CC BY
35
УДК 514.757.2
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ АФФИННОГО Qm И ПРОЕКТИВНОГО Pn ПРОСТРАНСТВ (m>n)
Ивлев Евгений Тихонович,
канд. физ.-мат. наук, профессор кафедры высшей математики Физико-технического института ТПУ, Россия, 634050, г. Томск, пр. Ленина, д. 30. E-mail: iet@tpu.ru
Аль-Хассани Мудхар Аббас,
преподаватель кафедры математики Университета Басры, Ирак; аспирант кафедры высшей математики Физико-техническсго института ТПУ Россия, 634050, г. Томск, пр. Ленина, д. 30. E-mail: mudhar73@mail.ru
Лучинин Анатолий Алексеевич,
канд. физ.-мат. наук, доцент, доцент кафедры высшей математики Физико-технического института ТПУ, Россия, 634050, г. Томск, пр. Ленина, д. 30. E-mail: luchinin@tpu.ru
Актуальность работы обусловлена необходимостью детального изучения дифференцируемых отображений многомерных пространств.
Цель работы. Изучить дифференцируемые отображения Vmn аффинного пространства Qm на проективное пространство Pn (m>n). Рассмотрение отображений провести не только аналитическими методами, но и геометрически с помощью присоединенных геометрических образов.
Методы исследования. Основным методом исследования является метод внешних форм Картана в локальной дифференциальной геометрии и теоретико-групповой метод Г.Ф. Лаптева. Эти методы предполагают локальное изучение рассматриваемых объектов и использование функций класса C°
Результаты. Получены дифференциальные уравнения внутренних фундаментальных геометрических объектов первого и второго порядков дифференцируемых отображений пространства Qm в многообразия вырожденных и невырожденных нуль-пар пространства P„. Найдены аналитически и геометрически инвариантные геометрические образы, определяемые компонентами фундаментального объекта, с помощью которых решена задача об инвариантном определении отображения пространства Qm в многообразия нуль-пар пространства P.
Ключевые слова:
Дифференцируемое отображение, многомерные аффинные и проективные пространства.
водят к дифференциальным уравнениям, которым удовлетворяют компоненты внутренних фундаментальных геометрических объектов [4, 5] Г^АЛ (первого порядка) и Г2={Д|, A‘J (второго порядка):
dA + AQj - 4% = Aab(f ,
Qj = ф) -8)ф00, A[ab] = 0; dAjb + Aj Qj - Acbffa - Aac ffb -- (4A+4A )< = Aabc ff ,
Alabc] = 0, (a, b, c = 1, m ; i, j, k = 1, n). (4)
1.3. Заметим в соответствии с [3], что геометрически отображение (3) каждое направление u=(B,s_s)naeQm переводит в направление
x=(A0yA1)xi:Vmnu=x, где
X = A'aua. (5)
Отсюда следует, что совокупность всех направлений ueQm в точке BeQm, которые принадлежат ядру сюръективного отображения (3), поскольку m>n, образуют (т-п)-мерное подпространство rm-ncQm, проходящее через точку B. Это подпространство определяется системой п линейных однородных уравнений с m неизвестными (m>n)
1. Аналитический аппарат
1.1. Рассматривается т-мерное аффинное пространство вт и п-мерное эквипроективное пространство Рп, отнесенные к подвижному аффинному реперу в и подвижному эквипроективному реперу Р с соответствующими деривационными формулами и структурными уравнениями
вт : в = {В,\}, йВ = е% , = $ъ ,
В9а = $ л$ , Б$а = &а л$ . (а,Ь,с = 1^); (1)
Рп: Р = { А1}, йА1 = а]А], Ва] = ЮК л аК,
Ю = 0, (1,3, К = 0,п). (2)
Предполагается, что между пространствами вт и Рп существует сюръективное дифференцируемое отображение
Утп :Й» ^ Рп , (т > П).
1.2. Дифференциальные уравнения этого отображения с учетом (1) и (2) запишутся в виде:
а'о = А'аОа, (г, ], к = 1, п). (3)
Двукратные продолжения [1-3] этой системы дифференциальных уравнений с учетом (1) и (2) при-
A‘ua + ALuc= О,
(а, р,у = 1, п; а, в,у = п +1, от). (6)
Проведем в точке BєQm такую канонизацию аффинного репера Q аффинного пространства Qm, при которой
Аа = о, аеі[ Аа ] * о. (7)
Из дифференциальных уравнений (3)-(5) с учетом (7) получаются следующие дифференциальные уравнения:
< = АГ, йА‘а + А&) - Авев = А‘аав\
да _ г>а па
= B
dH + Bi Oа - Ba fa - B“ 0b = B“ fb
aa aa P fia a aft a aab
BL =- aL B;, BL =-aL B; - AL Bo. (8)
aa aa ‘ aab aab ‘ aa 10
Здесь в силу (7) величины B“ определяются по формулам
ва Aj = 8j, ва Ав = 8; и удовлетворяют дифференциальным уравнениям
dBa + Bfe; - в; Q = Bo eb, B; = - Ав в; вв.
В соответствии с [6] дифференциальные уравнения (8) свидетельствуют о существовании канонизации аффинного репера Q типа (7). Геометрически с учетом (6) эта канонизация означает, что
гm-n = (в,Лп). (9)
В каждой точке BeQm, при этом из рассмотрения исключается случай det [A;]=0 (i, а=1,п), когда размерность ядра Гт-п отображения (3) больше m-n.
Замечание 1.1. Из (5) с учетом (6), (7) и (9) заключаем, что каждая (n-m+1)-плоскость
(9')
при отображении Vmn: Qm^Pn переходит в направление
x = ( A0, Ai )x‘ Є Pn , x' = A‘au C
(9")
2. Поле гиперконусов Кт-П(^Рп класса т-п
2.1. В соответствии с [7] из (1), (8) и (9) замечаем, что в аффинном пространстве Ят определено распределение
А
(10)
интегральные кривые которого, описываемые точкой Бевт, удовлетворяют дифференциальным уравнениям:
в а = 0. (11)
Поскольку в силу (4) и (8) величины В симметричны по нижним индексам, т. е.
В “■ = 0,
[ а в]
то с учетом (11) заключаем, что распределение (10) является голономным или инволютивным в смысле [7] (см. также [8]).
2.2. Точке Вевт сопоставим в пространстве Рп гиперплоскость Ьп-1сА0, определяемую в терминах проективного репера Р уравнением
1п-1(х) ^ ХХ‘ = °. (12)
Воспользуемся далее условиями инвариантности геометрических образов аффинного пространства и учтём (1), (7)-(12). Тогда получаем, что совокупность всех направлений, касательных к интегральным кривым распределения Ат,п-1 в точке В&вт, вдоль которых Гт-п и бесконечно близкая к ней первого порядка Г'т-п при отображении ¥тп принадлежат гиперплоскости !п-1сРп, образует (т-п-1)-мерный конус Я2т-п-1(х)сГт-п второго порядка с вершиной В. Этот конус в терминах аффинного репера в определяется уравнениями:
От-п-1(Х) ^ ХАви= 0 , и" = 0
(а = 1, п; а, в = п +1, т). (13)
Таким образом, каждой гиперплоскости !п-1сРп, соответствующей точке В&вт, в (т-п)-плоскости Гт_п<^.вт отвечает конус Я2т-п-1(х). Рассмотрим множество |Ьп-1(х)} всех гиперплоскостей !п-1(х)сРп, которым отвечают в Гт-п вырожденные конусы в2т-п-1(х), т. е. конусы по крайней мере с прямолинейными вершинами, проходящими через точку А0. Из (13) следует, что множество |1п-1(х)| определяется уравнением:
det[ xiA'a - ] = О. L ' ae
(14)
Отсюда следует, что множество {іп-1(х)| указанного типа в точке BєQm является гиперконусом К-ТсР класса т-п с вершиной А0єРп, который в тангенциальных координатах проективного репера Р определяется уравнением:
^¥2^^-п х_х_ _ х..= 0. (15)
Здесь симметрические величины Т^2^”-" определяются по формулам
І ■“ •1 ■■■ ).<16)
-j(h At 2
п-п+і,[п-n+І^п -n +2|m -n +2 *
(т - п)!
Причем как обычно символы () и [] означают симметрирование и альтернирование по соответствующим индексам. Заметим, что каждой гиперплоскости 1п-1(х)бКпт-1псРп в (т-п)-плоскости Г^з^т отвечает прямая, проходящая через точку В&Ят и являющаяся вершиной Кт-п, которая определяется с учетом (13) системой линейных однородных уравнений
Х/Аа.иа = 0, (х; фиксированы),
с условием (14).
Из дифференциальных уравнений (5) получаются дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют величины Т^2^-»:
й Т¥2-'т-п +Т ‘^‘т-п + _ +
- а--1 +ч
а- =
( h,h,■■■, 'm-n,І = 1 n).
(1Т)
Здесь явный вид величин, стоящих при 9“, для нас несущественный.
Замечание 2.1. По аналогии с [1, (38)] и [9] и с учетом (16) будем считать, что числа т и п удовлетворяют неравенствам, при которых определяется гиперконус (15):
(ш - п)(ш - п + 3)
т - п > 2 , п < -
2
(18)
3. Инвариантная линейная л-сеть пространства Р„
3.1. Каждой точке БеОт в проективном пространстве Рп сопоставим п линейно независимых направлений в точке А0еРп:
х,- = (А, А )х/ ; ёег[х/ ] ф 0, (,, ] = 1п ). (19)
По аналогии с пунктом 2 система Т(х) направлений (19) называется основной относительно гиперконуса КЦ^Р, отвечающего точке БеОт, если каждое направление Х;бТ(х) является линейным полюсом (полюсом порядка п-1) [9] соответствующей гиперплоскости £!п-1 (£ф,/), проходящей через все остальные направления этой системы. Из (15) и (16) по аналогии с [1] заключаем, что система Т(х) будет основной относительно гиперконуса Кт:^Рп в точке БеОт (т>п) тогда и только тогда, когда п2 величин х( удовлетворяют следующей системе п(п-1) алгебраических уравнений
-п XX ... хі
= 0,
іт -п , j, к =1, п; і * к)- (20)
Как и в случае [9], показывается, что в общем случае система (20) имеет конечное число решений относительно х/.
3.2. Проведем в пространстве Рп такую канонизацию проективного репера Р, при которой
тР-‘7 {= °, 1 * і і* 0, і = і,
ЛТ =
'^1 т1 1 12 Т1 1 1 3 Т1 А 1 п-1 Т1 " 1 1 п
^2, 2 Т2 1 2 з Т2 А 2 п-1 Т 2 1 2 п * 0. (21)
тп Т п 1 Тп Т п 2 Тп Т п 3 -1 Т п
Здесь
Т = '■■■' І'Ь ]
матрица = [А'"" ] состоит из одного ненулевого
элемента, принадлежащего строке с номером ] и столбцу с номером к (Ь,],к=1,п).
Из (20) и (19) следует, что в каждой точке БеОт канонизация проективного репера Р типа (21) означает, что каждая прямая
Ц = (А°, А)
(22)
является основной прямой, т. е. принадлежит основной системе Т(х) направлений относительно
гиперконуса Ктт1псРп. При этом из рассмотрения исключается случай Т=0, когда основная система Т(х) содержит бесчисленное множество основных направлений относительно Кпт:“.
Из (16), (17) и (21) получаются с учетом (2) в каждой точке БеОт следующие дифференциальные уравнения:
т] = аЩ, ёАа+Аа т - 4>к - А 9 = А 9,
(,, ], к = 1, п ; а, Ь = 1, ш ;, ф ] ф к). (23)
Здесь явный вид величин А\аЬ (1Ф]) для нас несущественный. Заметим в соответствии с [6] и с учетом (23), что канонизация проективного репера типа (21) существует в общем случае в каждой точке БеОт.
3.3. В соответствии с [10] с учетом (22) заключаем, что в проективном пространстве Рп в каждой точке БеОт определена инвариантным образом линейная п-сеть из прямых Ь/, проходящих через соответствующую при отображении Ут,п: От^Рп точку А)бРп.
Каждой точке БеОт в проективном пространстве Рп сопоставим основную прямую Ь/ и соответствующую ей гиперплоскость Ь‘п-{, проходящую через все остальные основные прямые Ь/:
4 = (А, А), 4-1 = (А, А, -,А-1,А +1, - -,А). (24)
В точке БеОт проведем такую канонизацию аффинного репера О в пространстве От, при которой
{= 0 V °,
і * а . і = а.
А * А22 *...* А1 * 0. (25)
(і* з,к, і фиксировано), а
Из дифференциальных уравнений (8) в точке БеОт получаются с учетом (23) и (1) дифференциальные уравнения
т0 = А9‘, 9в = Вв9,
ЛБ1 - вщ + вщ - ва$Ь = в£9- ,
(, = 1,п, а,р,7=1,п, а, Ь = 1, ш; а ф р,
по I не суммировать). (26)
Здесь явный вид величин Бваа (аФв) для нас несущественный. Дифференциальные уравнения (26) в соответствии с [9] свидетельствуют о существовании канонизации репера О типа (26). Геометрически с учетом (24), (8), (9') и (9") эта канонизация означает, что каждая (п-т+1)-плоскость
Г Ш-п+1 = (Гш-п ,ёа), (б = М) (27)
является прообразом соответствующей прямой Ь 1'=(^-0, ^Аа) ( а=1,п) пространства при отображении ^т,п: Ят^Рп. Поэтому гиперплоскость
Гш-1 = (В,^1,",^а-1,^а+1,",^п ,^п+1,",^ш ) С Оп ,
в силу (24) проходящая через Гт-п, является прообразом соответствующей гиперплоскости Ьп:1сРп при отображении 7тп. Заметим, что гт-п+^г т-1.
В соответствии с [7] и с учетом (28) заключаем, что в аффинном пространстве От определено гиперраспределение
ЛШ т-{-В ^ Га-1, ( а фиксировано). (29)
Из (1) и (2) с учетом (27) и (25) заключаем, что интегральные кривые распределения (29) определяются дифференциальным уравнениям:
9“ =9а = оот‘о = 0, ( а= фиксировано). (30)
Точке БеОт на прямой Ь^i=(A0,Ai) сопоставим при каждом фиксированном i=а точку
У.1 = А, + , ^=а фиксировано). (31)
Из (30) с учетом (23), (24), (29), (31), (1) и (2) заключаем, что каждая точка У является фокусом прямой А0У1 в смысле [11] вдоль фокальных интегральных кривых соответствующего распределения Лтт-1 (при а=0 тогда и только тогда, когда
(Аа + ^гА!а)9“ = ° (],а ф,;j,a,^ = 1,п). (32)
Эта система имеет нетривиальные решения относительно 9“ тогда и только тогда, когда при каждом фиксированном i имеем:
ёег[А]+ гЛ ] = о. (33)
Отсюда следует, что на прямой А0У1 имеется в общем случае (п-1) фокусов У1 с соответствующими фокальными направлениями, определяемыми в силу (33) из системы (32). Заметим с учетом (33) в соответствии с [10], что точка
= А]Ао - А]А, , (,, ] = 1, п ;, ф ], по / суммировать)
является гармоническим полюсом точки А0 относительно фокусов У1 (]ф^ соответствующей прямой АД. Из (33) следует, что каждой точке БеОт в про-
странстве Pn отвечает гиперплоскость Ln-^G*, определяемая уравнением:
Ln-1 » хО + gix‘ = 0, g = Ai Щ )-1,
(і, і = 1, п; і * і, по / суммировать). (34)
Заметим, что в общем случае А0^Ьп_1.
3.4. Таким образом, с учетом (3), (18), (24) и (35) справедлива следующая теорема.
Теорема 3.1. С отображением Ут/. Ят^Рп при т и п, удовлетворяющих неравенствам
(т - п)(т - п +1)
m > n, m - n > 2, n < -
2
инвариантным образом ассоциируются отображения
/ШП'-.Ош ^ М2п-1 = {А,; 4-1}, Ао е4-1, /ПЖ ^ М2П = {А,; Ьп-1}, Ао £4 -1.
Здесь М2п-1 - многообразия вырожденных нуль-пар, а М2п - многообразие невырожденных нуль-пар.
Заключение
В соответствии с [1] и теоремой 3.1 замечаем, что фактически изучение отображения Ут,п: От^Рп сводится к изучению отображения
/ш2П-1:Ош ^ М2п-1 = Н; 4-1}, Ао е4-1,
/ш2п: От ^м2п = {Ао; ьп-1}, Ао £4-1.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ивлев Е.Т., Аль-Хассани М.А., Лучинин А.А. Дифференцируемое отображение аффинного Qm и проективного Pn пространства (m<n) // Известия Томского политехнического университета. - 2013. - Т. 323. - М2. - С. 16-20.
2. Аль-Хассани М.А., Молдованова Е.А. Дифференцируемое отображение аффинного Qn и проективного Pn пространства // Известия Томского политехнического университета. -2013.-Т. 323. - М2. - С. 28-32.
3. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии. - М.: ГИТТЛ,1948. - 432 с.
4. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий // Труды московского математического общества. -М.: ГИТТЛ, 1953. - Т. 2. - С. 275-382.
5. Лаптев Г.Ф. К инвариантной теории дифференцируемых отображений // Труды Геометрического Семинара. Т. 6. - М.: ВИНИТИ АНСССР, 1974. - С. 37-42.
6. Остиану Н.М. О канонизации подвижного репера погруженного многообразия // Rev. math. pures et appl. (RNR). - 1962. -М 2. - P. 231-240.
7. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях / Л.Е. Евтушик, Ю.Г. Лумисте, Н.М. Остиану, А.П. Широков // Итоги науки и техники. Сер. Пробл. геом. - 1979. -Т. 9. - С. 3-246.
8. Ивлев Е.Т., Лучинин А.А. Отображения аффинных и евклидовых пространств // Известия Томского политехнического университета. - 2010. - Т. 317. - № 2. - С. 8-14.
9. Ивлев Е.Т. О многообразии Е (Ь, Ьг„, Ь^) в п-мерном проективном пространстве Р„(т>2) // Сибирский математический журнал. - 1967. - Т. 8. - № 6. - С. 1307-1320.
10. Базылев В.Т. О многомерных сетях и их преобразованиях // Институт научн. информации АН СССР. Итоги науки. - М.: Изд-во ВИНИТИ АН СССР, 1963. - С. 139-164.
11. Акивис М.А. Фокальные образы поверхности ранга г // Известия вузов. Математика. - 1957. - № 1. - С. 9-19.
Поступила 08.05.2013 г.
UDC 514.757.2
DIFFERENTIABLE MAPPING OF AFFINE Qm AND PROJECTIVE Pn SPACES (m>n)
Evgeniy T. Ivlev,
Cand. Sc., Tomsk Polytechnic University, Russia, 634050, Tomsk, Lenin avenue, 30. E-mail: iet@tpu.ru
Mudhar Abbas Al-Khassani,
University of Basrah, Iraq; Tomsk Polytechnic University, Russia, 634050, Tomsk, Lenin avenue, 30. E-mail: mughar73@yahoo.com
Anatoliy A. Luchinin,
Cand. Sc., Tomsk Polytechnic University, Russia, 634050, Tomsk, Lenin avenue, 30. E-mail: luchinin@tpu.ru
The urgency of work is caused by necessity of detailed studying of differentiable mappings of multivariate space.
The main aim of the research is to study differentiable mappings of Vmn of affine space Qm to projective space Pn (m>n); to consider mapping not only by analytical methods but also geometrically with the help of the attached geometrical images.
Methods of research. The basic method of research is the method of external forms Cartan in local differential geometry and G.F. Laptevas theoretical-group method. These methods assume local studying of the considered objects and use of functions of a class C°. Results. The authors have obtained the differential equations of internal fundamental geometrical objects of the first and the second orders of differentiable mappings of space Qm in manifolds singular and nonsingular null-pairs space P. The invariant geometrical images were found analytically and geometrically. The images were determined by the fundamental object components which helped in solving the problem of invariant determining the Qm space mapping in manifolds of null-pairs of Pn space.
Key words:
Differentiable mapping, multidimensional affine and projective spaces.
REFERENCES
1. Ivlev E.T., Al-Khassani M.A., Luchinin A.A. Differentsiruemoe otobrazhenie affinnogo Qm i proektivnogo Pn prostranstv (m<n) [Differentiable mapping of affine Qm and projective Pn spaces (m<n)]. Bulletin of the Tomsk Polytechnic University, 2013, vol. 323, no. 2, pp. 16-20.
2. Al-Khassani M.A., Moldovanova E.A. Differentsiruemoe otobrazhenie affinnogo Qm i proektivnogo Pn prostranstv [Differentiable mapping of affine Qmand projective Pn spaces]. Bulletin of the Tomsk Polytechnic University, 2013, vol. 323, no. 2, pp. 28-32.
3. Finikov C.P. Metod vneshnikh form Kartana v differentsialnoy geometrii [Method of Cartan's external forms in differential geometry]. Moscow, GITTL, 1948. 432 p.
4. Laptev G.F. Differentsialnaya geometriay pogruzhennykh mno-goobraziy [Differential geometry of the immersed manifolds]. Trudy moskovskogo matematicheskogo obshchestva [Proc. of the Moscow mathematical society]. Moscow, GITTL, 1953, no. 2, pp. 275-382.
5. Laptev G.F. K invariantnoy teorii differentsialnykh otobrazheniy [To the invariant theory of differentiable mappings]. Trudy geo-metricheskogo seminara [Proc. of a geometrical seminar]. Moscow, Institute of the Scientific Information an Academy of Sciences of the USSR, 1974. Vol. 6, pp. 37-42.
6. Evtushik L.E., Lumiste Yu.G., Ostianu N.M., Shirokov A.P. Dif-ferentsialno-geometricheskie struktury na mnogoobraziyakh [Differential-geometrical structure on manifolds]. Results of a science and engineering. Series: Problems of geometry, 1979, vol. 9, pp. 3-246.
7. Ivlev E.T., Luchinin A.A. Otobrazhenie affinnykh i evklidovykh prostranstv [Mapping affine and Euclidean spaces]. Bulletin of the Tomsk Polytechnic University, 2010, vol. 317, no. 2, pp. 8-14.
8. Ivlev E.T. O mnogoobrazii E (L, Lm, Lm+1) v n-mernom proektiv-nom prostranstve Pn [On manifold in n-dimensional projective space Pn (m>2)]. Siberian mathematical magazine, 1967, vol. 8, no. 6, pp. 1307-1320.
9. Ostianu N.M. O kanonizatsii podvizhnogo repera pogruzhennogo mnogoobraziya [On canonization of a mobile reference point of the immersed manifold]. Rev. math. pures et appl. (RNR), 1962, no. 2, pp. 231-240.
10. Bazylev V.T. O mnogomernykh setyakh i ikh preobrazovaniyakh [On multivariate networks and their transformation]. Institut nauchnoy informatsii AN SSSR. Itogi nauki [Institute of the Scientific Information an Academy of Sciences of the USSR. Science results]. Moscow, 1963. pp. 139-164.
11. Akivis M.A. Fokalnye obrazy poverkhnosti ranga r [Focal images of surface of a rank r]. Bulletin of high schools. Mathematics, 1957, no. 1, pp. 9-19.
