О дифференцируемом отображении евклидова 5 пространства Emв аффинное An(mn) Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика и механика Физика

УДК 514.76

О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОМ ОТОБРАЖЕНИИ ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА Em В АФФИННОЕ An (m<n)

Е.Т. Ивлев, А.А. Лучинин

Томский политехнический университет E-mail: [email protected]

Рассматривается дифференцируемое отображение Vm":Em^An (m<n) евклидова пространства Em в аффинное пространство An. Изучаются поля двумерных площадок в Em и An, определяемые компонентами фундаментального геометрического объекта отображения Vmn в смысле Г.Ф. Лаптева.

Ключевые слова:

Дифференцируемые отображения, многомерные пространства, линейные подпространства.

Введение

Как известно в [1-6] особое место занимает статья Г.Ф. Лаптева [1], в которой с помощью фундаментального геометрического объекта строится инвариантная теория дифференцируемых отображений.

В данной статье изучается инъективное дифференцируемое отображение ¥т":Ет^-Ап (т<п) евклидова пространства Ет в аффинное Ап. Показывается, что это отображение сводится к биективному отображению ¥тт:Ет^-Ьт (т<п), где Ьт - касательная плоскость к т-поверхности £т, текущими точками которой являются образы точек пространства Ет при отображении С помощью компонент фундаментального геометрического объекта аналитически и геометрически рассматриваются отображения ¥т" поля двумерных площадок Г21еЕт и Т 1= 1<-Т <~А

Все рассмотрения в данной статье носят локальный характер, а все функции, встречающиеся в статье, предполагаются функциями класса С".

Обозначения и терминология соответствуют принятым в [1-12].

1. Аналитический аппарат

1.1. Рассматривается т-мерное евклидово пространство Ет, отнесенное к подвижному ортонор-

мальному реперу Я*={Б,еа}, (а,Ь,е=1,т) с деривационными формулами и структурными уравнениями

йБ = ®аёа, =®%;

в®а=®ь л©а, в®ьа=®сал®ь. (1.1)

Здесь 1-формы ®Ь удовлетворяют соотношениям ©аЬ+©Ьа=0, вытекающим из условий (ёа,-Ь)=5аЬ ортонормальности репера Я. Символом (-,7) обозначается скалярное произведение векторов - и V евклидова пространства Ет.

1.2. Рассматривается п-мерное аффинное пространство, о—несенное к подвижному аффинному реперу Я={А,—}, (ц,к,1=1,п) с деривационными формулами и структурными уравнениями

dA = m'e., de. = m.e.;

I' ' ' k'

Dm' = m'Amj, Dm. = mjAm..

(1.2)

1.3. Репер Я в Ет и репер Я в Ап выбираем так, чтобы точки Б и А с радиус-векторами Б и А были текущими точками пространств Ет и Ап, соответственно, тогда 1-формы ®а и а в силу (1.1) и (1.2) являются главными и их можно считать базисными.

Зададим отображение

У! : Ет ^ Ап, (1.3)

которое каждой точке БеЕт сопоставляет вполне определенную точку АеА„, тогда дифференциальные уравнения этого отображения запишутся в виде

ю' _ А' ©а.

(1.4)

Здесь в силу (1.1) и (1.2) величины Ла' удовлетворяют дифференциальным уравнениям

йА; + АС - А ©; = А ©"; А'ьь = 0 (1.5)

и образуют фундаментальный геометрический объект

г={ а: } (1.6)

отображения (1.3) в смысле Г.Ф. Лаптева [1].

Замечание 1. В дальнейшем будет решаться задача об инвариантном нахождении двумерных площадок Г2'сЕт и Х2'сЛп, проходящих через соответствующие точки ВеЕт и ЛеЛ„ и определяемых аналитически с помощью величин, охватываемых компонентами геометрического объекта (1.6).

2. Инъективное отображение УЩ (т<п)

2.1. Кривую ки в пространстве Ет, описываемую точкой БеЕт, будем задавать параметрическими дифференциальными уравнениями

ки: ©; = иа©, В© _ ©Л©г (2.1)

Здесь величины иа при фиксированных первичных параметрах, т. е. при ©а=0, удовлетворяют дифференциальным уравнениям

8иа + и" ©" =0; ©" =© (8) = ©Ч ,

о ~ а а 4 а |©а_о ^

где 8 - символ дифференцирования по вторичным параметрам.

Из (1.1) следует, что прямая

и _ (Б,ёа)иа (2.2)

является касательной к кривой ки в точке БеЕт. Поэтому в дальнейшем будем считать, что смещение в направлении (2.2) (или в направлении и) будет означать смещение по кривой (2.1) (или по кривой ки).

Заметим, что образом кривой (1.4) при отображении (1.3) будет кривая в Лп:

кV: со' _ г'©,V1' _ А'иа.

(2.3)

Касательной к кривой (2.3), описываемой точкой ЛеЛ„, будет прямая в Л„:

t _ (А,ёУ, (2.4)

являющаяся в силу (2.3) образом прямой (2.2) при отображении ¥,п:Ет^Лп.

2.2. Будем предполагать, что отображение ¥,п:Ет^Лп является инъективным, т. е. т<п. Тогда из (1.1) и (1.2) с учетом (1.4), (2.1) и (2.3) следует, что, когда точка В проходит все пространство Ет, ее образ Л=¥тпВ в аффинном пространстве Лп описывает т-поверхность 8т с касательной т-плоскостью Ьт. Проведем такую канонизацию аффинного репера в Лп, при которой

I _ (А,ё,ё2,...,ё). (2.5)

т ^ > Р 2 > ' т' у '

Здесь и в дальнейшем символ Д(Х,—,—,...,—) обозначает ^-плоскость в Лп, проходящую через точку X параллельно линейно независимым векторам X;,...,— пространства Лп. Учитывая (2.5) и (1.2), получаем, что дифференциальные уравнения т-поверхности Ет в Лп имеют вид:

_ (1.4) _

оС _ 0 ^ А" _ о,

(а,р,у_ 1,т; а,в,у _ т +1,п). (2.6)

Из (2.6) с учетом (1.4) получаем, что дифференциальные уравнения отображения ¥*:Ет^-Лп, сводящегося к отображению ¥^:Ет^Лп принимают вид:

С _ Ааа©а, ю" _ 0, (2.7)

что в силу (1.5) и (1.1) приводит к дифференциальным уравнениям:

©а _ Бус _ А-у; - 4ю1 - А^ю; + Авюв _ АРуО ,

АщРг] _ 0,4с] _ 0. (2.8)

Здесь

А:р _АаБВ,Б;А: _з;,Б;А ,

А;] ф 0,(а, в, у, а, 0 _Ът), (2.9)

т. е. отображение ¥,т:Ет^Лп предполагается невырожденным. Поэтому существует обратное отображение

» т

Vт : 1т ^ Ет »©; _ Б;юв » иа _ Брхв . (2.10)

2.3. Рассмотрим в точке В пространства Ет две прямые

и _ (Б, еа)иа, V _ (Б,ё0 У". (2.11)

Образами этих прямых при отображении ¥тп:Ет^-Лп будут в силу (2.7) прямые

х _ (А,ё;)ха _ (А,ё;)А;иа;

у _ (А,ёв)ув _ (А, ёв )Ави". (2.12)

Скалярное произведение направляющих векторов й=иаеа и у=уь8ь имеет вид

(и,V) _ и\1 + и2у1 +... + и^т. (2.13)

Из (2.7)—(2.12) следует, что для билинейной симметрической формы

Б(х,у) - Б;вхаув, Б;в_±Б;Б; (2.14)

а _1

в точке Л скалярное произведение (2.13) является прообразом при отображении ¥т":Ет^-Лп. Из (2.8) и (2.14) с учетом (2.9) следует, что величины В;в удовлетворяют дифференциальным уравнениям

йБ К - Б С - Б со1 _ Б „ ©; _ Бв Б;юв . (2.15)

;в ув а а! в ав а ав а в

Поэтому

Б(х, у) _ 0 » {й, V) _ 0. (2.16)

Из (2.13)—(2.16) следует, что в точке ЛеЛп, являющейся образом точки ВеЕт при отображении Утт:Ет^Л„, в Ьт определен (т-1)-мерный конус В т-1еЛ второго порядка (в общем случае невырожденный), заданный следующими уравнениями:

К-1: ВархаXе = 0,/ = 0,аеЦБв ] * 0, (2.17) причем

Б— - = {х = 1—\Б(х, х) = 0} . (2.18)

Таким образом, доказана следующая

Теорема 2.1. С отображением ¥тп:Ет^-Лп (т<п) в аффинном пространстве Лп ассоциируется т-по-верхность 8т с касательной т-плоскостью Ьт в точке Ле8т с инвариантно определенным полем конусов Вгт-1сЬт с вершинами в текущей точке Л

3. Поле гиперплоскостей

3.1. Поле (т+1)-плоскостей Ьп-1зЬт.

Точке ВеЕт сопоставим в соответствующей точке ЛеЬтсЛп гиперплоскость Ьп-1(х)сЛп, проходящую через Ьт:

4-1 (х): х " = 0

(3.1)

Ла = Аав Бав, Бв Бру =8;

(3.4)

где симметрические величины Л"'.. находятся по формулам

А«1 аг...а — = 1 А(а1 ла2 Аа —) А = — \А1[1 А22' ' |Н™]

(3.7)

и в силу (2.8) удовлетворяют дифференциальным уравнениям

сАа

- 2 А'

а 1 а 2 ..а — а

У + А

а а 2... а т а

У +••• +

= А^'.."т©а = А£'~"-Ку • (3.

аь а2,..., а-, а = т + 1, п; а = 1, т; (по а суммировать).

Здесь явный вид величин Л/".. а'Вва для нас несущественен.

Заметим, что гиперконус ТЩ-1 является фокальным в смысле [9] и [10].

3.3. Поле гиперплоскостей Ьп-1сЛп.

Из (3.6) и (3.3) следует, что в точке ЛеЬт, являющейся образом точки ВеЕт при отображении Ути:Ет^Ьт, (т+1)-плоскость Ьт+1 будет линейным полюсом, в смысле [11. С. 1317], гиперплоскости,

у~ха = 0

(3.9)

Из (1.2) в силу (2.8) и (2.5) заключаем, что множество всех прямых (2.3) - образов соответствующих прямых (2.2) при отображении V" - вдоль которых Ьт и бесконечно близкая Ь'т к ней принадлежат гиперплоскости (3.1), образует конус Ят-!(Хп-1(х))сХт с вершиной ЛеSm, определяемый уравнениями:

¿1 (4-1 (х)): хА? ха хв = 0, / = 0. (3.2)

Все гиперплоскости Ьп-1(х), которым отвечают конусы д2т-1(Ьп_1(х)), аполярные конусу В2т-1сЬт, в силу (2.17) и (3.2) пересекаются по (т+1)-плоскости

4+1 = (К, )Л « (3.3)

Здесь величины Ла определяются по формулам

относительно гиперконуса Т— тогда и только тогда, когда у - удовлетворяет системе п—т алгебраических уравнений

ф = А...у^ - АЛ" = 0, (3.10)

с п—т+1 неизвестными уг, А.

Так же, как и в случае системы [11. Ур. (39')], можно показать, что система (3.10) определяет конечное число гиперплоскостей (3.9) указанного типа. Проведем в Лп такую канонизацию аффинного репера Я, при которой

Л-+1 * 0, Ат+1' .'т+1 * 0, Л й = 0, А"+1 й = 0;

и в силу (2.15), (2.17) и (2.8) удовлетворяют дифференциальным уравнениям:

ёЛ" + ЛУ = ЛI©а = АКуа . (3.5)

3.2. Поле фокальных гиперконусов Т- в Лп.

Обозначим Т-! - множество всех гиперплоскостей (3.1), которым отвечают вырожденные конусы диЦ,—1(х)) второго порядка, по крайней мере с прямолинейной вершиной, проходящие через точку ЛеБтсЛп т. е. &е1[хпЛ ^]=0.

Отсюда следует, что множество Т- является гиперконусом класса в Лп с вершиной Ьт, определяемым уравнением:

т- а«> «2 -тх. х~ ...х- = 0,

а 1 а 2 а т

йе1[ачр,-+1, .,т+1 ] * 0, (а, ¡в = т + 2, п). (3.11) Геометрически это означает, что

4+1 = (4, ё—+1) = (A, ^ e2,•••, ё—, ё—+1);

4-1 = (4, ёт+2,..., ё ) = (А, ё1,..., ёт+ 2,..., ё). (3.12)

Из рассмотрения исключаются случаи, если в точке Ле£т:

1. Л"=0, тогда £т+1 не определена.

2. Лт+1.....и+>=0, тогда Ь^еТ^.

3. &е\[Лав,т+1.....и+*]=0, тогда Ьп-1 определяется бесчисленным числом способов.

Из дифференциальных уравнений (3.5) и (3.8) с учетом (3.11) получаем дифференциальные уравнения:

... т+1 л—+1... а л а

Юа = У ' а т+1 = А—+1,а© ,

ёА—+1 + АГУ^! - А^У - А—+1©1' = А—+!©ь,

а а а а "+1 ра а а Ь а а аЬ '

ёА1,а - А1,а, ~ ~ ~ ~

(а1,..., а— = т +1, п; т > 2 , п -т > 2 , т < п), (3.6)

(а, в = т + 2, п, а, Ь = 1, т).

(3.13)

Замечание 3.1. Из (3.12) и (3.13) следует, что т-поверхность 8т в Ап инвариантным образом оснащена полем касательных гиперплоскостей Ьп_^Ьт. Поэтому поле оснащающих (и-т)-пло-скостей Ьп-т на ^т:Х„_теА,Х„_тПХт=А,А„=Х„_тиХт аналитически и геометрически можно найти так же как и в [12. С. 17-21].

4. Поля двумерных площадок

и (т-2)-плоскостей в Ет и 1тсЛ„(т<п)

4.1. Поле гиперконусов q2т-1сЬтсА„.

Из (3.2) и (3.12) следует, что точке Ае£тсА„, являющейся образом точки ВеЕт, отвечает в Ьт конус q т-1 второго порядка с вершиной А, определяемый уравнениями:

¿1: A:+Ixaxp= 0, xa= 0.

(4.1)

Прообразом этого конуса в Ет при отображении ¥т является конус

Й-1: Слы°ыь = 0, (4.2)

где величины Сь, симметрические по а и Ь, определяются по формулам СаЬ=Ат1+1Аа"А^ и удовлетворяют дифференциальным уравнениям йСаЬ—СьЬ©са—С ¡©^С^©'. Здесь явный вид величин СаЬс для нас несущественен.

4.2. Линейные подпространства Г2сЕт, Гт-2сЕт и Х2сХт, ^т-2С^т.

Имеет место следующая

Теорема 4.1. С отображением ¥тт:Ет^-Ьт ассоциируются следующие распределения:

1. А'т-1,т: В^Г21; А2т-2,т: ^^1,-2:

а) Г2'±Гт-2, Г2'игт-2=Ет;

б) Г2' и Гт-2 сопряжены относительно ~2т-1сЕт.

1,т: Д2т-2,т: А^Цп-1, ^^^^^т, Ы и

Ыт-2 сопряжены относительно конусов В2т-2 и

п

9 m-2'

3 L l=Fmf1 L 2 =VmF2 • Fm. E 4L

J. l2 Vm Г2, L m-2 Vm 1 m-2; Vm Em^Lm.

Доказательство. Каждой точке BeEm и соответствующей ей при отображении Vm точке AeLm сопоставим следующие линейные подпространства. 1. В пространстве Em.

Г2 : u"^ = haluai; Г2т-2 : U" = h";ua2,

Г 1Г :_2 ^ = - h;:, (a1, b1, c1 =1,2; a2, b2, c2 = 3, :),

(4.3)

где ка и А"1 в силу условий инвариантности относительно репера Я в Ет удовлетворяют дифференциальным уравнениям:

¿и:^ + и":-к?2+©°2 = К1 ©";

a a.

a, a, ab

dhZ + hb2©b; -h^ +©a2 = Kb©b, (a,b = 1,:).

2. В подпространстве Lm=VmEm.

L\ : xa2 = g"2 xa;, xS = 0; L2m_2 : xa 1 = gaa; xa 2, / = 0,

где g^2 и удовлетворяют дифференциальным уравнениям

<2 + ge

2а:1 +rn:2 =

1 = & :©=& :л®а,

¿я:: + - +< = &га®:=&а[ав>а,

(а = 1, т). Из (2.17) и (4.1)-(4.4) следует, что

а) ортогональные линейные подпространства Г21 и Г2т-2 сопряжены относительно конуса В2т-1сЕт тогда и только тогда, когда т2=2(т-2) величин Наа^-Н"1 удовлетворяют системе из т1 алгебраических уравнений:

р . = С .И^ИЦ1 + С .И?1 + С .И"2 + С . = 0,

т ор2 :2Ь1 :1 о2 :р1 Ъ2 : 2Ъ 2 : 1 : р2 >

(:1, . = 1,2; :2, Ъ2 = 3, т). (4.5)

б) линейные подпространства Ь21сЬтсАп и Ь2т-2сЬтсАп сопряжены относительно конусов В2т-1сЬт и д2т-1сЬт тогда и только тогда, когда т2=2т1=4(т-2) величин ^ и удовлетворяют системе т2 алгебраических 1урав2нений

Р1 = в „ а2 „в + в яв + в яа 2 + В = 0

Уаф2 а2р16а,&в2 а 1р16р2 "а 2в 26а , а 2

Ра1в2 = Дт2в, Яа,2 + Ааф18р'2 + Аж2р2 & ,2 + Ах ф 2 = 0,

(а;, Р; =1,2; а2, Р2 = 3, : + 1).

(4.6)

(а1, Р1,у1 = 1,2; а2, в2, у2 = 3, :; а = : +1, n), (4.4)

Рассматривая якобиевы матрицы систем (4.5) и (4.6) и подсчитывая их ранги, например, при Ааа12=-Ааа21=0 для системы (4.5) и при $аа12=$аа21=0 для системы (4.6), можно убедиться в том, что ранги указанных матриц в общем случае равны, соответственно, т1 и т2. Это означает, что каждая из систем (4.5) и (4.6) состоит из алгебраически независимых уравнений. Поэтому системы (4.5) и (4.6) определяют конечное число соответствующих линейных подпространств, о которых идет речь в настоящей теореме. Связь соответствующих линейных подпространств, указанных в условии 3, вытекает из их геометрической интерпретации. Теорема 4.1 доказана.

Замечание 4.1. Справедливость теоремы 4.1 вытекает также из нижеследующих геометрических соображений. С конусом ~2т-1сЕт, определенным уравнениями (4.2), ассоциируется центроаффинное преобразование П с центром в точке А: каждой прямой и=(В,ёа)исЕт отвечает гиперплоскость -¡ч^м. Этой гиперплоскости отвечает прямая м*=(В ,ёа)ииа являющаяся полюсом гиперплоскости Пп-1 относительно конуса ~2т-1. Легко видеть, что в общем случае существует т направлений иа, совпадающих с М. Эти инвариантные направления являются собственными направлениями преобразования П: Ет±Ет. Заметим, что каждое из направлений иа (а=1,2,...,т) ортогонально соответствующей гиперплоскости, проходящей через остальные направления. Из этих направлений (т(т-1))/2 способами определяются линейные подпространства Г21 и Гт-2^Г2 в Ет.

Аналогичная геометрическая картина возникает и в т-плоскости Ьт=¥ттЕт, поскольку конусы

Bl-i и ql-i, см. (2.17) и (4.1), порождают центроаф-финное преобразование ГГ: Lm^Lm: для прямой x=(A,sa)X?eLm полярой является та (т-1)-пло-

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лаптев Г.Ф. К инвариантной теории дифференцируемых отображений // Труды геометрического семинара. - М.: ВИНИТИ АН СССР, 1974. - Т. 6. - С. 37-42.

2. Рыжков В.В. Дифференциальная геометрия точечных соответствий // Итоги науки. Вып. Геометрия. - 1963. - М.: ВИНИТИ АН СССР, 1965. - С. 65-107.

3. Павлюченко Ю.В., Рожков В.В. Об изгибании точечных соответствий между проективными пространствами // Труды геометрического семинара. - М.: ВИНИТИ АН СССР, 1969. -Т. 2. - С. 263-275.

4. Павлюченко Ю.В. О характеристической системе точечных соответствий // Труды геометрического семинара. - М.: ВИНИТИ АН СССР, 1971. - Т. 2. - С. 221-233.

5. Рыжков В.В. Характеристические направления точечного отображения Рт в Рп // Труды геометрического семинара. - М.: ВИНИТИ АН СССР, 1971. - Т. 2. - С. 235-241.

6. Рыжков В.В.Дифференциальная геометрия точечных соответствий между пространствами // Итоги науки. Вып. Алгебра. Топология. Геометрия. - 1970. - М.: ВИНИТИ АН СССР, 1971. - С. 153-174.

скость в Ьт относительно конуса Дт_1сХт, полюсом

которой является прямая у=ПхсХт относительно

конуса д2т-1^Ьт.

7. Фиников С. П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии. - М.: ГИТТЛ, 1948. - 432 с.

8. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий // Труды Московского математического общества. -М., 1953. - Т. 2. - С. 275-382.

9. Акивис М.А. Фокальные образы поверхности ранга г // Известия вузов. Сер. Математика. - 1957. - № 1. - С. 9-19.

10. Акивис М.А. Об одном классе тангенциально вырожденных поверхностей // Доклады АН СССР. - 1962. - Т. 146. - № 3. -С. 515-518.

11. Ивлев Е.Т. О многообразии ДДДТО+О в я-мерном проективном пространстве // Сибирский математический журнал. -1967. - Т. 8. - № 6. - С. 1307-1320.

12. Ивлев Е.Т. Об одной нормализации многомерной поверхности пространства проективной связности // Дифференциальная геометрия многообразия фигур. Вып. 4. - Калининград, 1974. - С. 6-28.

Поступила 05.02.2009 г.

УДК 517.3

ПРОГРАММА И ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ ДРОБНОГО АНАЛИЗА

В.А. Чуриков

Томский политехнический университет E-mail: [email protected]

Предложена программа построения анализа с нецелочисленными порядками интегрирования и дифференцирования. Показано, что для каждого вещественного порядка s можно построить внутренне замкнутую теорию (ветвь) анализа, если функции в данной теории выражаются через ряды с дробными степенями с соответствующим дробным шагом s. Каждая ветвь будет иметь свой индивидуальный набор элементарных и других важных функций.

Ключевые слова:

Оператор Адамара, ветви дробного анализа, родственные ветви, модельные ветви, дробностепенные ряды с шагом s, маркирующие функции.

Под дробным анализом (или дробным исчислением) будем понимать направление в анализе, в котором исследуются аналитические операции дифференцирования и интегрирования любых конечных вещественных порядков, как целочисленных, так и нецелочисленных, что обобщает «стандартный» анализ, в основе которого лежат производные и интегралы первого порядка или порядков, кратных единице.

Путей такого обобщения известно много [1]. Наиболее простой из них предложил Адамар на основе введённого им оператора дробного интегро-дифференцирования функций, которые выражаются через степенные ряды [2]

dJf amxm 1 = У a,»^^ xm. m J m Г (m +1 + s)

Здесь dsx оператор Адамара порядка s, действующий над множеством степенных функций Xт, s, x, eR, meZ, s=const, Г(...) - гамма-функция Эйлера.

Случаи s < 0 соответствует операторам дробного дифференцирования порядка s, которые обозначим как d-sx. При s>0 - операторы дробного интегрирования порядка s. При s=0 оператор Адамара становится единичным оператором.

Оператор Адамара носит алгебраический характер, что делает его более простым, чем другие операторы дробного интегродифференцирования [1].