О двумерном многообразии центрированных 2-плоскостей в многомерном эвклидовом пространстве En (п>4) Текст научной статьи по специальности «Математика»

Естественные науки

УДК 514.76

О ДВУМЕРНОМ МНОГООБРАЗИИ ЦЕНТРИРОВАННЫХ 2-ПЛОСКОСТЕЙ В МНОГОМЕРНОМ ЭВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Еп(п > 4)

Е.Т. Ивлев, Е.Д. Глазырина

Томский политехнический университет E-mail: [email protected]

В стать е инвариантным аналитическим и геометрическим образом строится поле двумерных плоскостей , ассоциированных с двумерным многообразием центрированных 2-плоскостей так, что каждой плоскости ZJ, отвечает вполне определённая плоскость принадлежащая соответствующей нормальной (п-2)-плоскости Д. Рассматриваются отображения плоскости в плоскость которые определяются двумя квадратичными функциями двух переменных или соответствующими квадратичными функциями с областью определения и областью значений Для изучения указанных отображений привлекаются известные условия Коши-Римана. Все рассмотрения носят локальный характер, а все функции, встречающиеся в статье, предполагаются аналитическими. Обозначения и терминология в данной статье соответствует принятым в [1~5].

1. Аналитический аппарат

1.1. Рассматривается л-мерное эвклидово пространство Е„, отнесенное к подвижному ортонор-мальному реперу Л = (у, к, I = Ця) с дери-

вационными формулами и структурными уравнениями:

¿А = хя'в], с!ё] = ш*ёк, Бт'лш{, Въ[=ш'клхз\. (1.1) Здесь!-формы т'к удовлетворяют соотношени-

ям

(1.2)

которые, с учётом (1.1), вытекают из условия орто-нормальности репера Я.

где символом (о,^) обозначается скалярное произведение векторов а и Ь пространства Е„.

1.2. В пространстве Еп рассматривается многообразие К2'2 - двумерное многообразие центрированных двумерных плоскостей (2-плоскостей) > в каждой из которых задано по одной точке М, называемой центром. К многообразию У2'2 присоединим ортонормальный репер Я так, чтобы

Здесь и в дальнейшем символом Ьр = = (Л,ёпё2,...,ё/>) обозначаетсяр-плоскость(^-мерное линейное подпространство), проходящее через точку А параллельно линейно независимым векторам ё1,ё2,...,ёр. Из (1.4) в силу (1.1) следует, что дифференциальные уравнения многообразия К2'2 запишутся в виде:

„а _ м а о _ АО.

хп = Aaw , ma =Аарш",

(а, Р, у = 1, m; а, Р, у = т +1, п).

(1.5)

Здесь 1-формы таа приняты за базисные, а величины А* и А*р удовлетворяют дифференциальным уравнениям:

(1.6)

- ах - +А>;=<Ру-

Замечание 1.1. Из (1.2), (1.4) и (1.5) следует, что

(1-7)

Геометрически это означает, что с многообразием К2'2 в Еп инвариантным образом ассоциируется двумерное многообразие У2п_2, элементом которого является нормальная (и-2)-плоскость

Ln_2 - (А,е3,е4,...,ея) -LI^.

(1-8)

1.3. Характеристический элемент и фокусная по-

(1.4) верхность (я-2)-плоскости L

п-2'

Известия Томского политехнического университета. 2003. Т. 306. № 4

Каждой точке АеЕп сопоставим точку X е Ün 2 с радиус-вектором

Х=А+х%. (1.9)

Из (1.9) с учётом (1.1), (1.5) и (1.7) находим

= (1.10) где символом (• ■ -у обозначены несущественные выражения. Из (1.10) следует, что dX будет линейно выражаться через линейно независимые векторы ё- (у = 3,п) тогда и только тогда, когда

(8£+хЧ,К=0. (1-11)

Если соотношения (1.11) выполняются при любых ти°, то точка Сбудет описывать характеристический элемент Гл_6 (п-2)-плоскости Ё определяемый в локальных точечных координатах репера R системой четырёх линейных неоднородных уравнений с (и-2)-неизвестными

íu=p,

является полярой точки А относительно K2n i.

Г„_6 :х4Л?„ =-5? =<

¡0,а*р,

ха = 0, (а = 1,2; а = 3,и),

(1.16)

Заметим, что Г , с Г , с L\

п~ь Л-З n-¿

2. Поле инвариантных двумерных плоскостей

ха = 0(а,Р = 1,2;а = 3,и). (1.12)

Из (1.12) замечаем, что характеристический элемент Г„. 6 с ]}п_г существует в общем случае при

П-2>4ол>6. Если же соотношения (1.11) выполняются при некоторых таа, то

ай[бра+хй4а]^о, (1.13)

и в данном случае точка X е 1}п_2 будет являться фокусом [4] (л-2)-плоскости ¿2п_2 вдоль соответствующего фокального направления. Из (1.13) замечаем, что совокупность всех фокусов X е Ь]_г представляет собой при п > 6 конус Кга_3 второго порядка с вершиной Гп_6, который определяется уравнениями:

К2п_г: АйЬхйх* + Айх& +1 = 0, =0, (1.14) где величины А^ и д. определяются по формулам

и удовлетворяют дифференциальным уравнениям

*

¿А

с1А,- - А.-А--тя1 = А, - тпт,

ар а а? р ару '

где явный вид величин, стоящих при тар, для нас несущественный.

Из (1.12) в силу (1.13-1.15) следует, что характеристический элемент Г„_6 подпространства Ь2п_2 при и > 6 будет, как и следовало ожидать, вершиной конуса к\ъ.

Из (1.13) замечаем, что (л-З)-плоскость Г„_3, определяемая системой:

г с- U

2 4-2

2.1. Случай п=5.

В этом случае индексы а, ¡3, у изменяются в пределах

<х,р,у = 3,4,5.

Из (1.12) и (1.14) следует, что 3-плоскость Ь] в общем случае при п=5 не имеет характеристического элемента, а К] будет являться не конусом, а фокусной квадрикой.

Проведём такую канонизацию ортонормального репера Я в Е5, при которой

А} = А31 + А32 = О ,А4 = А4Х +

+4=0,4=4+4. (2.1)

Из (1.5) с учётом (1.7) и (2.1) получаем, что 1-формы

= А3а® > = Ла®

(2.2)

являются главными, причём величины А5аа(а,Ь - 3,4) удовлетворяют дифференциальным уравнениям:

(2.3)

где явный вид величин А5аар для нас несущественен.

Заметим с учётом (2.1-2.3), что указанная канонизация репера Я существует в силу леммы Н.М. Остиану [5]. Из (1.16) следует, что при фиксации (2.2) плоскость

1}2 =(А,е3,е4)

(2.4)

проходит через точкуЛ параллельно плоскости Г2 -поляре точки А относительно квадрики При этом из рассмотрения исключается случай Д. = 0, когда плоскость Г2 является_несобственной. Из (2.4) следует, что прямая /,5 = (А,ё5) 1

2.2. Случай п=б.

В этом случае индексы <х,р,у изменяются в пределах: а,Р,у = 3,6.

Из (1.12) следует, что характеристическим элементом Г0 4-плоскости

Е4 — (А,е3,е4>е5,е6)

является точка, координаты ха которой удовлетворяют системе четырёх линейных неоднородных уравнений с четырьмя неизвестными. Поэтому радиус-вектор этой точки имеет вид:

где

F0= А + G&e&, (á = 3,6),

0.

g

(2.5)

(2.6)

Здесь

(2.7)

g = det[

где а - номера столбцов, а пара (оф) = (11),(12), (22), (21) указывают на номера строк, причём ¿г° -определитель четвёртого порядка матрицы ]> которая получается из матрицы [#] определителя g заменой столбца под номером а столбцом

"Г

0

1 О

Обычным путём с использованием (1.1), (1.6) и (2.4-2.6) найдём, что величины 0й удовлетворяют дифференциальным уравнениям

=<?>", (2.8)

где явный вид величин для нас несущественен.

Проведём в Еп канонизацию ортонормального репера К, при которой

в3 =в5 =0,в6 фО, в силу чего из (2.8) получаем

(2.9)

Л6

—A- TS-

Ьа а

. лб Р _ А«

(2.10)

а,6 = 3,4,5;а,Р = 1,2.

Из (2.4) следует, что при указанной канонизации репера Я вектор ё6 является направляющим вектором прямой АГ0. Поэтому прямая

проходит через точку А параллельно вектору ё6, а 3-плоскость

13 =(^,е},е4,е5)1/1б.

(2.11)

Проведём, наконец, такую дальнейшую канонизацию репера А, при которой имеют место соотношения (2.1), а, следовательно, и дифференциальные уравнения типа (2.2) и (2.3). Поэтому из (1.16) в силу (2.11) следует, что двумерная плоскость (1.8) проходит через точку А параллельно пересечению 3-плос-костей Г„_3 и Ьу Заметим, с учётом (2.1-2.3) и (2.9-2.10), что указанные канонизации репера Я существуют в соответствии с [5]. Отметим также, что при фиксации (2.9) из рассмотрения исключаются случаи: a)g = О, когда точка Г0 либо не существует, либо она определяется не единственным образом; Ь) С6 — 0, когда точка Г0 является бесконечно удалённой точкой.

2.3. Случай п>6.

Из(1.12)следует,что (и-6)-плоскость 1п_6, проходящая через точку А параллельно (п-б)-плоско-

сти Г„_6, определяется системой четырёх линейных уравнений

__ Ьп_6:х&4а=0,ха=0 (2.12)

(а = 3,«;а,р = 1,2), содержащей я-2 неизвестных

Проведём такую канонизацию ортонормального репера Д в Е„ (и >6), при которой

42а =(и*0(а„р, =ЗДа2,Р2 = 7^),(2.13)

где определитель четвёртого порядка # определяется по формуле (2.7). Из (2.13) в силу (1.6) и (1.1) получаем

щ

"I - I <*2

= =0, 1а,Р

(2.14)

причём величины Д?'р удовлетворяют конечным соотношениям:

и внешним квадратичным уравнениям

(¿4 - 4- + ) л <3/ = 0.

Из (2.12) следует, что канонизация репера R, осу-ществлённая по формулам (2.13) с учётом (2.14-2.15), существует в соответствии с [5] и геометрически характеризуется тем, что

L„,6=(A,e7,...,ёп). (2.16)

При этом из рассмотрения исключается случай 4а = 0,g = 0, когда dim Ln_b > п - 6.

Из (2.16) с учётом (1.3) заключаем, что определяется линейное подпространство

¿;=(Л,^,ё4,ё5,ё6)±Хл_6. (2.17)

Из(2.17)и(1.16)следует,что4-плоскость L* пересекает (и-З)-плоскость Гя 3 в точке с радиус-вектором (2.5). Поэтому дальнейшие рассуждения, связанные с определением 2-плоскости (2.4) такие же, как и в пункте 2.2 в случае п=6.

Итак, двумерная плоскость (2.4) в Еп при л>4 определена во всех случаях и=5, я=6 и п > 7. В случаях я=6 и п>1 с учётом (2.17) и (2.4) геометрически определяется двумерная плоскость

3. Отображения

3.1. Отображения f,q>:L[ -»¿j.

Каждой точке А е Еп сопоставим отображения/ и ф плоскости L\ в плоскость Zj, которые каждую точку X eL\ с радиус-вектором

Х = А + хаёа (3-1)

переводит в новую точку Y е L\ с радиус-вектором Y = А + у&'ё-

■APl А»

■ о

(2.15)

Известия Томского политехнического университета. 2003. Т. 306. № 4

(а, = 3,4). Эти отображения определяются по формулам:

Ф: 4 L\ о /' = А°\х2 - 4'х1 + \2 / ,\2)

Я* (*2) -(*>) + (3.2)

где

(3.3)

—2

(3.4)

где

Ь) ассоциированными, если прямая АХ перпендикулярна прямой ¡.

Из (3.6-3.8) и определения 3.1 замечаем, что точка X е 4 и кривая т будут соответствующими и ассоциированными тогда и только тогда, когда

„1 _2 та та

х х та1 та'

<?>ta =1ха,(кФ 0),

(3.9)

.2 ,2

Заметим, что каждое из отображений/и Ф плоскостей 4 и 4' отвечающих точке ЛеЕ„, определяется двумя соответствующими функциями двух аргументов. Поэтому в соответствии с [3. С. 43-44] получаем, что каждое из указанных отображений определяется соответствующей комплекснозначной функцией с областью определения в комплексной плоскости (г) <=> 4 (г = хх + ¿х2) и с областью значений в комплексной плоскости

— =--rOi'

д: л:

-Ал1, (А*0)(3.10)

= G01z + G02z + 2Gnzz + Gnz + GJ2z

ф: 4 -> 4 ° w ~ ф(г) ~ '

-/Cr02z + i(Guz1 - G22Z2 ),

G<>* = goa + ihO* > GaP = &a(i + = Gpa,

~ 4 2^02 = + ,

= K -В22-2В;2, 4A,, = ~2Й,32 + 34 -Я242, 4^= 22fr + *n-i&,4g12 = = Й,31+Л2\>4^2=Д41 + 5242. (3.5) 3.2. Геометрический смысл отображений

/,Ф:4->4.

Рассмотрим кривую (/), описываемую точкой Л е Е„ и определяемую дифференциальными уравнениями:

i5T0 (/): та" = ta&,D® = © л 0,. (3.6) Из (1.1) в силу (1.5) следует, что прямая ( = (А,(ёа+4ё&У) = (А,ёа+4ё&Г (3.7)

(а = 3,«) касается кривой (3.6) в точке А.

В силу (1.4), (1.8), (2.4) и (3.7) заключаем, что прямая _

i = (A,ea)ta (3.8)

является проекцией прямой t на плоскость 4 в направлении (я-2)-плоскости ¡}п_г

Определение 3.1. Точка X е 4 с радиус-вектором (3.1), отвечающая точке АеЕп, и кривая ^¡(t) называются;

а) соответствующими, если прямая ЛЛГ параллельна прямой t,

соответственно.

Из (3.1) в силу (1.1) и (1.5) получаем

Поэтому в силу (3.3) и (3.6-3.10) прямая, определяемая векторным параметрическим уравнением

Г = Л + а, =3,4),

где определяются по формулам (3.2), есть пересечение плоскости 4 с линейным подпространством, проходящим через 4, 4-е и касательную к линии, описываемой точкой X е 4 вдоль соответствующей (ассоциированной) в смысле определения 3.1 кривой.

Заметим, что в случае п=5

роль играет прямая /,5, а в случае п=6 роль 1„_6 играет плоскость (2.17). Заметим также, что точка X е Ё2 не является фокусом плоскости 4 в смысле [4], а кривая О не является соответствующей фокальной кривой.

В соответствии с [3. С. 75-76] и с учётом (3.3-3.5) получаем, что каждая из комплекснознач-ных функций будет дифференцируемой в соответствующей точке е 4 тогДа и только тогда, когда координаты (х1; х2) о г = х1 + 1хг, г2 = -1, удовлетворяют системам, соответственно:

Ф,

(■®2р — gQ2,

(В2р + =-h02>

h^x — g22x =——h02,

£22* +"22* —

= 0;

xe =0.

(3.11)

Определение 3.2. Отображения /,ф:4 ~>4> У которых определяющие их функции у&1 являются гармоническими, называются гармоническими и обозначаются /г,фг соответственно.

Из (3.2) с учётом (3.5) следует, что гармонические отображения /г и фг определяются соотношениями:

/Г:4-»4:Я«'+Я2 = 0,(а, =3,4), фг :4 ->4: h22 = 0, g22 =0.

(3.12)

Имеют место следующие теоремы.

Теорема 3.1. Точки ^ и Ф^ плоскости отвечающие точке А е Еи, совпадают.

Доказательство. Прежде всего заметим, что во всех случаях п=5,п=6 и п> 7 выполняются соотношения типа (2.1):

4,,+4, = 0, (о, =3,4),

которые в силу (3.4) и (1.6) приводят к соотношениям

0. (3.13)

Из (3.11) в силу (3.3), (3.5) и (3.13) получаем, что координаты х1 и х1 точек Рг1 и Ф11 определяются одной и той же системой линейных уравнений:

К+ку+(4+в:2У=4+А:

К+в:2у-(в1г+В*иУ=А1-А^'

что и требовалось доказать.

Теорема 3.2. Отображение отвеча-

ющее точке ЛеЕ„, является отображением /г.

Доказательство этой теоремы вытекает из (3.12) и (3.13).

Теорема 3.3. Отображение ф: 1}2 1}2, отвечающее точке Ае Е„, будет отображением фг тогда и только тогда, когда точка ¥л е 1'2 (или е 4) является бесконечно удалённой точкой.

Доказательство этой теоремы вытекает из (3.12-3.14) в силу (3.5).

Замечание. Случай п=4 будет предметом особого рассмотрения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий // Труды московского математического общества. - М., 1953. - Т. 2. -С. 275-382.

2. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии. - М.: ГИТТЛ, 1948. -432 с.

3. Александров И.А. Теория функций комплексного переменного. - Томск: Томский государственный университет, 2002. - 510 с.

4. Акивис М.А. Фокальные образы поверхностей ранга г // Известия вузов. Сер. Математика. - 1957. -NH.-C. 9-19.

5. Остиану Н.М. О канонизации подвижного репера погруженного многообразия // Rev. math, pures et appl. (RNR). - 1962. - № 2. - P. 231-240.

УДК530.12531.51

ИЗЛУЧЕНИЕ ГРАВИТАЦИОННОГО АТОМА

В.В. Ласуков

Томский политехнический университет Тел.: (382-2)-415-877

Разработан гравитационный аналог нестационарной теории возмущений и на этой основе исследован процесс рождения массивных квантов скалярного поля гравитационным атомом.

В инфляционной космологии считается, что вся остальная материя во Вселенной порождается переменным скалярным полем подобно тому, как переменное электрическое поле может рождать элект-рон-позитронные пары [1,2].

В данной работе исследуется альтернативный механизм рождения материи, подобный спонтанному излучению гравитационного атома.

1. Нестационарная теория возмущений

Согласно [3] стационарное квантовое уравнение, описывающее гравитационный атом без учета спина эффективных частиц, имеет вид

Н0Чя(а) = МраЕяЧ.(а), (1)

где

НЛ=-

п

+ M aVU0,

2Мр »

U0< О, V

4 па

Е. = -4со

п + -

, Ж = ~1

да

' х^

V

х = 2aÇ, 4:

а