О дифференцируемом отображении евклидова пространства Emна аффинное An(m≥n) Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика и механика Физика

УДК 514.76

О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОМ ОТОБРАЖЕНИИ ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА Em НА АФФИННОЕ An(m>ri)

Е.Т. Ивлев, А.А. Лучинин

Томский политехнический университет Е-mail: [email protected]

Рассматривается дифференцируемое отображение Vmn:Em^An(m>n) евклидова пространства Em на аффинное пространство A. Изучаются поля двумерных площадок в Em и An, определяемых фундаментальным геометрическим объектом Г отображения Vmn(m>n) в смысле Г.Ф. Лаптева.

Ключевые слова:

Дифференцируемые отображения, евклидово пространство, многомерные пространства.

Key words:

Differentiable mapping, Euclidean space, multidimensional spaces.

1. Аналитический аппарат

Данная статья является продолжением статьи [1].

1.1. Рассматривается m-мерное евклидово пространство Em, отнесенное к подвижному ортонор-мальному реперу R*={B ,sa}, (a,b,c=1,m) с деривационными формулами и структурными уравнениями:

dB = ©aWa, dWa = ®a£b;

D©a = &bA&1, D©ba = &caA&bc; ©ba + ©ab = 0. (1.1)

1.2. Рассматривается «-мерное аффинное пространство An, отнесенное к подвижному реперу R={A,—}, (ij,k,l=1,n) с деривационными формулами и структурными уравнениями:

dA = a'ei, dei =ткёк;

Da' =mJAm'j, Da' = ю'Aak . (1.2)

1.3. Реперы R в Em и R в An выбираются так, чтобы точки BeEm и AeA„ с радиус-векторами B и A были текущими точками соответствующих пространств. Тогда 1-формы ©a и ai в силу (1.1) и (1.2) являются главными, и их можно считать базовыми.

Зададим отображение [1, (1.3)]:

Vn : Em ^ An, (1.3)

которое каждой точке BeEm ставит в соответствие вполне определенную точку AeA„. Тогда диффе-

ренциальные уравнения [1. Ур. (1.4), (1.5)] отображения (1.3) можно записать с учетом (1.1) и (1.2) в виде:

а>‘ = А®а; ЗА + Аа>[) - АЬ6а = АаЬ6 ,

Ал] = 0, (а, Ь = 1,т;1, ] = 1, п). (1.4)

Здесь компоненты Д/ образуют фундаментальный геометрический объект Г [1, (1.6)] отображения (1.3):

Г = {А }. (1.5)

2. Биективное отображение УП":ЕП^АП

2.1. Всюду в данном пункте используется следующая система индексов:

а, Ь, с = 1, п\1, ],к, I = 1, п. (2.1)

Будем предполагать, что отображение ¥п":Еп^А„ является невырожденным в каждой точке ВеЕт, т. е.

&&[Аа] ф 0. (2.2)

Тогда можно ввести в рассмотрение систему величин ва

АавЬ = За, Аава; =б‘. (2.3)

Из (2.3) и (1.4) получаются дифференциальные уравнения

dBa + B©b — ва j = Bb©. (2.4)

Здесь явный вид величин Bb для нас несущественен. Из (1.4) с учетом (2.2) и (2.3) получаем

©а = В“ш‘. (2.5)

Заметим, что дифференциальные уравнения (2.5) и (2.4) фактически являются дифференциальными уравнениями отображения V„”:E„^A„.

2.2. В точке BeEm введем в рассмотрение нижеследующие величины, охватываемые компонентами геометрического объекта (1.5) и их продолжениями Aab и определяемые с учетом (1.4). (2.4) и (2.5) соответствующими дифференциальными уравнениями:

1. Bij =¿ вава, B[j ] = 0;

a=1

dBij - Bj - Bita) = Bja ©a = Bjaffk ak. (2.6)

2. B'j: BikBkj = 8j, B[ij] = 0, det[Bij ] Ф 0;

dBij + Bkjak + Bka) = Bk©k = BjBk ak. (2.7)

3. Aija = Bija — BiaBkIBj, A[j a = 0;

n

dAija — Akjaai — Akaaj — Ajb ©a = Ajba ©° . (2.8)

4. Fijk = AijaBka, F[ij ]k = 0;

dFijk — Fijk a ¡ — Fiikaj — Fijiak = Fjka © . (2.9)

5. Cijk = -j(Fijk + Fjki + Fkij), Gj ] = 0;

dGijk Gijkaj Gukaj Gijiak = Gjka © . (2.10)

6. C = CijkBjk = i(2FjkBjk + Fjki Bjk);

3

dCi — Cjaj = Cia©a = CiaBjaj. (2.11)

7. C = CjBji; dC — Ck j = Ca©. (2.12)

Заметим, что величины (2.6)—(2.12) образуют соответствующие тензоры в смысле Г.Ф. Лаптева [2].

В следующих пунктам будут рассмотрены в каждой точке BeEm и соответствующей точке A=V„"BeA„ геометрические образы, определяемые величинами, о которых идет речь в (2.6)—(2.12).

2.3. Тензор Bi¡каждой точке BeEm ставит в соответствие гиперконус Bh второго порядка с вершиной в точке AeA„ (здесь A=VnnB - образ точки B в аффинном пространстве A„), определяемый уравнением

Bijx'xJ = 0. (2.13)

Геометрическая характеристика этого гиперконуса такая же, как и в [1, (2.16), (2.17)]. Этот гиперконус в силу (2.6) в общем случае является невырожденным, т. е. не имеет прямолинейной вершины, проходящей через точку AeA„.

2.4. Пользуясь условиями инвариантности [2] геометрических образов в аффинном пространстве и учитывая (2.6) — (2.13), получаем, что каждому направлению u=(B ,sa)uaeEn в пространстве An отвечает алгебраическая (и-2)-мерная поверхность S„-2(u) - пересечение гиперконуса B2n-1^An со своим близким (B n-1)' в направлении u, определяемая уравнениями:

Г Bijx‘xJ = 0,

Sn-2 (u): ■< . . . .

[Bjax'xJua - 2BijAiuax' = 0. (2.14)

Пучок Q n_!(u,A) гиперквадрик второго порядка в An, проходящих через Sn-2 в силу (2.14) определяется уравнениями:

Ql-1(u, Я): BjaxxJua - 2BjjAju‘x' + XBjxxi = 0. (2.15)

Асимптотическими гиперконусами пучка гиперквадрик Q2n-lcAn в силу (2.15) являются гиперконусы K n_i(u,A) второго порядка с вершиной Ae-An, отвечающие направлению ueEn и определяемые уравнениями

K2-1 (u, Я): Bijax‘xJua + XBjx'x1 = 0. (2.16)

2.4. Из пучка гиперко_нусов K2„_1(u,X), отвечающих направлению u=(B,sa)uaeEn, выделяется в силу (2.13), (2.6), (2.7) гиперконус Q ^(u), отвечающий направлению u и аполярный B„2-t:

K2„_1(u): Ajax‘xjua = 0. (2.17)

Образу y=Vnnu в силу (2.17) и (2.9) в аффинном пространстве An отвечает гиперконус

* 2

Kn-1( у): Fjtxixjyk = 0.

Отсюда с учетом (2.10) замечаем, что гиперконус Q 3n-1cAn третьего порядка с вершиной в точке Ae An, определяемый уравнениями:

K3-1 : Cjkxxjxk = 0, (2.18)

представляет собой совокупность всех направлений x=(A,e;)x‘eA„, отвечающих точке BeEn, которым соответствуют гиперконусы K2n_l(x).

Из (2.18) в силу (2.11), (2.13) и (2.7) следует, что гиперплоскость

Г-1: Су1 = 0 (2.19)

пре-ставляет собой совокупность всех прямых y=(A ,e ;)yeAn, которым отвечают первые поляры относительно K„3-b аполярные гиперконусу B 2(^En.

Из (2.6), (2.7), (2.10), (2.12), (2.13) и (2.18) следует, что каждой-то-чке Be En в пространстве An отвечает прямая G=(A,e)GeAn - линейный полюс той гиперплоскости относительно гиперконуса B2n_b которая является квадратичной полярой для гиперконуса K3n-1, где величины G определяются по формулам

G = BikGk, Gt = CjkCC, (2.20)

и удовлетворяют дифференциальным уравнениям

dG + Gkak = G'a®a = GaB mk .

Из (2.20) и (2.12) следует, что —общем случае направления C=(A-)С&Еп и G=(A,eJ)CeEn в точке AeEn линейно независимые, т. е.

Rang

С1 C2... Cn

G1 G2... Gn

= 2.

(2.21)

Здесь прямая C полярно сопряжена гиперплоскости Гп-1 относительно гиперконуса В 2п-1.

Поэтому каждой точке В<еЕп в аффинном пространстве An можно поставить в соответствие двумерную площадку

4 = С и О: х“2 = ха,

(а, в, = 1,2;а2, в2 = 3т), (2.22)

где величины /а определяются из системы линейных уравнений:

/■“2Са' = С“2, в= СР2.

¿а ’ ^ в\

(а, в1 = 1,2;а2, в2 = 3, т).

2.6. Из (2.20) и (2.12) следует, что направления

где

С = (Б,ёа) C е Em, G = (Б,ёь ) Gb e

(2.23)

являются прообразами направлений CeAn и GeAn при отображении Vnn:En>An.

Легко видеть с учетом (2.21) и (2.23), что в общем случае в точке В<еЕ„ направления С и G в Еп линейно независимы. Поэтому в Еп можно определить двумерную площадку

Г2: С и О: иа2 = /а иа,

(а1, Ь1 = 1,2; а2, Ь2 = 3, т), (2.24)

где величины /а2 определяются из системы

* * * * * *

/а2 Са1 = Са2 /Ь2 = ОЬ 2

С1 С2... С С?1 б2... б*

Rang

= 2.

Таким образом, с биективным отображением Vnn:En>An ассоциируются поля двумерных площадок (2.22) в An и (2.24) в Е„, причем Х2'=VnnГ21.

3. Сюръективное отображение Vnn:En>An (т>и)

3.1. В этом пункте используется следующая система индексов:

а,Ь, с = 1, т;а, в, у = 1, п;

а, р,у = n +1, m; i, j, k, l = 1, n.

(3.1)

A, образуют в Ет линейное подпространство Ьп1 размерности п, определяемое уравнениями:

Ь\ : А>“+ Аи = 0. (3.2)

Репер Я в Ет канонизируем так, чтобы

Ь\ = (В, ё,,..., ёп), (3.3)

что с учетом (3.2), (1.1), (1.2) и (1.4) приводит к со-

отношениям

Аа = 0,Л*[А‘а ] ф 0,

©а = -©а = - Аа ©а ,©а = Ааа ©а;

а а аа а а а

+ А1 ©а - Ара ©в - АЬ ©а = А^ ©Ь;

А; = О

Ла[аЬ]~ °.

(3.4)

Из (3.4) с учетом ^>т) и (1.4) следует, что отображение Vmn:Em>An индуцирует отображение Vnn.•En>An, поскольку

ю- = Аа©а (34) >©а = ваю‘;

Б«А-р = 8|, Бала =8j.

(3.5)

Из (3.3) в силу (1.1) следует, что каждой точке В<вЕт отвечает (n-m)-плоскость

Lm-n = ( Б ,en+l,..., Sm ).

(3.6)

Таким образом, в каждой точке ВеЕт инвариантным образом определены линейные подпространства (3.3) и (3.6). Поэтому в евклидовом пространстве Ет инвариантно определяется конус второго порядка с вершиной В, задаваемый уравнениями:

С1: ЕаЬиаиЬ = 0, (3.7)

где симметрические величины Ел определяются по формулам и удовлетворяют соответствующим дифференциальным уравнениям:

1

E =— А

аЬ ~ л;(а

; л; *

р |ь);

dE - E ©с - E ©с = E ©c

иГ^аЬ cb а ас Ь ЦаЬс^ ■

(3.8)

Здесь явный вид величин ЕаЬс для нас несущественен. Геометрическая интерпретация гиперконуса (3.7) с учетом (3.8) аналогична геометрической интерпретации основной квадрики Qm_1 в [3, (24)].

3.2. Из (3.7) и (3.3) замечаем, что конус ЯП-1=Я2т-1ПХ„1сЕт определяется уравнениями:

RU: E,eurup = О, u; = О.

(3.9)

Этот конус является в силу (3.9) и (3.5) прообразом конуса, принадлежащего An:

г^: С^Х = 0; С = ЕруВвВ].

Заметим, что в пространстве An определен конус Вгп_{.

Из (1.3) и (1.4) с учетом (3.1)_получаем, что множество всех направлений и=(В,е„)и“еЕт, которые при отображении Vnn:En>An вырождаются в точку

БП-i : Б^Х = О; Б0 =£ БЩ

(3.10)

аналогичный конусу (2.13).

*

а=1

Таким образом, с учетом (3.7)—(3.10) с отображением Vmn:Em>En, (т>н) ассоциируется поля гиперконусов

1. В1^Ет;

2. ВП—1 и гП—1 в An=VmnEm.

Поэтому в евклидовом пространстве Ет и в аффинном пространстве An можно определить поля двумерных площадок по аналогии с пунктами 2.5 и 2.6 данной статьи.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ивлев Е.Т., Лучинин А.А. О дифференцируемом отображении евклидова пространства Em в аффинное An (m<n) // Известия Томского политехнического университета. - 2009. - Т. 314. -№ 2. - С. 5-9.

2. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий // Труды Московского математического общества. -М., 1953. - Т. 2. - С. 275-382.

3. Ивлев Е.Т., Тыртый-оол, Бразевич М.В. О некоторых геометрических образах многообразий двойственных линейных подпространств в многомерном проективном пространстве // Математический сборник. Изд-во Томского госуниверситета. — Томск, 1974. — Вып. 1. — С. 68—91.

Поступила 06.05.2009г.

УДК 517.956.6

О РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧ СОПРЯЖЕНИЙ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА

К.Г. Кожобеков

Ошский государственный университет, г. Ош, Кыргызская республика E-mail: [email protected]

Доказаны теоремы существования и единственности решения задач сопряжений для нелинейных уравнений в частных производных третьего порядка.

Ключевые слова:

Задача сопряжения, нелокальная задача, нелинейные уравнения, принцип сжатых отображений.

Key words:

Conjugation problem, nonlocal problem, nonlinear equations, principle of contraction mapping.

Математическое моделирование многих процессов, происходящих в двухслойных средах с резко отличающимися физическими свойствами, часто сводится к задачам сопряжения для уравнений в частных производных [1—3].

В области В={(х,у):0<х<£,—Н2<у<Н1}(£,Н1,Н2>0) рассмотрим задачу сопряжения для следующих нелинейных уравнений третьего порядка

иххх (х, У) - иу (х, у) = /(х, у, и(х, у), их (х, у)),

(х, у) 6 Д = Б п (у > 0), (1)

ихуу (х, у) = /2(х, у, и(х, у), иу (х, у)), (х, у) 6 Б2 =

= Б п (у < 0), (2)

где /(/=1,2) — заданные функции.

Задача 1. Найти функцию

и(^ у) 6 С(Б) п С 1(БХ иххх 6 С(Бl), ихуу 6 С(Б1),

удовлетворяющую уравнениям (1) и (2) в областях Д и Б2 соответственно и краевым условиям

и(0, у) = Ф СуХ и(А у) = ф2(уХ

их(0, у) = Фз(у), 0 < у <К, (3)

и(0,У) = Х(У\ - К < У < 0, (4)

и(х, -К2) =^(х), 0 < х < £, (5)

где ф(у)(/=1,3), ф(у), у/(х) — заданные функции.

Уравнения (1) и (2) по классификации работы [4] принадлежат к разным типам уравнений с частными производными третьего порядка относительно старших производных.

Из постановки задачи 1 следует, что на линии у=0 выполняются условия сопряжения и(х, -0) = и(х, +0), иу(х, -0) = иу(х, +0), 0 < х< £. (6)

Отметим, что прямая у=0 является одновременно характеристикой как для уравнения (1), так и для уравнения (2). Уравнения (1) и (2) в совокупности с условиями сопряжения (6) являются уравнениями смешанного типа [5] в области Б. Краевые задачи для нелинейных уравнений смешанного типа второго порядка рассмотрены в работах [6, 7], а для нелинейных уравнений третьего порядка в [8, 9].

Сделаем следующие предположения относительно заданных функций: