерное евклидово подпространство
F = (ё
n-m v m
,•••, e },
n
(1.10)
натянутое на линейно независимые векторы _т+1,_т+2,---,_п (как ортогональное дополнение векторного подпространства 1т).
Замечание 1.2. В данной статье будут рассматриваться поля геометрических образов многообразия £рт в Е„ - секущей р-мерной поверхности расслоения ЛрД, которое является р-мерным семейством т-плоско-стей 1т в Еп. Здесь и в дальнейшем с учётом (1.5) предполагается, что число р удовлетворяет неравенству
1<р<К (1.11)
Замечание 1.3. Заметим, что величины Ааа и А^, удовлетворяющие дифференциальным уравнениям (1.9), образуют локальный внутренний фундаментальный геометрический объект
Г,=(Л;, л;,}
(1.12)
первого порядка многообразия 8^ в смысле Г.Ф. Лаптева [2].
2. Поля некоторых геометрических подобъектов объекта Г1
С помощью компонент геометрического объекта (1.12) на базе Мр расслоения ^ рассмотрим следующие величины, которые с учётом (1.11) и (1.9) удовлетворяют соответствующим дифференциальным уравнениям:
Л; = 1Ла Л; = л; л = л = л
;ab 2 a (“Hob) Pab’ ЛЪа Лab ■‘Л/. ab >
AabAac =8'b, det[Ad] * 0,
(2.1)
A; = 1 A; A; Л; = Л; Aa
ab 2 (a ab) ab (2.2)
dAL + AYab^e - A* < - AL в: - Ac в = ALc ec,
A - Ae - АЛ = ЛЛсвс, dAab + Acbea + Aaceb = Abec,
c c c ’
dAe+ AYvf- AY mJa = ¿в?,
dAaab + a^;-- Acec - Aib = ai ec,
dA; -л;ю; -л;ю; = ласac,
ш л; л; л; лсЪ
(2.3)
(2.4)
(2.5)
Здесь явный вид величин, стоящих при 9 с, для нас несущественный.
Из (2.2-2.5) следует, что каждая из величин
(2.1) образует соответствующие геометрические подобъекты в смысле [2] фундаментального геометрического объекта (1.12):
1. смешанный тензор
{АваЬ}, (2.6)
2. дважды ковариантный симметрический тензор
А }, (2.7)
3. смешанный тензор второй валентности
{Ав}, (2.8)
4. основной геометрический подобъект
{Аа, А;}. (2.9)
Замечание 2.1. в следующем пункте будут рассматриваться геометрические образы, отвечающие точке В(иа)еМр, которые определяются каждым из геометрических подобъектов (2.6—2.9).
3. Геометрические образы, ассоциированные с подобъектами геометрического объекта
3.1. Инвариантный гиперконус К—<^ЬР
Кривую к(1) на базе Мр, проходящую через точку В(иа)еМр, будем задавать следующей параметрической системой дифференциальных уравнений:
9а = 1а9, Б9=9л91. (3.1)
Здесь величины 1а с учётом (1.1) удовлетворяют дифференциальным уравнениям:
Сга + 1Ь9а1) = еь9Ь, (а, Ь = \р).
Геометрически величины Г определяют в центроаффинном пространстве Ьр в точке В(иа) е Мр направление
7 = (В, ёа) Г, (3.2)
касательное к кривой к(1) в точке В(иа).
Рассмотрим в ¡те8рт вектор
х = хаеа, (3.3)
отвечающий точке В(иа)еМр.
Из сх =(Схв + Хаа” е + х а”ё~ в силу (1.8), (1.10) и
(3.1) следует, что вектор
У = У %, У “ = ха А:аГа (3.4)
параллелен ортогональной проекции линейного векторного подпространства Т(— )к{^1т на векторное подпространство (^п_т)—. Здесь Т(г )щ означает касательную к индикатрисе вектора -=Хх вдоль кривой Щ. Из (1.2), (1.4), (1.8), (3.1), (2.1) и (3.4) следует, что вектор
■=■ _ -Р^ -Р —
z = z'e;, z' = x;Alabtatb
(3.5)
(;, ;, у = 1, m; a, ¡5, y = m + 1, n; a, b, c = 1, p).
параллелен пересечению линейного векторного подпространства, натянутого на касательную к ин-
дикатрисе вектора Я=^у и векторное подпространство (В„_т)—, с подпространством /т.
Таким образом, каждому направлению (3.2) в Ьр отвечает симметрический линейный оператор векторного подпространства 1т на себя:
псо={а1л4}: ¡т — ¡т. (3.6)
Из (3.6) в силу (2.1) заключаем, что гиперконус К^1с!р второго порядка с вершиной В(иа)еМр:
Кр_,: АЛПЬ = 0 (3.7)
представляет собой совокупность всех направлений (3.2), которым отвечают линейные операторы П(^):/т—>/т с нулевыми следами. Можно показать, что в общем случае гиперконус К—1 не вырождается в гиперконус по крайней мере с прямолинейной вершиной, проходящей через точку В(иа)еМр, т.е. на базе Ир.
Замечание 3.1. Всюду в пункте 3 из рассмотрения исключаются фокальные кривые £(/) на базе Мр, проходящие через точку В(иа)еМр, для которых соответствующие точки в /т являются фокусами в смысле [4].
3.2. Линейный оператор П:1т—1т
Из (3.2) и (3.6) с учётом (3.3) следует, что векторам —е/т и V =у%е 1т, отвечающим точке В(иа)еМр, соответствует в /т гиперконус второго порядка с вершиной В(иа):
т
КмХ, V) = {г е Ьр : П(г)Х 1V} о £х VА^ гагЬ = 0. (3.8)
в=1
Из (3.8) в силу (2.1) и (3.7) находим, что совокупность всех векторов — е /т таких, что гиперконусы Кр—1(—,—)с1р и Кр—1с1р аполярны в смысле [6] (т.е. каждое центроаффинное преобразование пространства, порождаемое этими гиперконусами, имеет нулевой след) образует в /т линейное (т-1)-мерное подпространство
т
Гт-1(Х) о£ х а увАв= 0, в=1
отвечающее вектору — е/т. Это подпространство ортогонально вектору -1=хаЛв(Гве/т. Таким образом, каждой точке В(иа)еМр отвечает симметрический линейный оператор
П(г) = {Ав }: 1т — 1т, (3.9)
переводящий вектор -е/т в вектор -е /т. Можно показать, что в общем случае этот линейный оператор является невырожденным на базе Мд:
ае1[Аав ] ф 0. (3.10)
3.3. Первое центрирование т-плоскости /т
Рассмотрим в т-плоскости /те8рт точку X с радиус-вектором
X = А + ха еа, (3.11)
отвечающую точке В(иа) базы Мр расслоения ЯрД.
Как и в п. 3.1 (см. (3.1—3.5)) с учётом (2.1) и (1.8) находим, что точке Хе/т с радиус-вектором (3.11) будет отвечать вектор
— а— а ,■ а а . а а а \ ,а /О 1 л\
и = и е~, и = (Аа + х Ааа)г , (3.12)
который параллелен вектору
{Т(X\(() и 1т } П (Ъ-т )х . (3.13)
Здесь ДХ)ад означает касательную к линии, описываемой точкой Xвдоль кривой к($ на базеМр.
Из (3.11—3.13) в силу (2.1), (1.2) и (1.8) получаем вектор
2 = 2% е 1т, Гв = (Ав + ха Аваь )гагЬ, (3.14)
который параллелен пересечению векторного подпространства /т с векторным подпространством, натянутым на касательную к индикатрисе —=Хй вдоль кривой к(/) на базе Мр и на векторное подпространство (В„_т)х. Из (3.14) заключаем, что каждой точке Хе/т с радиус-вектором (3.11) и вектору V =у% в /т отвечает в центроаффинном пространстве Ьр гиперконус второго порядка с вершиной в точке В(иа)еМр:
Чр~1(Х, V) = {г е Ьр : 21V} о О V а А + ХвА1ь )ПЬ = 0(Уа = V ). (3.15)
Из (3.15) заключаем с учётом (2.1) и (3.7), что координаты х а точки Хе /т такой, что гиперконусы ^(Х,-) и ,—) в Ьр аполярны при любых V е /т,
удовлетворяют следующей системе линейных уравнений
Xеа; + Аа = 0, Xе = 0. (3.16)
Из (3.10) заключаем, что система линейных уравнений (3.16) в общем случае имеет единственное решение относительно хв, которое можно найти методом Крамера или Гаусса. Таким образом, справедлива теорема:
Теорема 3.1. Каждой точке В(иа)еИр в соответствующей т-плоскости /те8рт в случае, когда линейный оператор П(/):/т— /т не вырождается, отвечает единственная точка 01е/т (первый центр) такая, что гиперконусы ^(Х,-) и К^1(—,—) аполярны при любых V е /т.
4. Второе центрирование т-плоскостей ¡те8р
В этом пункте будет дано другое центрирование т-плоскостей /те8рт, отличное от первого, проведённого в конце предыдущего пункта.
4.1. Распределение Д2р на базе Мр(2<р<Ы)
Из (3.6) и (3.9) следует, что каждой точке В(иа)еМр в соответствующем центроаффинном пространстве Ьр можно сопоставить гиперконус К— второго порядка с вершиной В(иа) как совокупность всех таких направлений (3.2), которым отвечают линейные операторы П(/)=П.Щ/):/т—/т с нулевыми следами. Этот гиперконус К*—1 определяется уравнением
К *-1: ВаьгагЬ = 0,
(4.1)
где симметрический тензор ВаЬ определяется по формулам:
ВаЬ = АвА1ь . (4.2)
Гиперконусы (4.1) и (3.7) порождают в точке В(иа)еМр центроаффинное преобразование центроаффинного пространства Ьр:
С = {ВЬ }, (4.3)
где смешанный тензор ВЬ с учётом (4.2) и (2.1) определяется по формулам:
(4.4)
Вь = В АсЬ
а ас
и его компоненты в силу (2.2—2.5) удовлетворяют дифференциальным уравнениям
ёВ0 + Вв" -^ „ „ _
а ас с а ас
Здесь явный вид величин Вьсс для нас несущественный.
Каждой точке В(иа)еМр сопоставим двумерную плоскость в Ьр:
Ь2: гаг = к^, (а1, Ь1 = 1,2; а2, Ь2 = 3, р). (4.5)
Здесь с учётом (1.2) и в соответствии с [2] величины ка удовлетворяют дифференциальным ура-внениям1:
ёк°2 + кЬ2ва.2 - ка. 2в +ва 2 = ка 2вс. (4.6)
а] а] Ь2 Ь] а] а] а 1 ' '
Заметим, что с заданием поля плоскостей (4.5) на базе Мр ассоциируется распределение Д2р:В(иа)—Ь2, которое определяется дифференциальными уравнениями (1.8) и (4.6).
Из (4.4) и (4.5) следует, что плоскость Ь2 в каждой точке В(иа)еМр будет неподвижной при центроаффинном преобразовании (4.3), т.е. СЬ2||Ь2, тогда и только тогда, когда величины к% удовлетворяют системе алгебраических уравнени1й
ша2 = ВЬ кь2 к0-+Ва 2Ь кЬ 2 - Ва 2 = 0
• а Ь а] Ь а,Ь Ь а,
Ь]Ь 2 Ь]
Ва2Ь = ВЬ'8а.2 - Ва25ь'.
аЬ а] Ь2 а 2 а,
(4.7)
в“2 = ка2ва
(4.8)
4.2. Аффинные преобразования т-плоскости /„е^, соответствующие её точкам
Из (3.11) с учётом (1.2) находим
7тт" ~а— , ~а —
ал = со е + со е~
(4.9)
где Оа = йха + хвтар + соа , О = О + X юа~. (4.10)
Заметим с учётом (1.2) и (4.10), что 1-формы та и ф; удовлетворяют структурным уравнениям:
ПОа-сов лтар = Па , Бт; -т7р лтау =Ц,, (4.11)
где Па=ав лтв + хвПар, &ар=г4 лаа~ • (4.12)
В соответствии с [5] и с учётом (1.10) и (4.1—4.12) заключаем, что каждой точке Хе /т, соответствующей точке В(иа)еМр, отвечает аффинная связность Ф(Х) как отображение соседней т-плоскости /'т (бесконечно близкой первого порядка к /т) на исходную /т в направлении (В„_т)Х. При этом 1-формы та и т; являются формами этой связности, а 2-формы Оа и П; являются формами кручения и кривизны. Обозначим Ф(Х) — ограничение связности Ф(Х) на главное распределение Д2р. Тогда из (4.12) с учётом (1.8), (1.3) и (4.8) получаем, что компоненты тензора кручения Яв и кривизны Яв=—я!; связности Ф(Х) определяются по формулам
яа = яа + хв я;, яа = я* + я“2кЬ2 + я?ь2кЬ2 + яаьк а2к2, (4.13)
я; = я;п + я^кЬ2 + яР2Ь2кЬ2 + яваЬ2к2кЬ = -яв,
где
яаЬ = яаЬ + хвя;аЬ,
яа = ] Аа Ав =-яв я = ] А а Аа
яраЬ~ 2 Ар[аАР\Ь]~ я<* ’ ^ ~ 2 А [^ |2|Ь]’
(а, в, у = ^2; а, ¡5, у = т +] п, a1, Ь = ] 2; а2, Ь2 = 3, р).
(4.14)
Можно показать, что в общем случае на базе Мр определитель ¿^ёе^ВЬ1] не равен нулю. Здесь пара (Ь) указывает на номер строки, а пара (а) — на номер столбца. Неравенство нулю определителя Ь на Мр обеспечивает алгебраическую независимость уравнений (4.7) (относительно Щ, что и приводит к конечному числу решений относительно ка. Заметим, что плоскость Ь2, отвечающая точке В(и)еМр, типа (4.7), которую мы будем называть главной, натянута на линейно независимую пару соответствующих (главных) направлений в Ьр, неподвижных при преобразовании
(4.3). Таким образом, на базе Мр инвариантным образом с помощью главной двумерной площадки Ь2 определено (главное) распределение Д2р:В(иа)—Ь2, интегральные кривые которого на базе Мр в силу (4.5) определяются дифференциальными уравнениями:
В соответствии с [7] замечаем, что величины
(4.13) каждой точке В(иа)еМр сопоставляют аффинное преобразование т-плоскости /те8рт в себя:
. *
Ф (X) = {я а; я; }. (4.15)
4.3. Второй центр т-плоскости /т
4.3.1. т - чётное
Имеет место следующая теорема
Теорема 4.1. В т-плоскости /теЗрт, отвечающей точке В(иа) базы Мр, в общем случае при чётном т существует единственная точка 02 (второй центр), которой соответствует аффинная связность (Ъ(&2) с нулевым кручением.
Доказательство. Из (4.13) с учётом (4.14) и (4.15) следует, что точке 02е/т будет соответствовать связность Ф(02) с нулевым кручением Я а=0 тогда и только тогда, когда её координаты ха удовлетворяют системе линейных уравнений:
яа + хвя а= 0. (4.16)
Здесь в силу (4.13) величины Е.; кососимметричны по а и р. Можно показать с учётом (4.13) и
(4.14), что при чётном т определитель порядка т
¿е1[ яв ] (4.17)
в общем случае на базе Мр не равен тождественно нулю. Поэтому систему линейных уравнений (4.16) можно однозначно разрешить относительно хв по формулам Крамера или методом Гаусса. Теорема 4.2 доказана.
Замечание 4.1. Из теоремы 4.1 и (4.15) следует, что аффинное отображение Ф*^) т-плоскости /т на себя является центроаффинным преобразованием с центром в точке 02.
4.3.2. т - нечётное
Теорема 4.2. В т-плоскости /те£т, отвечающей точке В(иа) базы Мр, в общем случае при нечётном т существует единственная (главная) прямая / каждой точке ¥ которой соответствует аффинная связность Ф(¥) с одним и тем же кручением.
Доказательство. Из (4.13) следует, что кручение связности Ф(Х) не будет зависеть от точки Хе /т тогда и только тогда, когда
*
яа = яа о хвяав= 0. (4.18)
Так как т — нечётное и Яр=—Щ, то определитель (4.17) тождественно равен нулю. Поэтому га^Дв] в общем случае равен т—1 на базе Мр. Следовательно, однородная система линейных уравнений (4.18) определяет в /т некоторую (главную) прямую /, о которой идёт речь в данной теореме. Теорема 4.2 доказана.
Замечание 4.2. Поскольку в общем случае га^[Дв]=т—1, то существует хотя бы один минор порядка т—1 этой матрицы, не равный нулю на базе Мр. Для определённости таким минором будем считать
аег[ яв ] ф 0,( а, р, у = Ът). (4.19)
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии. — М.: ГИТШ, 1948. — С. 432.
2. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий // Труды московского математического общества. — М., 1953. — Т. 2. — С. 275—382.
3. Лаптев ГФ. Основные инфинитезимальные структуры высших порядков на гладком многообразии // Труды геометрического семинара. — М., 1966. — Т. 1 — С. 139—189.
4. Акивис М.А. Фокальные образы поверхностей ранга г // Известия вузов. Сер. Математика. — 1957. — № 1. — С. 9—19.
Это даёт основание ввести в рассмотрение величины
* * * я% яI = я% я^ = 8р ^ я= -яа. (4.20)
у а у а а а у ''
Поэтому из (4.18) получаем
хр= / ¡X1, (4.21)
*
где /а = -яр яр, Г я] = 0. (4.22)
Заметим с учётом (4.18—4.22), что прямая/е /т, о которой идёт речь в теореме 4.2, в параметрической векторной форме может быть записана так:
/: / = А + х'е, ё= е] + /;ë;. (4.23)
Теорема 4.3. На главной прямой /е/т, отвечающей точке В(иа)еМр, в общем случае при нечётном т существует точка 02 (второй центр) такая, что гиперконусы д^1(02,'ё) и Кр—1 в Ь аполярны.
Доказательство. Из (4.23) — (—15) следует, что точке ¥е/ с радиус-вектором ¥ =Л +х1— и вектору —|/отвечает в Ьр гиперконус
,ё):(СаЬ + х1Саъ )гагЬ = 0, (4.24)
где симметрические по а и Ь величины СаЬ и С1аЬ определяются по формулам
Сь = а] + /А, (4 25)
С1Л = Al1ьь + /¡Ар + /А + /%/ аА % / = Г ). '
Из (4.24) и (3.7) с учётом (2.1) получаем, что гиперконусы др—1(¥,е) и К—1 аполярны тогда и только тогда, когда
С + х1С] = 0, (4.26)
где С = СлАаЪ, С] = СаА. (4.27)
Можно показать с учётом (4.25) и (4.27), что в общем случае С1ф0 на базе Мр. Поэтому из (4.26) можно найти х '=—ССХ—1 — координату второго центра 02, не являющегося несобственной точкой, в случае нечётного т. Теорема 4.3 доказана.
5. Евтушик Л.Е., Лумисте Ю.Г, Остиану Н.М., Широков А.П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Итоги науки и техники. — М.: ВИНИТИ АН СССР, 1979. — С. 7—246.
6. Ивлев Е.Т. К геометрической интерпретации операции свертывания некоторых тензоров // Матер. итоговой научн. конф. по матем. и мех. за 1970 г. — Томск, 1970. — Т. 1 — С. 121—123.
7. Ивлев Е.Т. О тангенциально-вырожденных расслоениях Р.щл // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. — Калининград: Калининградский ун-т, 1984. — Вып. 15. — С. 32—37.
