CC BY
48
х Лъ*“*Ь = °-
Отсюда заключаем, что каждой точке ВеАр и гиперплоскости (30) отвечает в ~ асимптотический гиперконус Щл(х) гиперквадрик ЦЛ(У), не зависящий от параметра у. Этот гиперконус определяется уравнением
Отсюда следует, что в каждой точке ВеАр в пространстве Ап существует гиперконус ^¡р_1 класса р с вершиной в точке АеА„, представляющий собой совокупность всех гиперплоскостей (30) в А„, которым отвечают в Ар вырожденные гиперконусы (32)
по крайней мере, с прямолинейными вершинами, проходящими через точку АеА„. Этот гиперконус ^¡Р_1сАп определяется в тангенциальных координатах XI уравнением
&*[ х^ь ] = 0 ^ ф 'А'"'рх- 1 х 2 -хр = 0;
фкк-'р = л(‘1 Л‘2 Ар) •
Ф = р | Л2|2|-Лр|р|];
УФ ¿а-Л + 2ф¥2...<-р (01 +@ 2 +... + @ рр) =
= Ф'^'2-'р@а, (а,¿2,..., 1Р =1,п;а = 1,р). (33)
Здесь явный вид величин Ф/ ^ для нас не существенен.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий // Труды Московского математического общества. -М.: ГИТТЛ, 1953. - Т. 2. - С. 275-382.
2. Лаптев ГФ. К инвариантной теории дифференцируемых отображений // Труды геометрического семинара. - Т. 6. - М.: ВИНИТИ АН СССР, 1974. - С. 37-42.
3. Рыжков В.В. Дифференциальная геометрия точечных соответствий // Итоги науки. Вып. Геометрия. 1963. - М.: ВИНИТИ АН СССР, 1965. - С. 65-107.
4. Павлюченко Ю.П., Рыжков В.В. Об изгибании точечных соответствий между проективными пространствами // Труды геометрического семинара. - Т. 2. - М.: ВИНИТИ аН СССР, 1971. - С. 235-241.
5. Павлюченко Ю.В. О характеристической системе точечных соответствий // Труды геометрического семинара. - Т. 2. - М.: ВИНИТИ АН СССР, 1971. - С. 221-233.
6. Рыжков В.В. Характеристические направления точечного отображения Рт в Рп // Труды геометрического семинара. - Т. 2. -М.: ВИНИТИ АН СССР, 1971. - С. 235-241.
7. Рыжков В.В. Дифференциальная геометрия точечных соответствий между пространствами // Итоги науки. Вып. Алгебра. Топология. Геометрия, 1970. - М.: ВИНИТИ АН СССР, 1971. -С. 153-174.
Поступила 19.03.2010 г.
УДК 514.76
ОТОБРАЖЕНИЯ АФФИННЫХ И ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
Е.Т. Ивлев, А.А. Лучинин
Томский политехнический университет E-mail: lutchinin@mail.ru
Рассматриваются отображения аффинного пространства ~р в аффинное пространство An (при p>n и p<n) и в евклидово пространство E. Аналитически и геометрически изучается структура фундаментальных геометрических объектов этих отображений в смысле Г.Ф. Лаптева.
Ключевые слова:
Дифференцируемые отображения, многомерные аффинные и евклидовы пространства. Key words:
Differentiable mappings, multidimensional affine and Euclidian spaces.
Введение
Рассматривается отображение ¥р":Ар^-Ап и доказывается существование (при р>п и р<п) в аффинном пространстве Ап, отвечающем пространству Ар, инвариантного гиперконуса #п2_ь который в [1] считался заданным. Изучаются фундаментальные геометрические объекты первого и второго порядков дифференцируемого отображения ¥рп аффинного пространства Ар в аффинное пространство Ап. Аналитически и геометрически строятся инвариантные
геометрические образы, ассоциированные с геометрическими объектами отображения.
1. Инъективное дифференцируемое отображение
1.1. В этом случае точка AeA„ как образ точки BeAp при инъективном отображении Vpn является текущей точкой р-мерной поверхности (р-поверх-ности) SpœA„ с касательной p-плоскостью Lp. Аффинный репер R={A,e;| в An (см. [1. Ур. (2)]) выбирается так, чтобы
Ьр = (А, е1,...ер).
Тогда (см. [1. Ур. (29)]) получаем
А* = 0 ^юа = Ааа ®а,УАа = Аал 0Ь, Аарь = 0, Аата = Аа 0Ь Аа = 0
АаС0^ ~ АаЬ , А[аЬ ]~ 0 ,
(1) удовлетворяющие дифференциальным уравнениям у Ау = А 0с• ау = ау _ Аа с7 _ Аа С7 •
аЬ аЬс ’ аЬс ^аЬс Л аЬс ^ а аЬ ^ -с9 УБСЛ = ВаЫ &, ^ = А а Еса+ А а Бса ;
УЮа = ВаЪ©Ь;Вл = ЦаЬ ;УЕ а= Е л &Ь;
(а, р,у= 1,р;а,р,у = р + 1, п; а, Ь,с = 1, р). (2)
Отсюда следует, что с инъективным отображением К" ассоциируется отображение
(3)
Будем предполагать, что это отображение является невырожденным (биективным), т. е. ёе^Аа^О, тогда можно ввести в рассмотрение величины Бра по формулам
б;а: = §;,Б-А- = %, (а, р = 1,р,а,Ь = 1,р). (4)
Из дифференциальных уравнений (2) с учетом (4) получаем
УБр = Бра0а,Бра = _А авьаБр,0а = БРар,
ха = саха.
(6)
Здесь величины С~ удовлетворяют дифференциальным уравнениям
уса +&а = са&Ь.
а а аЬ
Заметим в соответствии с [4, 5], что линейное подпространство (6) является оснащающей (нормальной) (и-р)-плоскостью ^-поверхности ^,о4„ в точке А.
С помощью компонент геометрического объекта Г2, величин Ф1'1^“; [1] и Саа в каждой точке Бе~р введем в рассмотрение следующие величины:
АуЬ = Аь _ Аьсу , АаЬ ] = 0; ВЬ = А а Б а, БсаЬ ]= 0;
Ба = ВЬЛ = ВЬа ;
Еа= ВБа = ВааА = АР БрБ ^
Еа = -саЕа = -са АлБ;БЬа, ^ = ф^ен ..е^ ,(7)
ЕаЬ = ВБ + ВБь ;УЕа = Еаь0 ;
Еа=~саЕ*_саЕ*ь у=ши &а;
?=ф'-1-Л_2«Е. ...Е- +фк‘2-‘р-21 е. е ...е +... +
>а а 1-1 1р-2 На 12 1 р_2
+ф'!■: е ...е, е. ;
К 1 р-3 1 р_2а
(к,- -р] =1, п; а, Ь, с, 5 =1, р;
-*р ра > ра
та = Ааь0ь,а>а = 4ра/ = АааЬ0ь^
Аар = АаЬБа Бр ^ Аар ] = 0, А [аЬ]= 0, А аЬ = Аар А а А^ ,
аа=Аб , уа=а:Ьс 0с,
аЬьс=Аьва+АаьБа, а, р, у=р+1,п). (5)
Из (1), (5) следует, что гиперконус Ф"_1 классар с вершиной в точке АеА„, отвечающей точке БеАр при отображении (3) и определяемый в тангенциальных координатах репера Я уравнением
а, р,7 = 1, р;а, р,у = р + 1, п).
Найдем те геометрические образы, которые определяются величинами (7). ~
Рассмотрим гиперплоскость НрА(и) в пространстве Ар, проходящую через точку БеАр и определяемую уравнением
иис = 0. (8)
Эта гиперплоскость будет в силу (3) и (4) прообразом (р-1)-плоскости Ьр_1(и)^Ьр при отображении V, которая определяется уравнениями
иБХ = 0, ха = 0.
(9)
Фь1Ь2"Ьрх- Хь2...Хь = 0,(а1,а2,..., ар = р + 1, р),
представляет собой совокупность гиперплоскостей гиперконуса Т"-1 (см. (33) в [1]), которые проходят через р-плоскость Ьр. Этот гиперконус является касательным (фокальным) в смысле [2, 3].
1.2. Каждой точке БеАр соответствующей точке АеА„ сопоставим (и-р)-плоскость Рп_р: Р„-риХр=А„, Рп_р^Ьр=А, которую в точечных координатах репера Я зададим уравнениями
Из (8) и (9) в силу (6) следует, что точке БеАр в Ап отвечает гиперплоскость Ор_1(и)=Ир_1(и)иРп-р, которая определяется уравнением
ива (ха_ Саха) = 0.
с а V а
Этой гиперплоскости в пространстве Ар отвечает гиперконус Яр2_1(и) (см. (32) в [1]) с вершиной БеАр, определяемый с учетом (7) уравнением
и БсАала1ь = 0.
с а аЬ
Таким образом, каждому направлению 1еАр отвечает центроаффинное преобразование пространства Ар в себя с центром в точке БеАр:
п(*) = {А/}, аь = аьА.
Это центроаффинное преобразование каждую (р-1)-мерную плоскость (8) переводит в (р-1)-плоскость в Ар, проходящую через точку Б и полярно сопряженную направлению / относительно гиперконуса Ярч(и). ~ ~
Из (9) замечаем;, что точке БеАр отвечает в Ар гиперплоскость Гр-1={/б^лр|1егП(/)=0|, которая определяется уравнением Б/=0.
Эта гиперплоскость будет прообразом (р-1)-пло-скости Хр-1сА„ при отображении (3), которая в силу (7) в терминах репера Я определяется уравнениями
Еаха = 0, X = 0.
лОтсюда с учетом (6) и (7) заключаем, что точке В&Ар в пространстве Ап отвечает гиперплоскость Еп_=Рп_риГр_ь которая задается уравнением
ЕХ = 0 ^ Еаха+ ЕХ = 0.
(10)
Из (33) (см. [1]) с учетом (7) и (10) следует, что гиперконус к2п_1сАп второго класса с вершиной в точке АеА„, определяемый уравнением
^1х1х = 0,
(11)
является квадратичным полюсом (полюсом второго порядка) в смысле [7] гиперплоскости Еп_1 относительно гиперконуса Ф п_1.
Покажем, что в общем случае гиперконус (11) является невырожденным, т. е. ёе^'^О.
Геометрически это означает, что гиперконус кв общем случае имеет только точечную вершину в точке АеА„, через которую проходят все его гиперплоскости.
Из (7) замечаем, что величины $ в конечном итоге зависят от величин А‘л (г'=1,п; а,Ь=1,р; А^=0), общее число независимых из которых равно пр( р +1)
= г\г—/_, а число независимых симметрич-1 2
„ п(п +1)
ных величин $ равно п2 =——• Следовательно,
получаем
п2 < п1 ^ п < р2 + р -1. (12)
Учитывая, что р<п, получаем, что все результаты, о которых ранее шла речь (см. [1], пункт 3), справедливы в общем случае при всехр и п, удовлетворяющих неравенству
р < п < р2 + р -1. (13)
С учетом (12) и (13) величины АаЬ можно всегда так подобрать, чтобы $=5’. ~
Поэтому в общем случае в точке Бе~р имеет место неравенство ёе^'^О. Это дает основание ввести в рассмотрение симметрические величины по формулам $^=5к. Из (7) следует, что величины удовлетворяют дифференциальным уравнениям,
к = ёйа 0&ка = - ёаёсЦ §*к
(',}, к, д, s = 1, п; а = 1, р).
Геометрически величины & определяют в пространстве Ап гиперконус д2пЛ второго порядка с вершиной в точке АеА„, который огибается гиперконусом (11) и определяется уравнением типа (4) (см. [1]).
Таким образом, доказана теорема.
Теорема 1. С каждой оснащающей ^(и-р)-пло-скостью Рп_рсАп, отвечающей точке БеАр, при отображении Ур\ЕР^Ап(р<п<р2+р-1) в пространстве Ап инвариантным образом ассоциируется гиперконус дп-1, огибаемый гиперконусом к2Ё_1сАп - квадратичным полюсом гиперплоскости Ёп_1сАп относительно гиперконуса Ф^сА,.
Определение. Линейное~ подпространство Рп_рсАп, отвечающее точке Бе~р и гиперконус д„2-ь о котором идет речь в теореме 1, называются ассоциированным.
Замечание 1. В обзорной статье Г.Ф. Лаптева [4], а также не вошедшей в эту статью работах [5, 6], указаны инвариантные построения оснащающих (нормальных) линейных подпространств многомерных поверхностей в аффинных и проективных
пространствах. В соответствии с теоремой 1, взяв за основу соответствующую оснащающую плоскость, построенную в одной из указанных статей и применив ее к р-поверхности 8рсАп, можно получить ассоциированный инвариантный гиперконус дп-1сАп, который и будет решением задачи, об инвариантном определении гиперконуса д2п_1сАп.
В следующей теореме будет указано инвариантное построение оснащения р-поверхности 8рсАп, определенное отображением ¥р":Ер::>Ап(р<п<р1+р-1).
Теорема 2. Каждой ~точке Бе~р в общем случае при отображении ¥р"Ер^Ап (р<п<р2+р-1) в пространстве Ап отвечает конечное число оснащающих плоскостей Рп_р р-поверхности 8р в Ап, полярно сопряженных касательной р-плоскости Ьр относительно гиперконусов кп2-1сАп, огибающих соответствующие ассоциированные гиперконусы дп2-1.
Доказательство. Из (6) и (11) с учетом (1) следует, что (и-р)-плоскость Рп_р и р-плоскость Ьр полярно сопряжены относительно гиперЕконуса дп2-1 тогда и только тогда, когда в точке Бе~р выполняются соотношения
ё + ёаРСа = о.
а ¡3 1
(14)
Если воспользоваться соотношениями (7), то из (14) можно получить следующую систему р(п-р) неоднородных алгебраических уравнений порядка 2р(п-р) относительно величин Са:
фаР ^^ар + ёарса +ёар =о.
(15)
Здесь - алгебраические соотношения, содер-
жащие величины Са степеней 2,3,...,2р(р-п), причем
г.а/3 _____
= Ф 1
а . а — /ф Т>а рЬ.
ах **• ^ар-29 оа аЬ р а ’
( - (и^.-.и за 2)ар
р -1
П ^ р-2
Ф^“р-3ар-2 ,
(а2 .. . ар-2а')Р
(а1 а2 °ар-3°ар-2)
+ Ф"
V
5а2 а р-2
Подсчитаем ранг якобиевой матрицы
Ф =
дС
7
системы (15) при С|=0. Используя
условия С|=0, из системы (15) получаем соотношения
§ар = 0. (16)
Матрица Ф будет иметь отличный от нуля минор порядкар(п-р), равный
{ёе1[£ар]}р. (17)
Заметим, что = gi\а_о. Поэтому в силу (16)
получаем, что &е1[£]] = ёе^§ар] ■ ёе^£ар] ф 0. Отсюда с учетом (17) следует, что ранг матрицы в общем случае равен р(р-п), поэтому система (15) состоит из алгебраически независимых уравнений. Следовательно, система (15) в общем случае имеет конечное число решений относительно Са. Теорема 2 доказана.
2. Биективное дифференцируемое отображение
Упп:Ар^Лп (р=п) ~
Каждой точке ВеА, соответствующей точке А при отображении ¥пп:Лр^Ап соотнесем гиперплоскость Гп-1(х)сАп, проходящую через точку АеАп. Этой гиперплоскости будет отвечать гиперконус Я1-1(х)сАп второго порядка с вершиной в точке В,
определяемый _______ уравнением хАа/^=0,
(а,Ь,е,1^,к,а,Р,у=1,п). Прообразом этого гиперконуса при отображении ¥рп:Ар^-Ап будет гиперконус 112п_1(х)сАп, определяемый уравнением
хА'
,х]хк
= 0.
(18)
Здесь величины А]к, симметрические по нижним индексам, определяются по формулам
а; = А^б;;УА]к = А]кс0С ;
А‘ = А, бьб; + А, В б + а‘,бь б; .
]кс аЬс ] к аЬ ]С к аЬ ] кс
(19)
а\ а\а
~а!
•'^а
б; = А] Б;; А. = 0 ^ Б.1 = 0;
— — ' ’ [ала ] [аа ] ’
а\а а\а
УБ.“1 = Б.“1 0Ь;б;1 = А Ба1 + А БаЬ. (22)
а 1а а1аЬ а1аЬ а; ' а 1“ 'Ь
Из (21) следует, что канонизация репера Я, осуществленная по формулам (20), в общем случае существует. Геометрически эта фиксация означает, что (р-и)-плоскость
= (Б>£и+1>...>Ер) с А
(23)
Таким образом, каждому направлению у=(А,-к)уксАп, отвечающему точке ВеАр, сооттзет-ствует центроаффинное преобразование П(у)=[А‘]кук} аффинного пространства Ап с центром в точке Ае-Ап. Геометрически это преобразование любую гиперплоскость Гп-1(х) переводит в поляру направления у относительно гиперконуса (18). Поэтому точке ВеАр в соответствующем пространстве Ап отвечает ~ инвариантная гиперплоскость
Е'п-1={уеАр|1;егП(у)=0}, которая определяется уравнением Еу=0. Здесь величины Е определяются по формулам и удовлетворяют соответствующим дифференциальным уравнениям
Е = А ;УЕк = Е; 0а ;Е; = А] .
Из (18) замечаем, что гиперконус д1АсАп второго порядка с вершиной в точке А типа (4) (см. [1]) можно определить как гиперконус ]°2п_1(Е), отвечающий гиперплоскости Еп_1сАп. При этом величины gij определяются по формулам gj=EkАk и удовлетворяют дифференциальным уравнениям, ^=^а0а, где g|a=EkalA¡+EiAkiaa. ~
Итак, в случае отображения Гпп:Ап^Ап, как и в случае отображения ¥рп:Ар^Ап(р<п), гиперконус дп-1сАп инвариантным образом определяется аналитически и геометрически соответствующим отображением.
3. Сюръективное дифференцируемое отображение
Урп:Ар^Ап(р<н)
Проводится такая канонизация аффинного репера Я пространства Ап, при которой
А = 0,ёе1[ Аа ] * 0,
является ядром отображения ¥рп:Ар^Ап в том смысле, что при указанном отображении (р-и-1)-пло-ско-ть, проходящая через любое направление /=(В,еа)ГсАр и Гр_„, переводится в направление х=(А,е)1‘=(А,е;)Ааоо1.
Заметим, что в пространстве Ар определено распределение Арр_п:В^Гр_п, дифференциальными уравнениями которого являются (21). Поскольку с учетом (22) величины Ва^'рО, то распределение Арр-п является голономным. *
ТочкАВеАр сопоставим р-плоскость Гр:ГрпГр_„=В; ГриГр_п=Ар, которую определим уравнением
Г = к;; г“1. (24)
Здесь величины ка удовлетворяют дифференциальным уравнениям
Ук“1 + 0“ = к1 0а.
;1 “1 “1“
Линейное подпространство Гр является оснащающей р-плоскостью голономного распределения Арр_п. ~
Точке Ве АА р в соответствующем пространстве Ап сопоставим гиперплоскость Гп-1(х), определяемую уравнением (30) (см. [1]). Этой гиперплоскости в пространстве Ар отвечает гиперконус Я2-1(х), определяемый уравнением (32) (см. [1]), откуда следует, что (р-и)-плоскость Гр-п пересекае;т гиперконус Яп2-1(х) по (р-и-1)-мерному конусу Я2р_п_1(х), определяемому системой уравнений
Аа, гачЬ = 0;га1 = к; Г
(25)
где
Аа1Ь1 = А\ + А', кЬ1 + А'., к а1 + А'., к а1 к
а1Ь Ь1 ■
а1Ь1
“1, а1
а1Ь а1 Ь1 ’
(', ], к, а1, Ьх, с1 =1, п; а\, Ь1, С1 = п + 1, р). (20)
В рассмотрение вводится с учетом (20) система величин В а1 (см. (4) и (5)). Из (5) и (20) получаем
УБ;1 = Б1„0 “,(а,Ь,С = 1,Р\ (21)
где величины Ваа определяются по формулам и удовлетворяют дифференциальным уравнениям
У АаА= Аа,с 0С . (26)
Здесь явный вид величин А'^ для нас несущественен.
Из (23) и (25) заключаем, что гиперконус Я2р_1(х)сАр, определяемый уравнением
Х'А ‘ а1ь1г; = 0, (27)
имеет вершину Гр-п и представляет собой совокупность всех направлений t=(B,£a)taеГp, которые вместе с Гр-п принадлежат гиперконусу Я]_1. Прообразом гиперконуса Я2р_1(х)сА1 при отображении ¥рп:Ар^Ап(р>п) является гиперконус Я^^сА^ определяемый уравнением хАкххк=0. Здесь величины Ак определяются по формулам
(28)
¥, = оЬ; ,, к;к, к1 + <з ‘Л1, к1 кV +
ка1кь; к <?1П“1Ь1 а1 Ь1 Г1
д 1‘ И г 1
+О?1 . к51 + О. = 0,
дл .1 51 .Г1
где
^ ‘1^1 11 ‘1А1Г1
=БЬ1 б;
А А. заЗ^ЗкЗЬ1 +
д^ а Ь ,51 а1 Ь1 А1
+А,. Ак
ЧГ1
3.а13 3 ЗГ1 +
> 1 5 1 а1 г1 А 1
11 г1
\Ь1 ‘1 Ь1
С
О$ . = БЬ1 Б;
д1Г151 К 1
А, Ак, 3.а13:1 + А. Ак, 3-Ь13? +
д1Г1 0*1,1 ‘1
к
,1 .1 Ь1
+А . А\ ЗГЗ1
д1 п а1Ь1 ‘ 1 г1
О. = А а^бЬ1 б;
О*1“;.. = А . БЬ1 Б“1 Ак
11Г1“1,1 д1г1 к ' а:
и удовлетворяют дифференциальным уравнениям типа (19).
Как и в_предыдущем пункте определяется гиперконус Я2,_1(Е), отвечающий гиперплоскости Е^С^.
Таким образом, и в случаер>п каждому оснащению Гр-псАр в пространстве Ап отвечает гиперконус А2р-1=АPn-1(E), определяемый уравнением gijxiX=0, где
ёу = ЕА, Ек = А].
3.1. Инвариантное определение оснащения
распределения Арр_п:В^Гр_„(р>п)
Из
Е = А, (29)
следует, что гиперконус^ ]°2п_1(Е)сАр, являющийся гиперконусом Я2п_1(Е)сАр, отвечающим гиперплоскости Еп_ъ определяется уравнением
Оаь{“{Ь = 0, (“, Ь = 1, р).
Здесь симметрические величины ОаЬ определяются по формулам
О“Ь = Е1А]ь ; У О, = ОаЬс0С; ОаЬс = Е 1с А]ь + Е, А]Ьс . (30)
Имеет место следующАая теорема:
Теорема 3. Точке ВеАр в общем случае при р>п отвечает конечное число оснащающих р-плоско-стей Ьр распределения Арр_п, сопряженных соответствующим (р-п)-плоскостям Гр-п относительно гиперконуса К2р_1(Е)сАр.
Доказательство. Из (23), (2*4) и (30) следуеА, что линейные пространства Гр и Гр-п в точке ВеАр сопряжены относительно гиперконуса Я^Е) тогда и только тогда, когда имеют место соотношения
у г = О г + ОкГ =0,( г1> 11 = 1п; г1> д 1 =п+1 р).
д1г1 д1г1 д 1г 1 1
Отсюда в силу (26), (28), (29) и (30) получается следующая система п(р-п) неоднородных алгебраических уравнений третьего порядка, содержащих р(р-п) величин кгг>:
; Ь1, с1, А1, гр д1, ‘1 = 1, п; а 1, Ь1, сх, А1, д х, г 1, ‘1 =
= п +1, р;', к = 1, п).
Заметим с учетом (21), (26), (29) и (30), что р (р +1) ^
—2— симметрических величин (тл выражаются в конечном итоге через пр(р + 3) независимых вели-
чин Ва и А^. Очевидно, что
р(р +1) ^ пр(р + 3)
2 2
Поэтому так же, как при доказательстве теоремы 1, показывается, что система (31) в общем случае состоит из алгебраически независимых уравнений. Следовательно, она имеет конечное число решений относительно ^Т1. Теорема 3 доказана.
Из теоремы 3 и результатов предыдАущего пункта вытекает, что с каждой точкой Ве!р в соответствующем пространстве Ап(р>п) инвариантным образом ассоциируется конечное число гиперконусов
д 2п-1сАп.
4. Случай отображения аффинных и евклидовых пространств
Рассмотри^ случаи, когда одно из аффинных пространств Ар или Ап является евклидовым пространством или оба эти пространства являются евклидовыми.
4.1. Отображение ¥рп:Ер^Ап
В этом случае пространство Ер является евклидовым, тогда репер Я={В ,Еа} является ортонор-мальным репером и 1-формы 0аЬ в формулах (1) удовлетворяют соотношениям 0аЬ+0Ьа=0 (а,Ь=1,р).
Заметим, что все результаты работы [1] и пунктов 1-3 сохраняются и для этого отображения. Однако в данном пункте будет дано другое инвариантное построение гиперконуса дп-1САп не зависит от выбора значений рАи п.
Каждой точке ВеЕр в соответствующем аффинном пространстве Ап сопоставим гиперплоскость Гп-1(х), определенную уравнением (30) (см.[1]). Этой гиперплоскости в евклидовом пространстве
(31)
Ер отвечает гиперконус Ярч(х)сЕр, определяемый уравнением (32) (см. [1]). Заметим, что матрица порядка д, отвечающая гиперплоскости Гп-1(х):
П (х) = {хА“ь Ь
(32)
определяет некотороАцентроаффинное преобразование пространства Ер в себя с центром в точке В: каждому напра-лению у=(В ,Еа)уаеЕр отвечает направление ¡=(В,еЬ)хА‘аЬУа, ортогональное полярной гиперплоскости направления у относительно гиперконуса Я2р_1(х)с1°р. Поэтому все гиперплоскости Гп-1(х)сАп такие, что 1егП(х)=0, п-ресекаются в пространстве Ап по направлениюр=(А,е,)/‘, где величины р определяются по формулам
Г =1lAL , V/ = f 0 С , fC = I A;ac . (33)
a=1 a= 1
Из уравнений (30), (33) работы [1] и (33) следует, что гиперплоскость Г„_1(х)сЛ„ является линейным полюсом направления f относительно гиперконуса Фр_1(х)сАп тогда и только тогда, когда
®¥2"Vl‘x. x2 ...x^ = Xf, Хф 0, (¿1,ip _1, i = 1, n).
Можно, как и в случае доказательства теоремы 1 показать, что эта система определяет в общем случае при p>2 конечное число полюсов направления f относительно гиперконуса Ф^_1.
Проведем такую канонизацию аффинного репера R в А„, при которой
f1 = f2 =... = fn_1 = 0; fn ф 0; ФJ-Jk = 0;
det [ AJ-Jk ]ф 0,( j, k = 17П). (34)
Из (33) с учетом (34) следует, что в точке BeEp имеют место дифференциальные уравнения
®п = Ana0a ;®n = 4a0a ;VАПа = АПаь 0 ;
VAia = Aiab 0b ,(i, j Ф n).
Здесь явный вид величин, стоящих при 06, для нас несущественен. В соответствии с [5] и с учетом (34) заключаем, что фиксация аффинного репера R в А„, осуществленная по формулам (34), в общем случае существует.
Фиксация (34) геометрически означает, что направление f1"=(A,en) и гиперплоскость Гп-1=(А,е ь...Дп-1) в пространстве Ап линейно сопряжены относительно гиперконуса ФЩ_1сА„. Поэтому гиперконус второго класса А1-\сАп, определенный в
тангенциальных координатах уравнением вида
£-2
(11), где gik = фп-тк ,(i,k = 1,n) является квадратичным полюсом гиперплоскости Гп-1=(А,е ь...,еп-1) относительно гиперконуса Фр_1. Как и в пункте 1 можно показать, что гиперконус ё2-1сА„, определяемой уравнением (34) в случае отображения ¥рп:Ер^-Ап, (p>2) огибается гиперконусом второго класса д2п_1сАп.
4.2. Отображение Урп:Ар^Еп
В этом случае пространство Еп является евклидовым и тогда репер R=^ ,е) является ортонор-мальным, т. е. <еье>=81р а 1-формы coj в формулах
(2) удовлетворяют соотношениям ет/+ет/=0. Как и в предыдущем пункте 4.1 отметим, что все результаты пунктов 1-3 сохраняются. В этом пункте будет дано другое построение инвариантного гиперконуса q2n-1cEn, аналогичное построению в предыдущем пункте.
Для Ёэтого построим инвариантную гиперплоскость ОпЛсЕп следующим образом.
Каждой точке БеАр в пространстве Еп сопоставим гиперплоскость Гп-1(х), определяемую уравне-
нием (30) (см. [1]). Тогда в аффинном пространстве ~p этой гиперплоскости будет отвечать гиперконус R¡_l(x)cAp, определяемый уравнением (32) (см. [1]). ~ Множество _всех пар направлений в Ap:u=(B,sa)ua; v=(B,eb)vb; таких, что их образы в En при отображении Vpn:Ap^En ортогональны, образуют билинейную форму
p(uv) =Pabu‘'vb > (35)
где симметрические величины pab определяются по
формулам Раь =Х 44 и удовлетворяют диффе-
i=1
ренциальным уравнениям
Vpab =Pabc 0c ,PbC =± (Al 4 + a; Ai ). i=1
Из (35) замечаем, что в каждой точке ВеАр билинейной форме р(и^~сопоставляется инвариантный гиперконус p¡_1c~p второго порядка с вершиной BeAp, определяемый уравнением pabuaub=0. Можно показать, что в общем случае гипеконус р2_1 является невырожденным. Поэтому можно ввести в рассмотрение величины pab по формулам pacpab=Sbc. Величины pabудовлетворяют дифференциальным уравнениям
Vpab =pf 0c; p;b =-psqcpsapqb ,(a,b,c, s, q = Í7).
Заметим, что все гиперплоскости Гп-1(х)сЕп, которым отвечают гиперконусы Rp-1(x) аполярные гиперконусу р]_ь пересекаются по направлению: g=(-,-)g в Еп. Здесь
i a i ab т~7 _i -J r~\c Л 4i ab . aí ab
g = Aabp и Vg = gc0 ; gc = Aabc p + Aab pc •
~ Направление g ортогонально гиперплоскости GnAcEn, определяемой уравнением
g¡xi = 0, gt =- g¡.
С помощью этой гиперплоскости инвариантный гиперконус q 2nAcEn строится аналогично предыдущему пункту, причем в данном случае
Замечание 2. В случае отображения ¥р":Ар^Еп каждой точке Ве~р в пространстве Еп отвечает инвариантный гиперконус #2п-1сЕ„, а также при этом отображении каждой точке ВеАр в соответствующем евклидовом пространстве Еп будет отвечать т-плоскость Ьт, проходящая через точку А и определяемая конечным числом способов (см. также [8]).
Замечание 3. В случае отображения Урп:Ер^Еп будут иметь место не только результаты, изложенные в [1], но и результаты, изложенные в пунктах 1-3. ~
Следовательно, каждой точке В&Е„ в соответствующем евклидовом пространстве Еп инвариантный гиперконус ^п-1^Еп можно определить двумя способами (одним - как в пункте 4.1, а другим -как в пункте 4.2).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ивлев Е.Т, Лучинин А.А. Отображения р-мерного аффинного пространства в многообразие гиперконусов «-мерного // Известия Томского политехнического университета. - 2010. -Т. 317. - № 2. - С. 5-8.
2. Акивис М.А. Фокальные образы поверхности ранга r // Известия вузов. Математика. - 1957. - № 1. - С. 9-19.
3. Акивис М.А. Об одном классе тангенциально вырожденных поверхностей // Доклады АН СССР. - 1962. - Т 146. - № 3. -С. 515-518.
4. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия многомерных поверхностей // Итоги науки. Вып. Геометрия. 1963. - М.: ВИНИТИ АН СССР, 1965. - С. 5-64.
5. Остиану Н.М О геометрии многомерной поверхности проективного пространства // Тр. геометрич. семинара. - Т. 1. - М.: ВИНИТИ АН СССР, 1966. - С. 239-263.
6. Швейкин П.И. Нормальные геометрические объекты поверхности в аффинном пространстве // Труды геометрич. семинара. - Т. 1. - М.: ВИНИТИ АН СССР, 1966. - С. 331-423.
7. Ивлев Е.Т. О многообразии Е(Ь,Ьт,Ь,:‘т+]) в и-мерном проективном пространстве Рп(т>2) // Сибирский математический журнал. - 1967. - Т. 8. - № 6. - С. 1307-1320.
8. Ивлев Е.Т., Молдаванова Е.А. О дифференцируемых отображениях аффинных пространств в многообразие т-плоскостей в многомерном евклидовом пространстве // Известия вузов. Математика. - 2009. - № 11. - С. 24-42.
Поступила 19.03.2010 г.
УДК 512.541
КОРРЕКТНОСТЬ И СЕРВАНТНАЯ КОРРЕКТНОСТЬ ОДНОРОДНЫХ ВПОЛНЕ РАЗЛОЖИМЫХ ГРУПП
А.И. Шерстнёва, С.Я. Гриншпон*, О.В. Янущик, В.С. Шерстнёв
Томский политехнический университет *Томский государственный университет E-mail: sherstneva@tpu.ru
Выясняется, будет ли верен аналог известной теоретико-множественной теоремы Кантора-Шрёдера-Бернштейна для групп в случае, когда одна из групп является однородной вполне разложимой. Получены критерии корректности и сервантной корректности однородной вполне разложимой группы.
Ключевые слова:
Алгебра, абелевы группы, почти изоморфизм групп, корректные группы, сервантно корректные группы, однородные вполне разложимые группы.
Key words:
Algebra, abelian groups, almost isomorphism of groups, correct groups, purely correct groups, homogeneous completely decomposable groups.
Известная теоретико-множественная теорема Кантора-Шрёдера-Бернштейна явилась источником постановки аналогичных задач в различных областях математики, в том числе и в теории абелевых групп.
Две группы, каждая из которых изоморфна подгруппе другой группы, называются почти изоморфными [1]. Две группы называются почти изоморфными по подгруппам с некоторым свойством, если каждая из них изоморфна подгруппе другой группы, обладающей этим свойством. В частности, группы А и В - почти изоморфны по сервантным подгруппам, если каждая из них изоморфна сер-вантной подгруппе другой группы.
Естественно возникает вопрос, будет ли из почти изоморфизма групп следовать их изоморфизм. Эта задача привлекала внимание многих алгебраистов [2-6].
При выяснении, будет ли верен аналог теоретико-множественной теоремы Кантора-Шрёде-ра-Бернштейна для абелевых групп, удобен подход, когда одна из групп фиксируется, а другая пробегает весь класс абелевых групп.
Группа А называется корректной, если для любой группы В из того, что А и В - почти изоморфны, следует А=В. Группа А называется сервантно корректной (/.¡.-корректной), если для любой группы В из того, что А и В - почти изоморфны по сер-вантным (вполне характеристическим) подгруппам, следует А=В [7. С. 65].
Корректные и сервантно корректные абелевы группы выделяются в [8-10]. В [7], [11] и [12] описываются классы абелевых групп, являющихся О.-корректными.
Приведём используемые в работе понятия.
Всякая последовательность v=(vbv2,...), состоящая из целых неотрицательных чисел и символов да, называется характеристикой. Характеристики у=(у1,у2,...) и ы=(ы1,ы2,...) называются эквивалентными, если у1фы1 имеет место лишь для конечного числа номеров i и только тогда, когда VI и Ы1 конечны. Класс эквивалентности в множестве характеристик называется типом [13. С. 130].
Если А - группа без кручения и аеА, то характеристика элемента а, обозначаемая х(а), - это та-
