Научная статья на тему 'Поля двумерных площадок многообразия прямых в многомерном евклидовом пространстве'

Поля двумерных площадок многообразия прямых в многомерном евклидовом пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
140
33
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
евклидово пространство / линейное отображение / условия Коши-Римана / Euclid's space / Linear mapping / Cauchy-Riemann conditions

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Ивлев Евгений Тихонович, Глазырина Елена Дмитриевна

На m-мерном многообразии G<sub>m</sub><sup>1</sup>прямых l<sub>1</sub><sup>n</sup>в n-мерном евклидовом пространстве Е<sub>n</sub>(m&gt;2, n≥2m+1) аналитически и геометрически определяются два поля инвариантных двумерных площадок.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Ивлев Евгений Тихонович, Глазырина Елена Дмитриевна

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Two fields of invariant two-dimensional areas have been determined analytically and geometrically at m-dimensional variety G<sub>m</sub><sup>1</sup>of straight lines l<sub>1</sub><sup>n</sup> in n-dimensional Euclid's space Е<sub>n</sub> (m&gt;2, n≥2m+1).

Текст научной работы на тему «Поля двумерных площадок многообразия прямых в многомерном евклидовом пространстве»

УДК 514.76

ПОЛЯ ДВУМЕРНЫХ ПЛОЩАДОК МНОГООБРАЗИЯ ПРЯМЫХ В МНОГОМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Е.Т. Ивлев, Е.Д. Глазырина

Томский политехнический университет E-mail: ged@tpu.ru

На m-мерном многообразии GJ прямых I" в n-мерном евклидовом пространстве En(m>2, n>2m+1) аналитически и геометрически определяются два поля инвариантных двумерных площадок.

Ключевые слова:

Евклидово пространство, линейное отображение, условия Коши~Римана. Key words:

Euclid's space, linear mapping, Cauchy-Riemann conditions.

Введение

Данная статья является продолжением статьи [1] и посвящена инвариантному нахождению полей двумерных площадок Ь2' и Гг1 в соответствующих т-плоскостях Ьт и Гт, определяемых на т-мерном семействе От1 прямых /" в «-мерном евклидовом пространстве Еп (т>2, п>2т+1).

Обозначения и терминология соответствуют принятым в [1-5].

1. Аналитический аппарат

Как ив [1], в данной статье рассматривается т-мерном семействе От прямых /1п в «-мерном евклидовом пространстве Еп (п>2т+1), отнесенном к подвижному ортонормальному реперу Я=(Л ,е) с деривационными формулами и структурными уравнениями

СА = ю'Ц, Сё1 = со(ё],

Бю‘ = юк лю‘к, БЮк = Ю лю*, а>к аа>к = 0. (1)

Ортонормальный репер Я выбирается и канонизируется так, что имеют место соотношения [1. Ур. (2, 14, 28)]. В результате этого на многообразии От1(^Еп имеют место дифференциальные уравнения [1. Ур. (3, 15, 29, 30)]. В терминах выбранного репера Я на многообразии От1 определены, в частности, т-плоскости

1т = (А,Ц,ё2,...,ёт), Тт = (А,ёт +1,ёт ),

согласно [1. Ур. (17, 25, 31)].

В данной статье в соответствии с [1. Ур. (4)] и в дополнение к этому используется следующая система индексов при т>2, «>2т+1:

i, j,k,l = i, n; a,b,c = i, n-i; a, P, y= i, m;

а, Р,у = т а1, п-1; f, g, к = т а 1,2т;

«1, А, У1 = 3, т.

2. Поля двумерных площадок и Г2’сГю

2.1. Каждому элементу /1"=(Л,е„)еОт1сопоста-вим двумерные площадки Ь2‘сЬт и Г2'сГт.

Двумерную площадку L21cLm=(A,e 1,e2,...,em) определим следующим образом:

L\ = (A, Є, Є) О x0i = gf1xai, x0 = О, xn = О; є = Є0 + g0ie? , dg0i + g^m1?1 -

ai ai °ai ai °ai °°i Pi

-gaimPi +mai = ga ma.

oPj Oi Oi OOiO n

(2)

В соответствии с (1) с двумерной площадкой L21 ассоциируется (m-1)-плоскость, ортогональная L21:

L:-2 = (A, є3,..., є:) 1 L\ о x0 = g00x0i,

x0 = О, xn = О;

ai— sJrrOi

>1 Oi —’ a i

Є = є + g 1 Єа

Oi Oi ooi Oi

+gPim01 -gaimPi +mai = ga та

Co, Pi oPiw0i ai oaf n

(З)

Двумерную площадку Г21аТт=(А,ет+1,ет+ъ...,е2т) определим следующим образом:

Г = (А, Єт+1, ёт+2)» хт+а = и:;:;хт+а,

ха = 0, х^ = 0, х" = 0;

— — .7 т+а\ —

£ — = Є + и Є — ;

т+а т+а т+а1 т+а 1 ’

ли:++а + кіоті - %+%всц +€1 = т+аата .(4)

Тогда в соответствии с (1) с двумерной площадкой Г2‘ ассоциируется (т-1)-плоскость, ортогональная Гт-2:

ГП-2 = (A, Є:+з,., Є*, ) 1Г 2 О xm+f = x™ xa = О, x? = О, xn = О;

е « = ё « + кта ет а , йт;а1=-йт+а>. (5)

т+а: т+а\ т+а\ таа1 т+а1 т аа 1

В следующих пунктах данного раздела в каждом элементе /{п&От1 будут выделены аналитически и геометрически двумерные площадки Ь2‘сЬт и Г^Гт.

2.2. Инвариантная площадка Ь2'сЬт.

В соответствии с [1. Ур. (20)] каждому элементу /1пеОт1сЕп отвечает в т-плоскости Ьт конус 02т_1, определяемый с учетом [1. Ур. (22)] уравнениями:

БаРхах3 = 0,

= 0, х" = 0.

(6)

Здесь симметрические величины Бар определяются по формулам и удовлетворяют соответствующим дифференциальным уравнениям:

Ба3 =

Б?,А3, Б - Б„з€- Баті = В^ю

(а |ї|і)

аі

їі а

’аіГш"’ (7)

несущественный.

причем явный вид величин Бау Имеет место следующая теорема.

Теорема 2.1. Каждому элементу /1пеОт1вобщем случае отвечает конечное число двумерных площадок Ь2'сЬт, сопряженных соответствующие (т-2)-плоскостям Ь'т_2±Ь21 относительно конуса 02т_1 еЬт.

Доказательство. Из (2), (3), (6) и (7) следует, Ь21 и Пт_2 сопряжены относительно конуса 02т_1 тогда и только тогда, когда к1=2(т-2) величин ^‘—зО;1 удовлетворяют следующим к1 алгебраическим уравнениям:

. = Б-аі 3і аі3і‘

+ Ба3

і1 + Б- 3 31 а і31

' + Б - = 0. (8)

а і і

Рассматривается якобиева матрица системы ал гебраических уравнений (8): ду

аі 3і

уп

5їі

(9)

Подсчитаем ранг матрицы (9), например, при условии

g::=-«=о, (10)

в силу чего из (8) получаются соотношения

^=0. (“)

Из (9) с учетом (11) замечаем, что матрица Т имеет минор порядка к1=2(т-2):

¥ = ёе^ Бїіаі].

ї іаі

Здесь

Бї1 = Б 38їА8- ~ - Б - 5П5 аі,

ї а аі3і ї іі і а іі і аі їі

(12)

причем значения индексов

указывают на но-

Баі= 2( А3+ а-).

(13)

Проведем такую канонизацию ортонормально-го репера Я на многообразии От1^Еп, при которой с учетом (13) имеют место (11), а Т^0, т. е.

Аа + Аа = 0, а 0.

(14)

Из дифференциальных уравнений (7) заключаем, что на многообразии О^сучетом (14) и [1. Ур. (3), (15)] выполняются дифференциальные уравнения:

,Лаі А-і ,ч-

€ = А €

" аа

САа + А3 Ю1 - а0 ю131 - Аа аЮ = . (15)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

аа а^а з РО а 1 а р а О «3

Здесь явный вид величин ЛОо несущественный. Из (15) с учетом (1) замечаем, что

юО1 = АО1 юа = -юО1 ^ О = - А«а.

а 1 а «а “1 а а а\а

В соответствии с [2] и с учетом (15) делаем вывод о том, что канонизация ортонормального репера Я типа (14) на многообразии От1<^Еп при «>2т+1 в общем случае существует.

Из (2), (3), (10) и (11) следует, что теперь

Ь2 = (А, ё1, ё2), Ьт-2 = (А, ё3, ‘‘‘, ёт ). (16)

2.3. Двумерная площадка Г21сГт Коши-Римана.

Из [1. Ур. (9, 23)] следует, что направление

V = (В,ё«Хе ьт (17)

с учетом [1. Ур. (16, 21, 22)] при отображении П={Ла3}: Ьт——Ьт переходит в направление

* = (А,ёр)AОvа = х3 (А, ёр) е Ьт, (18)

откуда получаем

х3= АУ ^ V0 = В3х3 . (19)

Из (16)-(19) следует, что

® . 1 х е Ьт-2 ^ ха1 = 0 ^ V01 = 0 ^ V е Ьт-2 =

= (В, ё1,..., ёт ), (20)

где

мера строк, а значения индексов

\

аі

на номера

столбцов определителя Т.

Полагая, например, Б3==0 при аФ$, с учетом (12) и [1. Ур. (21, 22)] можно убедиться в том, что

Т = ВВ... Втт = (А1 А... а: )-1 * 0,

поскольку в этом случае Ла3=0 при а?р. Поэтому в общем случае определитель Т порядка к1 не равен нулю на многообразии От\ Следовательно, ранг матрицы (9) в общем случае равен к1=2(т-2). Это означает, что система (8) состоит из алгебраически независимых уравнений, а потому имеет конечное число решений относительно .З^-,?®01. Теорема 2.1 доказана.

Замечание 2.1. Из (7) с учетом [1. Ур. (22)] следует, что

Ьт-2 =П-1Ь:-2. (21)

Каждому элементу /1пеОт1вдвумерных площадках Ь21сЬт и Г21сГт сопоставим с учетом (4), (5) и (16) точки Хи У с радиус-векторами

X = А + хаіЄа , У = А + >>

п+3і-

т+3 і •

(22)

Отсюда с учетом (16) и [1. Ур. (1, 3, 9, 15)] полу-

чаем

= (-)Ч+ (АГ+ х1 і Аат+а) Єт+2 +

+ ("07 Є£ + ("Т Є"

(23)

Из (22) и (23) с учетом (2), (3) и [1. Ур. (9)] получаем, что с каждым фиксированным направлением у=(Б,-а) уаеЬт\ соответствующим элементу /1пеОт1 ассоциируется отображение

(24)

определяемое уравнениями

у:+$ = Х(ха 10^+ о;+$ ‘)У“, (25)

где V" - фиксированы, а величины О^/1 и От^1 удовлетворяют соотношениям:

2:+& _ л:+$ , г,:+А л:+$

Основным определителем Бк1 порядка к системы (29) является определитель:

ат+й _ Ат+Рі + Кт+Рі Ат

Кца1а ^аха ~ +р1 1ОО 5

Qm+р _ Ат+Р + Кт+а Ат+Р

О О т+^і а

а а

(26)

А"а+/3’ кт+1 + і К п + 2 _ АО2 - А+,

іаі т+$і 2а і !+Р\ 2а і іа і

Ато+р> кт+І + Ат-+Р' К п + 2 _- Ажо+і - АО2

2аі т+рі іа і *+Рі 2а і іа і

А _

По аналогии с [3. С. 6] и [4. Ур. (15)] отображение (27) с учетом [1. Ур. (9, 25, 28)] геометрически означает, что

у = гх = г 2 п {Т (X \ и ь: и г' -2 и Г -:}.

Здесь Т(Х), означает касательную к нефокальной, в смысле [1], линии (Х),, описываемой точкой Х в направлении v=(B ,-а) vаеLm\

Определение 2.1. Отображение Е;. L21^•Г21, отвечающее элементу /1"бОт1с-, при каждом фиксированном направлении v=(B,—) vаеLm\ называется отображением Коши-Римана или Е^Е, (К.-Р.), если определяющие его функции удовлетворяют условиям Коши-Римана [5. С. 188-189]:

У+1 У+2 ду:+2 ау+1 (27)

дх1 дх2 ’ дх1 дх2 '

Если эти условия выполняются при любых направлениях vеLm1, то отображение называется аналитическим или отображением Е^Е, (К.-Р.).

Определение 2.2. Двумерная площадка Г21сГт, отвечающая в каждом элементе /1пеОт1сЕп двумерной плоскости L21сLm при отображениях Ё^Е,

* 1

(К.-Р.) при всех направлениях V е Ь:-2 с Ь:, называется двумерной площадкой Коши-Римана.

Имеет место следующая теорема.

Теорема 2.2. Каждому элементу /1пеОт1сЕп в общем случае отвечает в Гт единственная двумерная плоскость Г21 Коши-Римана, соответствующая площадке L21сLm.

Доказательство. Из (25) и (27) в соответствии с определением 2.1 отображение (24) будет при каждом фиксированном направлении vеLm\ отвечающим элементу /"еОт\ будет отображением Е^Е, (К.-Р.) тогда и только тогда, когда выполняются на многообразии ОтгсЕп следующие соотношения:

ог - О1;2) V" = 0, (о;2 + С“+1) V" = 0. (28)

В соответствии с определением 2.2 из (28) с учетом (26), (20) и (21) следует, что двумерная площадка Г21сГт будет двумерной площадкой Ко-ши-Римана тогда и только тогда, когда величины

и:; =-И:т++;1, общее число которых равно

к1=2(т-2), удовлетворяют в общем случае следующей системе нелинейных уравнений:

(29)

лт+3 Аі3 Аш+3 - А23+3 - т + 3 А2т

А1т - а: *А і ■ - А2т

лт+3 А23 Ат+3 а+3 Аі3 т + 3 Аіт

А1т ^23 - Атт А2 Л\3 А2

Здесь в величинах А^1 запятая в нижних индексах ставится для того, чтобы первый индекс отличать от второго, равного т во избежание путаницы с верхним индексом т+а1 преимущественно при о!1=т.

Положив, например, Ат+Рі _ 0, Ат~+Рі _ 5рі, мы

2аі іаі аі

убеждаемся втом, что определитель Бк{ равен 1. Поэтому основной определитель Бк{ тождественно не равен нулю на многообразии 01т. Следовательно, система (29) в силу теоремы Крамера имеет конеч-

... 7 т+аі 7 т+а,

ное число решений относительно Кт+а _-П а1.

1 +а 1

Теорема 2.2 доказана.

Проведем на многообразии От1 такую канонизацию ортонормального репера Я, при которой

А О - аО _ 0, АО + Ата+.2 _ 0, Б. * 0. (30)

2аі іаі ’ іаі іаі ’ кі у '

Тогда из [1. ур. (1), (3), (16)] с учетом (30) замечаем, что на многообразии 0„1^Еп при т>2, и2т+1 имеют место дифференциальные уравнения:

т + Ві а+т іОі+т а

т + _ -т - _ - А і - ю _

°і +т т+Рі т +Рі ,а п

= А:+$ :а А“1+: = А: +$ •

Л:+"1 ;шп Л:+р1 а Л:+"1 а ’

АЛ:+$ + А:+У1 ::+?1 - Л+$1 т:+$ -

:+"1,а 1 :+"1,а :+^1 ^: +$1" : +"1

- А:+$1 :Р = А:+$1 :Р •

л:+; ,Р а Л:+"1 ;рШп ’

ю:+2-а:+1=( а;2 -

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

а>:+1+::+2 = (л;;1+л^К1. (31)

Здесь явный вид величин несущественный. Из (31) в соответствии с [2] заключаем, что канонизация репера Я типа (30) на многообразии От1 в общем случае существует. Из (29) в силу (30) следует, что при указанном выборе репера Я

на многообразии От{ величины И:++а111 = “ИГа1 = 0.

Геометрически это означает, что в силу (2) и (3) теперь в т-плоскости Гт имеем:

Г2 = (Л. е: +3 ’ е: +4)> Г: - 2 = (Л. ^ + 5> •”> е: )' (32) Замечание 2.2. Двумерные площадки (16) и (32), определенные в каждом элементе /1"еОт1, будут использованы при одной из возможных классификаций многообразий От\ Это будет предметом особого рассмотрения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ивлев Е.Т, Глазырина Е.Д. Многообразие прямых в многомерном евклидовом пространстве // Известия Томского политехнического университета. - 2011. - Т 319. - № 2. - С. 5-8.

2. Ивлев Е.Т, Глазырина Е.Д. Распределение двумерных плоскостей в четырехмерном евклидовом пространстве // Известия Томского политехнического университета. - 2003. - Т. 306. -№ 6. - С. 5-7.

3. Ивлев Е.Т, Молдованова Е.А. О дифференцируемых отображениях аффинных пространств в многообразия т-плоскостей

в многомерном евклидовом пространстве // Известия вузов. Математика. - 2009. - № 11. - С. 24-42.

4. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. - М.: Физматгиз, 1958. - 687 с.

5. Остиану Н.М. О канонизации подвижного репера погруженного многообразия // Rev. math. pures et appl. (RNR). - 1962. -№ 2. - Р. 231-240.

Поступила 10.03.2011 г.

УДК 517.54

УСИЛЕНИЕ ТЕОРЕМ ИСКАЖЕНИЯ

Л.М. Бер

Томский политехнический университет E-mail: berlm@tpu.ru

Для однолистных функций с симметрией вращения получены оценки, обобщающие теоремы Г.М. Голузина об искажении хорд. Ключевые слова:

Однолистные функции, симметрия вращения, искажение хорд, оценки.

Key words:

Schlicht functions, symmetry of rotation, Distortion of chords, estimations.

§ 1. Области с разрезами

Пусть Б,0еБ, - односвязная область. Пусть £(«), неМ, - класс голоморфных однолистных в единичном круге Е={г:\г\<1} функций /(г), нормированных условиями /(0)=0, /(0)=1 и отображающих этот круг на область Б0, полученную из Б исключением н (неМ) простых непересекающихся жордановых дуг.

Пусть S (н) - подкласс класса £(н) тех функций, которые отображают единичный круг на плоскость с разрезом по простой жордановой дуге, идущей в бесконечность. Согласно [1] любую функцию класса £(н) можно записать в виде предела последовательности функций подкласса S (н), в котором каждая функция/(г) представима в Е в виде

f (z) = lim ет f ( z,t),

(1)

где /(і,т), как функция от і, голоморфна и однолистна в круге Е, /(і,т)|<1 в Е и/(0,т)=0, /" (0,т)=1, а, как функция от т (0<т<да), является решением дифференциального уравнения Левнера

£. = _/у в, (т) ,

^ 6 Ч (т) _ Г

удовлетворяющим начальному условию /(і,0)=і.

Здесь цк(т) - управляющие функции, кусочнонепрерывные и по модулю равные единице в промежутке 0<т<да.

Пусть / (г)є^(и) и/(і,т) - функция, соответствующая/^). Для любых точек £„, у=1,...,и, и>1 положим для краткости /=/ (г„т).

Непосредственным вычислением получаем следующие равенства при n>1:

—In

дт

l: - l:

f:f:

= -n -

—ln

дт

nfrX і: nf:- L: n і n L:

f:- f:дт f:- f:дт :дт :дт /г1:

1 - f: f :

f L-+ f L

J V /-> Jv '

от д

1 - f:f,

Используя уравнение Левнера, получим

і - і

т J v J v

—ln

дт

= -2L f -Z

XX Sk (t)

—In

дт

о. (т)- L )o. (t) -:)

l: - :

= 2nfv f:Z-

f:f: Sk (t)

f:- f:

n > 2,

дТ in[i - lvLI]=2nf:L: -1 - f дт l - l:l :

sk (t)

k =!Ok (t) - fv)(Pk (t) - fv-)

(2)

(З)

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.