Отображение аффинного пространства в многообразие нуль-пар проективного пространства Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.763

ОТОБРАЖЕНИЕ АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА В МНОГООБРАЗИЕ НУЛЬ-ПАР ПРОЕКТИВНОГО ПРОСТРАНСТВА

М.А. Аль-Хассани, Е.А. Молдованова

Томский политехнический университет E-mail: eam@tpu.ru

Изучаются дифференцируемые отображения аффинного пространства в многообразия всех невырожденных и всех вырожденных нуль-пар проективного пространства. Рассматривается связь между этими отображениями.

Ключевые слова:

Дифференцируемые отображения, многомерные пространства. Key words:

Differentiable mapping, multidimensional spaces.

1. Введение

Как известно [1], одной из важных проблем в теории дифференциально-геометрических структур на многообразии Мх является проблема изучения этих структур для дифференцируемых отображений. Исследованиям таких структур посвящены [2-8]. Среди этих работ особое место занимает [4], где автор указал на возможность определения дифференцируемых отображений заданием фундаментального геометрического объекта.

Данная работа посвящена изучению отображений /и2": <2т^И2„ и/и2"-1: аффинного про-

странства От в многообразие М2п всех невырожденных нуль-пар и многообразие М2п-1 всех вырожденных нуль-пар проективного пространства Рп, соответственно. Второй раздел посвящен аналитическому аппарату, в котором выводятся дифференциальные уравнения отображений /т2п и /т2п-1. В третьем и четвертом разделах показывается, что с каждым из указанных отображений инвариантным образом ассоциируется другое отображение.

Все построения в данной статье носят локальный характер, а функции, встречающиеся в статье, предполагаются функциями класса С?.

Обозначения и терминология соответствует принятым в [1-12].

2. Аналитический аппарат

Рассматривается т-мерное аффинное пространство <2т, отнесенное к подвижному аффинному реперу <2={В,-а} с деривационными формулами и структурными уравнениями:

йВ = £аеа, й£а =вьаёь, Бва =вь ле“,

оеьа =е: ле:, (а,ь,с=1т). (1)

Рассматривается п-мерное эквипроективное пространство Рп, отнесенное к подвижному экви-проективному реперу Р={Л} с деривационными формулами и структурными уравнениями:

й А3 = а'КАК , Б &К =&! л&К , (1,3,К = 0, п). (2)

Здесь предполагается, что линейно независимые точки ЛКеРп удовлетворяют условию:

К, 4....., А] =1, (3)

т. е. внешнее произведение аналитических точек Ак равно 1. Из (2) и (3) получаем юК=0. Обозначим М2п множество (дифференцируемое многообразие) всех невырожденных нуль-пар {М;Ьп-1} проективного пространства Рп, где точка М не принадлежит гиперплоскости Ьп_1 в Рп. Проективный репер Р выбирается так, чтобы

М = А,, Ьп_і = (Аі,Л2, ,Я). _ _ (4)

Здесь и в дальнейшем символом Ь!_1=(Х1Д2,...Х) обозначается д-плоскость Ь, проходящая через линейно независимые аналитические точки ХЬХ2,...,Х. Тогда из (2) и (4) заключаем, что 1-формы и о- являются базовыми 1-формами дифференцируемого многообразия М2п, которые удовлетворяют структурным уравнениям:

Ою'0 = оО л О/, Ою0 = О І лю/,

О/ = о і - 8/ юО (і, /, к, I = 1, п). (5)

Рассматривается отображение

С : Qm ^ М2п (6)

аффинного пространства <2т в многообразие М2п. Дифференциальные уравнения этого отображения с учетом (1), (2) и (5) будут иметь вид:

юО = Ааеа, оО = Аава,

<Аа + А/ О/ - А вьа = АаЬ еь,

Аіа - А/а О/ - А/Ь 9Ь = АаЬ еь,

4аЬ] = 0 4[аЪ] = 0 (і,/ = 1,П; а,Ь =1,УП). (7)

Дифференциальным уравнениям (7) удовлетворяют компоненты внутреннего фундаментального геометрического объекта отображения (6) в смысле ГФ. Лаптева [4]:

Г2п = { а/ , Аа }. (8)

Обозначим М2п-1 дифференцируемое многообразие всех вырожденных нуль-пар {М;Ьп-1} проективного пространства Рп, где МєЬ„_1. Проективный репер Р в данном случае выбирается так, чтобы

М = Ао, 1п-1 = (А1, А2,.., Ап). (9)

Тогда с учетом (2) и (9) 1-формы оз0‘ и «,1 являются базовыми 1-формами многообразия1 М2п-1, удовлетворяющими структурным уравнениям:

j° = а0 л Q0, Da,1 = а! л Q j + а,0 лй!,,

и ° j 7 /1 j ^1 /i 07

Qj1 = ф!1 -^/l'1 ф1, Op ji = 2,n ; j>j = 1,n). (io)

Рассматривается отображение

/Г-1: Q ^ M2n-1 (11)

аффинного пространства Qm в многообразие M2n_1. Дифференциальные уравнения этого отображения с учетом (1), (2) и (10) будут иметь вид:

ф° = 49“, dAa + 4 Qj - A 6£ = Aab 9 ,

©I = 49, dAl„ + Ali„ Qj - A' 9b + Ala° = A\b 9,

Ah, =0, Alab] = °

(a, b = 1, m; i, j = 1, n; i'i, j = 2, n). (12)

Заметим, что дифференциальным уравнениям (12) удовлетворяют компоненты внутреннего фундаментального геометрического объекта отображения (11):

Г2n-i ={ Ai,A'a}, (a=1,m; 1=1n; ii =2,n).(13)

В данной статье решаются следующие задачи:

Задача 1. Найти охваты компонент геометрического объекта (8) и их продолжения компонентами геометрического объекта (13) и их продолжений в смысле Г.Ф. Лаптева [4], т. е. выявить случаи, когда компоненты геометрического объекта Г2п являются функциями компонент объекта Г2п-1. Геометрически это означает показать, что с отображением (6) инвариантным образом можно связать отображение (11).

Задача 2 аналогична задаче 1 и является обратной к этой задаче, т. е. с геометрической точки зрения надо показать, что с отображением (11) инвариантным образом можно связать отображение (6).

3. Отображениеfm2n\ Qm^Mm,

В этом разделе будет проведено решение задачи 1: Дано отображение (6). Требуется инвариантным аналитическим и геометрическим образом найти отображение (11).

С помощью компонент геометрического объекта (8) и дифференциальных уравнений (7) в точке Be Qm рассмотрим следующие величины, удовлетворяющие соответствующим дифференциальным уравнениям:

gab = 1 4a 4 b ) , dSab - gcb 9 - gac 9 = &bc 9 ,

2

g abc 2 ( A(a CIA b|) + A(iAfbc ));

(14)

det [gab ] * °, g bCgab = 5 ,

dgab + gc9 + gaa 9 = gf 9е, gf = -gslc ga gbt ; (15)

Bj = 4Aibgah, dBj + Bk Qk-Bj Q = B (9 ,

Bl = Ajc4bgab + 4Abc gab + 4 Ab gb; (16)

* *

Cj = g A,aAjb, dCj -Cj Q -Cik Qk = Cijc 9‘,

£jC = gf^ + gabAiacAjb + gabAiaAjbc; (17)

Bj = B{4, dBj + B Qj-,

Bj = Bj4 + BjAic; (18)

Ba = АЛ, dBb - B,a Q - Bb 9b = L 9 ,

Btac = BiAja + Bkj ; (19)

Gab = 2 BkBi44 b), dGab - G9 - Gac 9b = G^c 9C,

Gabc = 2B^A^Ajb) + 2BtBL 44b) +

+2 B^B^4(a^) + 2 BkBl AaAj b )C; (20)

b

lc = 71 gabcgab , dlc - 19 = lcb 9 ,

7 _ 1^ rrab rrab .

cb m gabcs g m gabc gs ;

Gabc = 3 g(abc) 3 ^(agbc ) ,

dGh- Gh9s - G 9b - Gh9s = Gb 9s,

abc sbc a asc b abs c abcs ’

1

3

(21)

Gabcs 1 g(abc )s 3 ^SIgbc) 3 ^'t>g,c )s ; (22)

0= О ьОЬс, 0Ьс0ь =5с,

а аЬс 9 аЬ а 9

й0Ьс + 0асеь + 0са еа = 0Ъсаеа, аег[0аь] * о, оЬс =а-о,а0Ьо‘с, йОа - оьеьа = ов е,

о: =-0,00, 0ас1 = 0аЫ& + 0аЬс0ь ; (23)

0а = 0^Ьа, й0а + 0ьеаь = <0С & ,

о: = ёьс8Ьа + 0ь^а; (24)

Н‘ = А‘а0а, йИ‘ + И] О) = И‘сес,

Нс = А‘ас0а + АО; (25)

Н, = А;а0а, йН, - НО 1 = не,

И с = А,ас0а + А^; (26)

(а, Ь,с, 5,1 = 1, т; 1,1, к = 1, п ).

Замечание 3.1. В точке ВеОт рассматриваются т2 величин 44, зависящих от 2тп величин Ла и Аа (,=1,п; а,Ь=1,т). Поэтому при изучении отображения /т2п: От^М2п мы должны считать, что числа т и п удовлетворяют неравенствам т<2п, т>1, п>1. Следовательно, определять все величины по формулам (13)—(25) имеет смысл.

Далее будут изучены поля инвариантных геометрических образов, определяемых полями величин

(14)—(26). Рассмотрим направление

и = (В ,ёа)иа е ат. (27)

Из (4) и (2) с учетом (7) следует, что вдоль направления и точка Л0еРп описывает линию с касательной

х = (А,, А )АУ, (28)

а характеристика СЬ(!п—1)и гиперплоскости !п—1 вдоль и, т. е. пересечение !п—1 со своей бесконечной близкой Ь'п_1 первого порядка вдоль и, определяется в точечных координатах X проективного репера Р пространства Рп уравнениями

х°=0, ЛаХ'иа=0. (29)

Из (27)—(29) с учетом (14) получаем, что гиперконус 2 т_1е 2т второго порядка с вершиной в точке В, определяемый уравнением

gaьuaub=0, (30)

представляет собой совокупность всех направлений и6 2т, вдоль которых ХП!п—1бСЬ(!п—1)и. В силу

(15) и (30) гиперконус 22т-1^2т в общем случае не вырождается в гиперконус, по крайней мере, с прямолинейной вершиной, проходящей через точку В. Из (15) и (30) замечаем, что гиперконус #т—ис2т, определяемый в тангенциальных координатах иа репера 2 уравнением:

Лиь=0, (31)

огибает гиперконус 22,—1с2т. Точке Ве 2т сопоставим в соответствующей гиперплоскости !п—1бРп аналитическую точку

X = х‘А, (32)

отвечающую геометрической точке X Из (7) и (29) следует, что множество всех направлений ие 2т (см. (27)), образы которых при отображении (6) пересекают гиперплоскость !п—1сР„ в точках СЬ(!п—1)ис!п—1, образует в 2т гиперплоскость Гт—1(Х), определяемую в точечных координатах иа репера 2 уравнением ХЛ;аиа=0.

Образ полюса этой гиперплоскости относительно гиперконуса (30) при отображении (6) с учетом (31) и (16) пересекает гиперплоскость !п—1сР„ в точке У с аналитической точкой У=уЛ, у=В-Х'.

Такова геометрическая интерпретация центропроективного преобразования

П = {В/} (33)

с центром в точке Л0 такого, что П(A°X)=Л°У. Аналогичным образом получаем, что множество всех точек (32) с геометрическими точками X е!п—1 такими, что линейные поляры прообразов которых при отображении (6) принадлежат гиперконусу (31), образует в силу (17) в !п—1 квадрику 21-^!^, которая определяется уравнениями Х0=0, С;*ХХ=0. Отсюда следует, что уравнение С*ХХ=0 определяет в Рп гиперконус 2т-1 второго порядка с вершиной в точке Л0. Этот гиперконус представляет собой множество всех прямых Л0Х, пересекающих !п—1 в точках квадрики 22т_2.

Из (6), (7), (28), (18) и (33) следует, что направлению (27) отвечает направление

7 = (А0, А У, У = В/Аи = В иа, (34)

которое является образом направления х при центроаффинном преобразовании П, причем направление хеРп — образ направления ие2т при ото-

бражении (6). Аналогично с учетом (19) и (29) получаем, что уравнение

В.1ах‘иа = 0 (35)

определяет при фиксированном направлении (27)

гиперплоскость в Рп - образ той гиперплоскости Л0иСЬ(Хп-1)и при преобразовании П, что при отображении (6) характеристикой вдоль направления (27) гиперплоскости !п—1 является СИ (!п—1)и.

Из (18)—(20) следует, что уравнение

ОаЬии = 0 (36)

определяет в 2т гиперконус 02т_1 второго порядка с

вершиной В как множество всех таких направлений (27), которым отвечают направления (34) в Рп, принадлежащие гиперплоскостям в Рп, определяемым уравнениями (35). Заметим с учетом (23) и (36), что в точке Ве 2т в общем случае М [ ОаЬ] не равен нулю, т. е. в общем случае гиперконус От—1с2т вырождается в гиперконус по крайней мере с прямолинейной вершиной, проходящей через точку Ве 2т.

Пользуясь условиями инвариантности точек и геометрических образов в аффинном пространстве 2т и учитывая (1), (14), (15), (21) и (22), получаем, что уравнение

ОаЪсиаиьис = 0 (37)

определяет в 2т алгебраический гиперконус

От—1 третьего порядка с вершиной Ве 2т. Этот гиперконус вдоль всех направлений (27), принадлежащих гиперконусу 22т-ъ проходит через 22т—1 и бесконечно близкий ( 2 т—1) ’ первого порядка, причем От—1 и 2т—1 аполярны.

Из (36) и (37) с_учетом (22) и (23) замечаем, что гиперплоскость Нт—1с2т определяется в аффинных координатах иа уравнением

(аиа=0 (38)

и аполярна относительно гиперконусов (ггт_1 и 2т—1, т. е. квадратичная поляра любого направления ибОт—1 и гиперконус 2т—1 аполярны. Из (38) и (30) следует, что направление О=(В, —а) Оае 2т полярно сопряжено гиперплоскости Нт—1с2т относительно гиперконуса 21-1^2т-

Из (25) и (26) с учетом (6) и (7) следует, что при отображении/т2п: 2-^M1n напр—вление О переходит в направление ^(Л^Л^ЛаО^^ДНеРго а гиперплоскость !*—1сР„, определяемая уравнением в проективных координатах НХ=0, проходит через точку Л0 и СИ(Хп—1)О. Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема 3.1. С отображением /т2п:2т^М2п (т<п) инвариантным образом ассоциируется отображение /т2п—1: 2т^М1п_1, где каждая вырожденная нуль-пара [Л,,!^,,^ состоит из точки Л0 и гиперплоскости А6^п—1.

4. Отображение/m2n-1-

В этом разделе будет приведено решение задачи 2: Дано отображение (11). Требуется инвариантным аналитическим и геометрическим образом найти отображение (6).

Из (12) и (9) с учетом (1) и (11) замечаем, что в точке _ Вє0т _ прообразом гиперплоскости

1п_1=(ЛьЛг,....,А„)єР„ при отображении /т2"-1:

0т^М2пА является гиперплоскость Гт-1с0т, проходящая через точку В ив точечных координатах иа аффинного репера 0 определяемая уравнением:

Л]иа = 0.

(39)

Проводится такая канонизация аффинного репера 2, при которой

4\ = 0, 4, * 0, (а, = 2^). (40)

Из дифференциальных уравнений (12) в точке Ве 2т с учетом (40) и (2) получаются дифференциальные уравнения

01 = В1 6а,

а, а,а

аВ1 + В1 0,1 - В, 0^ - В1 0 = В1 Ь0,Ъ,

а,а а,а 1 Ъ,а а, а,Ъ а а,аЪ 1 9

В\а = -(А1)-1 4^ в^, = В\1Л] = 0,

(а,Ъ = 1,т; а,, Ъ, = 1, п ). (41)

С учетом (41) и в соответствии с [11] получаем, что канонизации аффинного репера 2 типа (40) существует. Геометрически с учетом (39) эта канонизация означает, что

Гт-1 = (В, ё2,^,еи) с От. (42)

При этом из рассмотрения исключается случай Л}=0, когда гиперплоскость Гт—1 либо не определена, либо определена неоднозначно.

Из (41) с учетом (42) и (1) следует, что вдоль направления (27) гиперплоскость Гт—1с2т будет изменяться параллельно самой себе тогда и только тогда, когда величины иа удовлетворяют уравнениям:

В,а иа = 0, (а, = 2, т ;а = 1, т). (43)

Проводится такая канонизация аффинного репера 2т, при которой

В,11 = 0, ^[Д^] * 0, Ъ1 = 2 т). (44)

Из дифференциальных уравнений (41) с учетом (44) и (1) получаются дифференциальные уравнения:

0а1 = ДЖ, аД1 - вЖ + ВЪв?1 -Ва^вь = В 1 ,вь,

1 1а ’ 1а 1а 1 1а Ъ,________1Ъ а а,аЪ ’

(а,Ъ = 1,т ; а,,Ъ, = 2,т ).

Эти дифференциальные уравнения в соответствии с [11] свидетельствуют о существовании канонизации аффинного репера 2 типа (44). Геометрически эта канонизация с учетом (43) означает, что направлением (27), о котором идет речь выше, будет

Г1 =(^ с От. (45)

При этом из рассмотрения исключается случай ёй [В1 ь ]=0, когда направления Г1либо вовсе нет, либо он1 1о определяется неоднозначно.

Из (12) с учетом (45) заключаем, что образом направления Г1 при отображении /2п—1: 2т^МЪ-1 является направление Ь1сРп вида

Х (Л0 , Лі )Л1 .

(46)

Проводится такая канонизация проективного репера Р в пространстве Рп, при которой

А,1 = 0, А1 * 0. (47)

Тогда из дифференциальных уравнений (12) с учетом (47), (2), (40) и (41) получаются дифференциальные уравнения

< = 40,

аА,а - а>; + АХ - 40 - А 4 = А1ъ 0Ъ, (48)

Здесь явный вид величин Л1аь для нас несущественный.

Из дифференциальных уравнений (48) в соответствии с [11] замечаем, что канонизация проективного репера Р типа (47) существует. Геометрически — учетом (46) эта канонизация означает, что !1=(Л0, Л1).

Из (9) и (45) с учетом (2) следует, что характеристикой СИ (!п—1)г гиперплоскости !п—1 в направлении Г1 будет (п—2)-плоскость !п—2, определяемая уравнениями:

х1 = 0, А,1 х0 + х'! 41, = 0. (49)

Проводится канонизация проективного репера Р, при которой

4 = 0, А! * 0. (50)

Из дифференциальных уравнений (12) с учетом (2) и (49) получаются дифференциальные уравнения

< = 40,

<Аа + Аа®00 - Аа< - 4ъ0 + 41 < = 4ъ ^ . (51)

Эти дифференциальные уравнения в соответствии с [11] свидетельствует о существовании канонизации репера Р типа (50). Геометрически эта канонизация означает, что

1п-2 = (42,..., 4) с Рп. (52)

Точке Ве 2т сопоставим точку Хе!1, соответствующую аналитической точке

X = х0 4 + х14,. (53)

Из (2), (42) и (52) с учетом (51) следует, что нефокальная [12] точка (53) будет описывать л—нию с касательной в нефокальном направлении и=(В,—а )иа1еГт—1, которая вместе с прямой !1 пересекает (п—2)-пло-скость !п—2 в точке У(х)=(ХЛа1+х1Л1а11)Л,1иа1, (а1=2,т). Эта нефокальная точка оп1 исыв1ает1 вдоль того же направления иеГт—1 линию с касательной, которая вместе с !п—2 пересек—ет прямую !1 в точке Z(x)=(x0Лa;+x1Л;al)(лilьlЛ°+Л1ilь1-l)ualuЬl. Отсюда следует, что множество всех направлений иеГт—1 таких, что И(х) совпадает с точкой Л0, образует в аффинном пространстве гиперконус, который пересекается с Гт—1 по конусу Кт—2(х0,х1) и определяется в аффинных координатах репера 2т уравнениями

и1 = 0, (х0Ра1ъ1 + х1даА)иа1иЬ1 = 0, (а,,Ъ, = 2,т). (54)

Здесь симметрические величины раА и да^ определяются по формулам и в силу (12) и (51) удовлетворяют соответствующим дифференциальным уравнениям:

Ра1ъ1 ^ (а14'11Ь1),

ФаА - РсфК - Р„ц$! = РаЬа в“ ,

^а1Ъ1 2 4,(а14*1 lЬl),

^аД - <Чс1Ъ1ва1 - Чау, вЪ, - ЧаЬ, Ю1 = ЧЬа 0 ,

(а,,Ъ,,с, = 2,т; а = 1,т ). (55)

Здесь явный вид всех величин рафа и для нас

не существенный.

Таким образом, каждой точке (53) отвечает КЦ^Х^сГ^. Из (54) следует, что точке Л отвечает конус К}__ъ определяемый уравнениями

и1 = 0, раА иа1иЬ = 0. (56)

Из (55) заключаем, что в общем случае в точке Ве 2т выполняется условие

ЛЛ^] * 0, (57)

т. е. конус Кт^сГ^ не вырождается в конус по крайней мере с прямолинейной вершиной, проходящей через точку В.

С учетом (57) введем в рассмотрение величины ра1ь1 по формулам

раАРьл = ^ , (а1,Ъ1,С1 = 2,т). (58)

В силу (55) величины удовлетворяют дифференциальным уравнениям

фаА + рФдщ + р^аЬг = раь1в°. (59)

Здесь явный вид величин р^1 для нас не существенный.

Определение 4.1. Точка Хе!1, отвечающая точке Ве 2т, называется центром прямой !1, если конусы Km—1(X°, х1) и Кт—2 аполярны.

Из (54) и (56) в силу (58) следует в соответствии с определением 4.1, что точка Тбудет центром прямой !1 тогда и только тогда, когда

(т - 2)х0 + чаАраА х1 = 0. (60)

Проводится такая канонизация проективного репера, при которой

ЧаА РА = 0. (61)

Из дифференциальных уравнений (55) и (59) с учетом (2) получаются следующие дифференциальные уравнения

ф'0 = 4Хава, аА,а - (©! -00°)4а - Ль#! = 4^ .

В соответствии с [11] эти дифференциальные уравнения свидетельствуют о существовании канонизации проективного репера типа (61).

Геометрически в силу (60) эта канонизация означает, что точка Л1 является центром прямой !1. Из (52) следует, что каждой точке Ве 2т отвечает гиперплоскость

4-1 = (А,,42,...,лп) = а, и4-2 с Р, 40 г 4_ 1. (62)

Таким образом, с учетом (62) доказана теорема.

Теорема 3.1. С отображением/т2п—1: 2m^■M1n—1 инвариантным образом ассоциируется отображение /2п: 2т^Мъ, где каждая невырожденная нуль-пара [Л0;!п—1} состоит из точки Л и гиперплоскости !п—1, не проходящей через точку Л0.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Евтушик Л.Е., Лумисте Ю.Г, Остиану Н.М., Широков А.П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Итоги науки и техники. Сер. Пробл. геом. - 1979. -Т 9. - С. 3-246.

2. Рыжков В.В. Дифференциальная геометрия точечных соответствий между пространствами // Итоги науки. Геометрия. -1963. - С. 65-107.

3. Рыжков В.В. Дифференциальная геометрия точечных соответствий между пространствами // Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия. - 1971. - С. 153-174.

4. Лаптев Г.Ф. К инвариантной теории дифференцируемых отображений // Тр. Геом. Сем. - 1974. - № 16. - С. 37-42.

5. Ивлев Е.Т., Лучинин А.А. О дифференцируемом отображении евклидова пространства Е[т] в аффинное A[n](m<ri) // Известия Томского политехнического университета. - 2009. -Т. 314. - № 2. - С. 5-9.

6. Ивлев Е.Т., Лучинин А.А. О дифференцируемом отображении евклидова пространства Е[т] в аффинное A[n](m>n) // Известия Томского политехнического университета. - 2009. - Т. 315. - №2. - С. 6-9.

7. Ивлев Е.Т., Лучинин А.А. Отображение аффинного пространства в многообразие гиперконусов другого пространства // Известия Томского политехнического университета. - 2010. -Т. 317. - № 2. - С. 5-8.

8. Ивлев Е.Т., Лучинин А.А. Отображения аффинных и евклидовых пространств // Известия Томского политехнического университета. - 2010. - Т. 317. - № 2. - С. 8-14.

9. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий // Труды московского математического общества. -1953. - Т. 2. - С. 275-382.

10. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии. - М.: ГИТТП, 1948. - 432 с.

11. Остиану Н.М. О канонизации подвижного репера погруженного многообразия // Rev. math. pures et appl. (RNR). - 1962. -№ 2. - P. 231-240.

12. Акивис М.А. Фокальные образы поверхности ранга r // Известия вузов. Математика. - 1957. - № 1. - С. 9-19.

Поступила 03.12.2012 г.