О существовании гармонических и аналитических квадратичных отображений двумерных площадок слоев касательного и нормального расслоений многомерной поверхности в евклидовом пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

Естественные науки

УДК 514. 76

О СУЩЕСТВОВАНИИ ГАРМОНИЧЕСКИХ И АНАЛИТИЧЕСКИХ КВАДРАТИЧНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ ДВУМЕРНЫХ ПЛОЩАДОК СЛОЕВ КАСАТЕЛЬНОГО И НОРМАЛЬНОГО РАССЛОЕНИЙ МНОГОМЕРНОЙ ПОВЕРХНОСТИ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

В.К. Барышева, Е.Т. Ивлев

Томский политехнический университет Тел.: (382-2)-56-37-29

Рассматриваются случаи, когда на многомерной поверхности общего вида в евклидовом пространстве инвариантным образом определяются гармонические / и аналитические / отображения двумерных плоскостей 02 и Р'2. Эти плоскости принадлежат соответствующим слоям касательного и нормального расслоений данной поверхности.

1. Поля инвариантных линейных подпространств

Ирс1т(1<р<ш) и Р1/сР—(т+2<Я<п)

Статья является продолжением статьи [1] и посвящена рассмотрению случаев, когда отображения /г/а:Д^Р в смысле [1, (2.3), (2.6)] инвариантным образом определяются на т-поверхности SmсEn общего вида, т.е. когда величины и ^ с учетом [1, (2.12), (2.10)], удовлетворяющие четырем соответствующим соотношениям в [1, (2.16)], определяются через величины АХ или, что то же, когда геометрические объекты [1, (2.3)] охватываются фундаментальным геометрическим объектом [1,(1.5)] т-поверхности 8тсЕ„.

1.1. Каждой точке А базы SmсEn в слое Р-т расслоения Итп_т поставим в соответствие алгебраическую поверхность второго порядка , определяемую уравнениями (см. [2, (8), с. 51]):

&-т-\ '■ + 2А°^ха + т - 0, х13 - 0, (1.1)

где в соответствии с [2, (10), с. 51] величины А^, симметричные по нижним индексам, с учетом [1, (1.5)] определяются по формулам

(1.2)

А&р АРА/1а

: А, -хах^ - 0, ха - 0.

ар 7

(1.4)

1.2. Точке А базы SmсEn в слое Ьт расслоения Ттт сопоставим конус 2 2т-1 второго порядка с вершиной А, который в соответствии с [3, (21), с. 72] определяется уравнениями:

От_1: Аархахр = 0, хг = 0. (1.5)

Здесь величины Аа в соответствии с [3, (21), с. 72] определяются по формулам

АаЦ - 2 А(

(1.6)

и в силу (1.5) удовлетворяют дифференциальным уравнениям:

^Аав Аувта. АауЮр Ахр,

(1.7)

и удовлетворяют дифференциальным уравнениям А - А^ - А&га1 = A&^, (1.3)

здесь явный вид величин Аа1рг для нас несущественный. Из (1.1) получаются уравнения асимптотического конуса К2_т_! второго порядка с вершиной А алгебраической поверхности <22-—сР-т

Хр а ^Ху^р ^Ъру^ 9

причем явный вид величин Ааг для нас несущественный.

Замечание 1.1. В каждой точке AeSm слой Ьт расслоения Ттт играет роль подпространства Пт-1, о котором идет речь в [3, с. 70]. При этом квадрике ет_2сПт-1 в [3, (24), с. 72] в данной статье отвечает конус 2-

1.3. Проведем такую канонизацию ортонор-мального репера Я в каждой точке A&SmсE„, при которой

А = О, Е = Е‘1 а1] * 0, (я, ^ ^ = 1,р),

12 ~ ;21 , — (1.8) А-г = 0, Е = а©1[ЕЛ52^] * 0, (/, ,, - -1,д),

(гъ5ъ1=р+\т; г2,$2,12=д+1,п; 2<р<т; т+2<д<п). Здесь

Е'г\, = А, ЗЧ'2 - А, г8,г 8ЧН,

Г1Г2 1 /1,1 '1 2 2 2 ЧМ

еЬ,, = А11д;15^ -4-6;.5кк, Г1Г2 1 /1',1 -1 2 2'2 '1/'1

(1.9)

причем 5 с соответствующими индексами означает символы Кронекера. Заметим, что каждая пара (г1г2) {(/у2)} в определителе Е{Е} в (1.8) указывает на номер соответствующей строки квадратной матрицы этого определителя порядка р(т-р) {д(п-т-д)}, а каждая пара (2) {(.2)} - на номер соответствующего столбца.

Покажем, что в общем случае на т-поверхности 8т каждый из определителей Е и Е не равен нулю. Для определенности покажем это, например, для определителя Е. С этой целью положим

Ал = 0 Ал = 0 ф ^ г2ф (1Л0)

Тогда из (1.8) и (1.9) получаем

где с учетом [1, (1.1)] коэффициенты при а“ удовлетворяют дифференциальным уравнениям

Е = П А- АЛА - А),

(1.11)

где символ П означает произведение соответствующих величин. Из (1.11) следует, что Е^0 в общем случае на т-поверхности £т.

Заметим с учетом (1.6), что величины Аа выражаются через

т(т +1)

N = (п - т)-

(1.12)

¿А^ - А^со“ - А1„со) + А2йсэ12 = А;

~ А}^аС°/3 ~ А

-.СО

& + А>®| = А?раа?

независимых величин АЦф(а,р=1,т; а=т+1,п, симметричных с учетом [1, (1.5)] по нижним индексам. Из (1.10) и (1.8) следует, что величины Аа удовлетворяют

N = (п - т)(т - р) + р2 (1.13)

соотношениям. Из [1, (1.7)] следует, что И1<И. Поэтому вычисление определителя Е в точке Ае8т при частных значениях (1.10) оправдано. Таким образом, Е^0 в общем случае на т-поверхности ^сЕ,,. Аналогично показывается, что и определитель Е^0 в общем случае на т-поверхности 8т общего вида. Заметим также, что с учетом (1.2), (1.6), 2<р<т, т+2<д<п, (1.12) и (1.13) соотношения (1.8) накладывают на величины Аав всего

^ = р(т - р) + д(п -д)

соотношений. Из [1, (1.7), (2.16)] замечаем, что И2<К Поэтому соотношения (1.8) на т-поверхнос-ти £т, с помощью которых проводится соответствующая канонизация ортонормального репера Я, могут иметь место.

Соотношения (1.8) с учетом (1.9), (1.7) и (1.3) приводят к следующим дифференциальным уравнениям на т-поверхности 8т^Е,;.

Е'2 а*1 = А аа,

717251 '172®

121 2. 12 (1.14)

Е-'2. - а-81 = А.. аа.

Г1Г2 51 12 7-1 па

Каждая из систем дифференциальных уравнений в (1.14) представляет собой систему линейных уравнений относительно соответствующих 1-форм с неравным нулю определителем Е или Е на 8т<^Е„. Поэтому каждую из этих систем можно однозначно разрешить относительно 1-форм а1=-а'2 и а|=-а|?. Это означает, что эти 1-формы являются главными, выражающимися через базисные формы.

‘ ‘ ю“, (1.15)

причем явный вид величин А^ и А~1Сф для нас несущественный.

Замечание 1.2. Из (1.15) замечаем, что канонизация ортонормального репера Я на т-поверхности Ят<^Еп по формулам (1.8) существует на этой т-по-верхности в соответствии с леммой Н.М. Остиану [4]. Из (1.5), (1.1) с учетом (1.8) следует, что указанная канонизация репера Я геометрически характеризуется следующим образом.

1) линейные подпространства в точке Ае 8т<^Е,;.

Ер = (А, ёёр ), Вт -р = (А, ёр +1, ёт ) (1.16)

в слое Ьт расслоения Тщт выбирается так, что они ортогональны и сопряжены относительно конуса йтл^-К, см. (1.5);

2) линейные подпространства в точке Ае 8п(^Е;.

Р1 = (А, ё„ +1ё ), Р^ -д = Й ё + --> ё ) (1.17)

т.

52 = -а]1 = А2асоа,а‘2 = -а. = А^

.5 ] <2 .и ' .з 1 ¿2

в слое Р-т расслоения Мщ-т выбираются так, что они ортогональны и сопряжены относительно конуса К2-т^Рп-т, см. (1.4).

Замечание 1.3. Двумерные площадки Х'2еХт и Р2сР_т в точке Ае8т^Еп будут инвариантным образом определяться в следующем пункте в подпространствах Ь\<^Ьт и Р1дрР-т соответственно (см.

(1.16) и (1.17)), при р и д, принимающих следующие значения. р=3, р=4, д=2.

2. Случай р=3, р=4, д=2

Во всех этих с-учаях плоскость Р 2, совпадает с плоскостью Р^А,-,-), что с учетом [1, (2.1)] и

(1.17) возможно тогда и только тогда, когда

= о.

ОА] О Й2

Таким образом, в рассматриваемых случаях

Р} = Р1 = (А, ёт+1, ёт+2),

Р2 = Р2 = (Аё ё)

1 п-т-2 п-т - 2 V1 ’ ст + З’**-’ сп

причем в силу (1.1) и [1, (2.10)] имеем

Сь']С] = Вь]с] = А6]С] + А* ^ + АС К + ААс2 = (2 1)

(а],Ь],с] = 1,2; а],Ъ1,ё] = т +1,т + 2; аг,Ъ2,с2 = 3,т).

Заметим, что в каждом из рассматриваемых случаев величины Нсс\ считаются неизвестными и будут определенным об1 разом определяться через компоненты геометрического объекта [1, (1.5)].

2.1. Случай р=3, д=2

В данном случае с учетом (1.16) имеем

В = (А, ё1, ё2, ёз), Вт_з = (А, ё4, ёт ), (2.2)

поэтому здесь предполагается, что т>3. Заметим, что в рассматриваемый случай входит 3-поверхность ^3 в Е5.

Поскольку плоскость Ь\ вида [1, (2.1)] в каждой точке Ле8тсЕ„ принадлежит 3-плоскости ¿3, мы будем искать ¿2 инвариантным образом в этой 3-плоскости. Поэтому в силу [1, (2.1), (2.4)] и (2.2) заключаем, что

h'2 = 0, (r2 = 4, m),

(2.3)

причем

L = L

^m-2 m-3

U Lx,

где прямая Z1=(^,s3), ïï3='ë+hfëai, h31=-ha31 ортогональна плоскости L\œL\ в точке AeSm. Из (2.3) заключаем, что в рассматриваемом случае всего неизвестных величин h2 в точке AeSm будет две: ha31=-h31 (a1=1,2). Эти величины будем искать при условии, что отображение f.L\^P\ в каждой точке AeSmŒEn является отображением f в смысле определения 2.1 в [1]. Из [1, (2.16)] с учетом (2.1) и (2.3) получаем, что искомые величины удовлетворяют следующим двум неоднородным квадратичным уравнениям:

^ ^ A + 4)+24h + 24й23 + as «л,3)2 + (h3)2} = о (2.4) с двумя неизвестными h^-h*1 (a1,b1=1,2).

Рассмотрим якобиеву матрицу системы (2.4):

где

ôti

dça

dhl

- 2 л:у

■2 Ащ h

2 А33 a

(2.5)

(2.6)

Подсчитаем ранг матрицы (2.5), например, при значениях ha3=0. Тогда из системы (2.4) получаем

41 + 42 = о, (2.7)

а из (2.5) с учетом (2.6) замечаем, что указанная якобиева матрица имеет минор второго порядка

A71 A23

4з А3

следует из (2.7) и [1, (1.5)] с учетом П2^0, 1-формы ©3 становятся главными в каждой точке Ле8тсЕ„. Поэтому эта канонизация репера Я существует в силу леммы Н.М. Остиану [4].

2.2. Случай р=4, ц=2

В данном случае с учетом (1.16) имеем

И4 = (А,ёг,ё2,ё3,ё4), 1}п_А = (А,ё5,ёт'). (28)

Поэтому здесь предполагаем, что т>4. Заметим, что в рассматриваемый случай входит 4-поверхность $4 в Е6.

Поскольку плоскость ¿2 вида [1, (2~1)] в каждой точке Ле8тсЕ„ входит в 4-плоскость~4, мы будем искать ¿2 инвариантным образом в ¿4. Поэтому в силу [1, (2.1)], (2.2) и (2.8) заключаем, что

к'1 = 0, (г2 = 5т), (2.9)

причем

который, как легко видеть, в общем случае не равен нулю на т-поверхности 8тсЕп (т>3). Поэтому в общем случае на 8т ранг матрицы (2.5) равен 2, а потому система (2.4) в каждой точке Ле 8тсЕ„ имеет в общем случае конечное число (не более 4) решений относительно к\. Поэтому справедлива

Теорема 2.1. В случае д=2, р=3 в плоскости ~3, проходящей через точку Ле8тсЕ„ (т>3), имеется конечное число (не более 4) плоскостей ¿2 таких, что соответствующее отображение/¿2^Р2 является отображением £ в смысле определения 2.1 в [1].

Замечание 2.1. Соотношения (2.7) с учетом П2^0 обеспечивают канонизацию ортонормально-го репера Я т-поверхности 8тсЕ„, при которой плоскость ¿1=(Л,0,ое удовлетворяет утверждению теоремы 2.1. При такой канонизации репера Я, как

где плоскость Ц=(Л,е3,е4),~еа2=еа2+Н%е„„ к%=-ортогональна плоскости ¿2с~4 в точке Ле£т. Из (2.9) следует, что в рассматриваемом случае всего неизвестных величин И* (а1=1,2; а2=3,4) в точке ЛеSm будет четыре: Эти величины будем искать

при условии, что отображение £Ц^Р\ в каждой точке Ле8тсЕп является отображением £ в смысле определения 2.1 в [1]. Из [1, (2.16)] с учетом (2.1) и (2.9) получаем, что величины каа] удовлетворяют следующим четырем квадратичным уравнениям:

V1 = вп+1 + вп1 = 0, ф = ВП+2 + Щ2+2 = 0,

ф = в^1 - в^ 2 = о, V4 = ВТ2 - В+1 = о,

где величины (а1=т+1,т+2;Ь1,с1=1,2) определя-

ются по формулам (2.1).

Рассмотрим якобиеву матрицу системы (2.10)

—1, (2.11)

дк: \

(г1=1,4;а1=1,2;о2=3,4). Подсчитывая ранг этой системы с учетом (2.10) и (2.1), например, при

К =-к:=о,

в результате чего имеем

лЦ + А2 = о, а?1 -Аг2 = о,лр2 + лт2+1 = о, (2.12)

мы убеждаемся в том, что матрица (2.11) имеет в общем случае не равный нулю минор четвертого порядка на £т:

Ап+1 ап+1 Ап+1 А +1

А13 А14 А23 А24

Ап+2 Ап+2 Ап+2 Ап+2

^13 14 ^23 ^24

Ап+1 Ап+1 Ап+1 о 2 Ап+ 2 Ап+1 о 2 А+

А23 А24 А13 А23 А4 2 А4

Ап+2 Ап+2 Ап+ 2 о 2 Ап+1 Ап+ 2 + 2 Ап+1

А23 а24 А13 2 А3 А14 + 2 А4

П 4 =

(2.13)

Поэтому ранг матрицы (2.11) в общем случае равен 4, а поэтому система (2.10) в общем случае

имеет конечное число решений относительно И% на £т. Следовательно справедлива

Теорема 2.2. В случае р=4, д=2 в 4-плоскости ¿4 в каждой точке Ле&тсЕ„ (т>4) имеется конечное число плоскостей ¿2 таких, что соответствующее отображение £.Ь\^Р12 является отображением £ в смысле определения 2.1 в [1].

Замечание 2.2. Соотношения (2.12) с учетом П4^0, см. (2.13), обеспечивают канонизацию орто-нормального репера Я т-поверхнооги -тсЕп, при которой плоскость ¿НЛ,—,—)±Х22=(Л,—,—) удовлетворяет утверждению теоремы 2.2. При такой канонизации репера К, как следует из (2.12) и [1, (1.5)] с учетом П4^0, 1-формы ю“; становятся главными в каждой точке Ле8тсЕп. Поэтому эта канонизация репера Я существует в силу леммы Н.М. Остиану [4].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Барышева В.К., Ивлев Е.Т. Отображение двумерных площадок касательного и нормального расслоений многомерной поверхности в евклидовом пространстве // Известия Томского политехнического университета. - 2004. -Т. 307. - № 2. - С. 6—8.

2. Ивлев Е.Т. Об одной классификации оснащенных многомерных поверхностей проективного пространства // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Выпуск 22. - Меж-вуз. темат. сб. научных трудов, Калининградский университет, Калининград, 1991. - С. 49-56.

3. Ивлев Е.Т, Тыртый-оол, Бразевич М.В. О некоторых геометрических образах многообразия пар двойственных линейных подпространств в многомерном проективном пространстве // Математический сборник. Выпуск 1. Изд-во Томского университета. Томск. -1974. - С. 68-91.

4. Остиану Н.М. О канонизации подвижного репера погруженного многообразия // Rev. math. pures et appl. (RNR). —1962. — № 2. —P. 231-240.

УДК 514.76

КАНОНИЧЕСКИЙ РЕПЕР ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКОГО СЕМЕЙСТВА ДВУМЕРНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ В ПЯТИМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Е.А. Молдованова

Томский политехнический университет E-mail: [email protected]

Изучается одномерное семейство двумерных плоскостей в эквиаффинном пространстве. Всем элементам построенного канонического репера даётся полная аналитическая и геометрическая интерпретация. Кроме того, в статье найдено инвариантное оснащение данного семейства. Все рассмотрения носят локальный характер.

Основные обозначения и терминология соответствуют принятым в [1-6], а все функции, встречающиеся в данной статье, предполагаются аналитическими.

Рассмотрим пятимерное эквиаффинное пространство Л5, отнесе—ное к экъиаффинному подвижному реперу Я={Л,-}, (/=1,5) с деривационными формулами:

dA = ю'ё, dёi =юJ¡ёJ, (1)

где ю‘, ю! - формы Пфаффа, удовлетворяющие уравнениям структуры аффинного пространства

Вю' = ю' лю©, Вю1* = ю© лю1*,(' ^ ,к = 1,5), (2)

и соотношению ю[+ю2+...+ю—=—, —впекающему из условия эквиаффинности (—l,—1,—■ië,—5)=1.

В пространстве Л5 рассматривается одномерное семейство двумерных плоскостей /2. Присоеди-

ним к репер Я так, что_/2=(Л,е;,о;). Здесь и в дальнейшем символом /5=(Л,х„—2,...,Х) обозначается д-плоскость (д-мерная плоскость), проходящая через точку Л, параллельно линейно независимым

векторам xl,x2,...,xs. Тогда дифференциальные уравнения многообразия S1 можно записать в следующем параметрическом виде:

wa = A1a01, waa = A“te\ (a = 1, 2 ; a- 3, 5). (3)

где величины Л“ и Ац1 удовлетворяют дифференциальным уравнениям:

dA1a - A“в\ - AaaXwa + = Б“#1,

dA“1 -4$ -+ A>“ = Bfi/, (4)

(a, ft - 3,5 ; a,P -1,2).

Кроме того, параметрическая форма в1 удовлетворяет квадратичному дифференциальному уравнению

Вв1 =в1 лв1. (5)

Каждой точке B(u) в А5 поставим в соответствие гиперплоскость l4, проходящую через l2=(A,e1,e2):

l4 : x3x3 + x4x4 + x5x5 = 0. (6)

Используя (1, 2) и (4), получаем ¿[6,6] = =(ffli+®2M 61,e2]+(A1c\[—г, ёЗ+А^ ehrs])-в‘. Следова-