CC BY
34
УДК 514.76
ПОЛЯ ДВУМЕРНЫХ ПЛОЩАДОК МНОГООБРАЗИЯ ПРЯМЫХ В МНОГОМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Е.Т. Ивлев, Е.Д. Глазырина
Томский политехнический университет E-mail: [email protected]
На m-мерном многообразии GJ прямых I" в n-мерном евклидовом пространстве En(m>2, n>2m+1) аналитически и геометрически определяются два поля инвариантных двумерных площадок.
Ключевые слова:
Евклидово пространство, линейное отображение, условия Коши~Римана. Key words:
Euclid's space, linear mapping, Cauchy-Riemann conditions.
Введение
Данная статья является продолжением статьи [1] и посвящена инвариантному нахождению полей двумерных площадок Ь2' и Гг1 в соответствующих т-плоскостях Ьт и Гт, определяемых на т-мерном семействе От1 прямых /" в «-мерном евклидовом пространстве Еп (т>2, п>2т+1).
Обозначения и терминология соответствуют принятым в [1-5].
1. Аналитический аппарат
Как ив [1], в данной статье рассматривается т-мерном семействе От прямых /1п в «-мерном евклидовом пространстве Еп (п>2т+1), отнесенном к подвижному ортонормальному реперу Я=(Л ,е) с деривационными формулами и структурными уравнениями
СА = ю'Ц, Сё1 = со(ё],
Бю‘ = юк лю‘к, БЮк = Ю лю*, а>к аа>к = 0. (1)
Ортонормальный репер Я выбирается и канонизируется так, что имеют место соотношения [1. Ур. (2, 14, 28)]. В результате этого на многообразии От1(^Еп имеют место дифференциальные уравнения [1. Ур. (3, 15, 29, 30)]. В терминах выбранного репера Я на многообразии От1 определены, в частности, т-плоскости
1т = (А,Ц,ё2,...,ёт), Тт = (А,ёт +1,ёт ),
согласно [1. Ур. (17, 25, 31)].
В данной статье в соответствии с [1. Ур. (4)] и в дополнение к этому используется следующая система индексов при т>2, «>2т+1:
i, j,k,l = i, n; a,b,c = i, n-i; a, P, y= i, m;
а, Р,у = т а1, п-1; f, g, к = т а 1,2т;
«1, А, У1 = 3, т.
2. Поля двумерных площадок и Г2’сГю
2.1. Каждому элементу /1"=(Л,е„)еОт1сопоста-вим двумерные площадки Ь2‘сЬт и Г2'сГт.
Двумерную площадку L21cLm=(A,e 1,e2,...,em) определим следующим образом:
L\ = (A, Є, Є) О x0i = gf1xai, x0 = О, xn = О; є = Є0 + g0ie? , dg0i + g^m1?1 -
ai ai °ai ai °ai °°i Pi
-gaimPi +mai = ga ma.
oPj Oi Oi OOiO n
(2)
В соответствии с (1) с двумерной площадкой L21 ассоциируется (m-1)-плоскость, ортогональная L21:
L:-2 = (A, є3,..., є:) 1 L\ о x0 = g00x0i,
x0 = О, xn = О;
ai— sJrrOi
>1 Oi —’ a i
Є = є + g 1 Єа
Oi Oi ooi Oi
+gPim01 -gaimPi +mai = ga та
Co, Pi oPiw0i ai oaf n
(З)
Двумерную площадку Г21аТт=(А,ет+1,ет+ъ...,е2т) определим следующим образом:
Г = (А, Єт+1, ёт+2)» хт+а = и:;:;хт+а,
ха = 0, х^ = 0, х" = 0;
— — .7 т+а\ —
£ — = Є + и Є — ;
т+а т+а т+а1 т+а 1 ’
ли:++а + кіоті - %+%всц +€1 = т+аата .(4)
Тогда в соответствии с (1) с двумерной площадкой Г2‘ ассоциируется (т-1)-плоскость, ортогональная Гт-2:
ГП-2 = (A, Є:+з,., Є*, ) 1Г 2 О xm+f = x™ xa = О, x? = О, xn = О;
е « = ё « + кта ет а , йт;а1=-йт+а>. (5)
т+а: т+а\ т+а\ таа1 т+а1 т аа 1
В следующих пунктах данного раздела в каждом элементе /{п&От1 будут выделены аналитически и геометрически двумерные площадки Ь2‘сЬт и Г^Гт.
2.2. Инвариантная площадка Ь2'сЬт.
В соответствии с [1. Ур. (20)] каждому элементу /1пеОт1сЕп отвечает в т-плоскости Ьт конус 02т_1, определяемый с учетом [1. Ур. (22)] уравнениями:
БаРхах3 = 0,
= 0, х" = 0.
(6)
Здесь симметрические величины Бар определяются по формулам и удовлетворяют соответствующим дифференциальным уравнениям:
Ба3 =
Б?,А3, Б - Б„з€- Баті = В^ю
(а |ї|і)
аі
їі а
’аіГш"’ (7)
несущественный.
причем явный вид величин Бау Имеет место следующая теорема.
Теорема 2.1. Каждому элементу /1пеОт1вобщем случае отвечает конечное число двумерных площадок Ь2'сЬт, сопряженных соответствующие (т-2)-плоскостям Ь'т_2±Ь21 относительно конуса 02т_1 еЬт.
Доказательство. Из (2), (3), (6) и (7) следует, Ь21 и Пт_2 сопряжены относительно конуса 02т_1 тогда и только тогда, когда к1=2(т-2) величин ^‘—зО;1 удовлетворяют следующим к1 алгебраическим уравнениям:
. = Б-аі 3і аі3і‘
+ Ба3
і1 + Б- 3 31 а і31
' + Б - = 0. (8)
а і і
Рассматривается якобиева матрица системы ал гебраических уравнений (8): ду
аі 3і
уп
5їі
(9)
Подсчитаем ранг матрицы (9), например, при условии
g::=-«=о, (10)
в силу чего из (8) получаются соотношения
^=0. (“)
Из (9) с учетом (11) замечаем, что матрица Т имеет минор порядка к1=2(т-2):
¥ = ёе^ Бїіаі].
ї іаі
Здесь
Бї1 = Б 38їА8- ~ - Б - 5П5 аі,
ї а аі3і ї іі і а іі і аі їі
(12)
причем значения индексов
указывают на но-
Баі= 2( А3+ а-).
(13)
Проведем такую канонизацию ортонормально-го репера Я на многообразии От1^Еп, при которой с учетом (13) имеют место (11), а Т^0, т. е.
Аа + Аа = 0, а 0.
(14)
Из дифференциальных уравнений (7) заключаем, что на многообразии О^сучетом (14) и [1. Ур. (3), (15)] выполняются дифференциальные уравнения:
,Лаі А-і ,ч-
€ = А €
" аа
САа + А3 Ю1 - а0 ю131 - Аа аЮ = . (15)
аа а^а з РО а 1 а р а О «3
Здесь явный вид величин ЛОо несущественный. Из (15) с учетом (1) замечаем, что
юО1 = АО1 юа = -юО1 ^ О = - А«а.
а 1 а «а “1 а а а\а
В соответствии с [2] и с учетом (15) делаем вывод о том, что канонизация ортонормального репера Я типа (14) на многообразии От1<^Еп при «>2т+1 в общем случае существует.
Из (2), (3), (10) и (11) следует, что теперь
Ь2 = (А, ё1, ё2), Ьт-2 = (А, ё3, ‘‘‘, ёт ). (16)
2.3. Двумерная площадка Г21сГт Коши-Римана.
Из [1. Ур. (9, 23)] следует, что направление
V = (В,ё«Хе ьт (17)
с учетом [1. Ур. (16, 21, 22)] при отображении П={Ла3}: Ьт——Ьт переходит в направление
* = (А,ёр)AОvа = х3 (А, ёр) е Ьт, (18)
откуда получаем
х3= АУ ^ V0 = В3х3 . (19)
Из (16)-(19) следует, что
® . 1 х е Ьт-2 ^ ха1 = 0 ^ V01 = 0 ^ V е Ьт-2 =
= (В, ё1,..., ёт ), (20)
где
мера строк, а значения индексов
\
аі
на номера
столбцов определителя Т.
Полагая, например, Б3==0 при аФ$, с учетом (12) и [1. Ур. (21, 22)] можно убедиться в том, что
Т = ВВ... Втт = (А1 А... а: )-1 * 0,
поскольку в этом случае Ла3=0 при а?р. Поэтому в общем случае определитель Т порядка к1 не равен нулю на многообразии От\ Следовательно, ранг матрицы (9) в общем случае равен к1=2(т-2). Это означает, что система (8) состоит из алгебраически независимых уравнений, а потому имеет конечное число решений относительно .З^-,?®01. Теорема 2.1 доказана.
Замечание 2.1. Из (7) с учетом [1. Ур. (22)] следует, что
Ьт-2 =П-1Ь:-2. (21)
Каждому элементу /1пеОт1вдвумерных площадках Ь21сЬт и Г21сГт сопоставим с учетом (4), (5) и (16) точки Хи У с радиус-векторами
X = А + хаіЄа , У = А + >>
п+3і-
т+3 і •
(22)
Отсюда с учетом (16) и [1. Ур. (1, 3, 9, 15)] полу-
чаем
= (-)Ч+ (АГ+ х1 і Аат+а) Єт+2 +
+ ("07 Є£ + ("Т Є"
(23)
Из (22) и (23) с учетом (2), (3) и [1. Ур. (9)] получаем, что с каждым фиксированным направлением у=(Б,-а) уаеЬт\ соответствующим элементу /1пеОт1 ассоциируется отображение
(24)
определяемое уравнениями
у:+$ = Х(ха 10^+ о;+$ ‘)У“, (25)
где V" - фиксированы, а величины О^/1 и От^1 удовлетворяют соотношениям:
2:+& _ л:+$ , г,:+А л:+$
Основным определителем Бк1 порядка к системы (29) является определитель:
ат+й _ Ат+Рі + Кт+Рі Ат
Кца1а ^аха ~ +р1 1ОО 5
Qm+р _ Ат+Р + Кт+а Ат+Р
О О т+^і а
а а
(26)
А"а+/3’ кт+1 + і К п + 2 _ АО2 - А+,
іаі т+$і 2а і !+Р\ 2а і іа і
Ато+р> кт+І + Ат-+Р' К п + 2 _- Ажо+і - АО2
2аі т+рі іа і *+Рі 2а і іа і
А _
По аналогии с [3. С. 6] и [4. Ур. (15)] отображение (27) с учетом [1. Ур. (9, 25, 28)] геометрически означает, что
у = гх = г 2 п {Т (X \ и ь: и г' -2 и Г -:}.
Здесь Т(Х), означает касательную к нефокальной, в смысле [1], линии (Х),, описываемой точкой Х в направлении v=(B ,-а) vаеLm\
Определение 2.1. Отображение Е;. L21^•Г21, отвечающее элементу /1"бОт1с-, при каждом фиксированном направлении v=(B,—) vаеLm\ называется отображением Коши-Римана или Е^Е, (К.-Р.), если определяющие его функции удовлетворяют условиям Коши-Римана [5. С. 188-189]:
У+1 У+2 ду:+2 ау+1 (27)
дх1 дх2 ’ дх1 дх2 '
Если эти условия выполняются при любых направлениях vеLm1, то отображение называется аналитическим или отображением Е^Е, (К.-Р.).
Определение 2.2. Двумерная площадка Г21сГт, отвечающая в каждом элементе /1пеОт1сЕп двумерной плоскости L21сLm при отображениях Ё^Е,
* 1
(К.-Р.) при всех направлениях V е Ь:-2 с Ь:, называется двумерной площадкой Коши-Римана.
Имеет место следующая теорема.
Теорема 2.2. Каждому элементу /1пеОт1сЕп в общем случае отвечает в Гт единственная двумерная плоскость Г21 Коши-Римана, соответствующая площадке L21сLm.
Доказательство. Из (25) и (27) в соответствии с определением 2.1 отображение (24) будет при каждом фиксированном направлении vеLm\ отвечающим элементу /"еОт\ будет отображением Е^Е, (К.-Р.) тогда и только тогда, когда выполняются на многообразии ОтгсЕп следующие соотношения:
ог - О1;2) V" = 0, (о;2 + С“+1) V" = 0. (28)
В соответствии с определением 2.2 из (28) с учетом (26), (20) и (21) следует, что двумерная площадка Г21сГт будет двумерной площадкой Ко-ши-Римана тогда и только тогда, когда величины
и:; =-И:т++;1, общее число которых равно
к1=2(т-2), удовлетворяют в общем случае следующей системе нелинейных уравнений:
(29)
лт+3 Аі3 Аш+3 - А23+3 - т + 3 А2т
А1т - а: *А і ■ - А2т
лт+3 А23 Ат+3 а+3 Аі3 т + 3 Аіт
А1т ^23 - Атт А2 Л\3 А2
Здесь в величинах А^1 запятая в нижних индексах ставится для того, чтобы первый индекс отличать от второго, равного т во избежание путаницы с верхним индексом т+а1 преимущественно при о!1=т.
Положив, например, Ат+Рі _ 0, Ат~+Рі _ 5рі, мы
2аі іаі аі
убеждаемся втом, что определитель Бк{ равен 1. Поэтому основной определитель Бк{ тождественно не равен нулю на многообразии 01т. Следовательно, система (29) в силу теоремы Крамера имеет конеч-
... 7 т+аі 7 т+а,
ное число решений относительно Кт+а _-П а1.
1 +а 1
Теорема 2.2 доказана.
Проведем на многообразии От1 такую канонизацию ортонормального репера Я, при которой
А О - аО _ 0, АО + Ата+.2 _ 0, Б. * 0. (30)
2аі іаі ’ іаі іаі ’ кі у '
Тогда из [1. ур. (1), (3), (16)] с учетом (30) замечаем, что на многообразии 0„1^Еп при т>2, и2т+1 имеют место дифференциальные уравнения:
т + Ві а+т іОі+т а
т + _ -т - _ - А і - ю _
°і +т т+Рі т +Рі ,а п
= А:+$ :а А“1+: = А: +$ •
Л:+"1 ;шп Л:+р1 а Л:+"1 а ’
АЛ:+$ + А:+У1 ::+?1 - Л+$1 т:+$ -
:+"1,а 1 :+"1,а :+^1 ^: +$1" : +"1
- А:+$1 :Р = А:+$1 :Р •
л:+; ,Р а Л:+"1 ;рШп ’
ю:+2-а:+1=( а;2 -
а>:+1+::+2 = (л;;1+л^К1. (31)
Здесь явный вид величин несущественный. Из (31) в соответствии с [2] заключаем, что канонизация репера Я типа (30) на многообразии От1 в общем случае существует. Из (29) в силу (30) следует, что при указанном выборе репера Я
на многообразии От{ величины И:++а111 = “ИГа1 = 0.
Геометрически это означает, что в силу (2) и (3) теперь в т-плоскости Гт имеем:
Г2 = (Л. е: +3 ’ е: +4)> Г: - 2 = (Л. ^ + 5> •”> е: )' (32) Замечание 2.2. Двумерные площадки (16) и (32), определенные в каждом элементе /1"еОт1, будут использованы при одной из возможных классификаций многообразий От\ Это будет предметом особого рассмотрения.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ивлев Е.Т, Глазырина Е.Д. Многообразие прямых в многомерном евклидовом пространстве // Известия Томского политехнического университета. - 2011. - Т 319. - № 2. - С. 5-8.
2. Ивлев Е.Т, Глазырина Е.Д. Распределение двумерных плоскостей в четырехмерном евклидовом пространстве // Известия Томского политехнического университета. - 2003. - Т. 306. -№ 6. - С. 5-7.
3. Ивлев Е.Т, Молдованова Е.А. О дифференцируемых отображениях аффинных пространств в многообразия т-плоскостей
в многомерном евклидовом пространстве // Известия вузов. Математика. - 2009. - № 11. - С. 24-42.
4. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. - М.: Физматгиз, 1958. - 687 с.
5. Остиану Н.М. О канонизации подвижного репера погруженного многообразия // Rev. math. pures et appl. (RNR). - 1962. -№ 2. - Р. 231-240.
Поступила 10.03.2011 г.
УДК 517.54
УСИЛЕНИЕ ТЕОРЕМ ИСКАЖЕНИЯ
Л.М. Бер
Томский политехнический университет E-mail: [email protected]
Для однолистных функций с симметрией вращения получены оценки, обобщающие теоремы Г.М. Голузина об искажении хорд. Ключевые слова:
Однолистные функции, симметрия вращения, искажение хорд, оценки.
Key words:
Schlicht functions, symmetry of rotation, Distortion of chords, estimations.
§ 1. Области с разрезами
Пусть Б,0еБ, - односвязная область. Пусть £(«), неМ, - класс голоморфных однолистных в единичном круге Е={г:\г\<1} функций /(г), нормированных условиями /(0)=0, /(0)=1 и отображающих этот круг на область Б0, полученную из Б исключением н (неМ) простых непересекающихся жордановых дуг.
Пусть S (н) - подкласс класса £(н) тех функций, которые отображают единичный круг на плоскость с разрезом по простой жордановой дуге, идущей в бесконечность. Согласно [1] любую функцию класса £(н) можно записать в виде предела последовательности функций подкласса S (н), в котором каждая функция/(г) представима в Е в виде
f (z) = lim ет f ( z,t),
(1)
где /(і,т), как функция от і, голоморфна и однолистна в круге Е, /(і,т)|<1 в Е и/(0,т)=0, /" (0,т)=1, а, как функция от т (0<т<да), является решением дифференциального уравнения Левнера
£. = _/у в, (т) ,
^ 6 Ч (т) _ Г
удовлетворяющим начальному условию /(і,0)=і.
Здесь цк(т) - управляющие функции, кусочнонепрерывные и по модулю равные единице в промежутке 0<т<да.
Пусть / (г)є^(и) и/(і,т) - функция, соответствующая/^). Для любых точек £„, у=1,...,и, и>1 положим для краткости /=/ (г„т).
Непосредственным вычислением получаем следующие равенства при n>1:
—In
дт
l: - l:
f:f:
= -n -
—ln
дт
nfrX і: nf:- L: n і n L:
f:- f:дт f:- f:дт :дт :дт /г1:
1 - f: f :
f L-+ f L
J V /-> Jv '
от д
1 - f:f,
Используя уравнение Левнера, получим
і - і
т J v J v
—ln
дт
= -2L f -Z
XX Sk (t)
—In
дт
о. (т)- L )o. (t) -:)
l: - :
= 2nfv f:Z-
f:f: Sk (t)
f:- f:
n > 2,
дТ in[i - lvLI]=2nf:L: -1 - f дт l - l:l :
sk (t)
k =!Ok (t) - fv)(Pk (t) - fv-)
(2)
(З)
