Классификация Коши-Римана многомерных поверхностей в евклидовом пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика и механика. Физика

УДК 514.76

КЛАССИФИКАЦИЯ КОШИ-РИМАНА МНОГОМЕРНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Е.Т. Ивлев, А.А. Лучинин, Е.А. Молдованова

Томский политехнический университет E-mail: luchinin@tpu.ru

Изучаются частные классы многомерных поверхностей в евклидовом пространстве, характеризуемые специальным видом отображения Коши-Римана двумерных площадок касательного и нормального расслоений, определённых нами в предыдущих публикациях.

Ключевые слова:

Многомерные евклидовы пространства, многомерные поверхности, отображения Коши-Римана.

Key words:

Multidimensional Euclidean spaces, multidimensional surfaces, Cauchy-Riemann mapping.

Введение

В статье [1] были изучены отображения Коши-Римана двумерных площадок касательной т-плоскости Ьт и нормальной (п-т)-плоскости Р„_т поверхности 8т размерности т в евклидовом пространстве Еп. В этой же статье рассмотрены ассоциированные с указанными отображениями инвариантные геометрические образы.

Данная статья является продолжением статьи [1] и посвящена главным образом изучению некоторых частных классов т-поверхностей 8т<^Е„, характеризуемых отображениями Коши-Римана указанных площадок специального вида. Раздел 1 посвящен изучению в терминах раздела 2 статьи [1] попарно - ортогональных двумерных площадок Х2рсХт (р=1,я; m=2s или т=2д+1) таких, что отображения /’,: (р<д; р,д=1^), отвечающие на-

правлению teLm, являются отображениями Ко-ши-Римана.

В разделе 2 инвариантным геометрическим и аналитическим образом строится поле двумерных площадок Ц<^Р„_т. Поэтому все результаты, о которых идет речь в разделе 2 статье [1] ив разделе 1 данной статьи для заданной двумерной площадки Ц<^Рп_т, сохраняются в случае инвариантного определения площадки Р2'. Раздел 3 данной статьи посвящен изучению специальных классов т-по-верхностей 8т<^Е„, характеризуемых тем, что все

отображения $и/Р”, указанные в разделе 2 статьи [1] ив разделе 1 данной статьи являются отображениями Коши-Римана при любом направлении t&Lш. При этом подробное рассмотрение этих т-поверхностей сначала проводится в случае п=т+2, а затем на основании результатов разделов 1 и 2 делается вывод о существовании указанных т-поверхностей в случае п>т+2.

Все рассмотрения в данной статье носят, как и в статье [1], локальный характер, а функции, встречающиеся в статье, предполагаются функциями класса 0х. Обозначения и терминология соответствуют принятым в [1].

1. Расщепление т-плоскости Lm

на двумерные плоскости

Проведем такую канонизацию ортонормально-го репера Я т-поверхности Sm^En, при которой в соответствии с [1. Ур. (25), (26)] в каждой точке Л&8т<^Е„ имеют место соотношения

Л1 ~ - А2 ~ = 0,Л1 ~ + А2 , - = 0, И, * 0. (1)

т+\,а\ т+2,а1 т + 2,а\ т + 1д1 к1 4 '

Из [1. Ур. (1), (2), (4), (7)] и (1) получаем

О1 = Аа:„ оа = О = -Aa оа

■а аа=-А'

а а '

+А!;аof -А;[аоа -Ae f = а аа f. (2)

а С учетом [1. Ур. (10)—(15), (22)—(25)] и йО^—замечаем, что при канонизации ортонор-мального репера Я типа (1) имеем 4 = (А,е,ё,) 14-2 = (А,ё,,..., ёт), (т > 2). (3)

С учетом (2) заключаем, что канонизация орто-нормального репера Я, осуществленная по формулам (1) в соответствии с [2] существует на любой т-поверхности 8т<^Е„, на которой Щф0.

Каждой точке Ле8т<^Е„ при т>п поставим в соответствие двумерную площадку Х22сХт_2 (см. (3)), которую определим уравнениями

4, о х22 = х“2, ха1 = 0, ха = 0. (4)

Поскольку пространство Еп евклидово, то с двумерной площадкой Х22 ассоциируется (т—4)-пло-скость Ц40Ц-г, ортогональная Х22 и определяемая уравнениями

4,-4 оха2 = ^ха2,ха1 = 0,ха = 0,= -£2- (5)

Тогда так же, как и в пунктах раздела 2 статьи [1], показывается, что каждой точке Ле8т<^Еп при т>4 сопоставляется отображение (при фиксированном /еХт)

/,2 : р ^ 4 о х “2 = Я2 (ваа2 уа + 012), а, Я2 * 0,

С а2 = Аа2 + „а А а 2 Па 2 = 5“ 2 + РО2 8а

а а а а .л айа , а а ал а

(6)

оа2 = Аа2 соа = -02 = -А.2 оа ^ Аа2 =-А“2,

а^ а л а ал а 2а а л ал

оАа2 + А а2 о.2 - А;2 ов2 - А а2ов = А “2 О .

а2 а а ^ Р 2-а а 2 а а а аР

Эти соотношения свидетельствуют о том, что в соответствии с [2] канонизация ортонормального репера Я типа (7) существует на любой т-поверх-ности 8т<^Е„, т>4, на которой Щф0.

Геометрически канонизация ортонормального репера типа (7) с учетом (4) и (5) такова, что

4 (А, Є3’ Є4) 1 4-4 (А, Єт)-

(8)

Продолжая аналогичным образом процесс по инвариантному определению двумерных площадок в т-плоскости Ет и проводя соответствующую канонизацию ортонормального репера Я, мы придем в случаях т>2р к нижеследующим соотношениям

:— т

р, # = 1,5; 5 = —, т - четное;

т -1

5 =------, т - нечетное.

(9)

А2П. - А2р а = 0, А2р-1а + А2р а = 0,

т+1,ар т+ 2,а р т+ 2,а р т+ 1,а р

Ик ф 0, к р = 2(т - 2р). (10)

Геометрически отображение / определяется так же, как и в случае отображения4: 4^4'. Только в рассматриваемом случае роль (т-2)-плоскости будет играть линейное подпространство Х2'иХ2т_4.

Как и в случае теоремы 2.1 в [1] доказывается при т>4 следующая теорема.

Теорема 1.1. Каждой двумерной плоскости Р2'сРп_т, отвечающей точке ЛеБт<^Еп, при т>4 в соответствующей т-плоскости Хт, касательной к Бт в точке Л, отвечает конечное число двумерных площадок таких, что

/2 ^ /Д V, Е 4т -4 1 4.

Здесь отображение /2 определяется так же, как и отображение/1 (см. определение 2.1 в [1]).

Заметим в соответствии с теоремой 1.1, что величины й212=-й!12, определяющие с учетом (5) и (6) двумерные площадки Х22, о которых идет речь в данной теореме, удовлетворяют с учетом [1. Ур. (23)] системе к2=2(т—4) алгебраических уравнений, аналогичной системе [1. Ур. (22)]. Только теперь [1. Ур. (22), (23)] индексы «1,А,71=1,2; а в ь7д=3,т надо заменить индексами а2,вг,?2=3,4; а2,в 2,22=5,т т>4. Аналогичную систему индексов нужно иметь в виду всюду в [1,(26), (27)] и (1)-(3).

Проведем в случае т>4 канонизацию ортонор-мального репера Я, аналогичную (1):

А3 , а - А4 , а = 0, А4 , а + А3 , а = 0, И. * 0. (7)

т+1,а2 т+2,а 2 т + 1,а 2 т + 2,а 2 к2

Здесь определитель Н определяется по аналогии с определителем Нк{ (см.[1. Ур. (26)]). Как и в случае (2) при т>4 получаем соотношения

®::=Ара ®а=-®ар = р р ар = -Аа соа^ А„4 =-А “р

^ + АО - АааОар - Ао/ = А, (11)

ьр = (А, ё2р-1, Щр) 14-2р =

= (А Є2р+1>-> "^т ),( т > 2р)’

/,р : Р1 ^ 4* о Xа =

=К (а>а1 + с; р)іа, х р ф о,

Оа' = Аа', Оар = 8ар, „а = 0.

йт а йт а а а а р .

(12)

Причем по аналогии с вышеизложенным, когда индекс р принимал значения (9), получаем для всех значений этого индекса: /М/Д У/бХ“т-2р.

Таким образом, из (9)—(12) следует, что т-пло-скость Хт, касательная к 8т<^Е„ в точке Л, расщепляется на попарно ортогональные пересекающие только в точке двумерные площадки, т. е.

и ьр \ и {ьт = (А, ёт-1, ёт)}, р=1

и ьр\ и {Ьт = (А, ёт)},

=1

т -1

т - нечетное.

(13)

Здесь в случае нечетного т прямая Х2И=(Л,—т) ортогональна (т-1)-плоскости Хт—1сХт, проходящей через двумерные площадки Ц,Ц,...1тт—1, т. е.

4т-1 (А, е1,---, ёт-1)*

(14)

Р(,) = {В*ааР,а,р}. (19)

Здесь симметрические по а и в величины В Ьар определяются по формулам и удовлетворяют в силу [1. Ур. (4), (7)] дифференциальным уравнениям

2. Инвариантное определение двумерной площадки

Р2' в (л-т)-плоскости Рп-т

В разделе 2 статьи [1] ив предыдущем разделе двумерная площадка Р2'сРп_т, отвечающая точке Ле8т<^Е„, предполагалась заданной. Данный раздел 2 будет посвящен инвариантному определению этой двумерной площадки в точке Ле8т.

Замечание 2.1. В случае п=т+2, т. е. в случае т-поверхности 8т в Ет+2 нормальное (оснащающее) линейное подпространство является двумерной площадкой Р2=Р2=(Л,—т+1,—т+2). Следовательно, для этого случая верны все результаты предыдущего раздела. Поэтому с учетом неравенств [1.Ур. (5)] всюду в данном разделе будем предполагать п>т+2.

2.1. Локальные центроаффинные преобразования

линейных подпространств 1т и Р„-т

Из [1. Ур. (6)—(8)] следует, что каждой точке ХеРп_т с радиус-вектором

X = А + х еа, (15)

отвечающей точке Ле 8т<^Е„, соответствует локальное центроаффинное преобразование П(Х)=|х“Л“в+5ва| т-плоскости Ьт в себя с центром в точке Л.

Геометрически это преобразование каждое направление

I = (А,ёр),ве 4т (16)

переводит в направление и=(А,е а)иа, и^^Л^ёв^11. Геометрически это направление параллельно пересечению т-плоскости Ьт с линейным подпространством, проходящим через Рп_т и касательную к линии, описываемой нефокальной в смысле [3] точкой ХеРп_т в направлении (16).

Рассмотрим с учетом (15) прямую ЛХ, которую параметрически зададим так:

уа =Т- ха. (17)

Текущим точкам прямой (17) будут отвечать в силу П(Х) центроаффинные преобразования ЩХ,г)={г-хаЛаав+ёва}.

Следовательно, бесконечно удаленной точке прямой (17) отвечает локальное центроаффинное преобразование

П (х) = {хаА“}, (18)

которое называется усеченным преобразованием т-плоскости Ьт в себя, соответствующим прямой х^Л,—а) ха=ЛХ.

Из (16) и (18) с учетом [1. Ур. (1), (6)—(8)] следует, что каждому направлению 1еЬт, отвечающему точке Ле£т, сопоставляется локальное центроаффинное преобразование нормальной (п—т)-пло-скости в себя с центром в точке Ле£т:

1

В = — Ау Аь

Ваав 2 Аа (а Ар )у ’

йВь л + Вс яаь - В „ас -

а ар аар с сар а

-Вь а7 - Вь Ф7Й= В яа7 ,

аур а аау р аару ,

(20)

причем явный вид величин, стоящих при (Ог, для нас несущественен.

Геометрически преобразование (19) любую прямую х=(Л,—а)хеРп_т переводит в прямую и=Р(/)х в нормальной плоскости Рп—т, проходящую через точку Ле£т, которая является пересечением нормальной (п—т)-плоскости Рп—т с линейным подпространством, проходящим через Ьт и содержащим первую дифференциальную окрестность прямой у=П(х)/ вдоль нефокального в смысле [3] направления ^(Л,—0)^ еЬт.

2.2. Поля инвариантных квадратичных геометрических

образов в и и Р„-т

Из (18) и (19) следует, что каждой точке Ле8т<^Е„ в линейных подпространствах Ьт и Рп—т сопоставляются квадратичные геометрические образы, определяемые соответствующими уравнениями:

1) (п—т—1)-мерная квадрика (2;|_т—1сРп_т второго порядка

Оп-т-1 = {X е Рп-т МП(X)2] = 0} О

О АаЬхахь + 2Аааха + т = 0, хр = 0.

(21)

Здесь симметрические величины ЛаЬ определяются по формулам и удовлетворяют с учетом [1. Ур. (4), (6)] соответствующим дифференциальным уравнениям

Аь = Ар Аа, йА - А ®ас -

с = А а а • (22)

Причем явный вид величин Л Ь для нас несущественен.

2) (п—т—1)-мерный конус К1_т_1<^Р„_т второго порядка с вершиной в точке Л

К2 ,= {х = (А, ха) е Р

п-т-1 { ( , ) п -

1ег[П(х)]2= 0} о

о А Ла,ь = 0, хр = 0

(23)

Из (21) и (22) следует, что конус К„2_т—1 является асимптотическим конусом для квадрики (2„2_т—1.

3) (т—1)-мерный конус к2т^1^Ьт второго порядка с вершиной в точке ЛеSm

к = {, е Ьт\ЪхР(,) = 0} о Вр,а ,р = 0,,а = 0. (24)

Здесь симметрические величины В<ф=Вааф с учетом (21) и (22) удовлетворяют дифференциальным уравнениям ёВ^—В^а аг—Вага/=В1#аг.

2.3. Инвариантная двумерная площадка Р2'сРп-т Из (22) и (23) заключаем, что конус Кп2_т—1сР„_т, отвечающий точке Ле£т, в общем случае не вырождается в конус, по крайней мере, с прямолинейной вершиной, проходящей через точку Л, т. е. общем случае ёй [ЛаЬ]*0. Поэтому можно ввести в рассмотрение величины Ла по формулам Ла .

Из (22) получаются дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют величины Лщ

dA а7+ Ав7а„ + Аава7в = AJ aG Aa7=- A„ Aea A17.

G „T

(25)

Из (21) следует, что (п—т—1)-плоскость Гп—т—1 в Р„_т, проходящая через точку Ле8т и являющаяся линейной полярой точки Л относительно квадрики 0п2_т—1сРп_т, определяется уравнениями

Ааааха = 0, хр = 0. (26)

Полюсом этой (п—т—1)-плоскости Гп—т—1 относительно конуса К2_т—1 в силу (23) и (24)—(26) является прямая

Р = (A, ^а )Р0 С Рп-т . (27)

Здесь величины ра определяются по формулам и удовлетворяют в силу [1, (4), (6)] и (25) соответствующим дифференциальным уравнениям

Ра = А*^^ + Рь а = Ра аа,

К = К<!+ АьА*ф . (28)

С другой стороны, из [1. Ур. (2)] и (27) заключаем, что прямая ~:

q = (Л єь )q ’

(29)

где

qb =-Abaa, d~qb + qab = q>a, qa=-a’

проходит через точку ЛеSm перпендикулярно (п—т—1)-плоскости Гп_т—1сРп_т.

Из (27)—(29) следует, что в общем случае в точке ЛеЗт

Rang

.4

q

= 2,

(30)

т. е. в общем случае прямые pq и qq не параллельны. Поэтому каждой точке Aє Sm<^En можно поставить в соответствие двумерную площадку P21 как линейную оболочку прямых (27) и (29).

Проведем такую канонизацию ортонормально-го репера R, при которой с учетом (27)—(30) имеем p~01=0, q01=0, qm+1qm+2-qm+1qm+V0. Тогда получаются дифференциальные уравнения (11), а сама эта канонизация геометрически означает инвариантный выбор двумерной площадки P21cPn_m в виде [1. Ур. (10)], т. е. в виде

(2),(3)

2) Pn -m - 2

P2 (A, Єш+1, Єш+2

=(A’ Єm+3’•••’ Є) 1 P21,( n - ш >2).

Поэтому все результаты раздела 2 в [1] и раздела 1, полученные для случая п=т+2, будут иметь место и в случае п—т>2. При этом в данном случае все рассуждения, о которых идет речь в указанных разделах, надо проводить в направлении (п—т—2)-плоскости Рп_т—2СРп_т.

3. О поверхностях и £^+2 в Е

Рассмотренные в предыдущих разделах и разделе 2 в [1] поля некоторых геометрических образов, ассоциированных с т-поверхностью 8т в п-мерном евклидовом пространстве Еп, позволяют при всех т и п, удовлетворяющих неравенствам [1. Ур. (5)], провести одну из возможных классификаций многомерных поверхностей в евклидовом пространстве.

3.1. Случай т-поверхности 5т в Ет+2

В соответствии с замечанием 2.1 для т-поверх-ности 8тсЕтП касательная т-плоскость Ьт к 5т в точке Л расщепляется на линейные двумерные площадки (13).

Рассмотрим любые две из этих площадок, отвечающих точке Л е £т:

4 = (А, е2р-1, е2р ), 4 = (А, e2q-1, e2q ), (Р < Ч).

Так же, как и в пункте 1 (см. [1. Ур. (18)—(20)], (5), (6)) показывается, что точке Ле8тсЕт+2 отвечают при фиксированном направлении 1еЬт отображения

/Г : 4 ^ 42 о ^ = Цр (/’■Арра+ёа),а,

(Ир * 0).

Геометрически каждое из этих отображений характеризуется аналогично отображению [1. Ур. (18)]. По аналогии с определением 1.1 имеем

/Г ^ /Г о (АР-‘а - А* а ), а = 0,

(А21-1,а + А1-1У = 0;

(р < q, га - фиксированы). (32)

Определение 3.1. т-поверхность 5тсЕт+2 называется т-поверхностью Коши—Римана типа I, если в каждой ее точке

/р ^ /Гр, V, е Ьт (33)

и т-поверхностью Коши—Римана типа II, если в каждой ее точке

/Г ^ /:; /Г ^ /р, V, е 4т (34)

при всех значениях чисел р и д (р<д).

Из (11) и (32) с учетом (33) и (34) следует, что каждая из поверхностей $т,т+2 и ^т,т+2 Коши—Рима-на первого и второго типа, соответственно характеризуется соотношениями:

^,т +2 о АДа - А,^ = 0, А^ А"2;]а= 0, (35)

(здесь а изменяется от 1 до т, а индекс р изменяется по закону (9)).

в

рП . ят +1 _ лт + 2 _ /ч ш + 2 . лп +1 _ /ч

Бт,т +2 о А2р-1,а А2р ,а = 0, А2р-1,а + А2р ,а = 0,

^.а - АРа = 0, Ар-1а + АР- = 0. (36)

Здесь индексы р и д изменяются по закону (9) причем р<д.

Из дифференциальных уравнений [1. Ур. (7)] и (11) с учетом (10), (32), (35) и (36) замечаем, что на т-поверхностях SIщmU и Sm,m+2 выполняются следующие дифференциальные уравнения

Б1 ?:а2-р-1 -а2р2 = 0,а2р, +а2р-1 = 0 о

Бт,т +2 ' т+1 т + 2 00 т +1 т + 2 0

,.т+1 т+2 _ /ч ,.т + 1 . _т + 2 _ г\.

о ®2_р-1 а2р = 0,а2р +а2р-1 = 0; (37)

Кт+2:-ат;2 = 0,<;1 +^+2 = 0о

о а22£ - а2/р = 0,а2р-1 + а^- = 0. (38)

Из (37) и (38) следует, что т-поверхность Sm,m+2 является частным случай т-поверхности SIщmU.

3.2. В общем случае для т-поверхности Sm в Еп предполагается, что числа т и п удовлетворяют неравенствам [1. Ур. (5)] и п—т>2. В соответствии с (31) заметим, что все результаты, изложенные в пункте 3.1 в случае п=т+2, справедливы и для случая п>т+2. Следовательно, имеет место следующая теорема.

Теорема 3.1. Многомерные поверхности Ко-ши—Римана Sm,m+2 и Sm,m+2 существуют.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ивлев Е.Т., Лучинин А.А., Молдованова Е.А. Отображения Ко-ши—Римана двумерных площадок касательного и нормального расслоений многомерной поверхности в евклидовом пространстве // Известия Томского политехнического университета. — 2012. — Т. 320. — № 2. — С. 5—8.

2. Остиану Н.М. О канонизации подвижного репера погруженного многообразия // Rev. math. pures et appl. - 1962. - № 2. -С. 231-240.

3. Акивис М.А. Фокальные образы поверхности ранга r// Известия вузов. Математика. - 1957. - № 1. - С. 9-19.

Поступила 02.12.2011 г.

УДК 514.76

СВОЙСТВА ПОВЕРХНОСТЕЙ КОШИ-РИМАНА В МНОГОМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Е.Т. Ивлев, А.А. Лучинин, Е.А. Молдованова

Томский политехнический университет E-mal: luchinin@tpu.ru

Изучаются геометрические свойства многомерных поверхностей Коши~Римана в евклидовом пространстве. С этой целью привлекаются, в частности, индуцированные связности в касательных и нормальных расслоениях указанных поверхностей.

Ключевые слова:

Многомерные евклидовы пространства, многомерные поверхности, характеристики, связности.

Key words:

Multidimensional Euclidean spaces, multidimensional surfaces, characteristics, connectivity.

Введение

В статье [1] были изучены частные классы т-поверхностей Sm,m+2 и S"m+2 в п-мерном евклидовом пространстве Еп. Данная статья является продолжением статей [1, 2] и посвящена изучению некоторых геометрических свойств этих поверхностей. Рассматриваются некоторые поля геометрических образов поверхности SmcEn, которые позволяют выявить дополнительные геометрические свойства поверхностей Sm,m+2 и Sm,m+2. В случае четномерной т-поверхности SЛ,m+2cEm+2 изучаются индуцированные связности на SmcEn. На т-поверхностях Sm,m+2 и Sm,m+2 в случае п>т+2 (см. [1. Ур. (37), (38)]) выполняются дифференциальные уравнения:

С1 . ^т +1 т +2 т +1 т + 2 л

б ->: т 1 - т = 0, т 1 = 0.

Бт ,т+2 2 р-1 2р 0,^2р 2р-1 °.

гчЛ . ,лт +1 ,.лт +2 /л ^.Лт + 1 . ,.лт + 2 г\.

б : т 1 - т = 0, т 1 = 0;

Бт,т +2 : ^-'2р-1 2р 0,^2р 2р-1 0;

т22!-1 - т2^ = 0,а22р-1 + = 0, (р < р). (1)

Все обозначения и терминология, а также значения индексов соответствуют принятым [1—6].

1. Поля некоторых инвариантных

геометрических образов

Для выяснения свойств т-поверхностей Sm,m+2 и Sm,m+2 рассмотрим в случаях 1) и 2) на т-поверхно-сти Sm поля некоторых инвариантных геометрических образов.

1) Каждой точке ЛеSmcEn поставим в соответствие гиперплоскость Гп—1зХт, определяемую уравнением хаха=0. Тогда в соответствии с [3] получаем, что множество ФI 4 всех касательных (фокальных) к SmcEn гиперплоскостей Гп—1, проходящих вдоль направления [2. Ур. (9)] через Ьт и бесконечно близкую к Ьт первого порядка, определяется в тангенциальных координатах ха ортонормального репера Я уравнением