Об одной классификации распределений плоскостей в четырехмерном евклидовом пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

Естественные науки

УДК 514.76

ОБ ОДНОЙ КЛАССИФИКАЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ПЛОСКОСТЕЙ В ЧЕТЫРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Е.Т. Ивлев, Е.Д. Глазырина

Томский политехнический университет E-mail: [email protected]

Статья является продолжением статьи "Распределение двумерных плоскостей в четырехмерном евклидовом пространстве’ и посвящена геометрической интерпретации аналитических отображений faa,%a и доказательству существования этих

отображений.

1. Геометрические свойства отображений /аа и фая

В статье [1, п. 3] даны геометрические свойства отображений /аг и ф^.. Подробно эти свойства были выявлены в случае <х=1. Геометрические же свойства этих отображений при а=2 получаются из геометрических свойств отображений /1г и ф1г формальной заменой индексов 1еЗ,2о4. Аналогичным образом поступим и для отображений /нг и фаг (см. определение 2,1 и [1, (2.7)]).

В соответствии с утверждениями 1 и 2 в [1, п. 2] отображения /ы и ср1а обладают, в частности, теми же геометрическими свойствами, что и отображе: ния /г,ф1г :4 ->-4 (см- определение 2.1 и [1, (2.6)]). Однако в этом пункте выясним другие свойства отображений и ф1д .

1.1. Основные прямые в

Определение 1.1. Прямая х = (А,ёа}ха в плоскости 4 = типа [1, (1.4)], проходящая че-

рез точку Ае Е4, называется основной прямой, если ее образы при отображениях :112 -> 4 в плос‘ кости типа [1, (1.6)] ортогональны.

Теорема 1.1. Через каждую точку А е Е4 в плоскости 4 проходят в общем случае не более четырех основных прямых в смысле определения 1.1.

Доказательство. Из [1, (2.1-2.2)] следует, что прямая х е будет основной прямой тогда и только тогда, когда величины ха удовлетворяют уравнениям:

Кла,а^'х^ха:'ха' =0, х' =0, (ара^аз.а^и), (1.1)

где симметрические по всем индексам величины А*,а2а3а4 определяются по формулам:

AlU = “AlAl ~ А lAl > А>222 = А22А2 ■*" А2А2’

Аш = Al(A22 _ А^)-Al (А2 + ^“^21) ■+'

+44i (Л42 ~А\)~ Л' ( AV+ А4) -

А221 “А^ + А^Аг47 Al) +

+4(4-л41)+4К+л40.

А122 = Аг Аг - Ai Ai + А2А2 ~ AiAi ■

Из (1.1) с учетом (1.2) вытекает справедливость теоремы 1.1.

1.2. Канонизация ортонормального репера R

Для упрощения дальнейших геометрических и аналитических рассуждений проведем в каждой точке А е Е4 такую канонизацию ортонормального репера R, при которой

432 =о. Л42=о.

(431 + А32 ) А32 + {Л\~ Л42 ) А42 * 0. (1.3)

Из дифференциальных уравнений [1, (1.5)] убеждаемся в том, что 1-формы coj и о>з являются глав-

НЫМИ: 2 Ч2 ,• 4 л 4 / м л \

(О! = АуСО ,®з = Д,® . (1.4)

Поэтому в соответствии с [2] канонизация ортонормального репера R типа (1.3) существует. Из (1.1) и (1.2) в силу (1.3) следует, что при указанной канонизации репера R прямая /,2 =(Л,ё2) является основной прямой, а прямая

б

/,4 =(.Л,<?4) в 4 является образом прямой 1] при отображении :4 ~*4- При этом из рассмотрения исключается случай ЬШ1 = 0, когда прямая 1,2 является двойной основной прямой.

Имеют место следующие теоремы.

Теорема 1.2. Если отображения ?\г >Фи : 4 4 в каждой точке А е Е4 являются

гармоническими ,<р1 ->ф12.), то основ-

ные прямые в плоскости 4- проходящие через точку А, состоят из двух пар ортогональных прямых, сопряженных относительно друг друга.

Доказательство. Из (1.1) и (1.2) в силу (1.3) и [1, (2.6)] получаем, что в случае отображений /1г и ф1г основными прямыми в точке А плоскости 4 являются

. 1\ =(А,ё1), ¡1 =(А,ёг), 7* =(А,е1 ±е2),

что и доказывает настоящую теорему.

Теорема 1.3. Если отображение У] (ф1): 4 -> 4 в каждой точке А е Е4 является отображением (ф1а), то прямые 7/ и 1* являются основными прямыми, две другие основные прямые в плоскости 4 сопряжены относительно 4 и 4, т.е. составляет вместе с ними гармоническую четверку.

Доказательство этой теоремы вытекает из (1.1-1.3), [1, (2.7)] и соотношений =42=41=0,

4+4 — 4 »о'З” (1.5)

*■*’{(4 -4)(*')' +(4+4‘,)(*‘)1)=а

Ф1 —> ф1д О А^2 = -^21 > Л^2 — ~ О,

4\ =432>д41 -а& = *о<!=>3) С1-6)

.V {(д1 - ^ К^1 )2 + + ^ )(^2 )2}=°-

1.3. Случай 4 и ф1а

При построении канонического ортонормального репера Лтипа (1.3) из рассмотрения исключается случай и Фи, когда в каждой точке А е Е4 отображения и ср^ являются одновременно отображениями /]а и ф1а. Из [1, (2.7)] следует, что рассматриваемый случай характеризуется соотношениями: 4г=А32=А^=-А^=а,

Л42 = Л4,=-^=43 =6- (1-7)

Из (1.1-1.3) с учетом (1.5), (1.6) и [1, п. 3.2] вытекает справедливость следующей теоремы.

Теорема 1.4. Если отображения /|, :4 4 в

каждой точке А е Е4 является одновременно отображениями ф)а, то выполняются следующие свойства:

1) коника К12 с 4 является окружностью с центром в точке А е Е4 и радиуса г = Аа2 + 62);

2) основные прямые в плоскости 4 не определены, т.е. любая прямая в 4. проходящая через точку Л, является основной прямой.

2. Существование отображений -С->Фш->4а и Фаз (а = 1>2) .

Прежде всего заметим, что распределение А\л : А -» 4 в Е4, о котором идет речь в [1, п. 1], представляет собой четырехпараметрическое многообразие V24 двумерных плоскостей 4, проходящих через соответствующие точки А еЕ4.

Определение 2.1. Многообразием V2“r (ot= 1,2; а - фиксировано) называется распределение у которого отображение /а 4 (а,р = 1,2; а^р) является отображением 4, (/ -> faT). Аналогично определяются многообразия

^7(ф«)<=>ф« ..

(фа ) <=> Фа “»Фа*,' - (2.1)

Фа ^ Фаг >

. ■Фс ) <=> £ -»• 4, - Фа -> Фа» >

V2A 0 ^ >ф] ^ 4а>Ф2 ~>Ф2а-

Заметим, что геометрические свойства многообразий, о которых идет речь в определении 2.1, см. (2.1), изучены в п. 1 и в [1, п. 3]. В частности, в соответствии с теоремой 2.1 в [1] в случае многообразия V]*4 распределения

Д“4 : А -» 4 (“ = 1,2) голономны.

Из (2.1) следует, что многообразие V2U4 является частным случаем всех многообразий, о которых идет речь в определении 2.1. Поэтому, если многообразие V2*4 существует, то все остальные многообразия 2.1 также существуют.

Теорема 2.1. Многообразие V24 в È4 существует и определяется с произволом двух функций четырех аргументов.

Доказательство существования многообразия V2U4 проведем методом Кэлера [3].

В соответствии с определением 2.1, (2.1),

(1.7) и [1, (2.7)] заключаем, что многообразие V2 * характеризуется конечными соотношениями:

' 431 = 43 = 4S> = ~44i =

Ai - 4i ~ = 4i (2 2)

4i,=4î.=42l=-4£=*.

А24 =Л23 =-^4 =4з =Ь\

Из дифференциальных уравнений [1, (1.5)] с учетом (2.2) получаются дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют величины а,Ь,а* и В:

da - b (2о>1 - ©з ) = а,-со',

db + a( 2<а? -со. ) = £,©',

\ \ (2.3)

da" - b' (2ml - cûj ) = а*ш',

db" + a (2Ю3 - tOj ) = 6*co', где явный вид величин, стоящих при ю', для нас несущественный.

Дифференциальные уравнения (2.3) позволяют провести следующую канонизацию ортонор-мального репера к:

а = 0, а* = О, Ьф О, Ъ* ф 0. (2-4)

Тогда из (2.3) получаются дифференциальные уравнения типа (1.4), где

<#>,. - ьк®к, = ьу, <#>; - ъх=ъ,

£¿^5 - - С^со' =Ащ со1',

(2.12)

* 4

,2 1Г 2 1 .

Д. = — —Я н——о, .,

“ з1г>

,4 1Г 1 2 ,

Д,- = -- -а, + —а,

где

» 2

зи ‘ ъ*

(2.5)

а значит в соответствии с [2] канонизация орто-нормального репера Я типа (2.4) существует. Из [1, (1.5)] с учетом (2.2-2.5) и (1.4) следует, что многообразие У2,34 характеризуется в терминах построенного канонического репера Я дифференциальными уравнениями:

Ьч] ~ ~ 0, Лад - 0> Лз[;/] - 0. (2.13)

Поскольку ортонормальный репер Я канонический, то

о* =4<о',.(/**)• (2-14)

Положим

(2.15)

тогда из (2.12) с учетом (2.14) и (2.15) получаем:

, 2

со3 = со4 = Асо1 -6* ю3,

®1 = _С02 = ^®2 + ю2 = Д2,ш', со4 = Д4 со'.

Д2,. = Л^ + Д* Л/ + с[м, Л^ = О,

. 4

. 4

(2.6)

Д2А - Азр + Д4* Л* + , Лад - 0.

(2.16)

Продолжение первых двух дифференциальных уравнений в (2.6) приводит к дифференциальным уравнениям:

где

аь=ъу, аь'=ьу,

а^, йр ,

А' =а”, 6* = а*,=^¡,6^ = -а*,

(2.7)

(2.8)

причем величины а, и а* в силу (2.3) и (2.4) определяются по формулам

а, = (Д4-Щь, *; = (л£ -2Л£)б\ (2.9)

Заметим также, что при продолжении указанных дифференциальных уравнений возникают следующие конечные соотношения:

=а*, Ь2-а4 + 6*2-а2* =0. (2.10)

Замыкание дифференциальных уравнений

(2.7) и (2.6) приводит к четырем квадратичным внешним уравнениям вида:

(</£, - Ък(й)) л о) = 0, (<*; - ЪУ]) л оУ = 0,

(сЦ). - Л,» - С2У) л ю; = 0, (2.11)

А<»'=0,

где

= -С*. С1№ =0, С22 = 2Ъ\ С2 з =0,

С24 = 2М\ С23 =266*. С124 =0, С234 = -26’2.

Из квадратичных уравнений (2.11) по лемме Картана получаются дифференциальные уравнения:

Дифференцируя конечные соотношения (2.10) и пользуясь при этом соотношениями (2.7) и (2.9), с учетом (2.16) получаем следующие конечные соотношения:

а3/ = а1р 2ЬЪ) - аА) + 2Ъ'Ъ)-а^ = 0, (2.17)

где

а,;=4-«-24)+(.;(4-24).

Заметим, что соотношения (2.16) получены из внешних квадратичных дифференциальных уравнений (2.11) после подстановки в них соотношений

(2.15).

Учитывая соотношения (2.13), (2.16) и (2.17), получаем число N независимых параметров наиболее общего элемента, которое равно

Ы- 4-10-8=32. (2.18)

Строим интегральную цепь по формам базиса

[12 3 41''

© со со со I. Пользуясь соотношениями (2.12),

(2.16), (2.15) и (2.18), получаем, что линейные элементы Ё, (со2 =ю3 = со4 = 0), Ё2 (ю3 = со4 = 0), Ё3 (со4 = 0), Ё4 определяются с произволом, соответственно

ц = 14, г2 = 10, г3 = 6, г4 = 2.

Поэтому число Картана равно

{2 = /'1+г2+г3+г4=14 + 10 + 6 + 2 = 32.

Таким образом, с учетом (2.18) имеем N=0. Это означает, что система дифференциальных уравнений (2.7) и (2.12) в иволюции, а поэтому многообразие К2'4 в Е4 существует и определяется с произволом т4 =2 функций четырех аргументов. Теорема 2.1 доказана.

Замечание 2.1. Поскольку распределения Д24 и А2 4 в случае многообразия К2 4 вЁ4голономны’, то многообразие К24 в Е4 расслаивается на двумерные

поверхности ^ и ^ с касательными плоскостями и 2^ в точке А, соответственно.

Замечание 2.2. Из (2.6—2.8) в силу [1, (1.1)] следует, что в случае многообразия существуют два

голономных

распределения .2 .2:

,1 _ ,1 Д2,4 : А —> Í2 = . i

:(д£!,&,) И A2,4:4->¿2=(4,^,84)l¿2, где

_ b

_ b _

8з=еэ-

è*_

b

i >

~ б1 • у. 6 3 > ^2 —б2 + 6 4 ’

- А* - л г ,

е4 -е4 - — е 2. При этом плоскости ц и ц изменяются параллельно самим себе вдоль интегральных

,1 .2

кривых к>1 =0, ©, =0 распределения д24 или д24 описываемых точкой А.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ивлев Е.Т., Глазырина Е.Д. Распределение двумерных плоскостей в четырехмерном эвклидовом пространстве // Известия Томского политехнического университета. - 2003. - Т. 306. - № 6. - С. 5-7.

2. ОстиануН.М. О канонизации подвижного репера погруженного многообразия // Rev. math, pures et appl. (RNR). - 1962. .-№ 2. - P. 231-240.

3. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии. - М.: ГИТТЛ, 1948. -432 с.

УДК 530.12.531,51 ...

КВАНТОВАЯ КОСМОЛОГИЯ И ПРОБЛЕМА ВРЕМЕНИ

В.В.Ласуков

Томский политехнический университет . Тел.: (382-2И6-37-92

Работа посвящена исследованию проблемы введения переменной времени для различных космологических моделей Вселенной. Известно, что в силу масштабной инвариантности данные космологические модели являются системами со связями первого рода, что приводит к проблеме введения времени и к проблеме квантования. В данной работе показано, что учет уравнений связи Логунова обуславливает отличие от нуля гамильтониана, что позволяет решить проблему времени квантовой космологии вне рамок традиционных подходов решения этой проблемы.

Введение

Считается, что во второй половине прошлого столетия научным сообществом был осознан статус теории гравитации как системы со связями первого рода [1] . При таком подходе неизбежно возникает проблема времени в квантовой космологии из-за гамильтоновой связи, обусловленной требованием инвариантности относительно изменения масштаба времени, а не выбором замкнутой модели Вселенной. В данной работе проводится краткий обзор методов классического квантования Дирака-Уиллера-Де Витта и Арно-витта-Дезера-Мизнера в применении к рассматриваемым космологическим моделям, в рамках которых переменная времени может быть введена на основе квазиклассического приближения либо как параметр калибровочного условия. При использовании данных методов квантования возникают такие проблемы, как отсутствие положительной определенности скалярного произведения волновых функций и зависимость физических величин от выбора калибровочных условий.

В этой связи в данной работе на основе исследования уравнений связи Логунова [2] решена проблема времени, возникающая в эффективной геометродина-мике, вне рамок традиционных подходов решения этой проблемы. В первом и втором разделах данной

работы проводится краткий обзор методов классического квантования Дирака-Уиллера-Де Витта и Арно-витта-Дезера-Мизнера, согласно которым переменная времени может быть введена на основе квазиклассического приближения либо как параметр калибровочного условия. В заключительном разделе предлагается альтернативный способ решения проблемы времени.

Квантование Дирака-Уиллера-Де Витта

Классическое квантование общей теории относительности в рамках геометродинамического подхода было развито в работах Дирака, Уиллера, Де Витта [1, 3-6]. В рамках их подхода гамильтониан равен нулю, следствием чего является независимость физических состояний от времени. Проиллюстрируем формализм квантования Дирака-Уиллера-Де Виттадля двумерного пространства (а,ф), где а(х°) - масштабный фактор заполненной однородным скалярным полем Ф Вселенной с метрикой

dS2 =N2 (dx°f -a(x°fdl2, . (1)

здесь Аг(х°) - функция, определяющая масштаб, в котором измеряется время; пространственный элемент длины равен

di2 = (sin2 (3)rfv|/ + d§2). (2)

1 kf