Дифференцируемое отображение аффинного q m и проективного p n пространств (m Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.757.2

ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ АФФИННОГО Qm И ПРОЕКТИВНОГО Pn ПРОСТРАНСТВ (m<n)

Е.Т. Ивлев, М.А. Аль-Хассани, А.А. Лучинин

Томский политехнический университет E-mail: eam@tpu.ru

Доказывается, что с отображением аффинного и проективного пространств инвариантным образом определяются отображения аффинного пространства в многообразия вырожденных и невырожденных нуль-пар проективного пространства.

Ключевые слова:

Дифференцируемое отображение, многомерные аффинные и проективные пространства.

Key words:

Differentiable mapping, multidimensional affine and projective spaces.

Введение

Данная статья является продолжением статьи [1] и посвящена изучению дифференцируемого отображения аффинного ^ и проективного Рп пространств при т<п.

В данной статье, как и в [1], решается задача об инвариантном определении отображений аффинного пространства ^ в многообразия М2п-1 вырожденных и М2п невырожденных нуль-пар проективного пространства Рп.

Статья состоит из трех разделов. В первом разделе приводится аналитический аппарат, связанный с определением отображения Утп:Ол^Рп(т<п). Во втором разделе доказываются теоремы об инвариантном определении дифференцируемых отображений /т2п-1:0м^М2п_1 и /т2п:0т^М2п(т<п) с заданной в текущей точке оснащающей (п-т)-плоскости

Ьп_т^Рп к т-поверхности Бт в соответствующей при отображении Утп(т<п) точке А0еРп. Третий раздел посвящен инвариантному определению оснащающей (п-т)-плоскости Ьп_т.

Все рассмотрения в данной статье носят локальный характер, а встречающиеся функции предполагаются функциями класса С". Обозначения и терминология соответствуют принятым в [1-9].

1. Аналитический аппарат

1.1. Пусть задано т-мерное аффинное пространство ^, отнесенное к подвижному аффинному реперу Q={Б,'-a} с деривационными формулами и структурными уравнениями

йВ = 0аёа, йёа =вьа£ь, Бва =вь лвьа , БвЬ = вса лвЬ, (а,Ь,с = 1^). (1)

1.2. Рассмотрим п-мерное эквипроективное пространство Рп, отнесенное к подвижному экви-проективному реперу Р={Л1] с деривационными формулами и структурными уравнениями:

йА1 = ю/А/ , Бю/ = ю/ ло/ , (I,/,К,Ь = 0,п). (2)

Здесь предполагается, ч_то линейно независимые аналитические точки АкеРп удовлетворяют условию:

[А А,.....Ап] =1, (3)

т. е. внешнее произведение аналитических точек Ак равно 1. Из (2) и (3) получаем

юК — ю°+ю! +...+&п = о.

1.3. Будем рассматривать дифференцируемое отображение

V : О ^ Р (4)

т,п ^~-т п \ /

аффинного ^ и проективного Рп пространств. Реперы ^ и Р выбираются так, что дифференциальные уравнения отображения (4) принимают вид:

ю0 = Аа ва, (г, ), к = 1, п). (5)

Здесь величины А‘а с учетом (1) и (2) являются компонентами внутреннего фундаментального геометрического объекта первого порядка

г, = {а; }. (6)

отображения (5) в смысле Г.Ф. Лаптева [2, 3] и удовлетворяют дифференциальным уравнениям:

йАЬ + А п) - АЬ вь = АЬь в,

П) = ю) -5Ую0, АаЬ ] = о. (7)

Заметим, что _геометрически отображение (4) направление и={Б,_а]и“е^ в точке Бе^ переводит в направление

х = (А,, А )х' = Vm пи (8)

пространства Рп в соответствующей точке А0еРп.

В данной статье в случае т<п, как и в статье [1] в случае т=п, решается задача о нахождении полей геометрических образов, определяемых геометрическим объектом (6) и внутренним фундаментальным геометрическим объектом второго порядка

г2 = {а; , АЬь }, (9)

компоненты которого удовлетворяют дифференциальными уравнениям (7) и уравнениям

йАЬь + АЬЬ пу - АСь вс - Ас вс +

+а ( а; 8) + АЬ 8) К = Аьс вс,

Ааьс] = 0, (а, ь,с = 1,т; Ь,), 1 = 1, п). (10)

2. Случай отображения Vm,„(m<n)

В этом разделе будет использована следующая система индексов

а, ь, с, д = 1, т; Ь, у,к = 1, п; I,/,К = 0, п;

а ,Р,у= 1, т; а, в,у = т +1, п. (11)

2.1. Заметим, что в рассматриваемом случае (т<п) отображение (5) является инъективным отображением. При этом точкаА0еРп как образ точки БеОт описывает т-поверхность Бт в Рп, когда точка Б пробегает пространство От. Обозначим Ьт т-плоскость, касательную к Бт в точке А0, и канонизируем проективной репер Р пространства Рп так, чтобы

Ьт = (Л,А....., А,). ^ ^ (12)

Здесь и в дальнейшем символом Ь1=(Х0,Х1,.,Х!.) обозначается 8-плоскость Ь8^Рп, проходящая через лин_ейно_ независимые аналитические точки ВД,...,Х8.

По аналогии с [4] с учетом (2), (5), (7)_(12) получаем

А = 0= 0, ю0 = а;ва, йА + Ап;-Аввь=а:ь вь,

а:ю: = АаЪвъ, йАаь + Авь п - а вв - Ас вс + +(а:а+а; а: ю+Ав Ав ю“ = Аьс вс,

А“ь] = 0, А^ьс] = 0. (13)

Отсюда следует, что с инъективным отображением (5) ассоциируется отображение

V : О ^ Ь . (14)

т,т ^~-т т \ /

Будем предполагать, что это отображение является невырожденным (биективным), т. е. det[Aа]^0. Тогда можно ввести в рассмотрение величины БI по формулам

ВаА;=8; , ВаАа = 8;.

а а а ’ а ь ь

йв; + вьав; - в;п; = в;в, (

В1 = - а;св;в; ,

; - ~: аь

=в; ю0,

ю:=а>0 = А:ьв° ^ Ав =

=а1в:в; ^ аI; ]=0,

А: = 0 А : = А Аа А;

А[аьс] 0 , Ааь Аав Аа Аь ,

А& = авь, ^ + А;;П“ -- А^-.^;ю^= А;Ю0, а;;7 = а:» в;+а:ьв;г , а^ ] = 0.

ь П ь = а0,ь и Ь = р .

п-т 11 т п-т п

Проективный репер Р пространства Рп канонизируем так, чтобы

Ьп-т= ^ А + 1,•••, А ). (17)

Из дифференциальных уравнений (2) с учетом (15)-(17) получаются дифференциальные уравне-

ния:

юа= аа

ю: = а:ю0 ^ А = А-,ва

а;

а;

йА:„ + А1юа - Аа ю7а - аа„пв - 8 ю° = А. ю\

а;

а; У

;; а

Аа: = 0.

а[ву ]

а;у

(18)

В соответствии с [6] и с учетом (17) заключаем, что аффинному пространству в соответствующем проективном пространстве отвечает многообразие Е(0;п-т;т), элемент которого состоит из точки А0, (п-т)-плоскости Ьп-т и т-плоскости Ьт. Поэтому с учетом (18), [5] и [6] заключаем, что каждой точке БеОт в проективном пространстве Рп отвечает (п-т-1)-плоскость Ьп-т_1^Ьп-т, которая в терминах проективного репера Р определяется уравнениями

х; = 0, тх0 + А: х: = 0. (19)

аа 4 '

В соответствии с определением 1 в [6] эта (п-т-1)-плоскость называется полярной (п-т-1)-плоскостью. Из (18) следует, что система величин А:а удовлетворяет дифференциальным уравнениям

- тю°- = А:а;Ю; (по а суммировать). (20)

Проведем такую канонизацию проективного репера Р пространства Рп, при которой

а: = 0.

(21)

(15)

Из дифференциальных уравнений (20) с учетом (21) получаются следующие дифференциальные уравнения

Из дифференциальных уравнений (13) с учетом (15) получаем

ю- = А-ав, А: = - - А ;.

а а; 0 а; т аа;

(22)

В соответствии с [7] из дифференциальных уравнений (22) заключаем, что канонизация репера Р типа (21) существует в точке БеОт. Геометрически эта канонизация с учетом (19) означает, что

Ьп-т-1 = (Ат + 1, А + 2 , * * *, Ап ). (23)

2.3.1. Заметим с учетом (14) и (17), что геометрически невырожденное_отображение Утт:Цт^Ьт каждое направление и={Б, _„}и“ е переводит в направление хеРп:

х = (А0, Аа)х а = {Утти и Ьп-т} п Ьт.

Поэтому в соответствии с [1] и с учетом (15) (16) можно ввести в рассмотрение величины

2.2. Обозначим Ьп_т(п>т) оснащающую (нормальную) (п-т)-плоскость к т-поверхности Бт в точке А0еБт, соответствующую точке БеОт при отображении (14):

01; = Аъвав;, Са = о;, (24)

которые в силу (13) и (18) удовлетворяют диффе-ренциальыми уравнениям [1]:

IX

аа

dG:в+ G^Ql- GeQ- Gln; + ЩаЯ+818Гв )al = GY,свс,

G„ = 0.

(З2)

й0а -па0;+ (т + 1)ю° = 0ав,

о; = -а^в; - а\в;д в; - , (25)

Каждой точке БеОт в проективном пространстве Рп сопоставим гиперплоскость у, проходящую через (п-т)-плоскость Ьп_т, которую в терминах проективного репера Р с учетом (17) зададим уравнением:

лха = 0. (26)

Проведем для этой гиперплоскости рассуждения, аналогичные тем, которые проведены в [1] для гиперплоскости (17) и воспользуемся соотношениями (13)_(16). Тогда получим, что каждой гиперплоскости (26), проходящей через (п-т)-пло-скость Ьп_т и отвечающей точке Бе<Ом в пространстве Рп, соответствует гиперконус кпч(у) с вершиной Ьп_т, определяемый уравнением

К„2-1(У) о Уу0а;хах; = 0х“ = 0.

В силу (12) определяется нижеследующий конус

Кт- = п Ьт о уоI;хах; = 0.

Кт- = п Ьт о у701;хах; = 0. (27)

Точке БеОт в соответствующей _т-плоскости Ьт<^Рп сопоставим точку Е-=2дА0+гаАа . Полярой этой точки относительно конуса К2т_\еЬт в силу (27) является (т_1)-плоскость у=Ьт_1(у)еЬт, определяемая уравнениями:

У = Ьт-1( У) о У г 0га; ха z ; = 0, (г; фиксированы). (28)

Таким образом, с учетом (15), (27) и (28) заключаем, что каждой точке БеОт отвечает центропроективное преобразование

“ " (29)

П( Z) = {z

Из (2б) с учетом (1), (22) и (32) получаются следующие дифференциальные уравнения:

а0 = лаава, лаа =

1

т +1

М - л.П13-л о - л . вь =-л0, вь. (33)

аа ра а ар a :b а ааЪ ' '

Эти дифференциальные уравнения в соответствии с [Т] свидетельствуют о существовании канонизации проективного репера P типа (32). Геометрически _эта_кано_низация с учетом (31) означает, что Ln_l=(Al,A2,^,An). С помощью величинA:a, A% и G Ye с учетом (Зз), (1б), (24) и (32) в точке BєQж рассмотрим следующие величины

gab = 2 А (а 4“ , det[ gab ] * 0 g[аЪ] = 0 gabgbY=Sa ,

CPa= л:(алв)gab , с: = ^ C? . (34)

Из дифференциальных уравнений (2б), (33), (Т) и (16) получаются следующие дифференциальные уравнения в точке BєQm, которым удовлетворяют величины (34):

dg л -

■gbc

rab + а-сЪва +

= gf вс ,

йС;+ С7П - С;П7 = С; ва, йс - с Пг = с в.

а а у у а а а ’ а у а а а

Так же, как и в [1, (33)_(45)], где вместо индексов Ь, з, й надо иметь в виду индексы а,р,у=1,т, получаем в силу (17), что с системой величин ассоциируется в точке БеОт гиперплоскость *Ьп-1эА0, *Ь^Ьп-т, определяемая уравнением:

L,-Г с :x: = 0.

(Зб)

т-плоскости Ьт в себя с центром в точкеА0єРп, которое (т-І)-плоскость упЬт-1 переводит в (т-1)-плоскость уєЬт. Из (29) замечаем, что точке Вє^м в т-плоскости Ьт отвечает (т-І)-плоскость

= (2 єЬт |П(2) = 0} О

О z0 - а = 0,2“ = 0, (30)

которая в общем случае не проходит через точку А0.

Таким образом, с учетом (30) и (23) доказана следующая теорема.

Теорема 2.1. Каждой (п-т)-плоскости Ьп-т, соответствующей точке Вє^т, с отображением Ут,п:Ям^Рп(т<п) инвариантным образом ассоциируется отображение /т2"-1:^т^И2" аффинного пространства ^ в многообразие И2" всех невырожденных нуль-пар {Ао,і"-іАгі"ч}, где

I , = І , и І , О 20 - О 2а = 0. (31)

п-1 т-1 п-т-1 а V'-'-*-/

2.3.2. Проводится такая канонизация проективного репера Р пространства Рп в точке В є ^, при которой

Таким образом, с учетом (35) справедлива следующая теорема.

Теорема 2.2. Каждой (п-т)-плоскости Ln-m в точке BeQm с отображением Vm/.QM^Pn(m<n) инвариантным образом ассоциируется отображение /m2n-1:Qm^M2n-1 аффинного пространства Qn в многообразие M2n-1 всех вырожденных нуль-пар MofViK Ao£*Ln-iCpn.

3. Инвариантное оснащение

В этом пункте будет инвариантным образом определена оснащающая ^^^плоскость (17) в точке А0 е Sm<^Pn, соответствующей точке B е Qm при отображении (14). ~

3.1. В соответствии с [5] с помощью величин Ар в (16) в точке A0eSm^Pn, отвечающей точке BeQm, рассмотрим следующие симметрические величины:

1 "" (36)

л:\:2...:т _ л(:i "":і 'лат

л = і л1[1 л1212 * * ,л1т1т].

!

m!

Здесь, как обычно, символ () означает симметрирование, а символ [] _ альтернирование по соответствующим индексам, причем индексы «!, 02,. «т изменяются по закону:

ас Ъ

а 1, а 2,... а т = т +1,_, п.

Из (16) получаются дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют величины (36):

йЛа

+ Л

ааг...ат ґ"\а і

паі + Л

\а і а а з.. а ,

па2 +...+

+Л “і^“т-і “ “п“т = Л“щ2-“т ав

т + 2 < п <

2

(38)

3.2. С помощью величин (36) в точке про-

ведем такую канонизацию проективного репера Р пространства Рп, при которой [5]:

Л;;-;р = 0, ф 0, Л ф 0, ( а Фр). (39)

Здесь А - определитель порядка (п-т)2, имеющий вид:

м_, мт:

Л =

м:

мп

м

мп.

иг;

мт;

мп.

мт;

мт;

, (40)

а

в = Лв

а'

: Л. пв - Лв П. = Л. ав,

ау у уу а аур 0

(а фр фу). (41)

Здесь явный вид величины, состоящих при (дЦ, для нас несущественный.

В соответствии с [7] дифференциальные уравнения (41) свидетельствуют о существовании канонизации репера Р типа (39).

3.3. Точке БеОт в соответствующем пространстве Рп сопоставим гиперплоскость ЬП-1(х)зЬт, определяемую в терминах проективного репера Р пространства Рп уравнением:

4-1( х) ^ х “ = 0. (42)

Из (16), (2), (36) и (42) в соответствии с [5] получаем, что множество всех гиперплоскостей ЬП-1, содержащих Ьт и бесконечно близкие к Ьт первого порядка вдоль соответствующих фокальных [7, 8] направлений в точке А0е5т, определяет в Рп алгебраический гиперконус ФП-1 порядка т с вершиной Ьт. Этот гиперконус, в [9, 8] называемый фокальным, определяется уравнением

Ф^ о Ла

X- X- • аі а2

= 0.

(43)

Ч ^. (37)

Здесь явный вид величин, стоящих при д0в, для нас несущественный. Заметим с учетом [5], что величины (36) определены при условии, если числа т и п удовлетворяют неравенствам

т(т + 3)

Заметим, что этот гиперконус определяется при всех т и п, удовлетворяющих с учетом (36) неравенствам (38).

3.4. Обозначим Жтч,т систему линейно независимых гиперплоскостей увуа, проходящих через Ьт и не принадлежащих гиперконусу Ф т-1. В соответствии с [5] эта система гиперплоскостей называется основной относительно ФП-1, если линейным полюсом (полюсом порядка т-1) каждой гиперплоскости ув относительно ФП-1 является (т+1)-пло-скость, проходящая через Ьт и принадлежащая всем остальным гиперплоскостям системы Wm-1. По аналогии с [5] из (43) получаем, что система WmnЛ будет основной тогда и только тогда, когда величины уа удовлетворяют системе алгебраических (п-т) уравнений

Л^.^; у. .у; = 0, (Рфу).

(44)

■■■ мп п 1 м

где Ма=|А“'"“вЦ, (афР,у); (индекс а фиксирован), а матрица Мв=|А“"' “|| состоит из одного ненулевого элемента, принадлежащего строке с номером в и столбцу с номером а Заметим с учетом (39) и (41), что определитель А в общем случае не равен нулю в точке Б е От. Поэтому в этой точке в силу (38) и (40) получаем с учетом (2) следующие дифференциальные уравнения

Как и в [5], показывается, что система (44) имеет в общем случае конечное число решений относительно уа. Геометрически это в силу (40) означает, что гиперплоскости Ь“П-1 и соответствующие им (т+1)-плоскости Ьт+1

4-1 “ (Ьт , А + 1,_ , Аа-1, Аа+1,_ , А ) ,

ЬП+1 “ (4, А) (45)

образуют основную систему En_^еWm~}. При этом из рассмотрения исключается случай А=0, когда основные гиперплоскости Wn-1 определяются бесчисленным числом способов.

3.4.1. Точке БеОт сопоставим в соответствующем проективном пространстве Рп гиперплоскость

с; “ (Ао, Д,_, А,, А+2,_, А) “

“ Ьт и С-2 и ••• и ь-1 (46)

(см. (45)). Из (46) и (45) в силу (2) и (41) следует,

что точка

X “ х0 А0 + х а Аа + ха Аа , (а Ф т +1),

отвечающая точке БеОт, описывает (п-т-1)-пло-

скость Ц

т-ш-і - характеристический элемент гипер-

плоскости Цт

т. е. совокупность касательных к

линиям, описываемым точкой X вдоль Бт, тогда и только тогда, когда х“ и х“(; Фт+1) удовлетворяют системе линейных уравнений:

хт+1 = 0, Л™:1 Xв : х;л;+1 = 0, (; ф т :1). (47)

ар аа 4 у

Проведем такую канонизацию проективного репера Р, при которой

Л::2,а= 0,-,с1 = 0, *Л[л:;Ч Ф 0.

(48)

Из дифференциальных уравнений (41) и (2) в силу (48) получаются дифференциальные уравне-

ния

п-1

а“ = а: ав •

:т+1 ат+ip О

аП+і = 4:+і,рав.

dA

:т+ів

+ А: о- Аа

а„+; Y -

а

Pm+1P : :+1

- а: ав - 8ав а: = а: ю7

а т+іу р р а а т+іву

cm -+m-і( а. A,+1..... a ).

(50)

При этом из рассмотрения исключается случай det[ALm^+1]=0, когда (п-т-1)-плоскость ЬП+Пч определяется бесчисленным числом способов.

3.4.2. Как и в случае гиперплоскости (46) в соответствии с (41) получаем, что характеристичес-ий элемент Ьпп-т-1 гиперплоскости Ьп-НЬтА^-Ач) определяется системой линейных уравнений:

хп = 0, хаЛП; + хапЛа; = 0, (а = т + 1,п - 1).

Отсюда с учетом (46) следует, что нижеследующая система линейных уравнений определяет прямую Ц - пересечение (я+1)-плоскости Ц;+!=(Цт Ат+і) с (п-я-1)-плоскостью Цпп-я-1:

хаЛПр+ хЛП+1;= 0, х™ :2 = = х = 0. (51)

Проводится такая канонизация проективного репера, при которой

л:+1,р = 0, аеі[Лр] Ф 0. (52)

Из дифференциальных уравнений (41) с учетом (2) и (52) получаются дифференциальные уравнения

dA:+i;+ап+ііО“- а:+і;а:++; - А°ав-$: ат+1=а:+

(а т+1, вт+1 “ т + 2,п). (49)

Здесь явный вид величин, стоящих при а7, для нас несущественный.

Дифференциальные уравнения (49) свидетельствуют с учетом [7] о существование канонизации типа (48). Из (47) замечаем, что геометрически эта канонизация означает следующее:

^ в кх'т + 1 ^Ат + 1ву^' . (53)

Здесь явный вид величин Ат+в для нас несущественный.

Дифференциальные уравнения (53) в соответствии с [7] свидетельствуют о существовании канонизации типа (52). Геометрически эта канонизация в силу (51) означает, что

Ь “ (^, Ат+1). (54)

Из (50) и (54) следует, что оснащающая (п-т)-плоскость (17) в точке БеОт в соответствующем проективном пространстве теперь определяется инвариантным образом так, что Ьп-т=иЬт+„1-1. При этом дифференциальные уравнения (18) получаются из (49) и (53). Поэтому с учетом теорем 2.1 и 2.2 справедлива следующая теорема.

Теорема 3.1. С отображением Утп:От^Рп в слу-

т(т + 3)

чае т <п, т + 2 <п<---------- инвариантным об-

разом ассоциируются конечным числом способов отображения

/Г : вт ^ м2п,М2п “ {Ь-1, Ао}, Ао ип_-/Г-1 : ^ М2п-\М2п-1 “ {Ьп-1, Ао}, Ао еЬЬп-1.

Заключение

Из теорем 2.1, 2.2 и 3.1 следует, что для более глубокого изучения отображения Утп:Цм^Рп можно использовать с аналитической и геометрической точек зрения отображение аффинного пространства Qя в многообразия И2"-1 и Ы2п вырожденных и невырожденных нуль-пар проективного пространства Рп, соответственно.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Аль-Хассани М.А., Молдованова Е.А. Дифференцируемое отображение аффинного и проективного Рп пространств // Из-

вестия Томского политехнического университета. - 2013. -Т. 323. - №2. - С. 28-32.

2. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий // Труды Московского математического общества. -М.: ГИТТЛ, 1953. - Т. 2. - С. 275-382.

3. Лаптев Г.Ф. К инвариантной теории дифференцируемых отображений // Труды геометрического семинара. Т.6. - М.: ВИНИТИ АНСССР, 1974. - С. 37-42.

4. Ивлев Е.Т., Лучинин А.А. Отображение аффинных и евклидовых пространств // Известия Томского политехнического университета. - 2010. - Т. 317. - № 2. - С. 8-14.

5. Ивлев Е.Т. О многообразии £(Ц,Ця,Ця+1) в п-мерном проективном пространстве Рп(я<п) // Сибирский математический журнал. - 1967. - Т. 8. - № 6. - С. 1307-1320.

6. Ивлев Е.Т. О многообразии E(0,n-m,m) в n-мерном проективном пространстве PJm>2,n<m(m+1)) // Сибирский математический журнал. - 1967. - Т. 5. - № 5. - С. 1143-1155.

7. Остиану Н.М. О канонизации подвижного репера погруженного многообразия // Rev. Math pures et appl. (RNR). - 1962. -№2. - P. 231-240.

8. Акивис М.А. Фокальные образы поверхностей ранга r // Известия вузов. Математика. - 1957. - № 1. - С. 9-19.

9. Акивис М.А. Об одном классе тангенциально вырожденных поверхностей // Доклады АН СССР. - 1962. - Т. 146. - № 3. -С. 515-518.

Поступила 03.05.2013 г.